Breve introduzione alla logica proposizionale La logica proposizionale è un linguaggio formale con una semplice struttura sintattica, basata fondamentalmente su proposizioni elementari (atomi) e su connettivi logici di tipo vero-funzionale, che restituiscono il valore di verità di una proposizione in base al valore di verità delle proposizioni connesse (solitamente noti come AND, OR, NOT...). La semantica della logica proposizionale definisce il significato dei simboli e di qualsiasi proposizione che rispetti le regole sintattiche del linguaggio, basandosi sui valori di verità associati agli atomi. Data una interpretazione di un insieme di proposizioni, possiamo generare un insieme infinito di proposizioni con significato definito che riguardino quella realtà. Ciascuna proposizione si riferisce quindi ad uno o più oggetti della realtà rappresentata e permette di descrivere o ragionare su quell'oggetto, utilizzando i due soli valori "Vero" e "Falso". Sintassi La definizione della struttura delle frasi (o sintassi) della logica proposizionale si fonda su due componenti: • • un alfabeto di simboli un insieme di sequenze di simboli, che determinano il linguaggio, definito tramite una grammatica generativa Alfabeto L'alfabeto della logica proposizionale è costituito da: • • • Un insieme numerabile di simboli di proposizione: p, q, r, ... I simboli dei connettivi logici: ¬ (NOT), (AND), (OR), → (implicazione), ↔ (doppia implicazione} Le parentesi: (,) che hanno per lo scopo di rendere non ambiguo il linguaggio Formule ben formate Le espressioni "sintatticamente corrette" della logica proposizionale, ossia quelle che determinano degli enunciati dotati di senso in modo non ambiguo, sono chiamate formule ben formate, e dunque fbf, in letteratura si trova anche wff, dall'inglese "well-formed formulas", e sono così definite: 1. un simbolo di proposizione è una fbf 2. se A è una fbf lo è anche ¬A 3. se A ed B sono fbf allora lo sono anche (A B), (A B), (A → B) e (A ↔ B) 4. niente altro è una fbf Sono esempi di formule ben formate: • • • • p (dalla regola 1) ¬p (p ¬p) ((p ¬p) ¬p) Le regole sopra esposte definiscono il linguaggio della logica proposizionale. Ove non ci sia ambiguità chiameremo le fbf proposizioni. Alle formule della logica proposizionale possono essere associati dei valore di verità mediante una funzione di valutazione: Si chiama funzione di valutazione una funzione che va dall'insieme L delle formule ben formate nell'insieme {V,F} (vero, falso) v : L → {V,F} tale che per ogni coppia di fbf x e y valgano le seguenti condizioni: v(¬x) = V se v(x) = F v(¬x) = F se v(x) = V v(x y) = V se e solo se v(x) = V e v(y) = V v(x y) = V se e solo se v(x) = V oppure v(y) = V v(x→y) = V se e solo se v(x) = F oppure v(y) = V v(x↔y) = V se e solo se v(x) = v(y) Tali condizioni rispecchiano il significato che si vuole attribuire ai simboli associati ai connettivi logici e si possono riassumere mediante la seguente tavola di verità: P Q Q P Q P Q P Q P Q P→Q F F V F F F V V F V F F V V F V V F V F V V F F V V F V V F V V Soddisfacibilità, tautologie e contraddizioni Una formula fbf A si dice: • soddisfacibile se esiste una valutazione v tale che v(A)=V, • contraddizione se non è soddisfacibile, • tautologia se per ogni valutazione v si ha v(A)=V, Un banale esempio di formula soddisfacibile è p, un esempio di formula contraddittoria è (p ¬p), un esempio di tautologia è (p ¬p). Alcune tautologie notevoli • • • • • • • • • legge dell'identità legge della doppia negazione legge del terzo escluso legge di non contraddizione legge di contrapposizione modus ponens o legge di disgiunzione modus tollens sillogismo ipotetico oppure noto come proprietà transitiva dell'implicazione o legge di deduzione a catena proprietà associativa di proprietà associativa di • • proprietà commutativa di • proprietà commutativa di proprietà distributiva della congiunzione • rispetto alla disgiunzione proprietà distributiva della disgiunzione • rispetto alla congiunzione • prima legge di De Morgan • seconda legge di De Morgan