a. Teorie del primo ordine

TEORIE DEL PRIMO ORDINE.
Una teoria formale è un sistema sintattico composto da un linguaggio e da un apparato deduttivo.
Il Linguaggio è composto da un alfabeto (o insieme di segni) e dalle regole di formazione delle
formule (o parole) che sono le successioni di segni accettabili in quel linguaggio.
L'apparato deduttivo è a sua volta composto da un insieme particolare di formule dette Assiomi e
da un insieme di regole di inferenza (derivazione).
In particolare ci occuperemo di quelle teorie formali che vanno sotto il nome di teorie del primo
ordine e sono state formulate in stretta relazione con le esigenze fondazionali della matematica.
1. Alfabeto. L'alfabeto di una teoria del primo ordine comprende le seguenti classi di segni:
a. Segni di costanti individuali. Possono mancare, possono essere in numero finito o
costituire una infinità numerabile a1 , a 2 , , ai ,
.
b. Segni di variabili individuali. Costituiscono sempre una infinità numerabile
x1 , x2 , , xi , .
c. Segni funzionali. Possono essere al più un'infinità numerabile e sono generalmente denotati
j
da una lettera con due indici: f i . al variare dell'indice j in {1, 2, , n , } si parlerà di
( )
1
( )
( )
n
2
segni funzionali monadici f i , diadici f i , … , n-adici f i , … .
d. Segni predicativi. Possono essere al più un'infinità numerabile e sono generalmente
j
denotati da una lettera con due indici: Ai . al variare dell'indice j in {1, 2, , n , } si
( )
1
( )
2
( )
n
parlerà di segni predicativi monadici Ai , diadici Ai , … , n-adici Ai , … .
e. Segni di connettivi. Assumiamo come segni di connettivi i segni ⇒ (segno di
implicazione) e ~ (segno di negazione).
f. Segni di quantificazione. Poiché è sufficiente un solo segno di quantificazione,
assumeremo il segno ∀ (quantificatore universale).
g. Segni ausiliari. Sono i segni parentesi aperta), parentesi chiusa e virgola: ( ) , .
Si dice stringa una qualunque successione finita di segni del linguaggio. Sono stringhe ad es. le
seguenti sucessioni:
2
) f 1 , ∀∀∀x3 ⇒
(
)
A11 f 1 (x1 , x 2 ) ⇒ A21 (x1 , x 2 )
2
⇒⇒ ∀)(~ f 1 A21 .
Ma il lettore ammetterà facilmente che di queste stringhe solo la seconda può aspirare ad essere
riconosciuta come una formula leggittima indipendentemente dai significati che le si possono
attribuire, mentre sicuramente le altre due sono soltanto delle successioni casuali di segni.
Occorrono dunque delle regole univoche mediante le quali si possa stabilire senza incertezze o
ambiguità, quali stringhe sono da considerare come parole (o formule ben formate) del nostro
linguaggio oggetto. Stabiliamo quindi le seguenti regole ricorsive.
2
2. Regole di formazione delle formule ben formate.
a. Ogni segno di costante individuale e ogni segno di variabile individuale è un termine.
n
n
b. Se t1 , t 2 , , t n sono termini e f i è un segno funzionale n-ario, allora f i (t1 , t2 , , t n ) è un
termine.
c. Termini sono solo le stringhe costruite mediante applicazione (ricorsiva) delle regole 1 e 2
(clausola di chiusura).
Se t1 , t 2 , , t n sono termini e Ai è un segno predicativo n-ario, allora Ai (t1 , t 2 , , tn ) è una
formula ben formata (nel seguito abbrevieremo sempre con fbf l'espressione 'formula ben
formata').
Se A è una fbf allora (~ ) è una fbf.
Se A e B sono fbf, allora ( ⇒ ) è una fbf.
Se
è una fbf e xi un segno di variabile individuale, allora (∀x ) è una fbf.
Fmf sono solo le stringhe costruite mediante applicazione (ricorsiva) delle regole 4, 5, 6 e 7
(clausola di chiusura).
n
d.
n
e.
f.
g.
h.
Nota 1. Nelle regole di formazione sono stati usati segni come A e B per rappresentare
genericamente formule ben formate del linguaggio e segni come t1 , t 2 , , t n per rappresentare
genericamente termini del linguaggio, ma tali segni non sono fra quelli elencati come segni del
linguaggio e quindi sono segni metelinguistici che chiameremo rispettivamente schemi di formule e
schemi di termini. Nel seguito useremo altri segni metalinguistici come ad esempio lettere del tipo
a, b, c, …per rappresentare genericamente segni di costanti individuali, lettere del tipo x, y, z, … per
rappresentare segni di variabili individuali, lettere del tipo f, g, … o segni speciali come +, °, ecc…
per rappresentare segni funzionali, lettere del tipo A, B, C, … o segni speciali come ∈ per
rappresentare segni predicativi.
Avvertenza: Nel seguito, quando non c’è rischio di equivoci, useremo per brevità l’abbreviazione
fbf anche quando in realtà si tratta di shemi di fbf .
Altri segni metalinguistici come ∧, ∨, ⇒ , ∃, verranno espressamente definiti.
3. DEFINIZIONI dei segni metalinguistici ∧, ∨, ↔, ∃.
a. Se e
sono fbf, allora ( ∨ ) è un'abbreviazione di ((
)⇒ )
b. Se e
sono fbf, allora ( ∧ ) è un'abbreviazione di (~ ( ⇒( ))) .
c. Se e sono fbf, allora ( ⇔ ) è un'abbreviazione di (( ⇒ ) ∧ ( ⇒ )).
d. Se è una fbf e x un segno di variabile individuale, allora (∃x ) è un'abbreviazione di
(~ ((∀x )(~ ))) .
Esercizio: Interpretando i segni che vi compaiono come gli ordinari connettivi e quantificatori con
l'usuale significato intuitivo del linguaggio matematico, lo studente giustifichi le definizioni 1,…,4.
ASSIOMI.
1. Assiomi logici
A1.
⇒( ⇒
(
(
⇒( ⇒
A2.
A3.
⇒
)
)) ⇒ ((
) ⇒ ((
A4. (∀x )
⇒
⇒
) ⇒ ( ⇒ ))
)⇒ )
(x ) ⇒ (t ) , dove x è una variabile libera in (x ) e (t ) è il risultato della sostituzione
di t ad x in (x ).
A5. ((∀x )( ⇒
)) ⇒ (
⇒ (∀x )
)
Come precedentemente precisato si tratta in realtà di schemi di assiomi ciascuno rappresenta infiniti
assiomi che si ottengono sostituendo effettive fbf ai segni metalinguistica che le rappresentano.
Per brevità continueremo a chiamare assiomi anche gli schemi di assiomi, con l’avvertenza che ove
figurino segni metalinguistica, questi possono essere sostituiti con altri segni o espressioni che
denotano fbf . A tale scopo diremo sostituzioni valide quelle che rispettano le seguenti regole:
1. Ad una lettera che sia schema di fbf si può sostituire una fbf o uno schema di fbf ;
quest’ultima può essere una lettera o un’espressione costruita con le regole di
formazione ammesse.
2. A lettere tra loro uguali, all’interno di uno stesso schema di fbf , si possono solo
sostituire fbf o schemi di fbf che siano tra loro uguali.
Se
è uno schema di fbf in cui compaiono le lettere
… come schemi di fbf , allora si
indica con “ Sost( → ; → ; …) in ”, il risultato della sostituzione in delle lettere , ,
… con
,…
Discorso analogo potrebbe essere fatto per le sostituzioni sui segni che rappresentano termini, e in
particolare sui segni di variabile individuale. Riteniamo però che il tutto sia abbastanza ovvio per lo
studente e che non sia necessario dilungarsi ulteriormente.
2. Assiomi propri della teoria: Variano da teoria a teoria.
REGOLE DI DERIVAZIONE
1. Modus Ponens (MP): se e
sono fbf, allora , ( → ) |_
2. Generalizzazione (Gen): se A è una fbf e x un segno di variabile idividuale allora
|_ (∀x ) .
Il segno |_ sopra utilizzato si dice segno di derivazione ed è ovviamente anch’esso un segno
metalinguistico che stabilisce un rapporto tra le formule che lo precedono e la formula che lo segue.
Diamo ora alcune importanti definizioni che stabiliscono con esattezza ciò che in una teoria formale
debba intendersi per dimostrazione, teorema, derivazione e conseguenza logica.
Dimostrazione. Si dice dimostrazione un elenco finito di fbf tali che per ogni fbf che vi compare
vale una delle seguenti possibilità:
1. è un assioma1 .
2. è un teorema precedentemente dimostrato.
3. è ottenuta per applicazione di MP o Gen su formule precedenti dello stesso elenco.
Teorema. Si dice teorema ogni formula che appartiene ad una dimostrazione2.
Derivazione. Si dice derivazione da un insieme di fbf H = { , ,...}, un elenco finito di fbf tali che
per ogni fbf che vi compare vale una delle seguenti possibilità:
1. è un assioma .
2. è un teorema precedentemente dimostrato.
3. è una delle fbf appartenenti all’insieme H.
4. è ottenuta per applicazione di MP o Gen su formule precedenti dello stesso elenco.
Le fbf appartenenti ad H si dicono ipotesi. Una derivazione è ovviamente una dimostrazione se H è
vuoto.
Conseguenza logica. Una fbf si dice conseguenza logica di un insieme H di ipotesi se appartiene
ad una derivazione da H. Diremo inoltre che una conseguenza logica di H è effettiva se non è
conseguenza logica di un sottoinsieme proprio o vuoto di H. E’ immediato che una conseguenza
logica di un insieme vuoto è un teorema.
Una teoria contenente solo assiomi logici si dice essere un calcolo. In particolare si dice essere un
calcolo dei predicati se sono presenti tutti i segni, gli assiomi logici e le regole di derivazione
1
Ovviamente, giusto le precedenti avvertenze, può trattarsi di uno schema di assiomi o essere ottenuto da uno schema
di assiomi mediante sostituzioni valide. Nel seguito non ripeteremo più quest’avvertenza.
2
E’ appena il caso di osservare che, per questa definizione, gli assiomi stessi sono teoremi.
descritte sopra. Si dice un calcolo degli enunciati se non sono presenti segni di quantificazione, i
relativi assiomi e la regola di generalizzazione. Un calcolo degli enunciati è quindi quello che si
ottiene assumendo gli assiomi A1., A2., A3. e il solo Modus Ponens come regola di deduzione.