Nozioni_storiche_sulle_equazioni_di_2_grado e superiore

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Nozioni storiche sulle equazioni di 2° grado
Problemi di 2° grado furono affrontati già dai babilonesi (circa 4000 anni fa) e poi dai greci e dagli
arabi. I babilonesi non usavano lettere per esprimere le incognite, ma parole come lunghezza (per
indicare la x) e area (per indicare la x al quadrato).
Tra il VI e il IV sec. a.C. i greci utilizzarono le equazioni di secondo grado per risolvere problemi
geometrici, in cui comparivano segmenti e aree di quadrati e rettangoli.
Nella cultura greca questi problemi numerici, non dissimili da quelli presenti ancora oggi nei testi
per la scuola media, non erano ritenuti importanti poiché di natura applicativa: la vera matematica
era la geometria.
Nella seconda metà del III sec. d.C. fa la sua comparsa il più grande algebrista greco, Diofanto di
Alessandria, considerato il padre dell'Algebra. La sua opera principale è l'Arithmetica, trattato in
tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi. La sua opera contiene una raccolta di
problemi risolvibili con equazioni di primo e secondo grado.
È dal mondo arabo che proviene il primo trattato di algebra, che può considerarsi in qualche modo
moderno. Tra la fine del VIII e l'inizio del IX sec. il matematico e astronomo arabo
al-Khuwarizmi scrisse un'opera (Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala da cui deriva proprio il nome
Algebra) in cui presenta in modo "didattico" i metodi di risoluzione delle equazioni, specialmente di
secondo grado. La sua opera raccoglie materiale da tradizioni differenti: greca, indiana e siriacomesopotamica, ed è diventata un punto di riferimento per lo sviluppo dell'algebra moderna. In essa
egli illustra con esempi la risoluzione delle equazioni di secondo grado e fornisce una dimostrazione
geometrica delle formule impiegate.
È importante osservare che nell'antichità e nel Medioevo furono considerate soluzioni solo quelle
positive (poiché i numeri negativi, anche se furono introdotti già dal IV secolo d.C. da matematici
indiani, si diffusero molto lentamente e non venivano considerati veri e propri numeri; essi furono
pienamente accettati dai matematici solo verso la fine del 1700).
È necessario tener presente che la risoluzione delle equazioni era vincolata all'interpretazione
geometrica limitando così il grado a tre. In altre parole, un’equazione doveva rappresentare
necessariamente un problema di geometria, non era possibile concepire un problema di dimensione
maggiore di tre, perché le dimensioni dello spazio sono solo tre: altezza, lunghezza e larghezza.
Solo nel sedicesimo secolo l'algebra iniziò un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla
geometria, quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche, ma
numeri, attraverso l'opera di F. Viète (1540-1603) e poi di R. Descartes (Cartesio,1596-1650).
Sempre intorno al sedicesimo secolo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio,
simile alle attuali esposizioni (algebra simbolica).
In precedenza (algebra retorica) operazioni ed equazioni con la loro risoluzione, venivano espressi
con parole (ad esempio l'incognita veniva detta la "cosa", il suo quadrato il "censo", la sua terza
potenza il "cubo") ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei
problemi.
Vediamo un esempio dal trattato di Al-Khuwarizmi che ci sembra particolarmente istruttivo per
illustrare la difficoltà di lettura dei trattati di algebra prima dell'avvento del simbolismo (e si noti
che il problema è dei più semplici). OVVIAMENTE QUESTO ESEMPIO È STATO RIPORTATO
SOLO PER CURIOSITÀ DEL LETTORE E NON VA STUDIATO.
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"Ho diviso dieci in due parti, poi ho moltiplicato ogni parte per se stessa e
preso la somma delle due, che fa cinquantotto dirham. Poni una della due
parti una cosa e l'altra dieci meno una cosa. Moltiplica dieci meno una
cosa per se stesso, fa cento più un censo meno venti cose, poi una cosa per
una cosa, fa un censo. Poi addiziona entrambi, fa cento più due censi
meno venti cose, equivalente a cinquantotto dirham. Restaura il cento più
due censi con le venti cose mancanti e portale ai cinquantotto, fa allora
cento più due censi equivalente a cinquantotto dirham più venti cose.
Riporta a un unico censo prendendo la metà di tutto ciò che hai. Fa
cinquanta dirham più un censo equivalente a ventinove dirham più dieci
cose. Diminuiscilo, cioè sottrai da cinquanta ventinove, rimane ventuno
più un censo uguale a dieci cose. Dimezza le radici, fa cinque, moltiplicalo
per se stesso, fa venticinque. Sottrai da questo il ventuno legato al censo,
rimane quattro. Prendi la sua radice che fa due e sottrai questo dalla metà
delle radici, cioè cinque. Rimane tre che è una delle due parti e l'altra è
sette. Questo problema ti ha riferito uno dei sei casi, cioè censi più numeri
equivalente a radici".
Il procedimento descritto col nostro linguaggio simbolico è il seguente:
Ancora nel sedicesimo secolo furono scoperte le formule risolutive delle equazioni di terzo e
quarto grado. Queste formule determinarono la nascita dei numeri complessi.
La scoperta della formula risolutiva delle equazioni di terzo grado avvenne in Italia: a Bologna. L’università di
Bologna, all’inizio del 1500 era il centro più importante per la ricerca e lo studio della Matematica. A Bologna
giungevano studenti da tutte le parti di Europa. Fu in questa città che nacquero le gare di Matematica. Grande folle si
radunavano per seguire i matematici che si sfidavano.
In figura: il portico della Basilica di Santa Maria dei Servi a Bologna dove si svolgevano le sfide tra matematici
Tuttavia, persino in un ambiente simile in cui esperti matematici mettevano in gioco tutto il loro sapere, si credeva che
alcuni problemi non potessero essere risolti. Era opinione comune che trovare un metodo generale che potesse risolvere
le equazioni di terzo grado fosse impossibile, tuttavia uno studioso provò che tutti si sbagliavano. Si chiamava Niccolò
Fontana, meglio conosciuto come Niccolò Tartaglia. Era di umili origini e aveva studiato Matematica da autodidatta. A
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12 anni era stato ferito al volto con una sciabola da un soldato francese. Il colpo gli aveva procurato un danno
permanente che gli impediva di articolare bene le parole, da questo il soprannome “Tartaglia”.
Tartaglia isolato dai suoi compagni di scuola si rifugiò nella Matematica. Con il tempo riuscì a scoprire la formula che
gli permetteva di risolvere un tipo di equazione cubica. Tartaglia però venne a sapere che non era stato l’unico a
risolvere l’equazione: un giovane matematico di nome Fior si vantava di aver trovato la formula che gli permetteva di
risolvere le equazioni di 3° grado (in realtà Fior imparò questa formula dal suo maestro: Scipione del Ferro). Venne
quindi organizzata una sfida tra i due: un vero duello matematico!
Tartaglia sapeva risolvere solo un tipo di equazione cubica, Fior invece era pronto a sfidarlo anche su altri tipi di
equazioni di 3° grado. Tartaglia però, pochi giorni prima della gara, riuscì a trovare la soluzione anche per altri tipi.
Sbaragliò quindi l’avversario risolvendo le equazioni cubiche in meno di 2 ore.
Tartaglia proseguì i suoi studi e risolse tutti i tipi di equazioni cubiche. La notizia giunse alle orecchie di un matematico
milanese: Gerolamo Cardàno. Anche egli provò a risolverle, ma non ci riuscì, così convinse Tartaglia a rivelargli il suo
segreto, ma dovette giurare che non avrebbe mai dovuto renderlo pubblico. Cardano non riuscì a resistere, discusse la
soluzione di Tartaglia con Lodovico Ferrari, un suo allievo. Ferrari comprese appieno il lavoro di Tartaglia, tanto che
gli permise di risolvere le ben più complicate equazioni di quarto grado (o quartiche). Cardano e Ferrari volevano
pubblicare la risoluzione delle equazioni di quarto grado, ma non lo potevano fare, perché le formule che avevano
trovato si avvalevano delle formule di Tartaglia che, per giuramento, non potevano essere pubblicate. Dato che
Tartaglia non si decideva a pubblicare le sue formule (si diceva troppo impegnato nella traduzione in italiano degli
Elementi di Euclide), allora Cardano si recò da Fior che lo condusse del genero di Dal Ferro. Questi mostrò a Cardano
che la formula era stata inventata anche da Scipione Dal Ferro. Pertanto, Cardano si ritenne libero dalla promessa fatta a
Tartaglia e pubblicò i risultati di Tartaglia insieme con la soluzione delle equazioni di 4° grado di Ferrari. Per Tartaglia
fu un duro colpo, offese pubblicamente Cardano (chiamandolo “uomo di poco sugo”) e, per questo motivo, Ferrari
prese le difese del suo maestro sfidando Tartaglia in una gara matematica. In questa gara Tartaglia ebbe la peggio e in
conseguenza di questa sconfitta perse il suo lavoro e morì in povertà.
Le cose per Cardano e per Ferrari non andarono meglio. Cardano vide il suo primo figlio condannato a morte per aver ucciso la moglie; inoltre fu
derubato dal suo secondo figlio che era un accanito giocatore d’azzardo. Lodovico Ferrari invece morì a soli 42 anni avvelenato dalla sorella che
viveva con lui. Ella era vedova, ma, dopo aver ucciso Lodovico Ferrari, si impossessò di tutti i suoi beni e si risposò dopo due settimane, trasferendo
tutto ciò che possedeva al suo nuovo marito che però l’abbandonò lasciandola in povertà.
Ancora oggi la formula che permette di risolvere le equazioni cubiche è conosciuta come la “formula di Cardano”.
Tartaglia non godette della giusta gloria in vita, tuttavia il suo lavoro contribuì a risolvere un problema che aveva
disorientato anche i grandi matematici della Cina, dell’India e del mondo arabo: la sua è stata la prima grande scoperta
matematica dell’Europa moderna.
Un momento particolarmente significativo è stato la dimostrazione all'inizio dell'Ottocento di un
teorema ideato da Paolo Ruffini nel 1799 e completato nel 1824 dal giovane matematico norvegese
Niels Henrik Abel (morto di tubercolosi ad appena 27 anni). Questo teorema (chiamato appunto
teorema di Ruffini-Abel) ha sancito l'impossibilità di trovare una formula risolutiva che risolvesse
tutte quante le equazioni di quinto grado. Inoltre, questo discorso vale anche per tutte le equazioni
di grado superiore. In altre parole, non può esistere la formula risolutiva di una generica
equazione di grado superiore al quarto1. Questo non significa che nessuna equazione dal 5°
grado in poi possa essere risolta con una formula risolutiva, ma che, per ogni grado maggiore o
uguale a 5, esistono delle equazioni che non possono essere risolte con una formula risolutiva.
Ad esempio: sebbene esistano delle equazioni di 5° grado che possono essere risolte con una
formula risolutiva (come x5 − x4 − x + 1 = 0), esistono anche equazioni come (x5 - x + 1 = 0) che
non possono essere risolte con nessuna formula risolutiva.
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Per maggiore chiarezza, facciamo notare che, dire che un’equazione può essere risolta con una formula risolutiva
equivale a dire che essa può essere risolta mediante l’uso delle quattro operazioni dell’elevamento a potenza e dei
radicali. Allo stesso modo, dire che un’equazione non ammette formula risolutiva equivale a dire che le sue soluzioni
non possono essere trovate con il solo uso delle quattro operazioni dell’elevamento a potenza e dei radicali.
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Niels Henrik Abel
Molto importante fu il matematico francese Évariste Galois (1811 - 1832) che riuscì ad arrivare a
conclusioni molto più avanzate rispetto a quelle di Abel. Egli infatti trovò un metodo generale per
sapere se un'equazione di qualunque grado può o meno essere risolta con una formula risolutiva.
Galois fu anche un rivoluzionario convinto e un fervente repubblicano. Morì in duello (a 21 anni
non ancora compiuti), forse a causa di una storia d'amore finita male. Forse, però, il duello era solo
una copertura per nascondere un omicidio politico da parte della polizia segreta del re. In effetti il
duello si svolse in circostanze poco chiare: non si è saputo chi avesse sfidato Galois ed inoltre,
benché durante il duello fosse stato sparato un solo colpo, la pistola del giovane matematico fu
trovata scarica.
È certo comunque che la notte prima del duello, Galois era sicuro di morire. Perciò, quella notte,
egli scrisse una lettera ad un suo amico nella quale riportava tutte le sue scoperte di matematica. In
questa lettera Galois si rammaricava del fatto che, per la fretta di scrivere tutto in quella notte, non
poteva essere molto chiaro; per questo ricorre in questa lettera la frase "non ho tempo!".
A tal proposito, è stato girato un film negli anni '70 su Galois intitolato appunto "Non ho tempo".
Solo 12 anni dopo la morte del matematico, i suoi manoscritti furono riscoperti, semplificati nella
trattazione e pubblicati.
Évariste Galois
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