Programma di Analisi Matematica 2

Programma di Analisi Matematica 2
Ingegneria delle Telecomunicazioni A.A. 2007-08
Prof. F. Battelli
1. Funzioni di più variabili. Vettori in Rn . Operazioni coi vettori. Prodotto scalare, norma e
loro proprietà. La diseguaglianza di Cauchy Schwartz. La diseguaglianza triangolare. Elementi di topologia
in Rn : intorni sferici, intorni, aperti, chiusi, regioni. Punti di accumulazione. Definizione di limite di
una funzione di più variabili a valori reali o vettoriali. Limite di una funzione a valori vettoriali e limiti
delle componenti. Coordinate polari, sferiche. Limiti lungo un direzione. Criterio di esistenza del limite.
Funzioni continue. Algebra dei limiti e delle funzioni continue. Continuità della funzione composta. Teoremi
sulle funzioni continue (Weierstrass, zeri, ecc.). Elementi di Algebra Lineare. Prodotto di una matrice per
un vettore, prodotto fra matrici. Matrici invertibili. Determinante di una matrice quadrata. Derivabilità
e differenziabilità di funzioni di più variabili. Differenziabilità di funzioni a valori vettoriali. La matrice
Jacobiana. Continuità delle funzioni differenziabili. Il Teorema del gradiente. Differenziabilità della funzione
composta e sua matrice Jacobiana. Algebra delle funzioni differenziabili. Teorema del differenziale totale.
Teorema della derivata totale. Massimi e minimi di funzioni di più variabili. Massimi e minimi interni:
condizione necessaria del primo ordine. Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Derivate successive. Il Teorema di Schwartz. Massimi e minimi interni: condizioni necessaria e sufficiente
del secondo ordine. Campi vettoriali. Lavoro di un campo di forze e integrali curvilinei di seconda specie.
Dipendenza dalla parametrizzazione. Campi conservativi e loro potenziale. Calcolo del potenziale di un
campo conservativo. Campi irrotazionali. Il linguaggio delle forme differenziali.
2. Integrali Multipli. Integrale di Riemann su un rettangolo. Esempi di funzione non integrabili.
Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità su plurirettangoli e su domini più generali. Additività
dell’integrale rispetto al dominio di integrazione. Domini misurabili alla Peano-Jordan e loro misura. Misurabilità di domini normali. Integrabilità delle funzioni generalmente continue su domini PJ-misurabili.
Proprietà (additività, linearità monotonia ecc.) dell’integrale di Riemann. Il teorema della media integrale.
Misura di un insieme PJ-misurabile. Formule di riduzione sui rettangoli e su domini normali. Inversione
dell’ordine di integrazione. Formula di Gauss-Green in un dominio normale rispetto all’asse y e in domini
normali rispetto ad entrambi gli assi. Il teorema di Stokes e il teorema della divergenza. Passaggio al limite
e derivazione sotto il segno di integrale. Domini stellati. Domini convessi. Il teorema di Poincaré sui domini stellati. Campi irrotazionali e campi localmente conservativi. Domini s-decomponibili. La formula di
Gauss-Green in domini s-decomponibili. Esattezza delle forme differenziali chiuse in domini non semplicemente connessi. Superfici regolari in R3 . Vettore normale e piano tangente ad una superficie. Area di una
superficie ed integrali superficiali. Area di una superficie di rotazione. Superfici orientabili e superfici con
bordo. Orientazione del bordo di una superficie orientabile. Il teorema di Stokes su una superficie orientabile
generalmente regolare. Il teorema della divergenza in R3 .
3. Equazioni differenziali. Generalità sulle equazioni differenziali. I teoremi di esistenza di Peano
e di esistenza e unicità di Cauchy. Condizione sufficiente per la Lipschitzianità. Intervallo massimale delle
soluzioni. Equazioni a crescita sublineare. Equazione di Volterra e ricerca dei punti fissi. Equazioni lineari,
scalari, del primo ordine e loro risoluzione. Principio di sovrapposizione. Equazioni lineari di ordine n.
Principio di sovrapposizione. Integrale generale delle equazioni omogenee e delle equazioni non omogenee.
Matrice Wronskiana e determinante. Il teorema di Liouville. Equazioni lineari a coefficienti costanti.
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