La circonferenza

La circonferenza
Capitolo
5
Archi, corde, angoli
Verifica per la classe prima
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corde 1.a Due corde congruenti AB e CD si intersecano nel punto F. Dimostrare Punti
che si formano triangoli congruenti.
.../...
(Chiamando H e K i punti medi delle corde AB e CD, considerare i
triangoli OHF e FOK...)
Quesiti 2.a Vero o falso? Giustificare la risposta:
1. Se AB CD allora OH OK.
2. Se AB CD allora AB CD.
.../...
V
F
V
F
3. Se AB CD allora AÔB CÔD.
V
F
4. Se AB CD allora AÔB AĈB.
V
F
2.b Vero o falso?
1. In una stessa circonferenza corde congruenti sottendono
archi congruenti.
2. In una stessa circonferenza se due corde sono una il doppio dell’altra allora anche gli archi sottesi sono uno il
doppio dell’altro.
3. In una stessa circonferenza due archi sono sottesi da due
angoli al centro, uno la metà dell’altro; allora gli archi
sono rispettivamente uno la metà dell’altro.
4. Tutti gli angoli alla circonferenza che sottendono lo stesso arco sono congruenti allo stesso angolo al centro.
5. Gli angoli alla circonferenza che sottendono la stessa corda, ma da parti opposte, sono complementari.
6. Il settore circolare è dato dall’intersezione di un angolo
con una circonferenza.
7. La corda è un segmento circolare.
8. Le corde sono sempre perpendicolari alle rette tangenti
negli estremi.
.../...
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Angoli 3.a Completare:
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco
sono .................. .
3.b 1. Indicare l’angolo alla circonferenza e l’angolo al centro in fig.
A; valutare il rapporto tra le loro
ampiezze.
2. Indicare l’arco su cui insiste
l’angolo alla circonferenza di fig.
B. Qual è l’ampiezza massima
che può avere in generale un
angolo alla circonferenza?
3. Indicare gli angoli congruenti in fig. C.
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.../...
.../...
.../...
.../...
207
Capitolo
5
La circonferenza
Tangenti a una circonferenza - Posizioni mutue
Costruzioni geometriche
Verifica per la classe prima
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Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tangenti 1.a Da un punto P esterno alla circonferenza vengono tracciate le tan- Punti
genti alla che toccano la circonferenza nei punti A e B.
.../...
Dimostrare che ogni punto Q appartenente all’arco di circonferenza
AB da parte opposta di P è il vertice di un angolo AQ̂B complementare di AP̂O.
(Richiamare il teorema delle tangenti e il teorema degli angoli al centro e alla circonferenza...)
Posizioni 2.a Descrivere le diverse posizioni mutue di due circonferenze (aventi ragmutue
gi differenti) nel piano disegnando le figure e indicando per ciascuna
posizione la relazione che lega la distanza tra i centri e le tangenti
comuni alle due circonferenze.
208
.../...
Costruzioni 3.a Costruire un triangolo ABC rettangolo
in Â che abbia il lato BC lungo 10 cm e
1
un angolo acuto di ampiezza pari a di
4
un angolo retto.
Descrivere il procedimento utilizzato
per la costruzione fornendo una giustificazione ai vari passaggi.
.../...
3.b Date due rette t ed s incidenti tra loro,
costruire le circonferenze di raggio pari
a r tangenti a entrambe le rette.
Descrivere il procedimento utilizzato
per la costruzione fornendo una giustificazione ai vari passaggi.
.../...
3.c Facoltativo. Dimostrare che il quadrilatero formato dai centri delle
circonferenze è un rombo. Quale angolo devono formare le rette s e t
affinché il quadrilatero sia un rettangolo?
.../...
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Capitolo
La circonferenza
5
Circonferenza
Test a risposta multipla per la classe prima
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Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Riportare in tabella le lettere corrispondenti alle risposte esatte.
1
2
3
4
5
6
7
8
1. Quale delle seguenti è sempre una figura
convessa?
a
arco di circonferenza
b
segmento circolare
c
settore circolare
d
angolo al centro
2. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a
b
c
d
L’intersezione tra una retta e una circonferenza è una corda.
L’intersezione tra una retta e un cerchio
è un cerchio.
Una corda è l’intersezione tra una retta
e un cerchio.
Una corda è l’intersezione tra una retta
e un segmento circolare.
3. Due archi sono congruenti se hanno
a angoli al centro e corde che li sottendono congruenti.
b angoli al centro congruenti e centri
coincidenti.
c raggi congruenti e centri coincidenti.
d corde che li sottendono congruenti e
centri coincidenti.
4. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
a Un settore circolare è l’intersezione tra
un angolo al centro e un cerchio.
b Una semicirconferenza è sottesa da un
angolo alla circonferenza di 90°.
c Tra due corde di una stessa circonferenza la maggiore dista più della minore
dal centro O.
d La tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di contatto.
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16
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5. Due corde AB e CD di una stessa circonferenza sono parallele. Quale è falsa?
a AD BC
b AB CD
c AC BD
d AC BD
6. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
Due angoli alla circonferenza sono congruenti se
a sottendono corde congruenti.
b hanno lo stesso angolo al centro.
c sottendono lo stesso arco.
d hanno la stessa ampiezza.
7. La somma di due angoli alla circonferenza
che sottendono la stessa corda AB da parti
opposte
a dipende dalla lunghezza della corda.
b è sempre pari a un angolo piatto.
c è sempre pari a un angolo giro.
d dipende dalla distanza della corda dal
centro.
8. Osservando la figura si deduce che:
a
AÔB 2 # BÔC
c
b
CÂB 7 AĈB
d
BÔC AĈB
AÔB 2 # AĈB
209
9. Osservando la figura, quale delle seguenti
affermazioni è falsa?
a
b
c
d
AB̂C 90°
ABC è una semicirconferenza.
1
CÂB BÔC
2
AC 2AB
10. Se AB è il diametro perpendicolare alla corda CD, allora
a
CÂD CB̂D
c
DB AC
b
AĈB AD̂B
d
AD BC
13. Se la distanza di una retta dal centro di una
circonferenza è pari al raggio, allora la retta è
a tangente
c esterna
b
b
OO¿ 7 r r¿
d
OO¿ 7 r r¿
12. Due circonferenze e ¿ si intersecano.
Sapendo che r¿ r, quale delle seguenti
affermazioni è falsa?
a
b
c
210
ABOO¿
ˆ B 7 AÔB
AO¿
d
AB è l’asse di OO¿.
OO¿ è l’asse di AB.
d
interna
14. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
a Due rette parallele possono essere
entrambe tangenti alla stessa circonferenza se distano quanto il diametro della circonferenza.
b Le corde sono perpendicolari al diametro passante per il punto medio.
c Gli angoli alla circonferenza possono
avere un’ampiezza massima pari a un
angolo piatto.
d La bisettrice di un angolo alla circonferenza biseca la corda sottesa dall’angolo stesso.
15. Due circonferenze distinte hanno
a sempre almeno due rette tangenti in
comune.
b sempre almeno quattro rette tangenti in
comune.
c tre rette tangenti se OO¿ r r¿.
d
11. Due circonferenze e ¿ di raggi r ed r¿ e
centri O e O¿ si intersecano in due punti
distinti se:
a OO¿ 6 r r¿
c OO¿ 6 r r¿
secante
una sola retta tangente se OO¿ r r¿.
16. Quante sono le circonferenze di dato raggio
r tangenti a due rette distinte?
a Due se le rette sono incidenti.
b Quattro se le rette sono incidenti.
c Due se le rette sono parallele.
d Quattro se le rette sono parallele.
17. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
a La circonferenza è simmetrica rispetto
al centro.
b La circonferenza è simmetrica rispetto
a qualsiasi diametro.
c La circonferenza è simmetrica rispetto
a qualsiasi suo punto.
d La circonferenza ha infiniti assi di simmetria.
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La circonferenza
Capitolo
5
Tangenti a una circonferenza Costruzioni geometriche
Verifica per la classe prima
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Problema. Da un punto P esterno a una circonferenza di centro O tracciare le due rette
tangenti che incontrano la circonferenza in A e B.
Che tipo di triangolo è ABP?
ˆ PBA
ˆ
PAB
Quanto vale il rapporto delle ampiezze
?
ˆ
AOB
1. Disegnare la Circonferenza
Punti
di centro O.
2. Fissare sul foglio un punto P (Nomi
).
Costruzione delle tangenti alla per P
3. Congiungere P con O costruendo il Segmento
OP.
4. Determinare il Punto medio
di OP e chiamarlo M.
5. Disegnare una circonferenza ¿ di centro M e diametro OP.
6. Verifica della costruzione
6.a Muovendo il punto P sul piano sia internamente sia esternamente alla circonferenza , quante sono le intersezioni della circonferenza con la nuova ¿ ?
6.b Se P è esterno chiamare A e B i punti di intersezione e congiungere P con A e
con B disegnando le rette AP e BP.
6.c Misurare con lo strumento Misura dell’angolo
gli angoli PÂO e PB̂O :
PÂO ......... ; PB̂O ......... .
7. Teoria
7.a Scrivere la definizione di tangente.
7.b Che tipo di angoli sono OÂP e PB̂O ?
7.c Dedurre che AP e BP sono le tangenti alla circonferenza .
7.d Come sono tra loro i triangoli AOP e OBP? Perché?
7.e Come sono tra loro AP e PB? Perché?
7.f Che tipo di triangolo è ABP?
8. Misurare gli angoli PÂB e PB̂A : PÂB ......... ; PB̂A ......... .
9. Misurare l’angolo AÔP ......... .
PÂB PB̂A
....... .
10. Con lo strumento Calcolatrice
calcolare il valore del rapporto
AÔB
11. Verifica della costruzione
11.a Muovendo il punto P sul piano esternamente alla circonferenza valutare se e
come cambia il rapporto calcolato al punto precedente.
11.b Fornire una dimostrazione del risultato numerico a cui si è pervenuti.
12. Determinare sulla circonferenza un altro punto C tale che AĈB PÂB e un punto
D tale che AD̂B sia supplementare di PÂB.
13. Verifica della costruzione
13.a Dove si possono trovare i punti C e D? Perché?
DÂC DB̂C
13.b Calcolare il valore del rapporto
...... .
AĈB AD̂B
13.c Giustificare il risultato ottenuto.
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Capitolo
5
La circonferenza
Archi, corde, angoli
Verifica per la classe prima
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Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema. Tutte le bisettrici degli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso
arco si incontrano in un punto. Di quale punto si tratta?
1. Disegnare la Circonferenza
di centro O.
Punti
2. Fissare sulla circonferenza tre punti A, B e C con Punto su un oggetto
ˆB con Segmento
3. Disegnare l’angolo alla circonferenza AC
.
ˆB con il comando Bisettrice
4. Disegnare la bisettrice dell’angolo AC
.
.
5. Verifica della costruzione
5.a Misurare i due angoli formati dalla bisettrice.
5.b La bisettrice poteva essere costruita anche senza l’uso del pulsante di Cabri;
descrivere la costruzione.
6. Disegnare sulla circonferenza, dalla stessa parte di C, un punto D in modo da avere
ˆB e disegnare la sua bisettrice.
l’angolo AD
7. Determinare il punto P comune alle due bisettrici con Intersezione di due oggetti
.../...
.../...
.
8. Verifica della costruzione
8.a Muovendo il punto C sulla circonferenza valutare come varia la posizione del
punto P.
8.b Determinare se P appartiene alla circonferenza utilizzando lo strumento
Appartiene a...?
.
8.c Misurare la lunghezza di AP e di PB.
8.d Quale punto è per la circonferenza il punto P? Dimostrare il risultato.
.../...
.../...
.../...
.../...
Problema. Due corde di una stessa circonferenza sono diseguali.
Come sono le loro distanze dal centro della circonferenza?
1. Sul disegno precedente misurare la lunghezza delle corde AB e CD con Distanza o Punti
lunghezza
.
2. Misurare le distanze dAB, dCD delle due corde dal centro della circonferenza.
3. Verifica della costruzione / Teoria
3.a Quale segmento rappresenta sul disegno la distanza del centro della circonferen- .../...
za da AB?
3.b Definire la distanza di un punto da una retta.
.../...
3.c Inserire i segni di , , relativamente alla figura; se AB .... CD 1 dAB .... dCD.
.../...
4. Con lo strumento Compasso
ridisegnare la corda CD in modo che sia AB CD.
5. Verifica della costruzione / Teoria
5.a Quante corde congruenti ad AB si possono disegnare in una stessa circonferenza?
5.b In questo caso come sono tra loro dAB e dCD ? dAB ...... dCD
5.c Fornire una dimostrazione del risultato.
5.d Muovere il punto C sulla circonferenza e con lo strumento Traccia
disegnare
il luogo geometrico determinato dal punto medio M della corda CD.
5.e Quale figura geometrica si ottiene? Perché?
212
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.../...
.../...
.../...
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Capitolo
La circonferenza
5
Archi, corde, angoli: verifica, prova strutturata a risposta multipla e laboratorio di Cabri
Obiettivi
Verifica
Definire corde, angoli al centro, alla circonferenza...
Confrontare archi o corde di una stessa circonferenza
1.a; 2.b
1.a; 2.a;
2.b
Dimostrare/Applicare i principali teoremi sulle corde, gli archi, gli 1.a; 2.a;
angoli
2.b; 3a
●
●
●
Test
Lab.
Cabri
1, 2
3, 4, 5
★
§ 3, 6
§ 3, 6
★
§ 3, 6
6, 7, 8, 9, 10,
13, 14, 15, 16
Soluzioni degli esercizi
2.a
2.b
Teoria al
paragrafo
tempo previsto: 60 min
3.a
3.b
ˆ alla circonferenza; AOC
ˆ al centro; AOC
ˆ 2 # ABC
ˆ
1. F; 2. V; 1. V; 2. F; 3. V; congruenti 1. ABC
3. F; 4. F 4. F; 5. F; 6. F;
2. BDA ; 180°
7. F; 8. F
ˆ ACD
ˆ ; BAC
ˆ BDC
ˆ
3. ABD
Soluzioni quesiti prova strutturata a risposta multipla
tempo previsto: 45 min
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
b
c
a
c
b
a
b
d
d
b
c
c
a
d
c
b
c
Tangenti a una circonferenza - Posizioni mutue
Costruzioni geometriche: verifica, prova strutturata a risposta multipla e laboratorio di Cabri
Obiettivi
●
●
●
Verifica
Test
Definire una retta esterna, secante, tangente a una circonferenza
1.a
11, 12, 13, 14,
15, 16
Costruire un triangolo rettangolo
Costruire circonferenze tangenti e le tangenti a una circonferenza
Dimostrare/Applicare il teorema delle tangenti
Individuare le posizioni reciproche tra retta e circonferenza e tra due
circonferenze
Individuare simmetrie nella circonferenza
3.a
3.b; 3.c
1.a
2.a
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11, 12
17
Lab.
Cabri
Teoria al
paragrafo
★
§4
★
★
★
§9
§ 8, 9
§7
§ 4, 5
§3
213