G. LORIA (Genova - ItaUa)
BOMBELLI
E
DIOFANTO
Fra le opere algebriche che videro la luce durante il glorioso Secolo XVI
raggiunse grande e ben meritata diffusione queUa che reca la firma di RAFFAELE
2
BOMBELLI (*), non soltanto dopo che ottenne l'onore deUa stampa ( ), ma sino
da quando (1500) cominciò a girare manoscritta. Va segnalato il fatto che, benché
l'autore si proclami bolognese, non fu sinora possibile rinvenirne V atto di nascita ;
ne tampoco se ne conosce l'atto di morte, la qual cosa si può spiegare considerando che, essendo il Bombelli di professione ingegnere idraulico, può avere
finita la vita in qualche città, ove trovavasi per doveri d'ufficio. Perciò si può
dire che oggi tutto Bombelli, lo scienziato e l'uomo, sia compendiato nel volume
che lo consacrò aU'immortaUtà, eventualmente completato da quanto si desume
daU'esame dei manoscritti di queU'opera, l'importanza del quale è dimostrata
daU'avere essi già rivelata l'esistenza d'un'intera sezione geometrica di queU'opera,
rimasta sinora inedita per ragioni ignote, ma che fra poco uscirà dagh scaffaU
deh"Archiginnasio di Bologna, per cura del prof. BORTOLOTTI che l'ha ivi scoperta (3).
Per scrivere il suo volume il BombeUi si giovò di lavori anteriori che egh
enumera coscienziosamente. Uno è un Ubretto del notissimo scienziato arabo Mohammed ibn Musa, che egh ricorda perchè da esso traggonsi gU elementi per
stabilire l'etimologia del vocabolo « algebra » ; si trova poi la Summa di LUCA
(d) VAlgebra, Opera di RAFFAELE BOMBELLI da Bologna, divisa in tre Libri. Colla
quale ciascuno da sé potrà venire in perfetta cognitione della teoria dell'Aritmetica (Bologna, 1579).
(2) La Prefazione è datata 22 Giugno 1572. Il RICCARDI nella sua Biblioteca Matematica
Italiana ne cita due edizioni, una del 1572, Paîtra del 1579; a me sta sott'occhio un esemplare recante quest' ultima data, senza nessuna indicazione che si tratti di una nuova edizione,
giacché reca la seguente dichiarazione: « Posta hora in luce a beneficio delli studiosi di
detta materia » ; d'altra parte sembra strano che a soli sette anni di distanza siasi sentito
il bisogno di una ristampa; è quindi naturale ammettere che si tratti di un semplice cambiamento di frontispizio.
(3) Vedi : L'Algebra, opera di Rafael Bombelli. Libri IV e V ecc. Pubblicata per cura
di Ettore Bortolotti. Bologna, 1930. (Nota aggiunta durante la stampa; Aprile 1932).
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COMUNICAZIONI
gh scritti di CARDANO, TARTAGLIA (*) e LUDOVICO FERRARI, mentre
vi si cerca indarno il nome del famoso suo concittadino SCIPIONE DAL FERRO,
fatto questo che attende una ragionevole spiegazione; tra i francesi Bombelli
ricorda Oronzio Fineo e un BogUone di malagevole identificazione; seguono i
tedeschi Stefel e Schreiber (se così deve interpretarsi il nome Scribellie). Da
ultimo egU ricerca « un'opera greca.... composta da un certo Diofanto Alessandrino Autor Greco, il quale fu a tempo di Antonin Pio », la quale egU imparò
a conoscere neUa BibUoteca Vaticana, di cui anzi tradusse, con l'ajuto di un
amico, i primi cinque Ubri. Riguardo a questa importante citazione va osservato che sino dal febbraio 1464 il celebre Regiomontano aveva scoperta Y Aritmetica di Diofanto in una BibUoteca di Venezia ed erasi affrettato a segnalarla
al suo amico Giovanni Bianchini, il bel noto astronomo di Ferrara; ma quasi
un secolo era trascorso senza che si avesse alcuna prova che di essa fosse
stato intrapreso lo studio (2), onde è merito indiscutibüe e grande del Bombelli
l'aver riconosciuto quanto utile fosse il riporre in circolazione idee e metodi che
da secoU giacevano negletti e dimenticati. Notisi poi che, secondo ü Bombelli,
l'opera di Diofanto sarebbe stata in sette Libri, ma si tratta di una sempUce
svista, dal momento che ü più recente editore di Diofanto (P. Tannery) non ha
riscontrato alcun disaccordo fra il Codice Marciano in sei Libri, visto dal Matematico di Königsberg, e queUo Vaticano, studiato daU'ingegnere Bolognese. Più
strana e meno spiegabüe è l'asserzione bombelUana che Diofanto avrebbe appresa
dagh Indiani la scienza che espone.
Dei tre Libri in cui è ripartita Y Algebra del BombeUi il I è interamente
dedicato al calcolo con potenze e radici; queste se non siano appUcate a numeri
che non siano potenze corrispondenti, danno origine aUe quantità dette sorde o
indiscrete. Nelle ultime pagine di detto Libro il nostro Autore fa compiere aU'algebra un mirabile sbalzo in avanti, assurgendo al grado di creatore del calcolo
con numeri complessi: a tale scopo egli introdusse le celebri locuzioni più di
meno o meno di meno per indicare le due unità +i e —i. Le regole da lui
date per operare con questi nuovi enti aritmetici gli permisero, fra l'altro, di
spiegare come, nel caso irriducibüe deUe equazioni cubiche, una quantità reale
potesse presentarsi sotto forma immaginaria.
Il II Libro deh" opera in esame tratta deUa teoria e deUa risoluzione deUe
PACIOLI,
(1) Il Bombelli non entra nella famosa disputa fra questi due celebri matematici relativa
alla risoluzione delle equazioni cubiche ; ma si limita a notare che Tartaglia « di sua natura
era così asuefatto a dir male, che a l l ' h o r a egli pensava di haver dato honorato saggio di
se, quando di alcuno avesse sparlato «.
(2) Ci esprimiamo sotto questa forma riservata perchè il Libro (Histoire des Sciences
Mathématiques
en Italie, T. I l l , Paris, 1840, p . 182, nota) dice esistere nella Biblioteca Palatina di Firenze una versione italiana di Diofanto, anteriore all'opera del Bombelli. Questo
manoscritto, dietro mia preghiera, venne cercato e rintracciato dal ch.mo prof. L. CAVAZZONI
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e Diofanto
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equazioni algebriche. Per megUo caratterizzarne il contenuto giova ricordare che
il NESSELMANN (*) ha, con piena ragione, distinti tre stadi attraversati dall'algebra neUa sua evoluzione storica, che egh caratterizzò con gU epiteti di retorica,
sincopata e simbolica, attribuendo il primo ah" epoca in cui le equazioni erano
espresse completamente a parola, il secondo a queUa in cui certi termini tecnici
di uso continuo erano surrogati da abbreviazioni costanti e il terzo al tempo in
cui fu introdotto metodicamente il simbolo: ora mentre con titubanza si attribuisce ah" opera di Diofanto l'aggettivo di sincopata, questo spetta di pieno diritto
SLIYAlgebra del Bombelli.
GU è nel II Libro di quest'opera che si comincia ad avvertire nel modo
più chiaro l'influenza esercitata da Diofanto sul nostro Autore. Essa si manifesta
anzitutto neUa nomenclatura : mentre per l'incognita era da circa tre secoU usata
(e non soltanto in Italia) la parola cosa, Bombelli, inspirandosi ah" esempio dato
dah" autore greco, adopera ora la parola tanto ed ora quantità ; e mentre prima
di lui il quadrato dell'incognita era chiamato censo, egli preferisce il termine
potenza, a cui seguono cubo, potenza di potenza, ecc. La medesima influenza
è percepibile neUe notazioni: è noto che per designare l'incognita Diofanto si
serve di un segno che i moderni editori hanno riprodotto con una o finale,
Bombelli neUe copie manoscritte deUa sua opera si serve allo stesso scopo di
un carattere somigUante a una v ; ma, neUa stampa, egU preferì un segno creato
« ad hoc », cioè un piccolo semicerchio concavo aU'insù, entro il quale scriveva
i numeri 1, 2, 3,.... per indicare le potenze successive deh" incognita. Il progresso così compiuto è immenso, che si può dire che da questo momento gU
esponenti facciano il loro ingresso nella scienza. È chiaro che la simbohca bombeUiana presenta il medesimo inconveniente della diofantea, queUo cioè di essere
appUcabile ad un'unica incognita; nei problemi in cui se ne hanno parecchio,
Bombelli, al pari di Diofanto, è costretto a ricorrere a svariati artifici per esprimere
mentalmente tutte le incognite deUa questione in funzione di una ; nell' escogitare
espedienti che le guidino in ogni caso al risultato voluto, BombelU si è mostrato
degno discepolo del grande aritmetico greco. L'utiUtà, sia pure Umitata ma innegabile del simboUsmo bombelliano, si constata anzitutto neh" estensione ai pohnomi
deUe regole date precedentemente per operare sopra i numeri interi. Essa è luminosamente confermata dalla trattazione deUe equazioni (cioè deh" operazione da
lui chiamata dello
uguagliare).
Notisi che Bombelli, conformemente all' uso deh" epoca, esclude sempre le radici
nulle e considera esclusivamente equazioni con coefficienti positivi, il che esige
nella Biblioteca Nazionale di quella città, ove reca la seguente segnatura: Palatina 625 (432.
E. 5, 6, 36). Il prelodato professore ne ha già intrapreso lo studio e a suo tempo farà conoscere le sue osservazioni al riguardo.
(*) NESSELMANN: Die Algebra der Griechen (Berlin, 1842) p. 302.
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la distinzione di un numero di casi, il quale va crescendo in modo aUarmante
col crescere del grado deUe equazioni considerate; merita di essere rilevato che,
in un passo deUa sua opera, egli s'imbatte in un' equazione il cui secondo membro
è 0, ma egU non seppe raccogUere la gemma casualmente caduta ai suoi piedi.
È estraneo al tema deUa presente comunicazione il riferire i metodi usati dal
Bombelli per risolvere le equazioni algebriche dei primi quattro gradi. Soltanto
va notato che, riguardo aUe equazioni biquadratiche, egli manifesta il convincimento che Diofanto avesse insegnato a risolverle nei Libri perduti deUa sua
grande opera, opinione di fronte a cui non si può che apphcare l'antica massima :
« quod gratis asseritur, gratis negatur ». Fortuna voUe che la lacuna sia stata
fehcemente colmata da Lodovico Ferrari, la cui invenzione il nostro autore apphca
a tutti i vari tipi possibili di equazioni di quarto grado. Non si può negare che
l'impiego costante di un medesimo artificio a tante equazioni, differenti fra loro
soltanto per i segni dei coefficienti, renda pesante questa parte deh" opera che
esaminiamo; ed è da lamentare che il Bombelli, il quale diede prova di ammirabile coraggio nel trattare i numeri immaginari, siasi mostrato tanto timido di
fronte ai numeri negativi. Se, oltre che daUe opere arabe, egU avesse avuta
notizia degU scritti indiani, avrebbe certamente misurata l'utilità di ammettere
che i coefficienti deUe equazioni potessero assumere anche valori non positivi e
così avrebbe fatto compiere ah" algebra un progresso di cui è superfluo dimostrare l'importanza.
Mentre nel II Libro deUa sua Algebra il Bombelli espose i metodi per trattare
le equazioni letterali suscettibili di risoluzione algebrica, nel III ha mostrato come
si apphcano i metodi esposti aUa risoluzione di non meno di 273 (*) questioni
con dati numerici. In una prima stesura deUa sua opera (tuttora inedita), egli,
uniformandosi aUe consuetudini del tempo, si occupò di problemi enunciati « sotto
velame di attioni o negotij humani » cioè « vendite, compere, restitutioni, permute,
scambij, interessi, deffalcationi, leghe di monete, di metaUi, pesi, compagnie, o
con perdite, o con guadagno, giochi, e simiU altre infinite ationi, e operationi
humane ». Ma, subita che ebbe l'influenza di Diofanto (nella cui Aritmetica notoriamente un solo problema è enunciato sotto forma concreta) decise di trattare
esclusivamente problemi ove i dati fossero numeri astratti, innovazione aUa quale
egU fu certamente sospinto anche daUe difficoltà che avrebbe incontrato nell'immaginare fenomeni sociali traducentesi neUe questioni elevate che egh ambiva
di trattare. Ma l'influenza esercitata sul nostro matematico dal sommo aritmetico
greco non si arresta aUa superficie; essa, infatti è talmente profonda che, in
un certo senso, può dirsi che il III Libro deh"Algebra del BombeUi rappre(*) Giova osservare che l'ultimo dei problemi dell'Algebra del Bombelli porta il n. CCLXXII ;
ma due di essi portano il n. XLIX e per compenso mancano i nn. CCLVI e CCLVII. In
Diofanto non si trovano che 189 problemi.
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e Diofanto
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senti un rifacimento dei Libri superstiti dell'antica opera e un tentativo di divinazione di queUi perduti.
Già dicemmo che la simbohca bombeUiana presenta indiscutibiU analogie con
la diofantea, e che, benché ü volume del bolognese appartenga ah" algebra sincopata, mentre queUo deh" alessandrino abbia piuttosto i caratteri deh" algebra
retorica, pure gU inconvenienti provenienti dal non potere rappresentare simboUcamente che una incognita, si manifesta egualmente in entrambe, se la parola
« inconveniente » può apphcarsi ad uno stato di cose che spinse due matematici
di genio a escogitare artifici ammirandi. Più grave e meravighoso è il fatto che
in entrambi manchi completamente la visione deUa necessità di metodicamente
distinguere i problemi determinati dagU indeterminati; perciò neUe opere di ambedue, gU uni sono frammisti agU altri; inoltre essi si ritennero in diritto di
trasformare questi in quelli, introducendo arbitrariamente nuove condizioni fra
le incognite. Ancora : il problema deh" anahsi indeterminata consiste per Bombelli
come per Diofanto neUa ricerca di una soluzione razionale positiva deUe corrispondenti equazioni, mentre si ritiene oggi che scopo di queUa bianca deUa nostra
scienza sia la ricerca di tutte le soluzioni intere di una data questione.
Chi conosce Y Aritmetica di Diofanto sa che i problemi ivi risoluti si seguono
in modo di cui è difficile determinare il fondamento dottrinale ; l'apparente disordine viene spiegato da storici benevoh con lo stato dei manoscritti; ora questo
comodo argomento non si può invocare per spiegare lo stesso fenomeno nelY Algebra del Bombelli. Questo disordine è tale che se si volesse presentare un
quadro del contenuto di quest'opera, il quale fosse giudicato soddisfacente per
un lettore moderno, sarebbe necessario abbandonare quasi completamente la successione adottata dall' ingegnere bolognese ; diciamo « quasi » perchè in alcuni
casi una questione segue ad altra perchè neUa risoluzione di questa è appUcata
la soluzione di quella.
Un grande numero di problemi trattati dal Bombelli si traducono in sistemi
determinati di equazioni Uneari, i quali appartengono a tipi che s'incontrano
già neh" opera greca o che ne derivano per il semplice aumento del numero delle
incognite. La medesima osservazione può farsi riguardo ai sistemi di gradi superiori, ma risolubiU mediante equazioni di 1° e 2° grado. Non più di quattro
sono le questioni di analisi indeterminata di 1° grado risolute dal Bombelli;
molto più numerose sono queUe di grado più elevato, in gran parte tratte da
Diofanto ; fra esse meritano una speciale menzione quelle che si riferiscono alle
« doppie equazioni ». Le citiamo per aggiungere che il Bombelli è andato più
oltre del matematico greco, avendo risolto daUo stesso punto di vista le questioni
che possono ben chiamarsi « equazioni triple » o « quadruple », nonché alcune
equazioni doppie o triple di grado superiore al secondo.
Nel 1575 Xylandro pubbhcava a Basilea la prima versione latina di Diofanto;
nel 1621 il testo greco vedeva per la prima volta la luce per merito di Bachet
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COMUNICAZIONI
de Méziriac e da questa pubbhcazione Fermât traeva ispirazione per gettare le
basi deh" odierna teoria dei numeri. Per conseguenza nessuno pensò, né durante
il Secolo XVII, né poi, di ricorrere al geniale ingegnere bolognese per addestrarsi
nel maneggio dei concetti e dei metodi dovuti al sommo aritmetico bolognese.
In conseguenza l'influenza esercitata dal BombelU suUo sviluppo deUa teoria dei
numeri non è paragonabile a queUa che risentì da lui la teoria dei numeri immaginari. Ma la storia deUa scienza — funzione massima deUa quale è di « unicuique
suum tribuere » — riconosce in Bombelli il primo che siasi assimilato le idee e
le procedure diofantee, sepolte da secoli, e siasi sforzato di ravvivarne la virtù
feconda, riponendole in circolazione ed estendendone la portata. Se questo merito
non gU fu generalmente riconosciuto, gU è che le investigazioni sopra la « chimica
dei numeri » (Kummer) per merito del famoso senatore tolosano si orientarono
verso nuovi campi, che sono quelli appunto che vengono oggi coltivati; donde
la ragione per cui ben pochi dei cultori di questa disciphna conoscono le benemerenze deh" eminente matematico, al quale, con la presente comunicazione, intesi
di tributare un modesto, ma doveroso omaggio.
