I regoli di Bombelli
La risoluzione
delle equazioni di terzo grado
La risoluzione delle equazioni di terzo grado:
le varie tappe
• Già i Babilonesi sapevano risolvere, oltre alle equazioni di 2 grado con Δ ̲>̲ 0,
anche le equazioni di terzo grado in forma
x3 =
risolte consultando direttamente le tavole dei cubi e
delle radici cubiche. Quando il valore cercato non
risultava nelle tavole il risultato era interpolato
a
x3 + x2 = a
risolte attraverso delle tavole che registravano i
valori della combinazione n3+n2 con n=1,…30
Erano in grado di risolvere anche le equazioni in forma ax3 + bx2 = c,
riducendole alla forma precedente moltiplicando entrambi i
membri dell’equazione per a2/b3 e così ottenendo
ax
b
3
ax
b
2
ca 2
b3
equazione di terzo grado nell’incognita ax/b
I regoli di Bombelli
• L’algebra del ‘500
Nel febbraio del 1535 vi fu una disfida tra Antonio Maria Del Fiore e
Niccolò Fontana da Brescia (1499-1557), meglio noto come Tartaglia,
per risolvere trenta equazioni cubiche, del tipo x3 + px = q.
I regoli di Bombelli
Del Fiore si faceva forte della formula risolutiva trasmessagli dal suo
maestro, Scipione dal Ferro, mentre Tartaglia si mise a cercare
autonomamente la soluzione ai problemi
Scipione Dal Ferro
proposti, giungendo a conoscere il
(1465-1526), trovata nel
1515 la formula risolumetodo generale di risoluzione di queste
tiva delle equazioni di
equazioni e vincendo la gara.
Niccolò Tartaglia* (Brescia
1499 - Venezia 1557),
raggiunse presto grande fama
per la sua notevole cultura
algebrica. Celebre è il
‘Triangolo di Tartaglia’, che
fornisce una regola pratica
per il calcolo dei coefficienti
delle potenze successive di un binomio.
* il suo vero cognome era “Fontana”. Gli fu
attribuito il soprannome di “Tartaglia” poiché *
divenne balbuziente in seguito alle ferite al
*
volto riportate durante il saccheggio di Brescia.
terzo grado mancanti del
termine di secondo grado
(ax3+cx+d=0), decise di
non pubblicarla e la
trasmise ai suoi allievi
(tra i quali Fiore).
Dal Ferro giunse alla
conclusione che
un’equazione di terzo
grado potesse avere
soluzioni esprimibili
tramite radicali cubici (e
non qua-dratici, come si
credeva fino alla fine del
Quattrocento).
I regoli di Bombelli
Gli echi della disputa giunsero fino a Milano a Gerolamo Cardano,
Gerolamo Cardano
(Pavia 1501 - Roma 1576),
conseguì a Padova i gradi di
maestro di arti e dottore in
medicina. Esercitò la
professione di medico
raggiungendo molta fama,
finché nel 1534 ottenne la
cattedra di matematica presso le
Scuole Palatine di Milano. Si dedicò allo studio delle
equazioni algebriche di qualsiasi grado e pubblicò
alcune opere relative a tale argomento tra le quali
l’Ars Magna, dove vi è enunciata anche la formula
risolutiva delle equazioni di terzo grado, dovuta a
Scipione dal Ferro e riottenuta da Tartaglia.
che inizialmente
intercedette con
Tartaglia per
mezzo del suo
libraio di fiducia,
chiedendo di
rivelargli la regola
scoperta.
In cambio Cardano
la avrebbe
pubblicata nel
Practica ed avrebbe
citato Tartaglia.
I regoli di Bombelli
Solo dopo avergli fatto credere che avrebbe potuto
intercedere per lui presso il Governatore di Milano, Cardano
riuscì a convincere il matematico bresciano.
Così Tartaglia, ancora diffidente, gli comunicò la regola, seppure
vincolando Cardano alla promessa di mantenerla segreta e sotto
forma di…
… poesia
I regoli di Bombelli
I caso: x3 + px = q
Quando che cubo con le cose appresso
x3 + px = q
Se agguaglia à qualche numero discreto
trouan dui altri differenti in esso
u-v=q
Dapoi terrai questo per consueto
che’l lor producto sempre sia eguale
al terzo cubo delle cose
el residuo poi suo genere
delli lor lati cubi ben sottratti
varrà la sua cosa principale
uv=
3
p
3
3
u–3 v=x
I regoli di Bombelli
u v
q
u1
3
p
27
uv
u
q v
p3
(v q )v
27
q
3
q2
q
v1, 2
4p
27
2
q
v1
2
q
u
q v
p3
qv
27
v2
4 p3
27
2
v2
q
4 p3
27
2
2
q2
4
q
2
q
2
q2
4
q
2
q2
4
p3
27
p3
27
p3
27
0
u2
q
2
q2
4
p3
27
Sostituendo i valori ottenuti nell’equazione
x
3
u
3
v
x
3
q
2
q2
4
p3
27
3
q
2
q2
4
p3
27
I regoli di Bombelli
II caso: x3 + px = q
In el secondo de cotesti atti
3
Quando che'l cubo restasse lui solo x = px + q
Tu osservarai quest'altri contratti
Del numero farai due tal part'a volo
u+v=q
Che l'una in l'altra si produca schietto
uv=
El terzo cubo delle cose in stolo
Delle qual poi, per comun precetto
Terrai li lati cubi insieme gionti
Et cotal somma sara il tuo concetto
3
p
3
3
u+3 v=x
I regoli di Bombelli
Procedendo in modo analogo al primo caso si ottiene che
x
3
q
2
q2
4
p3
27
3
q
2
q2
4
p3
27
Tartaglia, osservando il terzo caso x3 + q = px, conclude che
esso dipende dal secondo caso. Cambiano però i segni.
I regoli di Bombelli
Cardano si rese però conto che nel secondo e nel terzo caso la formula
risolutiva non funziona quando (p^3)/27 > (q^2)/4 .
In tal caso si dovrebbe estrarre la radice quadrata di un numero
negativo. Ma ciò non era ritenuto possibile. Da qui l’espressione
CASO IRRIDUCIBILE.
Intanto…
Del Fiore, umiliato da Tartaglia, rivela a Cardano che in realtà la
formula di Tartaglia era stata precedentemente scoperta da Scipione
Dal Ferro. Ricevuta conferma dal suo allievo, Ludovico Ferrari, che
aveva avuto modo di vedere un quadernino di Dal Ferro nel quale era
riportata la formula, Cardano si considerò libero dall’obbligo di
segretezza.
Ampliata e generalizzata, inserì la formula nell’Ars Magna.
I regoli di Bombelli
Ars Magna
Volume che avrebbe dovuto far parte dell’enciclopedia Opus Perfectum,
ma che poi fu l’unico ad essere stampato.
Capitoli XI, XII, XIII: dedicati alla risoluzione delle equazioni
di terzo grado
Capitolo XXXIX:
de regula qua pluribus positionibus
invenimus ignotam quantitatem
è introdotta la formula risolutiva delle equazioni di quarto grado
(attribuendo la paternità di essa a Ludovico Ferrari)
Per trovare la formula generale in grado di risolvere qualsiasi
equazione di terzo e quarto grado bisognava affrontare il cosiddetto
“caso irriducibile” e stabilire perciò delle regole per manipolare le
radices sophisticae (=le radici quadrate dei numeri negativi)
I regoli di Bombelli
A trovare una soluzione a questo problema sarà…
Rafael Bombelli
(Bologna 1526 – Roma 1572)
I regoli di Bombelli
Le notizie riguardo la Vita di Bombelli non sono sufficienti e sicure
Secondo lo storico della matematica Ettore Bortolotti…
la famiglia Mazzoli (che in seguito cambiò il suo cognome in Bombelli),
appartenente alla nobiltà contadina bolognese, giunse a Bologna agli inizi
del XIII secolo.
I Mazzoli, ghibellini, erano schierati dalla parte dei signori della città, i
Bentivoglio, che governarono Bologna dal 1443. Quando papa Giulio II, nel
1506, riprese il controllo della città, i Bentivoglio furono isolati.
Gli stessi Mazzoli videro confiscate le loro proprietà (che in seguito
riottennero).
Ritornato a Bologna, qualche anno dopo la cacciata dei Bentivoglio, Antonio
Mazzoli sposò Diamante Scudieri, figlia di un sarto, e si dedicò al
commercio della lana.
I due ebbero sei figli, di cui Rafael fu il più grande.
I regoli di Bombelli
Secondo altre documentazioni…
Nel corso del ‘500 vissero Domenico e Filippo Bombelli, due giuristi, di
cui il secondo capostipite di una grande famiglia di notai, proveniente da
Borgo Panigale.
Da questo Ettore Bortolotti ipotizzò anche l’appartenenza di Bombelli a
questa famiglia.
Ciò spiegherebbe il motivo per il quale il suo nome e quello della sua
famiglia non sono presenti negli archivi; infatti quelli di Borgo Panigale
furono distrutti da un incendio.
I regoli di Bombelli
Nella prefazione dell’Algebra Bombelli stesso ci informa di aver avuto
come precettore Francesco Maria Clementi da Corinaldo, ingegnere
idraulico che bonificò le paludi di Foligno in Umbria e che istruì
Bombelli riguardo le problematiche idrauliche, tanto che il vescovo
Ruffini affidò al matematico di lavorare alla bonifica delle paludi della
Chiana in Toscana.
Ed è proprio attorno al 1550, durante un’interruzione dei lavori di
bonifica, che Bombelli si dedicò alla stesura della sua opera in volgare
italiano; la composizione dell’Algebra, come lui stesso riporta, avvenne
“… all’hora che quasi era abbandonata l’impresa
della essicatione della palude…”
I regoli di Bombelli
L’Algebra
Il manoscritto è un volume composto da 260 carte.
1.
16 carte contengono il
frontespizio e l’indice
2.
212 carte di testo numerate
3.
32 carte di testo non
numerate
•
Per suddividere i capitoli o i
libri differenti tra loro sono
presenti delle carte
totalmente bianche
I regoli di Bombelli
Nella prefazione dell’Algebra lo stesso Bombelli dichiara lo scopo
dell’opera: riordinare il materiale già esistente nel campo dell’algebra
in modo che chiunque potesse usufruirne facilmente, evitando così
equivoci, che si sarebbero potuti creare a causa della difficoltà della
disciplina o degli scritti troppo caotici già esistenti.
I primi tre libri dell’Algebra furono fatti stampare da Bombelli nel 1575.
La sezione di algebra geometrica - quarto e quinto libro – si ritenne
perduta fino a quando Bortolotti la rinvenne nella biblioteca comunale
dell’Archiginnasio di Bologna nel 1929. L’intera opera fu pubblicata nel
1966.
I regoli di Bombelli
Bombelli, durante la scrittura, si avvale di alcuni lavori anteriori:
•
Il libretto dello scienziato persiano Muhammad ibn Musa, dal
quale riprende degli elementi per stabilire l’etimologia del
vocabolo “algebra”
•
La “Summa” di Pacioli
•
Scritti di Cardano, Tartaglia e Ferrari
I primi cinque libri dell’ “Aritmetica”
di Diofanto, che Bombelli ebbe modo
di studiare e tradurre durante un
viaggio a Roma. Portò così alla luce le
opere del matematico greco,
riportando alcuni suoi problemi
tradotti in italiano nel terzo libro
dell’Algebra.
I regoli di Bombelli
Nel libro primo per quanto riguarda l’estrazione di radice cubica…
Bombelli prevede una costruzione “in linea” corrispondente a quella
attribuita a Platone.
Questa prevede l’uso di “squadri materiali”.
Si tracci il segmento unitario cd perpendicolarmente al segmento dato de
(del quale si deve trovare il lato cubico). Si disponga il primo squadro in
modo che uno dei lati passi per il
punto c ed il vertice appartenga al
prolungamento di de e il secondo
squadro tale che un lato passi per e
ed il vertice giaccia sul
prolungamento di cd.
Si ottengono così due triangoli
rettangoli gfc e gfe.
Osserviamo che gd e df sono medi
proporzionali tra cd e de.
fd rappresenta il lato cubico di de
I regoli di Bombelli
Nell’ambito dei binomi e dei residui cubici, espressioni del tipo
3 ( a)
3 (b) , compaiono le radici cubiche di numeri complessi,
allora definite da Bombelli “un’altra sorte di radici cubiche
legate”.
Bombelli non specifica la natura delle radici cubiche legate
3
b
a
b , con b>0 , ma osserva che per i radicandi a
non possono valere le usuali regole di calcolo, perché radici
quadrate di quantità negative che non possono dirsi né positive
né negative, ma “un terzo genere di cosa”, come definite da
Cardano
I regoli di Bombelli
Bombelli necessita dunque, di inventare dei nuovi segni e di stabilire delle appropriate leggi di composizione per essi, al fine di
manipolare le radici cubiche complesse e risolvere il caso irriducibile, come si può ben vedere dal seguente passo:
…la qual sorte di Radici quadrate ha nel suo Algorismo diversa
operatione dall’altre e diverso nome; perché quando il cubato del
terzo de li tanti è maggiore del quadrato della metà del numero…
esempio: x3= px + q
se
p
3
3
q
2
2
…lo eccesso loro non si può chiamare né più né meno,però lo
chiamerò più di meno quando egli si dovrà aggiongere, e quando
si doverà cavare lo chiamerò men di meno […] e prima tratterò
del moltiplicare ponendo la regola del più e del meno
I regoli di Bombelli
Più via più di meno, fa più di meno;
[(+ 1 )
(+ i) = + i]
Meno via più di meno, fa meno di meno;
[(-1 )
Più via meno di meno, fa meno di meno;
[(+ 1 )
Meno via meno di meno, fa più di meno;
[(-1 )
(- i) = + i]
Più di meno via più di meno, fa meno;
[(+ i )
(+ i) = - 1]
Più di meno via men di meno, fa più;
[(+ i )
(- i) = + 1]
Meno di meno via più di meno, fa più;
[(- i )
(+ i) = + 1]
Meno di meno via men di meno, fa meno.
[(- i )
(- i) = - 1]
(+ i) = - i]
(- i) = - i]
I regoli di Bombelli
Al fine di ridurre il caso irriducibile, Bombelli deve però ridurre le
redices sophisticae ad espressioni manipolabili facilmente.
Per prima cosa nota che x
y a
soddisfatte le condizioni sottoriportate:
3
b purchè siano
a 2 b2 x2 y 2
a x 3 3xy 2
I regoli di Bombelli
Da queste condizioni preliminari Bombelli introduce la trattazione
vera e propria delle equazioni di terzo grado nel libro secondo,
sviluppata secondo lo schema espositivo:
• Esposizione della regola in forma retorica
• Esempi numerici
• Costruzione geometrica della soluzione
Già Cardano, nell’Ars Magna, seguì questo schema: visibile questo
nella rilettura dell’algoritmo risolutivo di Tartaglia attraverso la
decomposizione delle equazioni cubiche in cubi e parallelepipedi
I regoli di Bombelli
Dovendo affrontare il problema della rappresentazione
geometrica, Bombelli prende come spunto l’Ars Magna e realizza
due costruzioni fornite per il caso x3+px=q
• prima costruzione: ricalca il metodo cardaniano di
++decomposizione in cubi e parallelepipedi, utilizzando anche
++lo stesso esempio guida x3+6x=20
• seconda costruzione (proposta qui di seguito): riprende il
++metodo grafico precedentemente proposto per l’estrazione
++della radice cubica ed è dunque anch’esso “in linea” ed
++utilizza due squadri materiali che vengono disposti per
++tentativi
I regoli di Bombelli
Data l’equazione x3+6x=20 si costruisce il quadrato lhi di lato hi= 20 ed
il segmento hc di lunghezza 6 (con hc hi).
Fissato il segmento dc come unità di misura, si posizionano gli squadri e
in modo tale che il vertice di
uno “squadro” scorra sul
segmento hi e l’altro sul
segmento ac (ac dc) ed in
modo tale che bc = mh.
Tramite teoremi euclidei si
dimostra che bc e mh
rappresentano la soluzione
della cubica data.
I regoli di Bombelli
La trattazione del secondo caso (irriducibile), con equazione
px + q = x3 inizia con l’enunciazione della regola scritta
seguita dall’esempio numerico x3 = 12x + 9 alla quale era
applicabile la regola esposta da Cardano; infatti
aggiungendo ad entrambi i membri 27 essi risultano
divisibili per x + 3. Ciò porta all’equazione di secondo grado
x2 – 3x – 3 = 0.
In questi casi è possibile elaborare una rappresentazione
geometrica di un’equazione cubica attraverso cubi e
parallelepipedi.
I regoli di Bombelli
Nel caso in cui non sia possibile fare una manipolazione per
giungere ad un’equazione di secondo grado, Bombelli afferma
che è comunque possibile elaborare una rappresentazione
grafica “in linea”, come dice nel seguente estratto:
“… Et benché a molti parerà questa cosa stravagante, perché di
questa opinione fui ancho già un tempo, parendomi più tosto fosse
sofistica che vera, nondimeno tanto cercai che trovai la soluzione,
la quale sarà qui sotto notata, sì che questa ancora si può mostrare
in linea…”
I regoli di Bombelli
Data l’equazione x3 = 6x + 4, assunto ml come segmento unitario e lf = 6,
costruisco il rettangolo abfl di area uguale a 4.
Dispongo uno squadro con il vertice vincolato a scorrere su li e a passare
per il punto m.
L’altro in modo tale
che un braccio possa
scorrere sulla retta ad.
Quando i due bracci si
intersecano nel punto
g li rappresenta la
radice dell’equazione
cubica data.
Grazie a questa tipologia di costruzioni Bombelli viene
convinto dell’utilità delle radices sophisticae cardaniane,
sollecitandolo alla costruzione di opportune regole di calcolo.
I regoli di Bombelli
Tuttavia …
la diffusione dell’Algebra nella comunità scientifica fu molto
limitata e i “nuovi segni” inventati da Bombelli, nonché le
particolari radici cubiche legate, non videro uno sviluppo reale.
I numeri complessi vengono concepiti come una sorta di
soluzioni di problemi.
Dovranno dunque imporsi altri problemi per portare i
numeri complessi all’attenzione dei matematici, e renderli
così oggetto di studio, acquistando un’oggettiva “esistenza
matematica”.
I regoli di Bombelli
Presentazione e strumento a cura di:
Anna Attanasio
Arianna Galanti
Morgana Magalotti
Sofia Santilli
... e dopo tanto lavoro, fatica, inconvenienti, api
e divertimento…
