1. SPAZIO VETTORIALE E SPAZIO EUCLIDEO 1. Lo spazio

1. SPAZIO VETTORIALE E SPAZIO EUCLIDEO
1. Lo spazio vettoriale Rn
Una n-nupla ordinata di numeri reali x = (x1 , x2 , . . . , xn ) si dice
vettore a n dimensioni e il numero xi componente i-esima di x. L’insieme
di tutti i vettori di dimensione n è indicato con Rn . Deﬁniamo la relazione
di uguaglianza tra vettori e introduciamo le due operazioni vettoriali di
l’addizione e moltiplicazione per uno scalare1 .
Definizioni:
Uguaglianza. x e y sono uguali, x = y, se hanno le stesse coordinate, cioè
se
xi = yi
per ogni
i = 1, . . . , n.
Addizione. Il vettore somma di x e y si ottiene sommando le componenti
corrispondenti dei due vettori, cioè
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
Moltiplicazione per uno scalare. La moltiplicazione di un vettore x per
uno scalare c consiste nel moltiplicare le coordinate di x per c:
cx = (cx1 , cx2 , . . . , xn )
Per l’insieme Rn dotato delle due operazioni di addizione e moltiplicazione deﬁnite sopra valgono le seguenti proprietà:
P1) Proprietà di chiusura. Un insieme X è chiuso rispetto alla addizione
se per ogni coppia di elementi, x e y in X l’elemento somma, x +
1
Col termine ‘scalare’ si intende qui un numero reale.
1
y è ancora contenuto in X. Un insieme X è chiuso rispetto alla
moltiplicazione per uno scalare se per ogni x in X e per ogni c ∈ R
anche l’elemento cx appartiene all’insieme. L’idea è che un insieme
è chiuso rispetto a certe operazioni se il risultato di tali operazioni è
ancora un elemento dell’insieme.
P2) Proprietà commutativa e associativa della addizione e proprietà associativa e distributiva della moltiplicazione. In ordine sono le seguenti:
(i) x + y = y + x; (ii) (x + y) + z = x + (y + z); (iii) c(bx) = (cb)x
e (iv) c(x + y) = cx + cy.
P3) Esistenza di un elemento neutro per la somma e di un elemento neutro
per la moltiplicazione. Il vettore le cui coordinate sono tutte pari a
0, cioè 0 = (0, 0, . . . , 0) è detto il vettore nullo o lo zero di Rn ; il
vettore nullo è l’elemento neutro della somma in quanto x + 0 = x.
Per quanto riguarda la moltiplicazione l’elemento neutro è lo scalare
1, in quanto (1)x = x.
P4) Esistenza dell’opposto per l’addizione. Per ogni elemento x, il vettore
(−1)x (per brevità −x) è l’ opposto di x in quanto x + (−x) = 0.2
Le proprietà delle operazioni qui elencate possono essere veriﬁcate
agevolmente (si vedano gli esercizi) e discendono dalle proprietà analoghe
dei numeri reali. Oltre a queste proprietà ve ne sono anche altre che
possono rivelarsi utili in molti casi; ad esempio, se cx = 0 allora c = 0
oppure x = 0. La dimostrazione è semplice: se c = 0 allora cxi = 0 per
2 Dalle due operazioni introdotte è possibile definire un’altra operazione tra vettori, la diﬀerenza, nel modo seguente
x − y = x + (−y) = (x1 − y1 , . . . , xn − yn ).
2
ogni i, quindi xi = 0 per ogni i. Dall’altro lato, se x = 0 allora cxi = 0
per qualche xi = 0 e quindi c = 0.
2. Interpretazione geometrica delle operazioni
I vettori dello spazio Rn per n ≤ 3 possono essere considerati, a
seconda dei casi, come coordinate di punti della retta, del piano o dello
spazio; ad esempio, al vettore (a1 , a2 ) di R2 si associa il punto del piano di
coordinate (a1 , a2 ), e viceversa; quindi, è naturale indicare con una stessa
lettera, ad esempio A, sia il punto del piano che il corrispondente vettore
di R2 . Per analogia, dunque, estenderemo questa terminologia anche agli
spazi di dimensione superiore a 3 e indicheremo con uno stesso simbolo
sia i vettori di Rn che i punti dello spazio a n dimensioni. In questa parte
stabiliremo una ulteriore corrispondenza tra i vettori dello spazio Rn e
altri enti geometrici chiamati vettori geometrici o applicati; questo nuovo
concetto consentirà di ottenere una interessante interpretazione geometrica delle operazioni algebriche precedentemente introdotte nello spazio
vettoriale.
Un vettore geometrico o applicato è un segmento orientato, cioè un
segmento con una punta in uno degli estremi e che quindi assume la forma
di una freccia. Un vettore geometrico è caratterizzato da tre fattori: la
lunghezza del segmento, la direzione, indicata dalla retta su cui giace,
e il verso indicato dalla punta della freccia. Per individuare un vettore
geometrico è suﬃciente una coppia ordinata di punti; i punti determinano
il segmento, quindi la sua lunghezza e direzione, mentre l’ordine stabilisce
un punto iniziale ed uno ﬁnale o vertice, cioè indica il verso. Il simbolo
comunemente impiegato per indicare il vettore geometrico spiccato dal
−→
punto A e con vertice nel punto B è AB.
Due vettori si dicono equivalenti se hanno la stessa lunghezza, la stessa
−→
direzione e lo stesso verso. Ad esempio, un vettore geometrico CD ot3
B
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A
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•D
−→
AB
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C
•
−→
CD
−→
tenuto da AB per traslazione (cioè attraverso uno spostamento parallelo)
−→
è equivalente ad AB perché conserva le tre caratteristiche indicate. I vet−→ −→
tori geometrici AB e BA, invece, pur avendo la stessa lunghezza e la stessa
direzione non sono equivalenti perché hanno verso opposto; analogamente,
−→
−→
si può osservare che BA può essere ottenuto da AB attraverso due trasformazioni geometriche consecutive: si eﬀettua una rotazione di 180 gradi
−→
−→
di AB attorno al suo punto iniziale e poi si ottiene BA per traslazione. I
due vettori geometrici, dunque, non sono equivalenti perché per passare
dall’uno all’altro non è suﬃciente una traslazione ma occorre anche una
rotazione.
La somma tra vettori geometrici è deﬁnita in base alla ‘regola del
parallelogramma’: si considerino due vettori geometrici spiccati da uno
−→ −→
stesso punto iniziale, OA e OB, e si costruisca in base ad essi un parallelogramma di vertici O, A, B e C come illustrato nella ﬁgura; il vettore
−→
−→
geometrico OC, cioè la diagonale del parallelogramma è la somma di OA
−→
e OB eseguita mediante la ‘regola del parallelogramma’.
Limitandoci per semplicità al caso del piano, introduciamo un sistema di coordinate e caratterizziamo l’equivalenza dei vettori geometrici
in termini delle coordinate dei loro punti iniziali e ﬁnali. Dato un vettore
−→
AB si indichino con A = (a1 , a2 ) e B = (b1 , b2 ) le coordinate del punto
iniziale e del punto ﬁnale e, come illustrato nella ﬁgura, si costruisca un
−→
triangolo rettangolo di cui AB è l’ipotenusa. Si nota immediatamente che
4
•C
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B•
b2
a2
•
A
•
O
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O
B
A
•
a1
b1
le diﬀerenze tra le coordinate dei punti iniziale e ﬁnale, B − A, che sono
pari a (b1 −a1 , b2 −a2 ), sono le lunghezze dei cateti del triangolo rettangolo
−→
di cui il vettore geometrico AB è l’ipotenusa.
−→
Si consideri un’altro vettore geometrico, CD, ed in modo analogo a
quello visto sopra si costruisca un triangolo rettangolo. Se le lunghezze
dei cateti, D − C e B − A, dei due triangoli sono proporzionali tra loro,
cioè se (D − C) = c(B − A) dove c è un numero reale non nullo, allora
le ipotenuse dei due triangoli rettangoli considerati formano uno stesso
−→ −→
angolo con l’asse delle ascisse. Quindi i due vettori geometrici, AB e CD
giacciono su rette parallele, cioè hanno la stessa direzione; se, inoltre, c > 0
i vettori hanno lo stesso verso, se invece c < 0 hanno verso opposto.
−→ −→
Supponiamo che le coordinate di due vettori geometrici AB e CD
soddisﬁno la condizione B − A = D − C; dal punto di vista geometrico ciò
−→ −→
signiﬁca che i triangoli rettangoli di cui AB e CD sono le ipotenuse sono
triangoli uguali in quanto sono uguali le lunghezze dei loro cateti e quindi
i due vettori geometrici hanno la stessa lunghezza, direzione e verso, cioè
sono equivalenti. Questa osservazione di induce a deﬁnire l’equivalenza
5
tra vettori geometrici in termini delle coordinate dei loro punti iniziali e
−→ −→
ﬁnali nel modo seguente: AB e CD sono equivalenti se B − A = D − C.
Per stabilire una corrispondenza biunivoca tra i vettori di R2 e i
vettori geometrici del piano (cosı̀ come si è fatto in precendenza per i punti
del piano) possiamo limitarci a considerare soltanto i vettori geometrici
applicati nell’origine degli assi, O. In tal caso, infatti, essendo ﬁssato il
punto iniziale è suﬃciente ﬁssare il punto ﬁnale per individuare un vettore
geometrico; perciò, ad ogni punto del piano, P , associamo un vettore
geometrico che parte dall’origine O e ha come vertice proprio il punto P ;
e viceversa, ad ogni vettore geometrico applicato nell’origine e con vertice
in P associamo il punto P . Quindi, possiamo rappresentare i vettori di R2
sia come punti del piano che come vettori geometrici applicati all’origine.
Ora mostreremo che l’operazione di addizione tra vettori di Rn che
abbiamo deﬁnito in precedenza ammette una importante interpretazione
geometrica per n = 2: la somma tra vettori corrisponde geometricamente
alla somma dei vettori geometrici eseguita mediante la ‘regola del parallelogramma’.
Dati i vettori A e B si prenda un vettore geometrico equivalente a
−→
−→
OA e con punto iniziale in B, cioè il vettore BC. I punti O, A, B e C sono
i vertici di un parallelogramma i cui lati sono dati dai vettori geometrici
−→ −→
OA e OB. Ora mostreremo che le coordinate del vertice C sono date dal
vettore somma A + B e quindi il vettore somma corrisponde al vettore
−→
−→ −→
geometrico OC. Poiché i vettori geometrici OA e BC sono equivalenti per
costruzione, tra le coordinate dei punti deve valere la condizione A = C −B
e quindi C = A + B; cioè, le coordinate del vertice del parallelogramma,
C, sono date dal vettore somma A + B.
Analogamente, possiamo interpretare geometricamente anche la differenza tra vettori. Ad esempio, consideriamo il vettore diﬀerenza B − A
e l’identità A + (B − A) = B. Se applichiamo l’interpretazione geometrica ottenuta dall’addizione, osserviamo immediatamente che il vettore
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C=A+B
•
B
•
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A
O
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B
•
B-A•
•
A
O
diﬀerenza B − A deve essere uno dei lati del parallelogramma che ha per
diagonale il vettore B (si veda la ﬁgura). Inﬁne, se si considera il parallelogramma costruito su A e B possiamo concludere che la somma A + B
e la diﬀerenza B − A corrispondono geometricamente alle diagonali del
parallelogramma.
L’interpretazione geometrica della moltiplicazione scalare è abbastanza immediata; se un vettore è un multiplo scalare di un altro, cioè
se B = cA, allora, come si è già visto in precedenza, i due vettori hanno la
stessa direzione e hanno verso ‘concorde’ se c > 0, mentre se c < 0 hanno
verso opposto; inoltre, la lunghezza di B è |c| volte quella di A. Graﬁcamente, i multipli scalari di un vettore A giacciono tutti sulla stessa retta
passante per l’origine. Per analogia, estendiamo queste idee geometriche
a tutti gli spazi vettoriali Rn .
Definizione. Due vettori x e y di Rn sono paralleli se uno è un multiplo
scalare dell’altro, cioè se y = cx con c = 0. Se c > 0 i due vettori hanno la
stessa ‘direzione’ e lo stesso ‘verso’; se c < 0 i due vettori hanno la stessa
7
direzione ma verso opposto.
3. Prodotto scalare e spazio euclideo
Allo scopo di deﬁnire le nozioni di lunghezza di un vettore, di distanza
tra punti e di angolo tra vettori introduciamo una nuova operazione tra
elementi di Rn . Il prodotto scalare è un’operazione che si diﬀerenzia da
quelle già introdotte nello spazio vettoriale in quanto il risultato di tale
operazione non è un vettore ma un numero reale. L’insieme Rn dotato
della operazione di prodotto scalare, che ora deﬁniremo, è chiamato spazio
euclideo.
Definizione. Il prodotto scalare (o prodotto interno) tra due vettori x e
y è un numero reale deﬁnito nel modo seguente
x · y = x1 y1 + · · · + xn yn =
n
xi yi ,
i=1
cioè, è la somma dei prodotti delle componenti con lo stesso indice.
Il prodotto scalare cosı̀ deﬁnito per i vettori di Rn soddisfa le seguenti
proprietà:
S1) Commutativa: x · y = y · x.
S2) Distributiva: x · (y + z) = x · y + x · z.
S3) Omogeneità: c(x · y) = (cx) · y = x · (cy)
S4) Positività: x · x > 0 se x = 0.
S5) x · x = 0 se x = 0.
La veriﬁca di queste proprietà è semplice ed è lasciata come esercizio.
Da queste proprietà ne discendono altre; ad esempio, utilizzando la proprietà commutativa e distributiva si mostra che il prodotto scalare della
somma di due vettori è dato da (x + y) · (x + y) = x · x + y · y + 2x · y,
8
una formula simile al quadrato della somma di due numeri reali. Tuttavia,
a diﬀerenza del prodotto deﬁnito sul campo dei numeri reali, non vale la
nota proprietà che se il prodotto di due numeri è nullo allora almeno uno
dei fattori deve essere nullo. Nel caso del prodotto scalare possiamo avere
infatti i due vettori non nulli x = (1, 1) e y = (1, −1) e il cui prodotto
scalare è x · y = 1 − 1 = 0. Vedremo più oltre qual è l’interpretazione
geometrica da attribuire ai vettori il cui prodotto scalare si annulla.
La deﬁnizione di prodotto scalare data sopra non è l’unica. In termini
assiomatici si dice ‘prodotto scalare’ qualsiasi funzione da Rn × Rn a R
che soddisfa le cinque proprietà sopra indicate.
Esempio 1. Sia q un vettore di componenti strettamente positive, cioè
con qi > 0 per ogni i. La funzione che ad ogni coppia di vettori x e y
associa il numero
n
qi xi yi
i=1
è un prodotto scalare in quanto soddisfa le cinque proprietà sopra indicate
(si veriﬁchi per esercizio).
Prima di chiudere questa parte dimostreremo una importante proprietà del prodotto scalare:
Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz: per ogni coppia di vettori, x e
y, di Rn vale:
(x · y)2 ≤ (x · x)(y · y)
Inoltre, il segno di eguaglianza vale se e solo se un vettore è un multiplo
scalare dell’altro.
In base alla deﬁnizione di prodotto scalare che abbiamo dato questa
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diseguaglianza assume la forma:
n
2
xi yi
i=1
=
n
x2i
i=1
n
yi2
i=1
Ora presentiamo una dimostrazione della ‘diseguaglianza di CauchySchwarz’ valida per qualsiasi deﬁnizione di prodotto scalare (anche per
quella dell’esempio 1) in quanto fa unicamente riferimento alle proprietà
S1) – S5).
Dimostrazione. Se x o y sono nulli allora la diseguaglianza è banalmente vera; quindi asumiamo che entrambi i vettori siano diversi dal
vettore nullo. Si deﬁnisca z = sx − ty con s = y · y e t = x · y e si applichi
la proprietà del prodotto scalare z · z ≥ 0, cioè
(sx − ty) · (sx − ty) = s2 x · x + t2 y · y − 2stx · y ≥ 0
Sostituendo s e t si ricava
(y · y)2 x · x + (x · y)2 y · y − 2y · y(x · y)2 ≥ 0
Poiché y = 0 si può dividere tutto per y · y ottenendo
(y · y)x · x + (x · y)2 − 2(x · y)2 ≥ 0
da cui si ricava facilmente l’enunciato. Inﬁne, poiché z · z = 0 se e solo se
z = 0, allora l’uguaglianza vale se e solo sx = ty, cioè se un vettore è un
multiplo scalare dell’altro.
4. Lunghezza o norma di un vettore
Per deﬁnire la lunghezza o norma di un vettore di Rn faremo riferimento anche in questo caso alla interpretazione geometrica disponibile
10
per i vettori di R2 . Il vettore geometrico spiccato dall’origine e con vertice
nel punto x = (x1 , x2 ) è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti
hanno lunghezza pari a x1 e x2 . Per il teorema di Pitagora sappiamo che
la lunghezza dell’ipotenusa al quadrato è pari alla somma dei quadrati dei
cateti, x21 + x22 = x · x, cioè è pari al prodotto scalare del vettore con se
stesso. Abbiamo quindi trovato un’interessante interpretazione geometrica
del prodotto scalare: la radice quadrata del prodotto scalare di un vettore
con se stesso è pari alla lunghezza del vettore. Per analogia, estendiamo il
concetto di lunghezza anche agli spazi vettoriali di dimensione maggiore
di 3, anche se l’interpretazione geometrica non è più possibile.
Definizione. La norma di un vettore è deﬁnita nel modo seguente
x =
√
x · x,
cioè è la radice quadrata del prodotto scalare del vettore per se stesso.
Dalle proprietà del prodotto scalare discendono le seguenti proprietà
per la norma:
N1) Omogeneità: cx = |c|x
N2) Positività: x > 0 se x = 0.
N3) x = 0 se x = 0.
N4) ‘Diseguaglianza triangolare’: per ogni coppia di vettori x e y vale
x + y ≤ x + y
Le prime tre proprietà sono facilmente veriﬁcabili; per quanto
riguarda la ‘diseguaglianza triangolare’ daremo la dimostrazione qui di
seguito.
Dimostrazione. Si tenga presente che la ‘diseguaglianza triangolare’ si
può scrivere in modo equivalente come segue:
x + y2 ≤ (x + y)2
11
Inoltre, si noti che x + y2 = x · x + y · y + 2x · y e che (x + y)2 =
x · x + y · y + 2x · y. Inﬁne, si applichi la ‘diseguaglianza di CauchySchwarz’ nella forma
|x · y| ≤ xy
e si noti che (x · y) ≤ |x · y|.
Dal concetto di norma possiamo passare facilmente a quello di ‘distanza’ tra i punti di Rn . Possiamo infatti deﬁnire la distanza tra due punti
come la lunghezza del vettore geometrico che li unisce. Dati due punti, A
e B sappiamo che la diﬀerenza B − A è un vettore equivalente al vettore
−→
geometrico BA; quindi la distanza tra A e B è la lunghezza del vettore
−→
geometrico BA, cioè B − A. Ora possiamo dare una giustiﬁcazione al
nome attribuito alla proprietà N 4): questa proprietà esprime il semplice
fatto che in un triangolo la lunghezza di un lato è inferiore alla somma
delle lunghezze degli altri due lati. Siano infatti i tre punti del piano A,
B e C i vertici di un triangolo e siano A − B, A − C e C − B la
lunghezza di ciascuno dei tre lati. Tra le lunghezze vale la diseguaglianza
sopra richiamata, e cioè
A − B ≤ A − C + C − B
Se ora poniamo x = A − C, y = C − B abbiamo anche x + y = A − B
e andando a sostituire nell’espressione sopra otteniamo proprio la ‘diseguaglianza triangolare’; quindi l’ovvio risultato secondo cui in un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato si traduce in termini
analitici nella diseguaglianza triangolare.
Chiudiamo questo paragrafo osservando che anche per la norma cosı̀
come per il prodotto scalare si può adottare un approccio assiomatico
e deﬁnire norma qualsiasi funzione da Rn a R che soddisﬁ le quattro
proprietà sopra indicate, cioè N1) – N4).
12
Esempio 2. Deﬁniamo la funzione n(x) = maxi=1,...,n |xi |. È facile veriﬁcare che n è una norma; infatti, n(cx) = max |cxi | = max |c||xi | =
|c| max |xi | = |c|n(x), cioè la N1) è soddisfatta. Inoltre, se x = 0 allora
xj = 0 per qualche j, quindi n(x) = max |xi | ≥ |xj | > 0, cioè anche
N2) è soddisfatta. La N3) è ovvia ed inﬁne per la N4) si applichi la diseguaglianza triangolare per i valori assoluti, cioè |xi + yi | ≤ |xi | + |yi |.
5. Ortogonalità e proiezione ortogonale
Nei paragraﬁ precedenti abbiamo utilizzato il prodotto scalare per
deﬁnire la lunghezza di un vettore e la distanza tra i punti di Rn . Ora
vedremo che il prodotto scalare è strettamente legato anche al concetto
di angolo tra vettori. Prendiamo in esame in primo luogo il caso di due
vettori del piano, x e y, che formano tra loro un angolo di 900 , cioè due
vettori perpendicolari. Poiché i due vettori sono i cateti di un triangolo
rettangolo sappiamo (dal teorema di Pitagora) che devono soddisfare la
condizione
x + y2 = x2 + y2
(∗)
Se sviluppiamo algebricamente l’espressione x + y2 ricaviamo
x + y2 = (x + y) · (x + y) = x2 + y2 + 2x · y
(∗∗)
Perciò se x e y sono perpendicolari (cioè, vale la (*)) allora la (*) e la (**)
dovranno essere uguali e quindi x · y = 0. Abbiamo visto, cioè, che se due
vettori sono perpendicolari allora il loro prodotto scalare è pari a zero (e
viceversa). Anche in questo caso estendiamo l’interpretazione geometrica
al caso generale di Rn :
Definizione. Due vettori x e y si dicono ortogonali se il loro prodotto
scalare è nullo, cioè se x · y = 0, e si scrive x ⊥ y.
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...
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.....
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.........
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........... ...
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... .. ...........
.... ........
............................................................................................................................................................
x·y = 0
y
x
O
Ogni vettore di Rn può essere espresso in modo univoco come la
somma di due vettori ortogonali; questo importante risultato è noto come
il teorema della ‘scomposizione ortogonale’. Illustreremo questo risultato
nel caso di R2 .
Dati due vettori x e y non nulli è possibile esprimere il vettore y
come somma di due vettori perpendicolari tra loro di cui uno è un multiplo scalare di x; la ﬁgura illustra il procedimento per ottenere questa
scomposizione del vettore y. In termini formali si ha: dati due vettori non
nulli x e y è possibile scrivere in modo univoco,
y = tx + z
con
x⊥z=0
(1)
Come si vede dalla ﬁgura il vettore tx è individuato tracciando la perpendicolare dal punto y sul vettore x; tx è chiamata la proiezione ortogonale
di y su x. Il valore dello scalare t dipende dai due vettori x e y e si può
ricavare agevolmente; infatti, dalla (1) si ha z = y − tx; inoltre, poichè z
e x sono perpendicolari deve valere x · z = x · (y − tx) = 0 da cui si ricava
immediatamente
t=
x·y
x·x
(2)
Definizione. Dati due vettori x e y, la proiezione ortogonale di y lungo
x è data dal vettore tx con t = x · y/x · x.
14
Ora utilizziamo il risultato sopra visto per introdurre la nozione di
angolo tra vettori in Rn . Rimanendo nel caso del piano, indichiamo con
θ l’angolo compreso tra i vettori x e y, come illustrato nella ﬁgura. Se
pensiamo a y come un punto sul cerchio con centro nell’origine, si può
mostrare che esiste una relazione tra il prodotto scalare di x e y e il
coseno dell’angolo θ compreso tra i due vettori. Infatti, dato che y è
il raggio del cerchio, la deﬁnizione di coseno di θ, in questo caso in cui
0 < θ < π/2, è
cos θ =
tx
x
= |t|
;
y
y
sostituendo t dalla (2) si ricava un’importante formula:
cos θ =
x·y
x y
(A.1)
Questa formula consente di deﬁnire l’angolo tra vettori in funzione delle
loro norme e del loro prodotto scalare; cioè l’angolo compreso tra x e y è
il numero θ che soddisfa l’equazione (A. 1); tale numero è ben deﬁnito, in
quanto, per la diseguaglianza di Cauchy-Schwartz si ha |x·y|/x y ≤ 1.
Inoltre, dalla (A. 1) otteniamo una espressione equivalente del
prodotto scalare: il prodotto scalare tra due vettori x e y è uguale al
prodotto delle norme moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso tra i
due vettori, cioè
x · y = x y cos θ.
Da questa espressione si ricava un’interessante interpretazione geometrica
del prodotto scalare. Infatti, poiché le norme sono sempre non negative,
il segno del prodotto scalare dipende soltanto dall’ampiezza dell’angolo
compreso tra i due vettori; tenendo presente che

 > 0 se 0 ≤ θ < π/2
cos θ = 0 se θ = π/2

< 0 se π/2 < θ ≤ π
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y
z
θ
tx
x
O
si osserva immediatamente che: il prodotto interno tra x e y è (i) positivo,
se i due vettori formano un angolo acuto, (ii) nullo, se i due vettori formano
un angolo di 90 gradi e (iii) negativo, se i due vettori formano un angolo
ottuso.
6. Applicazioni geometriche: la retta
In questa parte consideriamo alcune descrizioni in termini analitici
della retta nel piano e nello spazio. Partiamo, come di consueto, dal caso
R2 . Dato un vettore v = (v1 , v2 ) i multipli scalari di tale vettore sono vettori paralleli a v, cioè hanno la stessa direzione di v. Se lasciamo variare
lo scalare consentendogli di assumere qualsiasi numero reale, otteniamo
l’insieme dei punti che stanno sulla retta passante per l’origine e con pendenza uguale a quella del vettore v. Quindi, ogni vettore determina una
retta passante per l’origine che può essere espressa analiticamente, nel
modo seguente
x = tv
con
t∈R
Questa espressione è detta l’equazione parametrica della retta passante
dall’origine e parallela a v; il vettore v è chiamato vettore direzione.
L’equazione parametrica di una retta passante per un punto diverso
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dall’origine si può ricavare in modo analogo. Indichiamo con x i punti
−−→
di una retta passante per il punto p e parallela a v. I vettori p
x devono essere paralleli al vettore v, quindi tra le coordinate dei punti deve
valere la relazione x − p = tv, quindi l’equazione parametrica della retta
è x = p + tv.
Definizione. L’equazione parametrica di una retta passante per un punto
p e parallela al vettore v è data dall’espressione x = p + tv per t ∈ R.
Dalla deﬁnizione è abbastanza semplice ricavare l’equazione parametrica di una retta passante per due punti dati, ad esempio, p e q. Infatti,
in questo caso si può prendere come vettore direzione il vettore diﬀerenza
q − p e scrivere quindi x = p + t(q − p).
Nel caso di R2 , e soltanto in questo caso, possiamo sfruttare
l’ortogonalità per passare dall’equazione della retta in forma parametrica
alla equazione cartesiana della retta. Ovviamente la caratteristica comune
a tutti i vettori che giacciono su una retta è quella di avere la stessa direzione di v. Quindi, un vettore ortogonale a v è ortogonale anche a tutti
i vettori che giacciono sulla retta. Formalmente, se n = (n1 , n2 ) è un
vettore ortogonale a v, cioè n ⊥ v, allora dall’equazione parametrica della
retta otteniamo n · x = tn · v = 0, cioè n · x = n1 x1 + n2 x2 = 0. Dall’altro
lato si osserva che, in R2 , se i vettori x e v sono entrambi ortogonali ad
uno stesso vettore n allora x e v sono multipli scalari l’uno dell’altro, cioè
i vettori x giacciono sulla retta passante per l’origine e parallela a v. Per
dimostrare questa aﬀermazione si ponga k = v1 /v2 e quindi si riscriva il
vettore v = (v1 , v2 ) = v1 (1, k); cioè, si riscriva il vettore v come multiplo
scalare del vettore di componenti (1, k). Dalle condizioni di ortogonalità
x ⊥ n e v ⊥ n si ottiene x2 /x1 = v2 /v2 = k, cioè x2 = kx1 ; quindi possiamo riscrive il vettore x come segue, x = x1 (1, k), cioè anch’esso come
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multiplo scalare del vettore (1, k). Pertanto i vettori x e v sono multipli
scalari.
Da questa discussione abbiamo ricavato la conclusione che l’insieme
dei punti x di R2 che soddisfano l’equazione n · x = 0 è una retta passante
per l’origine e con vettore direzione perpendicolare a n. Il vettore n è
chiamato il vettore normale alla retta e n · x = 0 è l’equazione cartesiana
della retta.
Analogamente, si può mostrare che l’equazione n · (x − p) = 0 rappresenta una retta passante per il punto p e con direzione perpendicolare
al vettore n