NOZIONI DI STATISTICA
E. Rosin
Definizione : La parola “statistica” significa studio delle
caratteristiche di un gruppo, più o meno numeroso, per darne
una descrizione generale.
Per fare questo ci si disinteressa delle caratteristiche di un
singolo, ad esempio l’altezza media di una classe di alunni
può risultare di 1,70 m senza che nessun alunno sia alto proprio 1,70 m.
Ancora, si può interpretare questo dato statistico dicendo
che, misurando degli alunni presi a caso, risulterà improbabile che tutte le loro altezze si scostino molto da 1,70 m.
Si può intuire bene il significato dell’aggettivo “statistico”
considerando il suo contrario cioè “deterministico” che vuol
dire esattamente definito ed esattamente attribuito.
L’esempio più semplice è dire: “L’alunno Carletto Barilotti
(proprio lui) è alto 1,38 m e pesa 82,35 Kg”.
Talvolta si sente dire “stocastico” ma non ci si deve preoccupare perché stocastico è sinonimo di statistico nel senso che
non si può prevedere il risultato esatto di una misura ma se
ne sa la media.
La parola statistica prende origine da “stato” perché, nel 18°
secolo, i vari sovrani hanno cominciato ad ordinare degli studi per sapere quanto grano si poteva produrre, oppure quanti
soldati si potevano arruolare e via dicendo, appunto nei loro
stati.
Indicatori statistici : Si tratta di tutte quelle grandezze
che servono a caratterizzare, ovvero descrivere, una moltitudine, un gruppo numeroso, una popolazione ecc.
Gli indicatori statistici più comuni, ma non i soli, sono la
media, la moda e la mediana che poi saranno definiti.
Esempio n°1
Si abbia una produzione di pasticcini e un cliente si è lagnato del loro peso scarso, come si può verificare se ha ragione
o meno?
Evidentemente, non essendo i pasticcini tutti rigorosamente
uguali, non ha senso pesarne uno per verificare il peso ma bisogna ricorrere alla statistica.
L’intuizione suggerisce di mettere sulla bilancia molti pasticcini e dividere il peso per il numero di essi.
Così facendo, senza saperlo, si applica l’indicatore statistico “media” per rispondere alla contestazione del cliente.
Si immagini che, per contratto, il peso del pasticcino debba
essere di 65 grammi e che 125 pasticcini, presi a caso e messi
sulla bilancia, pesino 8113 g.
Risulta
Pmedio= 8113/125= 64,9 g
Ora, la protesta del cliente può essere accettata se nel contratto si prevedeva che il peso medio dei pasticcini variasse
meno di un decimo di grammo.
Esempio n°2
Le galline del vostro pollaio, tutte diverse tra loro, cominciano a deporre alcune uova leggere e sospettate che ciò possa
dipendere da un certo nuovo mangime.
Per accertarvene prendete 50 uova deposte al tempo del vecchio
mangime e ne confrontate il peso con quello di 60 deposte con
il nuovo, a parità delle altre condizioni, e risulta
P1
medio
= 3550/50= 71 g
P2
medio
= 4230/60= 70,5 g
Ora la differenza di peso tra un uovo e l’altro può essere,
per un’infinità di motivi, maggiore di 0,5 g e quindi la
differenza tra 71 e 70,5 g non è significativa.
Si può dire il nuovo mangime non ha effetto e che il calo del
peso di alcune uova dipende da altro.
Esempio n°3
Cento persone si ammalano di peste e vengono curate in ospedale dove 70 guariscono e le altre 30 restano ammalate.
Tutti sono stati curati con lo stesso farmaco e ci si chiede
come mai non siano guariti tutti.
Da un’indagine risulta che, dei 70 guariti, 60 bevono grappa
in abbondanza mentre dei 30 rimasti ammalati nessuno ne beve.
Per il resto non è stato possibile ricostruire i comportamenti
dei pazienti.
Si può dire, con buona probabilità, che la grappa rende più
efficace il farmaco.
LE MEDIE
Il lettore attento avrà notato che negli esempi precedenti si
sono viste delle medie, in omaggio alla definizione della statistica che non si interessa dei ”casi singoli”.
Media aritmetica.
Si tratta della media più comune e quando non si precisa nulla
si sottintende appunto questo tipo di media.
Vale la formula
m=(a1+a2+……………..+an)/n
dove gli a indicano le grandezze da mediare ed n è il numero
delle misure.
Esiste anche un’altra formula del tutto equivalente
m=(a)/n
dove il simbolo (sigma) significa “sommate tutti i valori
seguenti”.
Esempio n°1
Si calcoli l’altezza media fra queste sette persone
h1=1,75 m h2=1,85 m h3=1,83 m h4=1,48 m h5=1,73 m
h6=1,81 m h7=1,88
--
h=(1,75+1,85+1,83+1,48+1,73+1,81+1,88)/7=1,76 m
il trattino sopra la h significa valor medio
Esempio n°2
Si esegua una misura del diametro di un oggetto con uno
strumento molto preciso e si abbiano i seguenti risultati
20
15
17
32
volte
volte
volte
volte
1,546
1,544
1,542
1,547
cm
cm
cm
cm
Si calcoli il diametro medio.
--
d=(20*1,546+15*1,544+17*1,542+32*1,547)/(20+15+17+32)
--
d=1,545 cm
La media ponderata
Quando leggete la vostra pagella fate la media aritmetica dei
voti e vedete che prendere un bel voto in una materia piuttosto che in un’altra, oppure prendere un votaccio in una materia piuttosto che in un’altra, non cambia il risultato ma, in
realtà ci sono materie più difficili di altre che dovrebbero
quindi “pesare” di più sulla media.
Per risolvere questo problema è stata inventata la media ponderata in cui ad ogni valore è associato un numero detto
“peso”.
La formula è
Mp=(p1*v1+p2*v2+……………+pn*vn)/(p1+p2+…………….+pn)
dove v indica i valori da mediare (i voti per esempio) e p
indica i pesi.
Esempio
Nella scuola di Harry Potter si insegnano diverse materie, di
diversa importanza, e la tabella che segue è una pagella
Materia
Inglese
Matematica
Storia
Francese
Stregoneria
Malefici
Spiritismo
Malocchio
| voto
| 8
| 7
| 7
| 7
| 5
| 6
| 6
| 7
| peso
| 3
| 2
| 4
| 2
| 9
| 12
| 11
| 10
Il voto medio ponderato risulta
--
vp=(3*8+2*7+4*7+2*7+9*5+12*6+11*6+10*7)/(3+2+4+2+9+12+11+10)
--
vp= 6,3
la media risulta bassa perché nelle materie “professionali”,
stregoneria in particolare, i voti non sono alti.
La media geometrica
Di questo tipo di media si dà solo la formula per informazione
n__________________________________
mg= √a1*a2*a3*........an
_
Si ricorda che il simbolo √d =f (radice ennesima di d uguale
f) significa che fn=d cioè trovate quel numero che moltiplicato per sé stesso n volte dia proprio d.
n
La media armonica
Questa specie di media è utile agli elettricisti per calcolare
la resistenza elettrica complessiva se i resistori sono collegati in parallelo.
Vale la formula
ma=1/(1/a1+1/a2+1/a3........+1/an)
Esempio
Sia il seguente un circuito elettrico con le resistenze da 2
Ω, 4 Ω, 5 Ω e 6 Ω, se ne calcoli la resistenza complessiva.
2 Ω
4 Ω
5 Ω
6 Ω
Risulta
R=1/(1/2+1/4+1/5+1/6)= 1/(0,50+0,25+0,20+0,167)=0,89 Ω
La stessa formula vale per i condensatori connessi in serie.
Esercizi
Calcolate la media ponderata dei vostri voti dando un peso 8
ai moduli professionali, 4 all’italiano e all’inglese e 2 alle
altre materie e poi confrontatela con la media aritmetica.
Calcolate il numero medio di abitanti per ogni casa nel vostro
vicinato dando peso 1 agli umani, peso 0,6 ai cani e peso 0,5
ai gatti.
Calcolate il peso medio armonico nella vostra classe e confrontatelo con quello medio aritmetico.
La moda
Nel parlare comune si dice che un oggetto è di moda se molti
lo utilizzano e in statistica questo vocabolo ha quasi lo
stesso significato volendo dire che è il valore seguito dal
sottogruppo più numeroso di una popolazione.
Esempio n°1
Osservando la tabella si vede che, in un certo periodo, sono
state vendute delle scatole, di vario peso, di cibo per gatti.
Peso delle scatolette
Scatolette vendute
50 g
25
100 g
30
150 g
60
200 g
80
250 g
75
300 g
64
350 g
50
Le scatolette più vendute sono state quelle da 200 grammi e
allora si dice che 200 è il valore “modale” o di moda.
Esempio n°2
Nello stesso periodo si è fatta stessa osservazione riguardo
le scatolette di cibo per cani.
Peso delle scatolette
Scatolette vendute
50 g
12
100 g
17
150 g
50
200 g
70
250 g
76
300 g
82
350 g
60
Il valore di moda è stato 300 grammi.
A cosa può servire confrontare le mode?
In questo caso si può dedurre, dal confronto delle mode, che
il “cane medio” dei clienti di quel negozio consuma 1,5
(300/200) volte la quantità di cibo mangiata dal “gatto medio”
ovvero le famiglie possiedono dei cani che, in maggioranza,
non sono molto più grandi dei gatti, almeno nell’ipotesi che i
cani mangino in proporzione alla loro stazza.
Ancora, la moda di 200 grammi per i gatti corrisponde ad 80
scatolette vendute e quella per i cani a 82 così si conclude
che il numero di famiglie che ha il cane è quasi pari a quello
di famiglie che ha il gatto.
Esercizi
Guarda gli astucci dei tuoi compagni e vedi qual é il valore
modale del numero di penne poi confrontalo con il valor medio.
Ricava, dalla tabella, l’anno di moda del grano e del mais.
Anno
Grano in tonn.
Mais in tonn.
1950
20,0
7,5
1951
18,5
9,0
1952
22,5
10,0
1953
25,0
8,5
1954
24,0
8,0
1955
19,5
10,0
1956
21,0
11,0
1957
22,5
10,5
1958
25,0
9,5
1959
23,0
11,0
1960
23,5
10,0
La mediana
E’ molto facile farsi ingannare dal nome e credere che “mediana” sia sinonimo di valore medio ma non è così.
La mediana è quel valore, fra i tanti disponibili dalle tabelle o misurabili in una popolazione, tale che metà della popolazione corrisponda a valori inferiori e, ovviamente, l’altra
metà corrisponda a valori superiori.
Esempio
Si calcoli la mediana nel gruppo di queste foglie di alloro.
Lunghezza in mm
Numero di foglie
118126
3
127135
5
136144
9
145153
12
154162
5
136171
4
172180
2
Totale
40 foglie
Occorre cercare quel valore di lunghezza delle foglie tale che
venti di esse, cioè la metà, siano più corte e si può provare
per tentativi.
Ora, un valore compreso tra i 127 e i 135 mm non può essere
una mediana perché solo tre foglie gli sono minori e quindi
bisogna tentare con il successivo.
Neppure un valore compreso tra i 136 e i 144 mm può esser preso come mediana perché sotto di esso ci sono solo 3+5=8 foglie
e allora occorre ritentare.
L’intervallo di 145-153 mm, non è raggiunto da 3+5+9=17 foglie
(poche) e quello successivo, 154-162 mm, non è raggiunto da
3+5+9+12=29 foglie (troppe) quindi quel valore di lunghezza
che divide l’insieme di foglie in due parti da venti ciascuna
deve essere per forza compreso tra 145 e 154 mm.
A cosa serve la mediana?
Osservando il valore della mediana si può avere un’idea di
come è distribuita una popolazione, per esempio un alto valore
di mediana della statura farà pensare ad un gruppo di scandinavi e, in più, confrontando la mediana con la media si vede
se la popolazione è ripartita uniformemente in altezza o meno.
Esercizi
Inventate un modo per calcolare più precisamente la mediana
nell’esempio precedente.
Trovate la mediana di questa serie di numeri
18,3 20,6 19,3 22,4 20,2 18,8 19,7 20,0
Qual è il peso mediano della tua classe?
Qual è il voto mediano della tua classe in inglese?
