Breve introduzione alla logica proposizionale

Breve introduzione alla logica proposizionale
La logica proposizionale è un linguaggio formale con una semplice struttura sintattica, basata
fondamentalmente su proposizioni elementari (atomi) e su connettivi logici di tipo vero-funzionale,
che restituiscono il valore di verità di una proposizione in base al valore di verità delle proposizioni
connesse (solitamente noti come AND, OR, NOT...). La semantica della logica proposizionale
definisce il significato dei simboli e di qualsiasi proposizione che rispetti le regole sintattiche del
linguaggio, basandosi sui valori di verità associati agli atomi. Data una interpretazione di un
insieme di proposizioni, possiamo generare un insieme infinito di proposizioni con significato
definito che riguardino quella realtà. Ciascuna proposizione si riferisce quindi ad uno o più oggetti
della realtà rappresentata e permette di descrivere o ragionare su quell'oggetto, utilizzando i due
soli valori "Vero" e "Falso".
Sintassi
La definizione della struttura delle frasi (o sintassi) della logica proposizionale si fonda su due
componenti:
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un alfabeto di simboli
un insieme di sequenze di simboli, che determinano il linguaggio, definito tramite una
grammatica generativa
Alfabeto
L'alfabeto della logica proposizionale è costituito da:
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Un insieme numerabile di simboli di proposizione: p, q, r, ...
I simboli dei connettivi logici: ¬ (NOT), (AND), (OR), → (implicazione), ↔ (doppia
implicazione}
Le parentesi: (,) che hanno per lo scopo di rendere non ambiguo il linguaggio
Formule ben formate
Le espressioni "sintatticamente corrette" della logica proposizionale, ossia quelle che determinano
degli enunciati dotati di senso in modo non ambiguo, sono chiamate formule ben formate, e dunque
fbf, in letteratura si trova anche wff, dall'inglese "well-formed formulas", e sono così definite:
1. un simbolo di proposizione è una fbf
2. se A è una fbf lo è anche ¬A
3. se A ed B sono fbf allora lo sono anche (A
B), (A
B), (A → B) e (A ↔ B)
4. niente altro è una fbf
Sono esempi di formule ben formate:
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•
•
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p (dalla regola 1)
¬p
(p ¬p)
((p ¬p) ¬p)
Le regole sopra esposte definiscono il linguaggio della logica proposizionale.
Ove non ci sia ambiguità chiameremo le fbf proposizioni.
Alle formule della logica proposizionale possono essere associati dei valore di verità mediante una
funzione di valutazione:
Si chiama funzione di valutazione una funzione che va dall'insieme L delle formule ben formate
nell'insieme {V,F} (vero, falso)
v : L → {V,F}
tale che per ogni coppia di fbf x e y valgano le seguenti condizioni:
v(¬x) = V se v(x) = F
v(¬x) = F se v(x) = V
v(x y) = V se e solo se v(x) = V e v(y) = V
v(x y) = V se e solo se v(x) = V oppure v(y) = V
v(x→y) = V se e solo se v(x) = F oppure v(y) = V
v(x↔y) = V se e solo se v(x) = v(y)
Tali condizioni rispecchiano il significato che si vuole attribuire ai simboli associati ai connettivi
logici e si possono riassumere mediante la seguente tavola di verità:
P Q
Q P
Q P
Q P
Q P
Q P→Q
F
F
V
F
F
F
V
V
F V
F
F
V
V
F
V
V F
V
F
V
V
F
F
V V
F
V
V
F
V
V
Soddisfacibilità, tautologie e contraddizioni
Una formula fbf A si dice:
•
soddisfacibile se esiste una valutazione v tale che v(A)=V,
•
contraddizione se non è soddisfacibile,
•
tautologia se per ogni valutazione v si ha v(A)=V,
Un banale esempio di formula soddisfacibile è p, un esempio di formula contraddittoria è
(p ¬p), un esempio di tautologia è (p ¬p).
Alcune tautologie notevoli
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legge dell'identità
legge della doppia negazione
legge del terzo escluso
legge di non contraddizione
legge di contrapposizione
modus ponens o legge di disgiunzione
modus tollens
sillogismo ipotetico oppure noto come
proprietà transitiva dell'implicazione o legge di deduzione a catena
proprietà associativa di
proprietà associativa di
•
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proprietà commutativa di
•
proprietà commutativa di
proprietà distributiva della congiunzione
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rispetto alla disgiunzione
proprietà distributiva della disgiunzione
•
rispetto alla congiunzione
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prima legge di De Morgan
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seconda legge di De Morgan