Riassunto delle puntate precedenti:
Definizioni (informali) di enunciato, argomento, mondo
possibile.
Definizione (informale) di argomento corretto
Definizione (formale) del linguaggio della logica
enunciativa.
Definizione (formale) del concetto di formula ben
formata del linguaggio della logica enunciativa.
Definizione (formale) dell’algoritmo delle tavole di
verità.
Estensione della logica enunciativa:
la logica dei predicati (o predicativa o del primo
ordine)
Con la logica dei predicati è possibile trattare la
struttura logica di argomenti più complessi, in
particolare di argomenti che contengono importanti
operatori logici detti quantificatori (operatori che
determinano l’estensione dell’insieme di oggetti che
soddisfano una certa proprietà).
L’introduzione del linguaggio enunciativo permette
di fornire un’analisi logica astratta di un’ampia classe
di enunciati e delle loro condizioni di verità.
Questo consente a sua volta di verificare la
correttezza di argomenti che abbiano come
premesse e conclusioni un certo numero di
enunciati.
Riprendiamo tuttavia l’argomentazione
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
e chiediamoci:
1) è possibile tradurre fedelmente l’argomentazione nel
linguaggio enunciativo?
2) se è possibile, la traduzione è in grado di conservare la
validità dell’argomento?
Traduzione in linguaggio enunciativo (LE)
Linguaggio naturale
LE
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
p
q
r
Questa traduzione è l’unica possibile: gli enunciati
dell’argomento sono atomici e devono quindi essere
rappresentate da singole variabili enunciative.
Conservazione della correttezza?
La traduzione in linguaggio enunciativo è dunque
possibile: ma conserva anche la correttezza?
Per la traduzione, conservare la correttezza significa
che – anche per l’argomento in LE – se le premesse
sono vere allora deve essere vera anche la
conclusione.
In realtà, tutto ciò che può fare la traduzione è
formulare gli enunciati in linguaggio naturale come
variabili enunciative, e di per sé le semplici lettere p
e q non sono ‘costrette’ a implicare con necessità r.
In altri termini, non è contraddittorio ammettere
che esista un assegnazione di valori di verità a p, q e r
tale che
p
q
r
Dove sta il problema?
V
V
F
Il problema sta nel fatto che, nel linguaggio enunciativo,
p, q e r devono essere rappresentate da variabili
enunciative atomiche, perché non contengono alcun
connettivo. Ma ciò che garantisce la validità
dell’argomento
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
dipende proprio dalla struttura interna di queste
proposizioni.
Per estendere l’insieme di enunciati che è possibile
analizzare dal punto di vista della logica, occorre
allora analizzare la struttura interna degli enunciati
atomici.
Questo passo porterà ad estendere il linguaggio
enunciativo verso un nuovo linguaggio artificiale,
capace di rendere conto della validità di argomenti
come
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
Per analizzare la struttura interna di un enunciato
atomico, ricorreremo a uno strumento di antica
tradizione, lo schema soggetto-predicato.
Consideriamo il semplice enunciato “l’erba è verde”: in
base allo schema soggetto-predicato, avremo
“erba” soggetto
“essere verde” predicato
Il ‘predicato’ non è altro che una proprietà attribuita al
soggetto.
Enunciati come “l’erba è verde” non sono tuttavia
l’unico tipo di enunciati di cui possiamo indagare la
struttura interna.
Consideriamo infatti un enunciato come
“Mario è più alto di Carlo”
Un’applicazione dello schema soggetto-predicato
prescriverebbe
“Mario” soggetto
“essere più alto di Carlo” predicato
Il significato intuitivo dell’enunciato sembra però
compatibile anche con la scomposizione
“Carlo” soggetto
“essere più basso di Mario” predicato
Sembra dunque che uno stesso contenuto
concettuale sia associato a due enunciati con due
soggetti diversi: con quale criterio scegliere?
Contenuto concettuale dell’enunciato
soggetto: Mario
?
predicato: essere più alto
di Carlo
soggetto: Carlo
predicato: essere più
basso di Mario
Soluzione naturale: il contenuto concettuale
dell’enunciato riguarda una relazione tra due
soggetti. Questo implica che lo schema dovrà
contemplare almeno due casi possibili:
Predicato attribuito a un soggetto: si tratta di una
proprietà di quel soggetto.
Predicato attribuito a n soggetti: si tratta di una
relazione che sussiste tra quei soggetti.
Una generica proposizione atomica può parlare
allora di uno o più soggetti: si definisce termine
singolare ogni espressione che si riferisca a un
soggetto singolo.
Termini Singolari
Nomi propri (“Mario”, “Carlo”, ecc.)
Pronomi dimostrativi ed espressioni che cominciano
con un aggettivo dimostrativo (“questo”, “quel
tavolo”)
Pronomi personali singolari (“io”, “egli”, ecc.)
Descrizioni definite, vale a dire espressioni che
cominciano con un articolo determinativo singolare
(“il presidente della Repubblica”, “il sindaco di
Berlino”, ecc.) e che hanno un unico individuo come
riferimento.
Consideriamo i seguenti esempi.
Mario è alto
Mario e Carlo sono fratelli
Mario è più alto di Carlo
Il predicato è ‘ciò che resta’ quando vengono eliminati
dall’enunciato i termini singolari:
Mario è alto
Mario e Carlo sono fratelli
Mario è più alto di Carlo
..... è alto
Predicato a 1 posto
(proprietà)
..... e ..... sono fratelli
..... è più alto di .....
Predicato a 2 posti
(relazione)
Predicato a 2 posti
(relazione)
Attenzione! La relazione ‘essere fratelli’ è
simmetrica (l’ordine non conta), ma quella
‘essere più alto di’ non lo è.
La nozione di funtore
Abbiamo già incontrato la nozione di ‘descrizione
definita’: un’espressione come
Il presidente del Senato
denota un unico individuo e si comporta dunque ‘come’
un termine singolare.
Possiamo però generalizzare la situazione e introdurre
un’espressione come
Il presidente di […]
Questa espressione può essere associata a una
‘operazione’ che associa a un certo gruppo l’individuo
che ne è il presidente.
Possiamo quindi rappresentare più in generale la situazione nel
modo seguente:
‘Il presidente di’ : R S
dove
R = insieme delle istituzioni, S = insieme dei senatori
In un caso particolare, possiamo quindi avere
Il presidente di
Il presidente del Senato
Senato
Questo tipo di operazioni sono casi particolari di un concetto più
generale, quello di funzione.
Una funzione
f: S T
è una corrispondenza tra due insiemi S e T, tale che a uno o più
elementi dell’insieme S associa uno e un solo elemento
dell’insieme T.
Data la notazione
f(x) = y, per x S e y T,
x è detto l’argomento della funzione e y è detto il valore della
funzione.
L’insieme S è detto dominio della funzione, mentre l’insieme T è
detto codominio della funzione.
Attenzione: la definizione appena fornita consente la possibilità
che S = T, cioè che dominio e codominio coincidano.
Esempio 1: Se
S = insieme dei bambini di una scuola elementare (con maestra
unica!)
T = insieme delle maestre della scuola
indichiamo con l’espressione
‘Maestra di’: S T
la funzione che assegna a ogni bambino la sua maestra.
In questo caso S (il dominio) è diverso da T (il codominio).
Esempio 2
La funzione aritmetica ‘quadrato di’, che a ogni numero
naturale (positivo) n associa il numero naturale (positivo) nn,
può essere rappresentata come
‘quadrato di’: N+ N+
In questo caso, dominio e codominio coincidono.
Negli esempi 1 e 2, ciascuna funzione è definita per singoli
valori, ma è possibile definire funzioni per coppie di
argomenti.
Esempio 3
La funzione ‘somma di’ è definita per coppie di numeri: se con
N denotiamo l’insieme dei numeri naturali, la funzione
associa a ogni coppia di numeri naturali n, m il numero
naturale n + m.
La notazione è la seguente:
+ : {N x N} N
+ : {n,m} n+m
Torniamo al nostro argomento
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
Il linguaggio enunciativo non è in grado di esprimere la
struttura
interna
di
nessuna
delle
proposizioni
dell’argomento, mentre lo schema soggetto-predicato ci
permette di esprimere la struttura della seconda premessa e
della conclusione.
Come fare con la prima premessa?
Essa appare cruciale, perché esprime la validità di una
proprietà per tutti gli individui di un certo insieme.
Perché il linguaggio possa esprimere questo tipo di enunciati,
sarà necessaria una riformulazione dell’enunciato stesso nei
seguenti termini:
Per ogni possibile x, se x è un uomo allora x è mortale.
Questa riformulazione introduce due nozioni essenziali che
dovranno far parte del linguaggio:
le variabili
i quantificatori.
Una variabile non è altro che un termine singolare generico,
cioè un termine che può assumere valori diversi.
Quando per esempio si scrive
x+y = y+x,
si intende con ciò che quella uguaglianza è valida per
qualunque numero si decida di sostituire a x e y.
Un quantificatore è invece un operatore logico
presente in proposizioni che affermano per quanti
individui di un dato insieme valgono una certa
proprietà o una certa relazione. Saranno introdotti
due quantificatori:
Quantificatore universale
xPx “per ogni x, x è P”
Quantificatore esistenziale
xPx “esiste un x che è P”
Linguaggio della logica predicativa (LP)
Alfabeto logico:
Connettivi enunciativi e quantificatori ,
Alfabeto descrittivo:
AD-1) Un insieme infinito di variabili individuali x, y, z, ...
(eventualmente con apici e indici)
AD-2) Un insieme infinito di costanti individuali (eventualmente
con apici e indici)
AD-3) Un insieme infinito di costanti predicative P, Q, R, ...
(eventualmente con apici e indici)
AD-4) Un insieme infinito di costanti funtoriali f1, f2, ….
Alfabeto ausiliario: Parentesi e virgole
Definizione ricorsiva di termine individuale di LP
BASE: Sono termini individuali le variabili individuali e
le costanti individuali.
PASSO: Se t1, …, tn sono termini individuali e fn è una
costante funtoriale n-aria, anche fn(t1, …, tn) è un
termine individuale.
CHIUSURA: Nient’altro è un termine individuale.
Formule atomiche di LP
Se t1, …, tn sono termini individuali di LP e P è una
costante predicativa n-aria di LP, allora
P(t1, …, tn)
è una formula atomica di LP.
Esempio 1
‘Mario’ = m
(costante individuale)
‘Mario è alto’ = Am
‘è alto’ = A
(predicato a 1 posto)
formula atomica di LP
Attenzione! Am è un esempio della forma generale
P(t1,...,tn): infatti si pone P=A e t1 = m (in questo caso
n=1).
Esempio 2
‘Mario’, ‘Carlo’ = m, c
(costanti individuali)
‘Mario e Carlo sono
fratelli’ = F(m,c)
‘essere fratello’ = F
(predicato a 2 posti)
formula atomica di LP
Attenzione! F(m,c) è un esempio della forma
generale P(t1,...,tn): infatti si pone P=F, t1=m, t2=c (in
questo caso n=2).
Definizione ricorsiva di formula ben formata di LP
BASE: Ogni formula atomica di LP è una fbf di LP.
PASSO:
1) Se a è una fbf di LP, allora anche a è una fbf di LP.
2) Se a, b sono fbf di LP, allora anche a b è una fbf di LP.
3) Se a, b sono fbf di LP, allora anche a b è una fbf di LP.
4) Se a, b sono fbf di LP, allora anche a b è una fbf di LP.
5) Se a è una fbf di LP e x una variabile individuale, allora
anche x a è una fbf di LP.
6) Se a è una fbf di LP e x una variabile individuale, allora
anche x a è una fbf di LP.
CHIUSURA: Nient’altro è una fbf di LP.
Variabili libere e vincolate
In espressioni come xa, xa, la a potrebbe in generale
contenere altre variabili oltre a x. Se poniamo per esempio a = Px
Qy, si ottengono le fbf
[1] x(Px Qy),
[2] x(Px Qy)
In generale, si dice che una variabile occorre vincolata quando
dipende da un quantificatore (da cui, appunto, è ‘vincolata’), e
libera altrimenti.
Nelle [1] e [2]
la x occorre vincolata,
la y occorre libera.
Sempre la definizione di fbf in LP permette casi come xPy, dove
a = Py. In questo caso, la quantificazione opera ‘a vuoto’ e si dice
muta o vacua.
Una formula a che contiene almeno un’occorrenza libera
di una variabile è detta formula aperta.
Una formula a che non contiene occorrenze libere di
alcuna variabile, cioè che
- o non contiene alcuna variabile
- o, se ne contiene, nessuna occorrenza di tali variabili in
a è libera
è detta formula chiusa (= enunciato).
Esempi:
P(r,t), xPx Qs, xy(Px Qy)
sono formule chiuse, mentre
P(r,x), xPx Qy, xy(Px QyRz)
sono formule aperte.
Dati una formula a, un termine t e una variabile x, si dice
sostituzione di x con t in a la fbf che si ottiene
rimpiazzando uniformemente ogni occorrenza libera di x
con t: tale fbf sarà denotata dall’espressione
a[x/t]
Per esempio, data la fbf P(x) P(x), la sostituzione in
essa di x con r è la fbf
P(r) P(r).
Linguaggio naturale
Linguaggio predicativo
Bruno = b, Carla = c, Aldo =a
amare = A, essere fabbro = F,
vedere = V, essere medico = M
presentare = P
«Bruno non ama niente»
x Abx oppure x Abx
«Un fabbro si ama»
x (Fx Axx)
«Aldo vede ogni fabbro»
x (Fx Vax)
«Se Bruno ama qualcosa, allora
ama qualsiasi cosa»
x Abx x Abx
«Aldo ha presentato un fabbro a
un medico»
x y ((Fx My) Paxy)
