Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
Abstract
In this paper we show arithmetic with general forms 6n + 1 of prime numbers
Riassunto
In questo lavoro tratteremo l’aritmetica e più in generale la matematica, con le
forme generali 6n + 1 dei numeri primi, tranne il 2 e il 3 iniziali, anche in merito
alle congetture interessate: Goldbach, numeri primi gemelli, Polignac, ecc. e
indicando nei riferimenti i nostri lavori precedenti in merito. Allegheremo
una nostra nota storica su Pietro Bongo, il matematico del ‘500 che per primo
ha scoperto le forme numeriche 6n + 1
Su tali forme sono stati elaborati di recente anche test di primalità e metodi di
fattorizzazione, reperibili sul Web.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Tutti i numeri primi tranne il 2 e il 3, e tutti i composti puri (cioè senza i fattori
2 e 3) sono della forma generale:
P =
6n + 1
1
Eseguendo ora le quattro operazioni aritmetiche tra numeri primi (maggiori
di 3), e usando questa loro forma generale, si trovano altre possibili soluzioni
o conseguenze interessanti per le ex-congetture di Goldbach, dei numeri gemelli
infiniti, del problema ternario di Goldbach, della differenza pari tra due
numeri dispari (Congettura di Polignac, l’opposto della congettura di
Goldbach) con caso particolare d = q – p = 2 per i numeri gemelli, ecc.
congetture da noi ormai parzialmente o totalmente risolte, (vedi riferimenti
finali) abbiamo:
1)
AD D I ZIONE
B I N A R I A (Goldbach)
N pari come somma tra due numeri primi: N = p + q
Fatti salvi 4 = 2+ 2,
6=3 + 3, 8 =5 + 3, che soddisfano la congettura di
Goldbach, a partire da N = 10 = 5 + 5 ( ma anche 3 + 7, l’altra coppia di
Goldbach per N = 10) si può usare la forma generale con
N = p + q,
che si può scrivere quindi anche come:
N= (6*m +-1) + (6*n+-1) = 6*m+6*n +-1 +-1 = 6 (m+n) +-0 = 6(m+n)
(a)
N=
(b)
“””
“””
“”””
=6 (m+n) +-2
Poiché m ed n, essendo numeri naturali, sono infiniti, ci potrebbero
essere infinite coppie m ed n tali da coprire tutti gli N pari come
possibili somme di numeri primi con m ed n come coefficienti nella loro
forma generale p=6*m+-1
e
q= 6*n+-1 (e in effetti ciò accade G(N) volte
per ogni N pari, con G(N) = numero delle coppie di Goldbach che soddisfano il
2
teorema di Goldbach per un N dato, con G(N) sempre crescente al crescere di
N , anche se con oscillazioni apparentemente irregolari; ma mai si ottiene
G(N) = 0, cioè la soluzione negativa, come dimostriamo nella
nostra soluzione positiva (Riferimenti finali).
Per esempio, se prendiamo i due numeri primi 17 e 29, N = 17 + 29 = 46;
ma si potrebbe scrivere anche, con la forma generale dei primi:
N = 6*3 - 1 + 6*5- 1 = 6 ( 3 + 5) -1 -1 = 6 * 8 - 2 = 48 – 2 = 46
(b)
Se invece prendiamo 17 e 31, (con forma diversa), N = 48, poiché -1 e +1
si annullano a vicenda, il chè elimina poi il - 2 o il + 2 finale della forma (b):
N = 6*3-1 +
6*5+1 = 6(3+5) -1 +1 = 6*8 = 48
forma (a).
Caso limite interessante: quello dei numeri primi gemelli, nei quali m = n
e quindi:
N = 6*m -1 +
6*m +1 = 2 * 6 * m = 12 * m
(sempre di forma (a)
ed N quindi sempre multiplo m di 12, ma non viceversa (non tutti i multipli i
12 sono somme di numeri gemelli, per es. 48 = 23 + 25 con 23 primo e 25 = 5*5
composto). N pari multiplo di 12 e somma di due numeri gemelli p e q solo
quando questi condividono m = n come coefficiente unico tale che p=6*m -1 e
q = 6*m +1 sono entrambi primi.
Per ogni N pari maggiore di 10, esiste almeno una coppia m ed n che formano
due numeri primi p e q tali che p + q = N, e che quindi G sia sempre maggiore
di 1 ( G(N)=1 anche per 4, 6 e 8) e quindi la congettura di Goldbach è
confermata anche per questa via: tutti i numeri pari sono somme di forma
3
alternata (a) e (b) di due numeri primi con segni algebrici - -, - +, + +, + nella forma generale di p e (il primo segno riguarda p, il secondo riguarda q).
cosicché tutti i numeri pari sono soddisfatti, anche i multipli di 12 che sono
spesso anche la somma di due numeri primi gemelli, con in tal caso N/2 + 1
sono entrambi primi; per es. N = 36, con 36/2 -1 = 17 e 36/2 +1 = 19 entrambi
primi e quindi anche gemelli.
Ma per i gemelli è molto più importante la differenza pari d = 2, come
vedremo subito, e la loro infinità, e quindi l’infinità delle differenze minime
d = q – p = 2, che sembra molto importante ai fini della dimostrazione della
congettura di Polignac (Riferimento finale 1).
2)
DIFFERENZA
BINARIA
(Polignac; opposto della congettura di Goldbach)
N pari come differenza q – p , e cioè N = q – p.
Dimostrazione simile per l’addizione binaria precedente, ma con
N = 6 (n-m)
N = 6 (n-m) +-2
Poiché
(forma (a))
(forma (b))
N = (6*n +-1) - (6*m-1) = 6(n-m) , oppure 6(n-m) +-2.
Caso limite interessantissimo: i numeri primi gemelli con differenza d = 2
poiché, essendo sempre, per loro e solo per loro, m = n, N è sempre N = 6(mm) = 6 * 0 = 0, e poiché i segni sono + e – sono opposti, diventano, + e + nella
forma (b), e quindi + 1 + 1 = 2; esempio di differenza tra due qualsiasi
4
numeri gemelli, per es. 19 e 17, per i quali q – p = 2 = 19 - 17 = 2, il chè si
potrebbe scrivere anche come:
N = q – p = 19 - 17 = (6 * 3 + 1) - (6 * 3 – 1 ) = 6(3-3) + 2 =
18 +1 – 18 + 1 = 18– 18 + 1 + 1 = 0 + 2 = 2 qual che sia il coefficiente m in
comune; in questo caso m = 3.
3)
PROBLEMA
T E R N A R I O O CONGETTURA
DEBOLE D I
GOLDBACH
N = p+ q + s = 6(m+n+r) +1
forma (a)
N = p + q + s = 6 (m + n + r) + 3
forma (b)
Salvo i casi N = 7 = 2 + 2 + 3
N = 9 = 3 + 3 + 3
N = 11 = 3 + 3 + 5
N = 13 = 5 + 5 + 3
per i quali, pur non essendo i numeri primi 2 e 3 di forma diversa dalla
forma generale 6*n + 1, la congettura è ugualmente soddisfatta.
Abbiamo un lavoro anche in corso su questa congettura (che se fosse vera
comporterebbe anche la verità della congettura forte di Goldbach).
Poiché la somma di tre primi è anche la somma di un numero pari qualsiasi, che
è già la somma di due numeri primi (per la soluzione positiva
5
di Goldbach) più un terzo numero primo qualsiasi dispari, mostriamo che
ogni numero dispari N è la somma di tre numeri primi, almeno una volta , e
tante più volte al crescere di N.
Unico esempio per tutti:
N = p + q + s = (6*m+1) + (6*n+1) + (6*r+1) = 6(m+n+r) + 1; 6(m+n+r)+3
N = 49 =7+13+29= (6*1+1) + (6*2+1)+( 6*5-1) = 6(1+2+5) +1 =6*8+1=48+1=49
Questo lavoro, non richiede il numero minimo enorme 10^43000
“previsto” da Chen e Wang nel 1989, riducendo il numero altrettanto enorme
3^14348907 di Borodzkin nel 1956 (notizia tratta dall’articolo web
“Prime Conjectures and Open Questions” di Chris K. Caldwell, al sito
http://www.utm.edu/research/primes/notes/conjectures/)
e nemmeno della dimostrazione della congettura di Riemann, come scrive
Marcus du Sautoy nel suo libro “L’Enigma dei numeri primi” (Rizzoli Ed.)
Il nostro numero minimo per soddisfare la congettura è soltanto 7 = 2+2+3.
4)
MOLTIPLICAZIONE
BINARIA
N = p * q = (6*m+-1)* (6*n+-1) = 36*m*n +-6*m+-6+n+-1
Come caso interessante, ancora quello dei numeri gemelli: poiché per essi
m = n, si avrà, in ogni prodotto N = p*q con p e q gemelli, che N = 36*m^2 – 1,
per cui diventa facilissimo fattorizzare un prodotto tra gemelli, cercando
m^2 = (N + 1)/ 36, da cui m =
√ (N+1)/36,
e quindi p = 6*m -1
e
q = 6*m +1 (oltre che √(N+1)+-1, per esempio N = 17 * 19 = 323;
6
m = √(323 +1)/36; oppure p = √ 323 +1 -1 = 18 – 1 = 17, e q = 18 + 1 = 19,
con 17 e 19 entrambi primi e gemelli.
Questa proprietà dei prodotti tra numeri gemelli diventa così
molto importante per altre congetture sui numeri primi, alle quali dedicheremo
eventuali futuri lavori.
Un teorema collegato al prodotto tra due primi qualsiasi (tranne il 2 e il 3) è il
nostro cosiddetto teorema del sesto:
s = (N +1 )/6 = p*n + m = q*m + n
Esempio unico per tutti :
N = 11 * 53 = 583,
s = 97 = 11*9 -2
m = 2,
n = 9, s = (583 - 1)/6 = 97
= 53*2 - 9 = 97.
Ogni prodotto tra due primi ha quindi la sua coppia m ed n, oltre che alla
coppia banale m = 0 ed n = s, tali che 6*0 + 1 = -1 e + 1 (considerabili
anche questi gemelli di tipo particolare, poiché 1 – ( - 1) = 1 + 1 = 2 è la loro
differenza, mentre la loro somma è 1 + (-1) = 1 – 1 = 0 = 12*0 = 0,
come da regola generale (vedi punti precedenti su addizione e differenza tra
due numeri primi) .
I numeri primi, invece, hanno la sola coppia banale m = 0 ed n = s = (N + 1)/6,
poiché, valori danno i soli fattori banali 1 = 0 + 1 =1 e 0 -1 = -1, N = 6*s + 1,
e cioè i fattori banali 1 e se stesso.
I composti puri, viceversa, hanno fattori propri diversi da 1 e se stessi, poiché
per essi esistono coppie di m ed n non nulle, una coppia soltanto per soli due
numeri primi tali che:
p*q = N, più coppie di m ed n diversi per coppie di fattori diversi per
7
N = p*q = p’ * q’.
Per esempio N = (7*11)*(29*17) = (7*29)* (11*17) = 37961
N = 77 * 493 =
203 * 187
= N = (6*13 -1) * (6*82+1) = 77*483
= 37961 con m = 13 ed n = 82;
N = (6* 34-1) *( 6*31+1) =
203*187 = 37961 con m = 34 ed n = 31,
Anche 1 e -1 obbediscono alla forma generale dei primi, ma per m = 0,
poiché N = 1 = 6*0 + 1 = 0 + 1 = 0 - 1 e quindi, in via generale, 1 e -1
possono essere considerati anch’essi numeri primi puri (diverso cioè da 2 e
da 3), e qualsiasi potenza o prodotto di 2 e di 3 può essere considerato il
prodotto di 2, di 3 e di 1 come fattore “puro”, per es. 6 = 1*2*3 oltre che solo
2*3.
La moltiplicazione di numeri primi molto grandi ma paragonabili come
grandezza è, com’è noto, alla base della crittografia RSA
5)
D IVISIONE TRA DUE NUMERI PRIMI
Per la divisione tra due numeri primi q/p = 6n + 1/6m + 1 le cose sono
un po’ più complicate, poiché il risultato non è mai, per ovvi motivi, un numero
intero.
Però, aggiungendo o sottraendo 1 a “q” e a “p”, con p e q numeri primi
vicini , il risultato diventa intero o semintero. Per es. 19/5 diventa (19-1) /
(5+1) = 18/6 = 3, mentre 19/13 => 18/12 = 1,5 ; oppure 37/11 => 36/12 = 3,
oppure 35/23 => 36/24 = 1,5 e cosi via.
17/5 = 3,4 ma se aggiungiamo 1 a 17 e 1 a 6, in modo da avere entrambi multipli
8
di 6, abbiamo 18/6 = 3.
17/11= 1,54 ma se aggiungiamo 1 a 17 e 1 a 11 abbiamo 18/12 = 1,5 semintero
59/13= 4,53, ma con 60/12 = 5. Comunque, la cosa è, o sembra, poco utile.
Il rapporto diretto r = q/p è importante poiché, secondo un nostro teorema
fondamentale della fattorizzazione veloce ancora allo studio per una sua
dimostrazione:
p, n=√N e q sono una terna di una progressione geometrica, di numero fisso
r’ =√r =√q/p tale che p*r ≈n, n*r’ ≈ e quindi anche n/r’≈ p ed n*r’≈ q, con
piccoli esempi per N = 29073 = 127*229; r = 229/127= 1,80, r’ =√1,80 =1, 3416
n =√29083=170,53: p ≈ 170,53/1,3416= 127,10 ≈ 127,
q ≈ 170,53*1,3416 =228,78 ≈ 229
La fattorizzazione veloce come problema NP, quindi, è equivalente a quello di
trovare r’, ma conoscendo solo N = p*q ma non p e q, il problema è altrettanto
difficile. Troviamo solo che per i numeri RSA, essendo il rapporto massimo
r = q/p ≈ 2,25, ne consegue che per questi numeri N =p*q, p si trova sempre
dal 67% di n =√N al 100% di n = n, risparmiando così il 67 % dei tempi di
calcolo previsto per quel Numero RSA.
La percentuale è calcolata in modo attendibile con la formula Percentuale =
1/√r.
Per r = 2,25, ne consegue che p ≈ 2n/3 e q ≈ 3n/2, essendo 2/3 = 0,666…=1/1,5, e
0,6666 = corrisponde al 66,666….≈ 67% di percentuale minima per i numeri
RSA (vedi Rif. 10)
9
Riferimenti
Per l’addizione di due numeri primi (Goldbach)
1) Turco, Rosario and Colonnese, Maria and Nardelli, Michele and Di Maria, Giovanni and
Di Noto, Francesco and Tulumello, Annarita (2008) Goldbach, Twin Primes and Polignac
Equivalent RH, the Landau’s prime numbers and the Legendre’s conjecture. Mathematical
connections with “Aurea” section and some sectors of String Theory. Dip.Sc.TerraDip.Matem.Unina . (Unpublished)
2) Turco, Rosario and Nardelli, Michele and Di Maria, Giovanni and Di Noto, Francesco and
Tulumello, Annarita and Colonnese, Maria (2008) Numeri primi in cerca di autore - Goldbach,
numeri gemelli, Riemann, Fattorizzazione. sito Aladdin's Lamp .
3) Nardelli, Michele and Di Noto, Francesco and Di Maria, Giovanni and Tulumello,
Annarita (2007) NOTE SU UNA SOLUZIONE POSITIVA PER LE DUE CONGETTURE DI
GOLDBACH. Dip.Sc.Terra e Dip.Mat Unina
4) Nardelli, Michele and Di Noto, Francesco (2007) Nota sulla "Connessione Goldbachgemelli-Polignac" e su "Una formula più precisa per una stima logaritmica dell'N° numero
primo.
Tutti sul sito
http://eprints.bice.rm.cnr.it/view/creators/Nardelli=3AMichele=3A=3A.html
http://eprints.bice.rm.cnr.it/view/subjects/510.html#group_N
5)” NOVITA ‘ SULLA CONGETTURA DEBOLE DI GOLDBACH”
Gruppo “B.Riemann”
Francesco Di Noto,Michele Nardelli sul sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
6) “I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione definitiva
della congettura di Goldbach (nuove evidenze numeriche)”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, idem
10
Per la differenza tra due numeri primi (Polignac)
Vedi Rif. 2) e 4) per la somma
Per la moltiplicazione e la divisione (fattorizzazione)
7) “PROPOSTA DI FATTORIZZARE IL NUMERO RSA- 2048
(cercando p tra il 70 % e il 71% della sua radice quadrata,
corrispondente ad un rapporto r = q/p ≈ 2)”
Gruppo “B. Riemann
Nardelli Michele, Francesco Di Noto sul sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
8) “I NUMERI RSA : UNA PICCOLA STATISTICA SUI
RAPPORTI r = q/p E RELATIVE OSSERVAZIONI
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto , Michele Nardelli. idem
Per quanto riguarda le forme 6k+1 e numeri primi particolari:
9 ) I numeri primoriali p# alla base della
dimostrazione definitiva della congettura di
Goldbach (nuove evidenze numeriche)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Di prossima pubblicazione
10)” TEORIA COMPUTAZIONALE DEI NUMERI E IL
PROBLEMA P = NP: i tempi di calcolo per la fattorizzazione come
sottoproblema di P = NP, in particolare per i numeri RSA con la
congettura forte “ p’ primo minimo = 2n/3 ≈ 67% di n = √N”
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
11
11) “ TEST DI PRIMALITA , FATTORIZZAZIONE E (N) CON
FORME 6k±1” ing. Rosario Turco, dott. Michele Nardelli, prof.
Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, prof.Annarita Tulumello.
Sul sito eprints.bice.rm.cnr.it/508/1/TP6N1.pdf -
Nota 1
I numeri p come esponenti
NUMERI DI MERSENNE . Da Wikipedia, parzialmente:
“Numero primo di Mersenne
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Un numero primo di Mersenne è un numero primo esprimibile come:
con n intero positivo primo.
I numeri primi di Mersenne prendono il nome dal matematico francese Marin Mersenne (15881648). Mersenne compilò una lista di numeri primi di questo tipo considerando tutti i valori di n
e
(che non sono primi),
fino a n=257. Tale lista conteneva però alcuni errori: includeva
mentre non comparivano
,
e
(che sono primi).
I primi dodici numeri primi di Mersenne sono:
….
Come vediamo, gli esponenti di 2 sono tutti numeri primi, e si può
scrivere anche 2p. Mentre tutti i numeri di Mersenne, tranne il 3
iniziale, sono di forma 6k +1, i numeri primi p ad esponente sono,
12
tranne il 2 e il 3 iniziali, di entrambe le forme
Riferimento ad un nostro lavoro precedente:
“Connessione
tra Repunit, numeri di Mersenne e Congettura di Collatz”
A cura di Francesco Di Noto
(http://www.gruppoeratostene.com/)
Eugenio Amitrano
( http://www.atuttoportale.it/)
I numeri di Mersenne sono connessi ai ben noti numeri perfetti pari,
di forma 2n · (2n+1 - 1) , con il secondo termine numero primo di Mersenne
I numeri perfetti dispari non possono esistere
“I NUMERI PERFETTI DISPARI
(proposta di dimostrazione della loro inesistenza)
Gruppo “B. Riemann”
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
STUDIO SUI NUMERI PERFETTI E NUMERI PRIMI
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto
Abstract
In this paper we show that Perfect numbers are even only plus many other interesting relations.
Connessione con la periodicità dei numeri primi p, legata a p-1 ,
anche in base alle forme 6k+1, e con una possibile fattorizzazione
13
veloce .
IL PICCOLO TEOREMA DI FERMAT
Parzialmente, da Wikipedia
“Piccolo teorema di Fermat
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Il piccolo teorema di Fermat dice che se p è un numero primo, allora per ogni intero a:
Questo significa che se si prende un qualunque numero a maggiore di 1, lo si moltiplica per se
stesso p volte e si sottrae a, il risultato è divisibile per p (vedi aritmetica modulare). È spesso
espresso nella forma equivalente: se p è primo e a è un intero coprimo rispetto a p, allora:
È chiamato il piccolo teorema di Fermat per differenziarlo dall'ultimo teorema di Fermat.
Il piccolo teorema di Fermat è la base del test di primalità di Fermat. ...”
si rimanda a tali voci per maggiori dettagli
Numeri primi sotto radice quadrata
Congettura di Andrica
parzialmente da Wikipedia:
“Congettura di Andrica
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
14
La congettura di Andrica è una congettura della teoria dei numeri, riguardante gli intervalli tra due
successivi numeri primi, formulata dal matematico romeno Dorin Andrica nel 1986. Afferma che,
per ogni coppia di numeri primi consecutivi pn e pn+1, si ha
Se poniamo
, allora la congettura può essere riscritta come
semplicemente spostando
a destra ed elevando entrambe le quantità al quadrato.
La congettura è stata verificata empiricamente per tutti i numeri primi minori di
.[1] …”
nostro riferimento:
“Miglioramento e Nota correttivaProposta di DimostrazioneCongettura di
Andrica”
Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli, Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto,
Annarita Tulumello, sul sito
eprints.bice.rm.cnr.it/1412/1/Cramer.pdf -
Dalla quale ne è seguita la :
Proposta di Dimostrazione
Congettura di Cramer - Shank
Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli, Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto,
Annarita Tulumello
Abstract
In this paper we propose a simple demonstration of Cramer - Shank, as demonstrated using
in[4] on the conjecture Andrica proved true.
Una conseguenza della congettura di Andrica
(cambiando il segno – con il segno *, è che, dato N = p*q,
√p*√q ≈ √N per esempio 29083 = 127*229, √29083 = 170,53
√127=11,2694276695 229= √15,1327459504
e 11, 2694276695 *15, 1327459504 = 170, 53, con =0,53 parte
decimale della radice quadrata di un numero composto non quadrato
perfetto.
15
Questo potrebbe aiutare, quando la parte decimale è in sintonia con il
rapporto r = q/p (e cioè sempre per rapporti piccoli r ≈ 1, più
raramente per rapporti più grandi, fino a 2,25), a dimostrare la
nostra ipotesi percentuale (Rif. Finali) per una fattorizzazione più
veloce.
Numeri primi a denominatore
Numeri p – adici, parzialmente da Wikipedia
Numero p-adico
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
…
Il sistema dei numeri p-adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni
numero primo p, il sistema dei numeri p-adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo
differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo
strumento viene fatto nella teoria dei numeri.
…
Costruzione
Approccio analitico
L'approccio analitico consiste nel considerare all'interno di
norma p-adica definita da:
16
non la norma euclidea, ma appunto la
dove
è scritto in forma irriducibile,
, con a, b e p interi.
tale che
,
…”
Come possiamo vedere, i numeri p - adici si possono identificare come gli
inversi delle potenze di p tramite la norma p-adica.
FUNZIONE ZETA DI Riemann.
Parzialmente, da Wikipedia:
.
“Ipotesi di Riemann
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
…
Rapporti con la teoria dei numeri primi
Il primo legame tra la funzione zeta e i numeri primi era già stato scoperto da Eulero, che notò che
per ogni numero reale maggiore di 1, vale la formula prodotto di Eulero,
dove, nella produttoria, p spazia tra tutti i numeri primi….”
Dove vediamo ancora p a denominatore
RIFERIMENTI
Tutti gli articoli del nostro sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/ dedicati all’ipotesi di
Riemann.
17
Recentemente,
“STUDY ON THE RIEMANN ZETA FUNCTION”
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli1,2, Francesco Di Noto
Abstract
In this paper we show some connections between hyperbolic cotangent ctnh (x) and Riemann
zeta function plus many other interesting relations. Furthermore, we show also some possible
mathematical connections between some equations concerning this thesis and some equations
regarding the zeta-strings and the zeta nonlocal scalar fields.
con la funzione zeta connessa alla cotangente iperbolica, come
accennato nell’abstract.
Circa l’ipotesi di Riemann, una nostra proposta di dimostrazione
dell’ipotesi equivalente RH1 si basa sui fattoriali, di forma 6k .
Riferimenti
a)“ P R O P O S T A D I D IM O S T R A Z I O N E
DELLA
V A R I A N T E R I E M A N N D I L A G A R I A S ( RH1) (Ed
equivalente all’ipotesi di Riemann RH, con RH1 = RH)”
Francesco Di Noto e Michele Nardelli
sul sito empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/nardelli.pdf
b)” L’ equivalenza di Lagarias RH1 = RH esaminata
con i soli numeri fattoriali n = k !”
Francesco Di Noto e Michele Nardelli
sul sito
eprints.bice.rm.cnr.it/481/1/Nardelli_24.pdf -
Nota storica su Pietro Bongo:
18
NOSTRA BREVE NOTA STORICA SULLE FORME 6k+1
Sul sito web del Prof. Gianfranco BO :
http://digilander.libero.it/basecinque/numeri/primibungus.htm
abbiamo recentemente trovato l’articolo “Numeri primi e
tabellina del 6” con annessa riproduzione della pagina
riguardante la citazione del Bungus, unitamente al frontespizio
del “Numerorum Mysteria” (del 1599), nella quale si scrive,
forse per la prima volta nella storia della matematica, delle
forme 6+1 dei numeri primi. Rimandiamo al suddetto sito per gli
appassionati di storia.
Qui riporteremo solo il brano in latino, con relativa
traduzione (dal suddetto sito del Prof. G. Bo):
“ …semper…numeri primi post binarium et ternarium, in
senariorum multiplicium vicina collocati comperiuntur, aut uno
minores, aut uno majores”
(Vedi anche nota precedente del Dott. Fabio Marinelli)
Traduzione:
“tutti i numeri primi maggiori di 3 e di 2 sono vicini alla
19
tavola moltiplicativa del 6 e sono del tipo 6k+1 o 6k - 1”
Questo perché ogni tanto qualcuno scopre indipendentemente
Le forme 6k + 1 e, non conoscendo la suddetta “precedenza
storica” del Bungus (Pietro Bongo) per questo vecchio teorema
matematico, crede e scrive, in perfetta buona fede, di essere
stato il primo ad averle scoperte.
Le forme 6k+1 in fisica
Le forme dei numeri primi 6k+1 sono presenti anche in fisica, e
precisamente nel numeri di Lie di forma 6k +1 e che poi sono alla base
dei cinque gruppi eccezionali di Lie, a loro volta alla base delle
simmetrie che regolano alcuni fenomeni fisici, specie quelli quantistici
(Modello Standard) Rif.2
Una breve Tabella, basata sull’equazione parabolica L(n) = n2 +n +1
n primo o
potenza di
primo
Numeri
primi di
Lie
1
3
2
7
Forma
6k+1
6*1+1
Multipli =
Gruppi di
Lie
Note
7*2 = 14=
G2
Gruppo di
simmetria
degli
ottonioni,
importanti
20
in fisica
3
13
6*2+1
13*4=52=
F4
13*6=78=
E6
4
21
composto
5
31
6*5+1
7
57
composto
31*8 = 248
= E8
Alla base
della TOE
di Garrett
Lisi (Rif.2)
Connesso
a E8
(nota1)
11
133
6*22+1
133*1=133=
E7
Come si vede, la Natura preferisce i numeri primi 7, 11, 13, e 31 come
numeri di Lie per le loro connessioni i relativi gruppi di simmetria
di Lie 14, 52, 78, 133 e 248 per regolare molti suoi fenomeni fisici.
Altri numeri che regolano alcuni fenomeni naturali sono i numeri di
Fibonacci F(n) e i numeri di partizioni p(n), entrambi molto vicini ai
numeri di Lie, peraltro coincidenti con 2T+1 dove T sono i numeri
triangolari (Rif.3).
Anche tra i numeri di Fibonacci e partizioni di numeri ci sono numeri
primi (segnati in rosso), ma ora sono di forma mista :
Numeri di Fibonacci:
21
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,
10946, 17711, 28657,…
Con:
5=6*1-1
13=6*2+1
89= 6*15-1
233=6*39-1
1597 =6*266 +1
28657 = 6*4776 +1
….
Partizioni di numeri:
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792,
1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, 6842, 8349, 10143, 12310,
14883, 17977, …
Con:
5 =6*1-1,
7 =6*1 +1
11=6*2 -1=
101= 6*17-1
17977= 2996*6 +1
…
22
Quindi entrambi con forma mista, a differenza dei più importanti
numeri primi di Lie, tutti di forma 6k +1.
Ricordiamo che i numeri di Lie sono sempre a metà strada (50%) tra
un quadrato all’altro, mentre i numeri di Fibonacci e le partizioni di
numeri sono generalmente e mediamente molto vicini ai numeri di
Lie, rispettivamente prossimi al 40% e al 60% dell’intervallo
quadratico. Per esempio i numeri 233 (Fibonacci), 231 (Partizione)e
241 (Lie) sono prossimi alla metà dell’intervallo tra 152=225 e
162=256
225 = 152
226
227
228
229
230
231 = numero di partizione
232
233 = numero di Fibonacci
234
235
236
237
238
23
239
240
241 metà strada = 241 numero di Lie
242
243
244
245
246
247
248 = E8
249
250
251
252
253
254
255
256 =162
I numeri interessati 231,233, 241 e 248 sono nella parte centrale
dell’intervallo tra 225 e 256, e così anche in tutti gli altri casi.
Non si capisce ancora bene perché la Natura cerca di evitare i
quadrati perfetti così come l’acqua di un fiume scorre tra due colline
vicine, invece di salirci sopra e scendere dall’altra parte; qui la
24
spiegazione è la forza di gravità sempre verso il basso, ma per la
Natura qual’ è la forza , o la necessità matematica, che evita i
quadrati perfetti?
Rif. 1) “Dai numeri primi alla realtà fisica attraverso i numeri primi, i
numeri di Fibonacci, i numeri di Lie (e relative simmetrie), le
partizioni di numeri, la funzione zeta, l’ipotesi di Riemann, e le teorie
di stringa (effetti quantistici microscopici e macroscopici)
“Gruppo B. Riemann”*
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
Rif.2) Studi ed osservazioni sul Gruppo di Lie E8
Gruppo ”B. Riemann”
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
Idem
Rif.3) “L’EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA:
n2 + n + 1 (alla base de numeri e dei gruppi di Lie, dei numeri di
Fibonacci, delle partizioni di numeri, delle simmetrie e delle teorie di
stringa”) (aggiornamento all’1.1.2012 con alcune tabelle finali)
GRUPPO ”B. RIEMANN”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
Rif.4)” Ipotesi su p < n come possibile percentuale di n = √N
per una fattorizzazione più veloce”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
(Gruppo “B.Riemann”)
Nota 1
Da “Successione di Fibonacci” paragrafo sulla chimica:
25
“In chimica
Recentemente in Germania scienziati internazionali hanno scoperto la comparsa del numero
aureo 1,618 insieme al gruppo di simmetria E8 in un composto chimico (niobato di cobalto),
portato artificialmente in uno stato quantistico critico (l'equivalente quantistico dei frattali).
Tramite il principio geometrico delle teorie di stringa si può trovare che i numeri di Fibonacci
conservano la simmetria e sono abbastanza vicinissimi ai "Numeri di Lie", sui quali, invece, si
basano i cinque gruppi eccezionali di simmetria G2, F4, E6, E7, E8.
E8 è proprio il gruppo coinvolto in tale recente ed importante scoperta. E8 ha dimensione 57,
che è un numero di Lie per n = 7, infatti 72+7+1=57, vicinissimo al numero di Fibonacci
55=72+7-1 (i numeri di Lie e i numeri di Fibonacci hanno quindi lo stesso DNA geometrico
(simmetria) e numerico corrispondente (parabola n2+n+1 per i numeri di Lie, n2+n+/-c con n
primo e c molto piccolo). Ma il numero 248, collegato a E8, è anche 248 = 152+15+8=225+15+8
con numero vicino di Fibonacci 233=152+15-7
(L’evidenza in rosso è nostra).
26
