Introduzione alla logica
proposizionale
Unit 2, Lez 1 e 2 – Corso di Logica
Sommario
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Forme argomentative
Variabili proposizionali
Operatori e simboli logici
Formalizzazione
Regole di formazione
Dalle proposizioni alle forme
proposizionali
• ‘Aldo è americano’ = A
– ‘Aldo è americano’ è una proposizione semplice
– A è una forma (variabile) proposizionale
• ‘Aldo è americano o brasiliano’
– ‘Aldo è americano’ o ‘Aldo è brasiliano’ sono
proposizioni semplici
– ‘Aldo è americano’ = A
– ‘Aldo è brasiliano’ = B
– Perciò ‘Aldo è americano o brasiliano’ = A o B
– A, B, A o B sono variabili proposizionali
Forme argomentative
• Le forme argomentative (o forme
logiche) sono schemi astratti di
ragionamento e comuni in molte
argomentazioni
• La logica è lo “studio delle
argomentazioni”, la logica formale è lo
“studio delle forme argomentative”
• Nella logica formale lo studio della validità
avviene attraverso le forme argomentative
Esempio: Modus ponens
• Esempi
- Se Parigi è in Francia allora Parigi è in Europa.
Parigi è in Francia. Dunque Parigi è in Europa.
- Se piove allora prendo l’ombrello. Piove. Quindi
prendo l’ombrello.
- Se stai studiando la logica stai imparando a
ragionare. Io sto studiando la logica. Perciò sto
imparando a ragionare.
• Se A allora B
A
:. B
(A, B variabili)
Esempio: Modus Tollens
• Esempi
- Se Parigi è in Cina allora Parigi è in Asia. Parigi
non è in Asia. Dunque Parigi non è in Cina.
- Se piove allora prendo l’ombrello. Non prendo
l’ombrello. Quindi non piove.
- Se stai studiando la logica stai imparando a
ragionare. Io non sto imparando a ragionare.
Perciò non sto studiando la logica.
• Se A allora B
Non B
:. Non A
(A, B variabili)
Esempio: Sillogismo disgiuntivo
• Esempi
• Parigi è in Francia o in Messico. Parigi non è in
Messico. Dunque Parigi è in Francia.
• O è nuvoloso o c’è il sole. Non è nuvoloso.
Quindi c’è il sole.
• O è italiano oppure è americano. Non è
italiano. Perciò è americano.
• A o B
Non A
:. B
(A, B variabili)
Esempio: Sillogismo ipotetico
• Esempi
• Se James è a Teramo allora è in Abruzzo. Se
qualcosa è in Abruzzo allora e in Italia. Dunque
se James è a Teramo allora è è in Italia.
• Se è mattina esco. Se esco vado a passeggiare.
Perciò se è mattina vado a passeggiare.
• Se studio prendo un bel voto. Se prendo un bel
voto ricevo un premio. Dunque se studio ricevo
un premio.
• Se A allora B
Se B allora C
:. Se A allora C
(A, B, C variabili)
Altri esempi?
• Le forme argomentative sono infinite
• Esempi di “introduzione della congiunzione”
• Parigi è in Francia. A Parigi scorre la Senna.
Parigi è in Francia e lì scorre la Senna.
• E’ nuvoloso. Fa freddo. È nuvoloso e fa freddo.
• Luigi è italiano. Luigi è alto. Lui è alto ed è
italiano.
• A
B
:. A e B
(A, B variabili)
Contenuto e isomorfismo
• Compaiono due tipi di termini:
– Termini non logici (A, B, …) che denotano un
referente (individuo, nazione, relazione, ecc.)
– Termini logici, cioè parole che combinano i
termini non logici permettendo di costruire
nuovi termini non logici
• Due enunciati con la stessa forma
argomentativa sono logicamente isomorfi
e dipendono solo dai termini non logici
• La forma argomentativa è la proprietà che
non cambia al variare dei termini non
logici
Forme valide ed invalide
• Una forma argomentativa è valida se tutti i
suoi esempi costituiscono argomentazioni
valide. In tal caso la conclusione è
conseguenza logica delle premesse
• Una forma argomentativa è invalida se
esiste almeno un suo esempio che dà luogo
ad un’argomentazione invalida
• Sono esempi di forme argomentative
valide: il modus ponens, il modus tollens, il
sillogismo disgiuntivo, il sillogismo ipotetico
Operatori logici
• Un operatore logico (o connettivo) è
un’espressione del linguaggio con la quale
si ottiene una proposizione composta a
partire da due o più proposizioni semplici
• Un operatore logico si dice
verofunzionale se il valore di verità della
proposizione composta da esso ottenuta
dipende esclusivamente dai valori di verità
delle proposizioni semplici a cui è applicato
Connettivi
• Consideriamo cinque operatori logici
– non si dà il caso che
– e
– o…o
– se…allora
– se e solo se
(negazione)
(congiunzione)
(disgiunzione)
(condizionale)
(bicondizionale)
Negazione logica
• La negazione è l’operatore logico che
inverte il valore di verità di una proposizione
• Usando ‘non si dà che il caso che’, ma
spesso basta la parola ‘non’
– Non si dà che il caso che Luca è felice
– Luca non è felice
• È un operatore unario: si applica ad una
sola proposizione
• A volte espressa in forma indiretta
– Luca è infelice
Congiunzione logica
• È un operatore binario: si applica a due
proposizioni (congiunti)
• Espressa tipicamente da ‘e’, ‘sia…sia’, ‘sia…
che’
– Anna è italiana e Bob è americano
– Anna è brava e simpatica (forma abbreviata)
– Anna è sia brava che simpatica
• La congiunzione di due proposizioni è
vera se entrambe le proposizioni sono vere
e falsa altrimenti
Altre espressioni per la
congiunzione
• Esprimibile anche con ‘inoltre’, ‘sebbene’,
‘ma’, ‘mentre’ (lo scopo di solito è di
affermare e contemporaneamente
confrontare delle proposizioni)
– Anna è socievole, sebbene Bob non lo sia.
– Bob è simpatico, ma Anna non lo è.
– Anna è brava, mentre Bob non lo è.
• Attenzione, non vale sempre
– Anna ascolta la radio mentre studia.
Altri usi di “e” nel quotidiano
• A volte la “e” non viene usata come
congiunzione logica
– Aldo e Bob sono amici
– Aldo e Bob hanno alzato il divano
– La maglia della Juventus è bianca e nera
• A volte “e” esprime una congiunzione non
verofunzionale
– sono andato al mare ed ho fatto il bagno
– ho fatto il bagno e sono andato al mare
– La maglia della Juventus è bianca e nera
Disgiunzione logica
• Operatore binario: si applica a due
proposizioni (disgiunti)
• Espressa da ‘o’, ‘o…o’
– Anna è bella o brava
– Per partecipare al concorso occorre la laurea in
comunicazione o ini giurisprudenza
– Oggi interroghiamo Luca o Marco
• La disgiunzione di due proposizioni è
vera se almeno una delle proposizioni è
vera, falsa se sono entrambe false
Usi diversi di “o” nel quotidiano
• Significato inclusivo (prop. composta vera
se entrambe le prop. sono vere)
– Per partecipare al concorso occorre la laurea in
comunicazione o in giurisprudenza
• Significato esclusivo (prop. composta falsa
se entrambe le prop. sono vere)
– Oggi è martedì o è mercoledì
• Incompatibilità (prop. composta vera se
entrambe le prop. sono false, falsa se
entrambe sono vere)
– Si mangia o si parla
Condizionale materiale
• Operatore binario: con antecedente (ipotesi)
e conseguente (tesi)
• Espressa di solito da ‘se…allora’, ‘se’, ‘solo se’
– Se oggi è domenica allora domani torno al lavoro
– Se oggi è domenica domani torno al lavoro
• Se [antecedente] {allora} [conseguente]
– Domani torno al lavoro se oggi è domenica
• [conseguente] se [antecedente]
– Oggi è domenica solo se domani torno al lavoro
• [antecedente] solo se [conseguente]
Esercitiamoci
• Chi sono l’antecedente ed il conseguente?
– Se oggi è domenica domani è lunedì
– Oggi è domenica solo se domani è lunedì
– Oggi è domenica se domani è lunedì
– Domani è lunedì se oggi è domenica
– Se domani è lunedì oggi è domenica
– Domani è lunedì solo se oggi è domenica
Condizione necessaria o sufficiente?
• Nei condizionali qualcosa è condizione di
qualcos’altro. Ma si tratta di una
condizione necessaria o sufficiente?
• Oggi è domenica se domani è lunedì
– ‘domani è lunedì’ è condizione sufficiente di
‘oggi è domenica’ dunque equivale a:
se domani è lunedì allora oggi è domenica
• Oggi è domenica solo se domani è lunedì
– ‘domani è lunedì’ è condizione necessaria di
‘oggi è domenica’ dunque equivale a:
se oggi è domenica allora domani è lunedì
Espressioni condizionali
equivalenti
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•
•
se A allora B
da A segue B
A solo se B
B se A
A è condizione sufficiente per B
B è condizione necessaria per A
Quale condizionale?
• Spesso nel linguaggio quotidiano lo si usa per
esprimere un nesso tra antecedente e
conseguente, ad esempio una relazione di causaeffetto, oppure una situazione ipotetica
• Invece il significato logico, denominato
condizionale materiale, è: non si dà il caso che
sia vero l’antecedente e falso il conseguente
• Risultano vere anche proposizioni bizzarre
– Se Parigi è in Canada allora Roma è in Italia
– Se Parigi è in Canada allora Roma è in Russia
• Invece risulta falsa
– Se Parigi è in Francia allora Roma è in Russia
Paradossi del condizionale
materiale
• Non si tratta di veri e propri paradossi, ma
di incongruenze tra gli usi del condizionale
nel linguaggio naturale (che sono tanti e
diversi) e la sua interpretazione nella
logica classica
• In logica risultano vere (per ogni A e B):
– Se A e non-A allora B (Se A e non-A sono veri
allora qualsiasi B è vera)
– Se A allora: B implica A (se A è vera allora è
implicata da qualsiasi B)
– Se non-A allora: A implica B (se A è falsa allora
implica qualsiasi B)
Attenzione!
• Nel linguaggio quotidiano esprimiamo situazioni
ipotetiche con un condizionale
– Se avessi vinto alla lotteria avrei comperato una Ferrari
• In casi del genere, l’antecedente esprime una
situazione ipotetica diversa da ciò che è
avvenuto, dunque esso è falso in questo mondo
(o molto improbabile)
• Un tale condizionale si dice controfattuale e
non fa parte della logica (del I ordine) che stiamo
descrivendo (il cui studio esula dai nostri scopi)
• Invece, nel condizionale materiale l’antecedente
può essere a priori sia vero che falso
Bicondizionale
• Operatore binario: con lato sinistro e lato
destro
• Espressa da “se e solo se”
– Un poligono è un triangolo se e solo se ha tre lati
• Se un poligono è un triangolo allora ha tre lati
• Se un poligono ha tre lati allora è un triangolo
• Si può considerare come la congiunzione di
due condizionali
• Il lato sinistro è condizione necessaria e
sufficiente del lato destro (e viceversa)
Attenzione!
• La forma logica di una proposizione o di
un'argomentazione non si può
determinare a partire dall’espressione
linguistica in modo meccanico
• In realtà, uno degli obiettivi della IA e
della linguistica computazionale è proprio
in tal senso
Simboli
• Operatori logici
– negazione
– congiunzione
– disgiunzione
– condizionale
– bicondizionale
~
&
v
→
⟷
• Segno di asserzione (o cancelletto) per
indicare la conclusione: ⊢
Formalizzazione
• Scopo della formalizzazione è di passare
– proposizioni à forme (variabili) proposizionali
– argomentazioni à forme argomentative
• Viceversa, le variabili proposizionali, nella
loro essenza, non hanno significato: lo
acquisiscono attraverso una particolare
interpretazione specificata dal contesto
dato
Rappresentazione formale
• Si cerca di rappresentare in modo simbolico la
corrispondenza tra espressioni linguistiche e
significato
• La formalizzazione è una sorta di compressione
informativa, che produce una perdita nei dettagli
(le sfumature) ma un guadagno nella precisione
modello Interpretazione di P interpretazione rappresentazione formale P linguaggio naturale linguaggio corrispondenza traduzione significato inteso ogge1 e relazioni Esempi forme proposizionali
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Bob è bravo
Bob è simpatico
Bob non è bravo
Bob è bravo o è simpatico
Non è vero che Bob è bravo o
simpatico
Bob non è né bravo né simpatico
Bob è bravo ma non è simpatico
Se Bob è bravo allora è simpatico
Bob è simpatico, oppure è bravo
ma non simpatico
O Bob è bravo e simpatico,
oppure è bravo ma non simpatico
B
S
~B
BvS
~(BvS)
~B&~S
B&~S
B→S
Sv(B&~S)
(B&S)v(B&~S)
Forme argomentative valide
• La nozione di forma argomentativa valida
formalizza quella di argomentazione valida
• Data una forma proposizionale A ed un
insieme S di forme proposizionali, se la
forma argomentativa con premesse S e
conclusione A è valida scriviamo S⊢A
• In tal caso diciamo che A è conseguenza
logica di S (o che S implica
logicamente A)
Esempi forme argomentative
valide
• Se Bob è bravo allora
è simpatico. Bob è
bravo. Dunque Bob è
simpatico.
• Se Bob è bravo allora
è simpatico. Bob non è
simpatico. Dunque
non è bravo.
• Bob è bravo o
simpatico. Bob non è
bravo. Dunque Bob è
simpatico.
B→S
B
:. S
B→S, B ⊢ S
B→S
~S
:. ~B
B→S, ~S ⊢ ~B
BvS
~B
:. S
BvS, ~B ⊢ S
LINGUAGGIO
PROPOSIZIONALE
Alfabeto e formule
• L’alfabeto della logica proposizionale è
costituito da tre insiemi di simboli
– lettere proposizionali: qualunque lettera
maiuscola (A, B, ecc.), eventualmente con
l’uso di indici (A1, A2, ecc.)
– operatori logici: ~, &, v, →, ⟷
– parentesi: (, )
• Una formula è una sequenza qualsiasi di
simboli dell’alfabeto
– AvB
– AvBvC
A&B
(Av(&B)
~A→B
~→AB
Formule ben formate (fbf)
– Le regole di formazione di un linguaggio
costituiscono la grammatica del linguaggio
– Le formule ben formate (fbf) sono formule
ottenute dalle regole di formazione del
linguaggio (reiterate)
• Nella logica proposizionale le regole sono:
1) qualunque lettera proposizionale è una fbf
2) se ϕ è una fbf, allora lo è anche ~ϕ
3) se ϕ e ψ sono fbf, allora lo sono anche
(ϕ&ψ), (ϕvψ), (ϕ→ψ) e (ϕ⟷ψ)
4) niente altro è una fbf
Esempi
(AvB)
~A
(B→C)
~(AvB)
(AvB)~
A(&B)
(A→~B)v(C)
((A→~B)
(A→&C)
(A→→
(A→~(AvB))
fbf
fbf
fbf
fbf
Non
Non
Non
Non
Non
Non
fbf
fbf
fbf
fbf
fbf
fbf
fbf
Esempi
– ((AvB)→C)
– (~(AvB)→C~)
– (A&(~B→C))
– ((A→~B)v(C&D))
– ((A→~Bv(C&D))
– (A→((B→C)&(C→D)))
– A→((B→C)&(C→D))
fbf
non fbf
fbf
fbf
non fbf
fbf
• Osservazione: A rigore, quando mancano
le parentesi più esterne non si ha una fbf.
Però le parentesi più esterne sono
ridondanti. Che facciamo?
Alcune convenzioni
• Decidiamo di accettare come fbf,
convenzionalmente, anche formule
– in cui mancano soltanto le parentesi più
esterne:
A→((B→C)&(C→D))
– che si presentano in versione semplificata:
AvBvC o A&B&C
perché in questo caso Av(BvC) e (AvB)vC sono
equivalenti, dunque AvBvC sta
indifferentemente per una delle due (lo stesso
vale per A&B&C)
fbf composte e sfbf
• Le lettere proposizionali sono fbf
atomiche (o semplici), tutte le altre fbf
sono molecolari (o composte)
– A, B, C, D sono formule atomiche
– ~A, AvB, A&C, Av(B&D), (~B&C)→(AvD) sono
formule molecolari
• Una sottoformula ben formata (sfbf) è
una parte di una fbf che è una fbf
– Le sottoformule di (~B&C)→(AvD) sono
– B, C, A, D, ~B, (~B&C), (AvD)
Esempio
• Determinare tutte le sottoformule di
A→((B→C)&(C→D))
– A, B, C, D
– (B→C), (C→D), (B→C)&(C→D)
– A→((B→C)&(C→D))
• Determinare tutte le sottoformule di
((A⟷C)&((A→~B)v(C&D))))
– A, B, C, D
– (A→~B), (C&D), ((A→~B)v(C&D)), (A⟷C)
– ((A⟷C)&((A→~B)v(C&D))))
Ambito e operatore principale
• Se in una fbf occorre un connettivo, l’ambito di
quell’occorrenza è la più piccola fbf in cui il
connettivo si applica
– in (~B&C)→(AvD) l’ambito dell’unica occorrenza di v è
(AvD)
• Ogni fbf ha un solo operatore il cui ambito è
l’intera fbf (è l’ultimo usato nella costruzione della
formula). Quell’operatore è detto operatore
principale
– in (~B&C)→(AvD) l’operatore principale è →
• Una fbf si dice negazione (risp., congiunzione,
ecc.) se il suo operatore principale è una
negazione (risp., una congiunzione, ecc.)
Esempi
• Determinare l’ambito delle diverse
occorrenze di → in A→((B→C)&(C→D))
– nella 1a occ. l’ambito è A→((B→C)&(C→D))
– nella 2a è (B→C)
– nella 3a è (C→D)
• Determinare l’operatore principale
– ((AvB)→C)
– (A&(~B→C))
– ((A→~B)v(C&D))
– A→((B→C)&(C→D))
– ~((A⟷C)&((A→~B)v(C&D)))
– ((C→(~A→~B))v(~A→(~B→C)))
→
&
v
→
~
v
Linguaggio, metalinguaggio e
paradossi
• Con il linguaggio proposizionale (così come con
il linguaggio ordinario prima della
formalizzazione) descriviamo gli oggetti cui si
riferiscono i termini occorrenti nelle proposizioni
• Dopodichè il linguaggio ordinario diventa
metalinguaggio: lo usiamo per parlare del
linguaggio proposizionale
• In generale occorre fare attenzione a non
mescolare linguaggio e metalinguaggio per non
generare paradossi
– Questa frase è falsa.
Uso autonimo
• Dunque, quando parliamo di formule
proposizionali, poiché si tratta di menzioni,
bisognerebbe racchiuderle tra virgolette
• Tuttavia, tenendo conto che
– il ricorso continuo a virgolette crea molti fastidi
– tra linguaggio proposizionale e metalinguaggio
non ci sono segni comuni, per cui non ci sono
pericoli di ambiguità
• Decidiamo convenzionalmente di
menzionare segni e formule con loro
stesse (senza virgolette)
Per casa
• Leggere
– Varzi, par. 3.1, 3.2 e 3.3
• Esercizi sul Varzi
• E poi (non prima!), esercizi online
