Teoria degli Operatori - Matematica e Informatica

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Teoria degli Operatori
Corso di Laurea Specialistica in Matematica
Camillo Trapani
Dipartimento di Matematica e Informatica
Università di Palermo
A.A. 2007-2008; versione rivista Aprile 2012
ii
Indice
1 Spazi di Banach e Spazi di Hilbert
1.1
1.2
1.3
1
Spazi normati e spazi di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Definizioni e proprietà elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Esempi di spazi di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.3
Operatori lineari in uno spazio di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.4
Forme lineari continue e duale di uno spazio di Banach . . . . . . . . . . .
5
La Geometria dello Spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.1
Definizioni ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.2
Sottospazi e teorema di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.3
Basi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Appendice: basi generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2 Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali
2.1
2.2
2.3
2.4
17
Definizioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.1
La norma di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.2
Aggiunto di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Alcuni tipi di operatori limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.1
Operatori simmetrici, operatori positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.2
Operatori di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2.3
Operatori isometrici e unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Topologie in B(H): convergenza forte e convergenza debole . . . . . . . . . . . .
28
2.3.1
La topologia forte di B(H)
2.3.2
La topologia debole di B(H)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Commutanti e Algebre di von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
iv
INDICE
3 Proprietà spettrali degli operatori limitati
31
3.1
Lo spettro di un operatore limitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.2
Operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2.1
Definizioni ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2.2
Lo spazio degli operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2.3
Operatori integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
La teoria spettrale degli operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.3.1
Teorema di Riesz–Schauder: prima dimostrazione . . . . . . . . . . . . . .
44
3.3.2
Teorema di Riesz–Schauder: seconda dimostrazione . . . . . . . . . . . . .
47
3.3.3
Conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Operatori di classe traccia e di Hilbert - Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3
3.4
4 Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
57
4.1
Operatori chiusi e chiudibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.2
L’aggiunto di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.3
Le operazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.4
Operatori simmetrici e autoaggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.4.1
Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.4.2
Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.4.3
L’operatore A∗ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.4.4
Criteri di autoaggiunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.5
Lo spettro di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.6
Commutazione di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.7
La decomposizione spettrale di un operatore autoaggiunto . . . . . . . . . . . . .
79
4.8
Famiglia spettrale e spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.8.1
Il secondo teorema spettrale e le sue conseguenze . . . . . . . . . . . . . .
85
4.8.2
Spettro discreto e spettro essenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Il teorema di Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.10 Equazioni differenziali nello spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.9
4.11 Operatori autoaggiunti che commutano
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.12 Supplemento: Famiglie spettrali generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Capitolo 1
Spazi di Banach e Spazi di Hilbert
1.1
Spazi normati e spazi di Banach
In questa prima sezione ci occuperemo della definizione di spazio normato e di come su uno
spazio normato sia possibile introdurre una topologia, compatibile con la struttura algebrica di
spazio vettoriale.
1.1.1
Definizioni e proprietà elementari
Definizione 1.1.1 Sia E uno spazio vettoriale (o lineare) sul campo C dei numeri complessi.
Una norma su E è un’applicazione di E in R che associa a v 7→k v k con le seguenti proprietà:
(i) kvk ≥ 0, ∀v ∈ E
(ii) kvk = 0 ⇔ v = 0
(iii) kαvk = |α|kvk, ∀α ∈ C, ∀v ∈ E
(iv) kv + wk ≤ kvk + kwk ∀v, w ∈ E
Uno spazio E su cui è definita una norma è detto uno spazio normato. In uno spazio normato
si può introdurre una distanza ponendo
ρ(v, w) = kv − wk
cioè ρ soddisfa le seguenti proprietà:
(D1) ρ(v, w) ≥ 0, ∀v, w ∈ E
(D2) ρ(v, w) = 0 ⇔ v = w
(D3) ρ(v, w) = ρ(w, v), ∀v, w ∈ E
2
1. Spazi di Banach e Spazi di Hilbert
(D4) ρ(u, v) ≤ ρ(u, w) + ρ(w, v), ∀u, v, w ∈ E
La (D4) è nota come disuguaglianza triangolare.
Esercizio 1.1.2 Verificare che ρ verifica le condizioni (D1)-(D4).
Ogni spazio normato è dunque uno spazio metrico, ma il viceversa è falso. Dalle proprietà
della distanza, infatti, non discende la (iii) della Def. 1.1.1.
Gli spazi vettoriali normati sono esempi particolari dei cosiddetti spazi localmente convessi.
L’importanza di questi spazi sta nel fatto che, grazie alla struttura lineare, la topologia dello
spazio è nota quando sia nota una base d’intorni di un prefissato punto x0 . In particolare, si
può scegliere x0 = 0. Infatti se U = {U } è una base d’intorni di zero è facile verificare che
Ux = {x + U } dove
x + U = {x + y : y ∈ U }
è una base d’intorni di x.
Esercizio 1.1.3 Dimostrare l’asserzione precedente.
In parole povere, in uno spazio localmente convesso, gli intorni di x si ottengono traslando
di x gli intorni di zero.
E’ utile a questo punto ricordare alcune definizioni e proprietà relative agli spazi metrici.
Definizione 1.1.4 Sia (E, ρ) uno spazio metrico. Una successione {xn } di elementi di E è
detta una successione di Cauchy se ∀ > 0 ∃N () tale che se n, m ≥ N () ⇒ ρ(xn , xm ) < .
Proposizione 1.1.5 Ogni successione convergente è di Cauchy.
Dimostrazione – Sia xn → x e scegliamo > 0 ; allora esiste N () tale che per n > N () ρ(xn , x) < /2.
Se anche m > N () allora ρ(xm , x) < /2 e quindi
ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , x) + ρ(xm , x) < per n, m > N ()
Definizione 1.1.6 Uno spazio metrico (E, ρ) è detto completo se ogni successione di Cauchy
converge in E
Esempio 1.1.7
Gli spazi C e R sono completi; lo spazio Q dei numeri razionali non è completo.
Definizione 1.1.8 Un sottoinsieme B di uno spazio metrico (E, ρ) è detto denso ( in E) se
ogni x di E è il limite di una successione di elementi di B; cioè se
∀x ∈ E ∃(xn )n ⊂ B : xn → x
1.1. Spazi normati e spazi di Banach
3
Per esempio Q è denso in R.
Definizione 1.1.9 Uno spazio normato (E, k · k) è completo se esso è completo come spazio
metrico con la metrica indotta. Uno spazio normato completo è detto uno spazio di Banach.
1.1.2
Esempi di spazi di Banach
In questa sezione discuteremo due esempi di spazi di funzioni che sono spazi di Banach.
Esempio 1.1.10
Indichiamo con C[0, 1] l’insieme delle funzioni continue nell’intervallo chiuso [0, 1] a valori in C. È facile
rendersi conto del fatto che C[0, 1] è uno spazio vettoriale sul campo dei complessi. Se f ∈ C[0, 1] poniamo
kf k = sup |f (x)|
(1.1)
x∈[0,1]
Si può dimostrare facilmente (esercizio!) che in questo modo si definisce una norma in C[0, 1]. Per
provare la completezza di questo spazio basta notare che la convergenza di una successione {fn } rispetto
alla norma ( 1.1 ) è equivalente alla convergenza uniforme ed utilizzare il ben noto risultato che afferma
che se una successione {fn } di funzioni continue converge uniformemente a una funzione f , allora f è
continua.
Esempio 1.1.11
(Spazi Lp ) Siano f, g due funzioni misurabili (secondo Lebesgue) in R. Si dice che f e g sono equivalenti
se l’insieme
{x ∈ R : f (x) 6= g(x)}
ha misura nulla ovvero se f (x) = g(x) quasi ovunque (q.o.). Con Lp (R) , 1 ≤ p < ∞ indichiamo l’insieme delle classi di equivalenza (rispetto alla relazione definita sopra) delle funzioni misurabili (secondo
Lebesgue) tali che
Z
1/p
p
kf kp ≡
|f (x)| dx
<∞
(1.2)
R
Il seguente teorema implica che Lp (R) è uno spazio di Banach.
Teorema 1.1.12 In Lp (R) , 1 ≤ p < ∞ valgono le seguenti affermazioni
(i) (Disuguaglianza di Minkowki) Se f, g ∈ Lp (R), allora
kf + gkp ≤ kf kp + kgkp
(ii) (Teorema di Riesz-Fisher) Lp (R) è completo.
Dimostrazione – Dimostreremo solo la (ii).
Sia fn una successione di Cauchy in Lp (R). Allora esiste una sottosuccessione fni , n1 < n2 < · · · ,
tale che
kfni+1 − fni kp < 2−i (i = 1, 2, 3, . . .)
(1.3)
Poniamo
gk =
k
X
i=1
|fni+1 − fni |,
g=
∞
X
i=1
|fni+1 − fni |
(1.4)
4
1. Spazi di Banach e Spazi di Hilbert
Poiché vale ( 1.3 ), la disuaglianza di Minkowski implica che kgk kp < 1 per k = 1, 2, 3. · · · . Per il lemma
di Fatou, applicato a gk (x)p , risulta allora kgkp ≤ 1 . In particolare g(x) < ∞ quasi ovunque (q.o.),
cosicché la serie
∞
X
fn1 +
(fni+1 − fni )
(1.5)
i=1
converge assolutamente per quasi ogni x ∈ R. Indichiamo la somma di ( 1.5 ) con f (x) per quegli x in
cui ( 1.5 ) converge; poniamo, inoltre, f (x) = 0 sul rimanente insieme di misura nulla. Poiché
fn1 +
k−1
X
(fni+1 − fni ) = fnk ,
(1.6)
i=1
si vede che
f (x) = lim fni q.o.
i→∞
(1.7)
Vogliamo provare che f è anche il limite in Lp di fn . Scegliamo > 0. Allora esiste un N tale che
kfn − fm kp < se n > N ed m > N . Per ogni m > N , sempre dal lemma di Fatou segue che
Z
Z
|f − fm |p dx ≤ lim inf
|fni − fm |p dx.
(1.8)
R
i→∞
R
Quindi f − fm ∈ Lp (R) . Di conseguenza f ∈ Lp (R) e infine kf − fm kp → 0 per m → ∞. Questo
completa la dimostrazione.
Non entriamo in ulteriori dettagli sugli spazi Lp perché andremmo lontano dai nostri scopi.
Ci limitiamo a ricordare, senza dimostrarla, una rilevante proprietà di approssimazione con
funzioni continue.
Teorema 1.1.13 Per 1 ≤ p < ∞ lo spazio C0 (R) delle funzioni continue a supporto compatto
in R è denso in Lp (R).
Per concludere questa breve discussione sugli spazi Lp sottolineamo che si possono anche considerare gli spazi Lp (E) dove E è un qualsiasi insieme misurabile in R e che, sempre nell’ipotesi
1 ≤ p < ∞, le proprietà stabilite sopra continuano a valere.
1.1.3
Operatori lineari in uno spazio di Banach
Anche se ci stiamo occupando di spazi di Banach alcune proprietà elementari degli operatori
lineari non dipendono dalla completezza dello spazio e verranno perciò date per spazi normati.
Definizione 1.1.14 Un’ applicazione T da uno spazio normato (E1 , k · k1 ) nello spazio normato
(E2 , k · k2 ) è detta operatore lineare limitato se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
(i) T (αv + βw) = αT v + βT w ∀v, w ∈ E1 e ∀α, β ∈ C
(ii) Esiste una costante C ≥ 0 tale che kT vk2 ≤ Ckvk1 ∀v ∈ E1
1.1. Spazi normati e spazi di Banach
5
Il più piccolo C per cui (ii) è soddisfatta è detto norma di T e si indica con kT k. Si ha
kT k = sup kT vk2
(1.9)
kvk1 =1
Abbiamo detto che gli spazi normati sono spazi metrici e negli spazi metrici si introduce, nel
modo a tutti noto, il concetto di continuità di un’applicazione (sia essa lineare o no). In spazi
normati, la nozione di continuità per operatori lineari è del tutto equivalente alla nozione di
limitatezza introdotta sopra (nel teorema che segue useremo la stessa notazione per norme in
spazi differenti; non vi è, infatti, pericolo di ambiguità).
Teorema 1.1.15 Sia T un operatore lineare dallo spazio normato E nello spazio normato F .
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(i) T è continuo in un punto
(ii) T è continuo in ogni punto
(iii) T è limitato
Dimostrazione – (i) ⇒ (ii) Sia T continuo in x0 . Allora ∀ > 0 esiste un intorno U (x0 ) tale che
∀x ∈ U (x0 ) riesce
kT x − T x0 k < Sia y0 un qualunque punto di E. È facile vedere che V = y0 − x0 + U (x0 ) è un intorno di y0 e che per
y ∈ V si ha kT y − T y0 k < .
(ii) ⇒ (iii) . Evidentemente T è continuo in zero. Allora scelto = 1 esiste un δ > 0 tale che per
x 1
1
1
kxk < δ si ha kT xk < 1. Sia x 6= 0 e y = kxk
C con 0 < C < δ allora, evidentemente kyk = C < δ e
1
kT yk = Ckxk
kT xk < 1 cosicché
kT xk < Ckxk.
(iii) ⇒ (i). Se kT xk < Ckxk per ogni x ∈ E, per kxk <
C
risulta kT xk < e quindi T è continuo.
Indichiamo con B(E, F ) l’ insieme degli operatori lineari limitati da E in F . È facile
dimostrare che la somma di operatori limitati è un operatore limitato. E lo stesso vale per il
multiplo scalare di un operatore. B(E, F ) è quindi uno spazio lineare.
Esercizio 1.1.16 Dimostrare l’ultima asserzione. Provare inoltre che se F è uno spazio di Banach,
anche B(E, F ) è uno spazio di Banach rispetto alla norma (1.9).
1.1.4
Forme lineari continue e duale di uno spazio di Banach
Fra gli operatori lineari discussi nella sezione precedente rientrano certamente quelli per i quali
in particolare F = C. Gli elementi di B(E, C) prendono il nome di forme o funzionali lineari
continui (o, che è lo stesso, limitati) su E. Una notazione corrente è E 0 = B(E, C). Lo spazio
E 0 è detto spazio duale di E. La norma di un elemento f di E 0 è definita dalla (1.9) che si può
anche scrivere nella forma
|f (x)|
kf k = sup
x∈E kxk
6
1. Spazi di Banach e Spazi di Hilbert
Non è questa la sede per addentrarci in uno studio dettagliato della teoria della dualità. Ci
limitiamo quindi ad alcune osservazioni e a mostrare alcuni esempi.
Esempio 1.1.17
(Spazi Lp ) Sia Lp (R) , 1 ≤ p < ∞ lo spazio discusso nell’ Esempio 2. Valgono le seguenti affermazioni:
(i) Siano f ∈ Lp (R) e g ∈ Lq (R) con p−1 + q −1 = 1. Allora f g ∈ L1 (R) e
kf gk1 ≤ kf kp kgkq
(disuguaglianza di Hölder)
0
(ii) Sia T un elemento di {Lp (R)} . Allora esiste g ∈ Lq (R) , p−1 + q −1 = 1 , con kgkq = kT kLp 0 tale
che
Z
T (f ) =
f (x)g(x) dx
R
Quindi Lp 0 è isometricamente isomorfo a Lq .
In pratica le affermazioni precedenti dicono che Lq è il duale di Lp e poiché i ruoli di p e di q si possono
scambiare anche Lp è il duale di Lq . In altri termini Lp è il biduale di se stesso. Tuttavia ciò non è
in genere vero per spazi di Banach arbitrari. Per esempio il duale di L1 è lo spazio L∞ delle funzioni
essenzialmente limitate. Tuttavia il duale di L∞ non è L1 ma uno spazio molto più grande. Uno spazio
di Banach che coincide col suo biduale è detto riflessivo. Prima di concludere, notiamo il caso in cui
p = 2. La discussione precedente mostra che il duale di L2 è lo spazio L2 stesso. Questa è la situazione
che tipicamente si presenta per gli spazi di Hilbert di cui lo spazio L2 è un esempio.
1.2
1.2.1
La Geometria dello Spazio di Hilbert
Definizioni ed esempi
Definizione 1.2.1 Sia V uno spazio lineare. Un’applicazione che associa ad una coppia ordinata
{x, y} di elementi di V × V un numero complesso (x, y) è detta un prodotto scalare se sono
soddisfatte le seguenti condizioni:
(i) (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z)
(ii) (x, y) = (y, x)
(iii) (x, x) ≥ 0 ∀x ∈ V
(iv) (x, x) = 0 ⇔ x = 0
dove x, y, z sono elementi di V e λ, µ numeri complessi.
Esercizio 1.2.2 Dimostrare che valgono le seguenti proprietà elementari.
• (0, y) = 0, ∀y ∈ V
• (x, λy) = λ̄(x, y)
1.2. La Geometria dello Spazio di Hilbert
7
• (x, y + z) = (x, y) + (x, z)
La (iii) e la (iv) della def. 1.2.1 permettono di definire una norma in V , ponendo
kxk = (x, x)1/2
Per verificare che si tratta effettivamente di una norma nel senso della Sezione 1.1 bisogna
provare le disuguaglianze stabilite nel seguente teorema.
Proposizione 1.2.3 In uno spazio V in cui è definito un prodotto scalare valgono le seguenti
disuguaglianze:
(i) (Disuguaglianza di Schwarz) |(x, y)| ≤ kxkkyk
(ii) (Disuglianza triangolare) kx + yk ≤ kxk + kyk
comunque presi x, y ∈ V .
Dimostrazione – (i) Siano x, y ∈ V . Se (x, y) = 0 non c’è nulla da dimostrare. Supponiamo dunque
che (x, y) 6= 0 e sia a è uno scalare. Si ha
0 ≤ (x + ay, x + ay) = (x, x) + (x, ay) + (ay, x) + (ay, ay)
Scegliendo
a=−
kxk2
,
(y, x)
si perviene a
0 ≤ kxk2 − kxk2 − kxk2 +
kxk4 kyk2
|(x, y)|2
E quindi l’asserto.
(ii)
(x + y, x + y) = kxk2 + 2<(x, y) + kyk2
≤ kxk2 + 2|(x, y)| + kyk2
≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2
e questo prova l’affermazione.
Quindi uno spazio con prodotto scalare è uno spazio normato ed è perciò metrizzabile, come
abbiamo visto nella sezione precedente.
Definizione 1.2.4 Due vettori, x e y di uno spazio a prodotto scalare V si dicono ortogonali
se (x, y) = 0. Una famiglia {xi } di vettori di V è detta una famiglia ortonormale se (xi , xi ) = 1
e (xi , xj ) = 0 per i 6= j.
Esercizio 1.2.5 Siano x e y vettori ortogonali di uno spazio a prodotto scalare V e sia z = x + y.
Dimostrare che vale il teorema di Pitagora; cioè che kzk2 = kxk2 + kyk2 .
8
1. Spazi di Banach e Spazi di Hilbert
Definizione 1.2.6 Uno spazio a prodotto scalare H che sia completo rispetto alla norma definita
sopra è detto uno spazio di Hilbert.
Esempio 1.2.7
Per n fissato lo spazio Cn di tutte le n-ple di numeri complessi
z = (z1 , z2 , . . . , zn )
è uno spazio di Hilbert se il prodotto scalare di z e di w = (w1 , w2 , . . . , wn ) è definito da
(z, w) =
n
X
zj w̄j
j=1
Esempio 1.2.8
Lo spazio L2 (R) definito nel capitolo precedente è uno spazio di Hilbert se il prodotto scalare di due
elementi f, g è definito da
Z
(f, g) =
f (x)g(x) dx
(1.10)
R
Per rendersi conto del fatto che (1.10) è ben definito, basta ricordare la disuguaglianza di Hölder. La
completezza di L2 (R) è già stata stabilita col teorema di Riesz-Fisher. Sottolineamo il fatto che la
disuguaglianza triangolare provata in (1.2.3 ), nel caso di L2 (R) è un caso particolare della disuguaglianza
di Minkowski.
Esempio 1.2.9
Lo spazio C[0, 1] delle funzioni complesse continue in [0, 1] è uno spazio a prodotto scalare se si pone
Z 1
(f, g) =
f (x)g(x) dx
0
ma non è uno spazio di Hilbert. Consideriamo infatti la successione di funzioni

0 se 0 ≤ x ≤ 12 − n1

n
1
1
x − 2 + 2 se 21 − n1 ≤ x ≤ 12 + n1
fn (x) =
 2
1
se 21 + n1 ≤ x ≤ 1
per n > 2.
È facile verificare che se f è la funzione discontinua
0 se 0 ≤ x ≤ 12
f (x) =
1 se 21 < x ≤ 1
si ha
Z
lim
n→∞
1
|fn (x) − f (x)|2 dx = 0
0
Quindi fn è una successione di Cauchy in C[0, 1] (perché è convergente) ma f 6∈ C[0, 1].
} Osservazione 1.2.10 In uno spazio a prodotto scalare V o, in particolare, in uno spazio di Hilbert,
si possono introdurre due nozioni di convergenza per una successione xn di vettori. La prima è la convergenza rispetto alla norma definita dal prodotto scalare, detta talvolta convergenza forte: la successione
1.2. La Geometria dello Spazio di Hilbert
9
xn converge fortemente a x se kxn − xk converge a zero; la seconda è la cosiddetta convergenza debole:
la successione xn converge debolmente a x se (xn , y) → (x, y) ∀y ∈ V . Dalla disuguaglianza di Schwarz
segue immediatamente che la convergenza forte implica la debole, ma il viceversa non è vero. Per rendercene conto, consideriamo la successione fn (x) = sin nx, n = 1, 2, . . . in L2 (0, π). Un facile calcolo mostra
che kfn − fm k22 = π e quindi la successione {fn } non converge fortemente. D’altra parte se g ∈ L2 (0, 2π)
allora (fn , g) → 0 e quindi fn converge debolmente a zero (questo fatto deriva dalla disuguaglianza di
Bessel che proveremo in seguito).
Prima di concludere questa sezione diamo, sotto forma di lemma, due identità che ci saranno
utili nel seguito.
Lemma 1.2.11 In uno spazio a prodotto scalare V valgono le seguenti identità:
kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 ,
∀x, y ∈ V
3
1X k
i kx + ik yk2 ,
(x, y) =
4
∀x, y ∈ V.
k=0
La dimostrazione è lasciata come esercizio.
1.2.2
Sottospazi e teorema di proiezione
Definizione 1.2.12 Una sottospazio M di uno spazio di Hilbert H è un sottoinsieme di H tale
che se x, y ∈ M e λ, µ ∈ C allora λx + µy ∈ M. Un sottospazio chiuso M di H è un sottospazio
chiuso rispetto alla norma di H.
È abbastanza chiaro che se M è un sottospazio chiuso di H allora è esso stesso uno spazio di
Hilbert con la norma indotta.
Definizione 1.2.13 Sia Y un sottoinsieme di H. Il complemento ortogonale di Y, che viene
indicato con Y ⊥ , è l’insieme dei vettori di H che sono ortogonali a Y.
La seguente proposizione fornisce alcune proprietà elementari del complemento ortogonale.
Proposizione 1.2.14 Siano X e Y sottoinsiemi di H valgono allora le seguenti proprietà:
(i) X ⊂ Y ⇒ Y ⊥ ⊂ X ⊥
(ii) X
⊥
= X ⊥ dove X indica la chiusura di X in H
(iii) X ⊥⊥⊥ = X ⊥
Esercizio 1.2.15 Dimostrare che Y ⊥ è un sottospazio chiuso di H e che Y ∩ Y ⊥ = {0}.
10
1. Spazi di Banach e Spazi di Hilbert
Di particolare interesse è il caso dei sottospazi. Il seguente teorema mostra che esistono
vettori perpendicolari ad ogni sottospazio chiuso e, inoltre, che essi sono abbastanza numerosi
da far sı̀ che
H = M + M⊥ = {x + y|x ∈ M, y ∈ M⊥ }
Lemma 1.2.16 Sia H uno spazio di Hilbert e M un suo sottospazio chiuso. Per ogni x ∈ H
esiste un elemento z ∈ M che realizza la minima distanza di x da M.
Dimostrazione – Sia d = inf y∈M kx−yk. Allora esiste una successione {yn } ⊂ M tale che kx−yn k → d.
Ma allora, utilizzando il Lemma 1.2.11, si ha
kyn − ym k2
= k(yn − x) − (ym − x)k2
2kyn − xk2 + 2kym − xk2 − k − 2x + yn + ym k2
1
= 2kyn − xk2 + 2kym − xk2 − 4kx − (yn + ym )k2
2
≤ 2kyn − xk2 + 2kym − xk2 − 4d2
=
(1.11)
e quest’ultimo termine tende a zero per n, m → ∞. Quindi {yn } è una successione di Cauchy che, dunque,
converge ad un elemento z ∈ M. È facile verificare che kx−zk = d. Per dimostrare l’unicità, supponiamo
che z 0 sia un altro elemento di M soddisfacente le stesse proprietà. Con calcoli simili ai precedenti si
trova:
kz − z 0 k2
=
2kz − xk2 + 2kz 0 − xk2 − k − 2x + z + z 0 k2
≤
2kz − xk2 + 2kz 0 − xk2 − 4d2 = 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0
(1.12)
Teorema 1.2.17 Sia H uno spazio di Hilbert ed M un suo sottospazio chiuso. Ogni x ∈ H
può essere decomposto, in unico modo, nella somma
x = z + w con z ∈ M, w ∈ M⊥ .
Dimostrazione – Sia x ∈ H e z l’elemento determinato in base al lemma precedente. Posto w = x − z,
la sola cosa che occorre dimostrare è che w ∈ M⊥ . Sia y ∈ M e t ∈ R; si ha:
d2 ≤ kx − (z + ty)k2 = kw − tyk2 = d2 − 2t<(w, y) + t2 kyk2
(1.13)
Questo implica che −2t<(w, y) + t2 kyk2 ≥ 0 ∀t ∈ R; perché ciò accada è necessario e sufficiente che
il discriminante ∆ di questo polinomio sia non positivo. Ma ∆/4 = <(w, y)2 ; quindi, necessariamente,
<(w, y) = 0. Un calcolo analogo, con it al posto di t, mostra che anche =(w, y) = 0.
Un’interessante conseguenza del teorema di proiezione è la seguente
Proposizione 1.2.18 Sia M un sottospazio di H allora M = M⊥⊥ .
Dimostrazione – Supponiamo che M⊥⊥ ⊃ M; allora se x ∈ M⊥⊥ \M , si può decomporre x nella
⊥
somma x = y + z con y ∈ M e z ∈ M = M⊥ (vedi prop. 1.2.14). Ne segue che, se h ∈ M⊥ , si ha
0 = (x, h) = (y, h) + (z, h) = (z, h)
e quindi z ∈ M⊥⊥ ; cosicché z = 0 e x ∈ M, contro l’ipotesi.
1.2. La Geometria dello Spazio di Hilbert
11
Il seguente teorema, noto come Lemma di Riesz o anche come Teorema di rappresentazione
di Riesz, è uno dei risultati fondamentali della teoria degli spazi di Hilbert di cui caratterizza i
funzionali lineari continui. Esso è dovuto a Riesz e a Fréchet.
Teorema 1.2.19 Sia H uno spazio di Hilbert ed y ∈ H. Posto
Ly (x) = (x, y) ∀x ∈ H
Ly è un funzionale lineare e continuo su H e kLy k = kyk
Viceversa se L è un funzionale lineare continuo su H, allora esiste un unico y ∈ H tale che
L ≡ Ly .
Dimostrazione – Che Ly è un funzionale continuo segue subito dalla disuguaglianza di Schwarz. La
stessa disuguaglianza prova che kLy k ≤ kyk. D’altra parte, se y 6= 0,
y y
kLy k = sup |Ly (x)| ≥ Ly
=
,
y
= kyk
kyk kyk
kxk=1
e questo conclude la prova della prima parte. Per dimostrare il viceversa, consideriamo un funzionale
lineare continuo L su H. Possiamo supporre che L 6= 0 (in caso contrario basta scegliere y = 0). Posto
M = KerL, M è un sottospazio chiuso di H che non coincide con H. Allora M⊥ 6= {0}. Sia u ∈ M⊥
con kuk = 1. Si ha:
L(L(u)x − L(x)u) = L(u)L(x) − L(x)L(u) = 0
e perciò L(u)x − L(x)u ∈ M. Dato che u ∈ M⊥ si ha:
0 = (L(u)x − L(x)u, u) = L(u)(x, u) − L(x)
cioè
L(x) = (x, u)L(u)
Posto y = uL(u) si ha L ≡ Ly .
Proviamo l’unicità. Sia z ∈ H un altro vettore tale che L = Lz . Allora
ky − zk = kLy−z k = kLy − Lz k = kL − Lk = 0
e quindi y = z.
Un’ interessante applicazione del lemma di Riesz è il seguente
Teorema 1.2.20 Sia B(·, ·) una forma sesquilineare limitata su H, cioè un’applicazione di
H × H in C che soddisfa le seguenti condizioni:
(i) B(αx + βy, z) = αB(x, z) + βB(y, z)
(ii) B(x, αy + βz) = ᾱB(x, y) + β̄B(x, z)
(iii) Esiste C > 0 tale che |B(x, y)| ≤ Ckxkkyk
12
1. Spazi di Banach e Spazi di Hilbert
per ogni x, y, z ∈ H, α, β ∈ C allora esiste un unico operatore lineare limitato A da H in H tale
che
B(x, y) = (x, Ay) ∀x, y ∈ H
e
kAk =
sup
|B(x, y)|
kxk=kyk=1
Dimostrazione – Fissato y ∈ H, By (x) = B(x, y) è un funzionale lineare limitato. Per il lemma di
Riesz, esiste z ∈ H tale che
By (x) = B(x, y) = (x, z) ∀x ∈ H.
Posto Ay = z, si definisce in questo modo un’applicazione A di H in sè. È facile provare che A è un
operatore lineare. Per provare che è limitato calcoliamo kAyk2
kAyk2 = (Ay, Ay) = B(Ay, y) ≤ kAykkyk.
Resta da provare l’unicità. Sia A0 un altro operatore lineare tale che B(x, y) = (x, Ay) ∀x, y ∈ H. Allora
(x, A0 y − Ay) = 0, ∀x ∈ H; ma H⊥ = {0}. Ciò conclude la dimostrazione.
1.2.3
Basi ortonormali
In uno spazio di dimensione finita gioca, come si sa, un ruolo fondamentale il concetto di base.
Lo scopo di quanto faremo in seguito è di estendere il concetto di base a uno spazio di Hilbert:
la cosa non è, evidentemente, banale essendo uno spazio di Hilbert, in genere, di dimensione
infinita. Abbiamo già definito cosa intendiamo per sistema ortonormale di vettori. Un insieme
ortonormale S di vettori di H è detto una base ortonormale di H se S non è contenuto propriamente in nessun altro insieme di vettori ortonormali di H. Con un semplice argomento che fa
uso del lemma di Zorn si può dimostrare il seguente:
Teorema 1.2.21 Ogni spazio di Hilbert ha una base ortonormale
} Osservazione 1.2.22 Il teorema precedente non dice nulla sulla cardinalità di una base. Noi non ci
addentreremo nello studio di questo particolare aspetto della teoria. Ci limiteremo ad osservare che, oltre
agli spazi di Hilbert di dimensione finita, che posseggono quindi una base costituita da un numero finito
di vettori, esistono spazi di Hilbert che ammettono una base numerabile di vettori ortonormale e spazi di
Hilbert con base ortonormale non numerabile. Quest’ultimo caso è per noi di scarso interesse. Gli spazi
di Hilbert che noi considereremo saranno sempre separabili (cioè ammettono un insieme di vettori denso
e numerabile).
Esercizio 1.2.23 Dimostrare che lo spazio P
H delle funzioni f : [0, 1] → C che sono non nulle al
più in un sottoinsieme numerabile di [0, 1] e t∈[0,1] |f (t)|2 < ∞ è uno spazio di Hilbert rispetto al
prodotto interno
X
(f, g) :=
f (t)g(t), f, g ∈ H.
t∈[0,1]
Dimostrare che il sottospazio F delle funzioni f : [0, 1] → R tali che f (t) 6= 0 solo per un numero
finito di punti t ∈ [0, 1] costituisce un sottospazio denso di H. Dimostrare che H non è separabile.
1.2. La Geometria dello Spazio di Hilbert
13
Vale il seguente
Teorema 1.2.24 Uno spazio di Hilbert è separabile se, e soltanto se, ammette una base ortonormale costituita, al più, da una infinità numerabile di vettori.
Prima di andare avanti è opportuno stabilire alcune proprietà elementari dei sistemi ortonormali di vettori.
Lemma 1.2.25 Sia S = {ei , i ∈ I} un sistema di vettori ortonormali. I vettori di S sono
linearmente indipendenti (nel senso che ogni sottoinsieme finito di S è costituto da vettori linearmente indipendenti). Viceversa, se S = {yn , n ∈ Z} è un insieme numerabile di vettori
linearmente indipendenti, esiste un sistema ortonormale S 0 = {en , n ∈ Z} in cui ciascun en è
combinazione lineare dei primi n yk (Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt).
Dimostrazione – La dimostrazione della prima affermazione è lasciata come esercizio.
Proviamo la seconda parte. Poniamo z1 = y1 e e1 = kzz11 k ; definiamo z2 = y2 + λe1 e calcoliamo λ in
modo che (e1 , z2 ) = 0. Il risultato è che deve essere λ = −(y2 , e1 ). A questo punto si definisce e2 = kzz22 k .
Iterando il procedimento, si perviene all’ n-simo passo alla
zn = yn −
n−1
X
(yn , ek )ek
k=1
Ancora una volta, non resta che porre en =
zn
kzn k .
Esercizio.– In L2 (0, 1) dimostrare che le funzioni della successione fn (x) = xn , n ∈ N sono
linearmente indipendenti. Applicare il procedimento di Gram-Schmidt alle prime quattro di
esse.
È utile avere a disposizione qualche criterio che ci permetta di stabilire se una data successione di vettori ortonormali en costituisce una base. Cominciamo con l’osservare che se en è una
successione ortonormale ed x un vettore arbitrario di H la serie
∞
X
(x, ei )ei
i=1
è sempre convergente in H. Infatti
n
n
X
X
x−
(x, ei )ei , x −
(x, ei )ei
0 ≤
i=1
= kxk2 − 2
= kxk2 −
n
X
i=1
n
X
|(x, ei )|2 +
i=1
n
X
(x, ej )(x, ei )(ei , ej )
i,j=1
|(x, ei )|2
i=1
ne segue che
Pn
i=1 |(x, ei )|
2
≤ kxk2 , per ogni n, quindi
∞
X
i=1
!
|(x, ei )|2 ≤ kxk2
(1.14)
14
1. Spazi di Banach e Spazi di Hilbert
Questa è nota come disuguaglianza di Bessel. Essa implica, in particolare che
converge sempre (anche se non necessariamente ad x).
P∞
i=1 (x, ei )ei
Teorema 1.2.26 Sia {en } una successione di vettori ortonormali di H. {en } è una base ortonormale se, e soltanto se, l’unico vettore di H ortogonale a tutti i vettori di {en } è il vettore
nullo.
Dimostrazione – Se {en }⊥ 6= {0}, esiste in H un vettore z non nullo ortogonale a tutti i vettori en . Il
sistema costituito da z e dai vettori en è, allora, un sistema di vettori ortonormali (se si sceglie kzk = 1)
che contiene propriamente la successione data, che quindi non può essere una base.
Viceversa, se {en }⊥ = {0} allora è chiaro che il sistema degli en non può essere incluso in nessun
altro sistema ortogonale.
La seguente proposizione chiarisce il senso del nome base dato a un sistema di vettori
ortonormali massimale.
Proposizione 1.2.27 Sia {en } una successione di vettori ortonormali di H. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(i) {en } è una base ortonormale
P
(ii) x = ∞
i=1 (x, ei )ei ∀x ∈ H
P
(iii) (x, y) = ∞
i=1 (x, ei )(ei , y) ∀x, y ∈ H
P
2 ∀x ∈ H (uguaglianza di Parseval)
(iv) kxk2 = ∞
i=1 |(x, ei )|
Dimostrazione
P∞ – (i) ⇒ (ii). (x −
1.2.26, x − i=1 (x, ei )ei = 0.
P∞
i=1 (x, ei )ei , ej )
= (x, ej ) − (x, ej ) = 0 e quindi, per il teorema
(ii) ⇒ (iii). Basta moltiplicare scalarmente x e y dove averli rappresentati come in (ii).
(iii) ⇒ (iv). Basta porre nella (iii) x = y
(iv) ⇒ (i). Supponiamo che x sia ortogonale a tutti gli ei . Allora, dalla (iv), kxk = 0 e dunque
x = 0. L’affermazione segue quindi dal teorema 1.2.26.
Esempio 1.2.28
Sviluppo in serie di Fourier.– Nello spazio di Hilbert L2 (0, 2π), le funzioni zn (x) = einx , n ∈ Z costituiscono un insieme ortogonale . Poiché kzn k22 = 2π, le funzioni en (x) = (2π)−1/2 einx costituiscono un
insieme ortonormale. Per mostrare che è una base, occorre far vedere che l’unico vettore di L2 (0, 2π)
ortogonale a tutte le en è il vettore nullo. Sia f una funzione continua in (0, 2π) tale che
Z 2π
f (x)e−inx dx = 0 ∀n ∈ Z
0
questo implica che
Z
2π
T (x)f (x) dx = 0
0
per ogni polinomio trigonometrico T (x). Se f 6= 0 esiste un x0 tale che f (x0 ) 6= 0; si può allora assumere
che f (x0 ) = η > 0; per la continuità di f esiste un intorno di x0 , (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (0, 2π) tale che
1.3. Appendice: basi generali
15
f (x) > η/2 > 0. Consideriamo il polinomio trigonometrico T (x) = 1 − cosδ + cos(x − x0 ). T (x) gode
delle seguenti proprietà:

 > 1 |x − x0 | < δ
= 1 x − x0 = ±δ
T (x)

< 1 |x − x0 | > δ
e quindi
Z
x0 +δ
x0 −δ
Z
Z 2π
Z 2π
x0 −δ
n
n
n
|f (x)| dx
T (x)f (x) dx +
T (x)f (x) dx ≤
T (x)f (x) dx = 0
0
x0 +δ
perché T n (x) < 1 per |x − x0 | > δ. Sia µ = min{T (x), x ∈ (x0 − δ/2, x0 + δ/2)}. In quest’intervallo
f (x) > η/2. Quindi
Z x0 +δ/2
Z x0 +δ
η
T n (x)f (x) dx ≥ µn δ
T n (x)f (x) dx ≥
2
x0 −δ/2
x0 −δ
ma µ > 1 ; siamo perciò pervenuti a una contraddizione.
Sia f non continua ma in L2 (0, 2π) e quindi in L1 (0, 2π). Poniamo
Z x
F (x) =
f (t) dt.
0
F è continua e poiché f è ortogonale a qualunque polinomio trigonometrico, essa è ortogonale anche alle
funzioni costanti, cosicchè F (0) = F (2π) = 0. Se T (x) è un polinomio trigonometrico, integrando per
parti, si ha
Z
Z
2π
2π
T 0 (x)F (x) dx
T (x)f (x) dx = −
0=
0
0
T 0 è ancora un polinomio trigonometrico arbitrario (costanti a parte), quindi F è ortogonale a tutte le
funzioni del sistema, esclusa al più e0 (x) = 1. Per risolvere quest’ultimo punto poniamo
G(x) = F (x) − C
R 2π
1
F (x) dx, G è ortogonale a tutte le funzioni del sistema; allora, necessariamente, G = 0
con C = 2π
0
cioè F = C. Ma F (0) = 0 e, in definitiva, f = 0 quasi ovunque.
1.3
Appendice: basi generali
Definizione 1.3.1 Un successione {xn } di vettori di H costituisce una base di Schauder (diremo,
semplicemente, base) se, per ogni x ∈ H esiste un’unica successione {cn } tali che
x=
∞
X
cn xn ,
n=1
cioè se
N
X
cn xn → 0,
x −
per n → ∞.
n=1
Definizione 1.3.2 Un sistema di vettori S = {xα , α ∈ I} è detto completo se l’insieme delle
combinazioni lineari finite di elementi di S è denso in H.
16
1. Spazi di Banach e Spazi di Hilbert
Proposizione 1.3.3 Un sistema S di vettori di H è completo se, e soltanto se, S ⊥ = {0}.
} Osservazione 1.3.4
generale.
Ogni base di Schauder è un sistema completo. Il viceversa non è vero, in
Definizione 1.3.5 Due successioni {xn } e {yn } di vettori di H si dicono biortogonali se
(xn , ym ) = δn,m .
Sia H uno spazio di Hilbert separabile e {xn } una base di H. Allora ogni x ∈ HH si esprime
come
∞
X
x=
cn (x)xn .
n=1
Per ogni n ∈ N, l’applicazione cn : x ∈ H → cn (x) ∈ C è un funzionale lineare su H.
Teorema 1.3.6 L’applicazione cn : x ∈ H → cn (x) ∈ C è un funzionale lineare limitato su H.
[Vedi Young, pag 23]
Per il lemma di Riesz per ogni n ∈ N esiste un vettore yn tale che cn (x) = (x, yn ). Ovviamente (xk , yn ) = δk,n ; quindi {xn } e {yn } sono biortogonali. Si prova che anche {yn } è una base
di H. Dunque si ha:
∞
∞
X
X
x=
(x, yn )xn
x=
(x, xn )yn .
n=1
n=1
Dalle precedenti relazioni segue l’uguaglianza
kxk2 =
∞
X
(x, xn )(x, yn ).
n=1
Capitolo 2
Operatori limitati nello spazio di
Hilbert: aspetti generali
Sia H uno spazio di Hilbert. Indichiamo con B(H) l’insieme degli operatori lineari limitati su
H. Cioè A ∈ B(H) se, e soltanto se, A è lineare ed esiste C > 0 tale che
kAxk ≤ Ckxk,
∀x ∈ H.
(2.1)
Essendo H uno spazio di Banach, continuano, ovviamente, a valere tutte le affermazioni a suo
tempo fatte per gli operatori lineari su uno spazio di Banach. In particolare, B(H) è uno spazio
vettoriale su C. Tuttavia, nel caso di uno spazio di Hilbert, vi sono delle peculiarità rilevanti
sulle quali ci soffermeremo.
2.1
2.1.1
Definizioni di base
La norma di un operatore
Ricordiamo che in B(H) è possibile definire una norma nel modo seguente.
kAk =
kAxk
.
x∈H;x6=0 kxk
sup
Cioè, kAk è il più piccolo dei numeri C > 0 che soddisfano la (2.1). Lasciamo al lettore di
provare che kAk si può esprimere anche nei modi seguenti.
kAk = sup kAxk = sup kAxk.
kxk≤1
kxk=1
Esercizio 2.1.1 Verificare che la k · k definita sopra soddisfa le proprietà di una norma.
2.1.2
Aggiunto di un operatore
Sia A ∈ B(H), x, y ∈ H. Posto
LA,y (x) = (Ax, y)
18
2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali
LA,y è un funzionale lineare limitato su H; per il lemma di Riesz esiste allora un unico y ∗ ∈ H
tale che
LA,y (x) = (x, y ∗ ) ∀x ∈ H
Poniamo A∗ y = y ∗ . È facile verificare che A∗ è un operatore lineare. Le relazioni seguenti
mostrano che A è limitato
|(x, A∗ y)| = |(Ax, y)| ≤ kAkkxkkyk
per x = A∗ y si ha
kA∗ yk2 ≤ kAkkA∗ ykkyk
il che prova, ad un tempo, che A∗ è limitato e che kA∗ k ≤ kAk.
Un’immediata conseguenza della definizione di aggiunto è l’uguaglianza A∗∗ = A.
La precedente discussione può essere riassunta nel seguente
Teorema 2.1.2 Per ogni operatore A ∈ B(H) esiste un operatore limitato A∗ tale che
(Ax, y) = (x, A∗ y) ∀x, y ∈ H
(2.2)
Inoltre, A∗∗ = A e kAk = kA∗ k
Dimostrazione – Resta da provare soltanto l’uguaglianza delle norme. Abbiamo già visto che kA∗ k ≤
kAk, per ogni A ∈ B(H). Applicando questa stessa relazione ad A∗ si ha: kA∗∗ k ≤ kA∗ k ma A∗∗ = A e
quindi l’asserto.
Esempio 2.1.3
Sia I = [0, 1]. In L2 (I) consideriamo, per g ∈ C(I), lo spazio delle funzioni continue in I, l’operatore
Tg f = gf ∀f ∈ L2 (0, 1) . L’operatore Tg è limitato; infatti,
Z 1
Z 1
kTg f k2 =
|gf |2 dx ≤ max |g(x)|2
|f |2 dx.
x∈[0,1]
0
0
La relazione precedente mostra anche che kTg k ≤ kgk∞ := maxx∈[0,1] |g(x)|. In realtà, kTg k = kgk∞ .
Infatti, posto L = kgk∞ , per ogni a ∈]0, L[, l’insieme E = {x ∈ I : |g(x)| > a} è un aperto di misura
positiva. Indicata con χE (x) la funzione caratteristica di E (chiaramente, χE ∈ L2 (I)), si ha
Z
Z
2
2
|g(x)χE (x)| dx ≥ a
|χE (x)|2 dx.
I
I
Questa disuguaglianza implica a ≤ kTg k ≤ L. Ma a è arbitrario in ]0, L]. Dunque, kTg k = L.
Determiniamo adesso l’aggiunto; sia h ∈ L2 (0, 1), si ha:
Z 1
Z 1
(Tg f, h) =
gf h̄ dx =
g h̄ dx = (f, Tḡ h)
0
e quindi
Tg∗
= Tḡ . In particolare se g è reale,
0
Tg∗
= Tg .
Esercizio 2.1.4 Nell’esempio precedente si sostituisca l’ipotesi g ∈ C(I) con quella, evidentemente
più debole, g ∈ L∞ (I). Dimostrare che le affermazioni stabilite nell’Esempio 2.1.3 si estendono a
questo caso, con ovvie modifiche delle dimostrazioni.
2.1. Definizioni di base
19
Diamo adesso alcune proprietà elementari dell’applicazione ∗ : A ∈ B(H) 7→ A∗ ∈ B(H).
Esercizio 2.1.5 Dimostrare che se A, B ∈ B(H) e (Ax, x) = (Bx, x), per ogni x ∈ H, allora
A = B.
Proposizione 2.1.6
(a) A 7→ A∗ è un anti-isomorfismo isometrico di B(H) in B(H)
(b) (AB)∗ = B ∗ A∗
∗
(c) Se A ha un inverso limitato, A−1 , anche A∗ ha inverso limitato e (A∗ )−1 = (A−1 )
(d) kA∗ Ak = kAk2
Dimostrazione – (a) È facile dimostrare che (A + B)∗ = A∗ + B ∗ e che (λA)∗ = λ̄A∗ . Dal fatto che
A∗∗ = A ∀A ∈ B(H) segue che l’applicazione è suriettiva. Per l’iniettività, supponiamo che A∗ = 0.
Allora kA∗ k = kAk = 0 e quindi A = 0.
(b)
((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A∗ y) = (x, B ∗ A∗ y) ∀x, y ∈ H
(c) Se A ha inverso limitato, allora dalla (b) segue che
∗
∗
A∗ (A−1 ) = (A−1 A)∗ = I ∗ = I = (A−1 ) A∗
il che prova la (c).
(d) Abbiamo provato a suo tempo che kABk ≤ kAkkBk. Quindi kA∗ Ak ≤ kA∗ kkAk = kAk2 .
D’altra parte
kA∗ Ak ≥ sup (x, A∗ Ax) = sup kAxk2 = kAk2
kxk=1
kxk=1
Teorema 2.1.7 B(H) è una *-algebra di Banach.
Dimostrazione – L’applicazione A 7→ A∗ gode, come abbiamo visto, della proprietà A∗∗ = A; essa
è, cioè, un’involuzione in B(H). B(H) è pertanto un’algebra involutiva normata o, brevemente, una *algebra normata. Per completare la dimostrazione occorre provare che B(H) è uno spazio completo nella
sua norma. Sia {An } una successione di Cauchy in B(H). Allora, per ogni x ∈ H, la successione {An x}
è una successione di Cauchy in H ed ammette perciò limite y. Posto Ax = y, si definisce un operatore
lineare di H in sé. Proviamo che A è limitato. Dato che {An } è una successione di Cauchy, la successione
delle norme è limitata. Poniamo M = supn∈N kAn k. Si ha allora,
kAxk = lim kAn xk ≤ lim sup kAn k kxk ≤ M kxk,
∀x ∈ H.
n→∞
n→∞
Resta da provare che An converge ad A in norma. Se > 0, esiste n ∈ N tale che, per ogni
n, m > n , kAn − Am k < . Fissato n > n si ha
k(An − A)xk = lim k(An − Am )xk ≤ lim kAn − Am kkxk ≤ kxk.
m→∞
m→∞
Quindi, se n > n , risulta
kAn − Ak = sup k(An − Am )xk ≤ .
kxk≤1
20
2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali
} Osservazione 2.1.8 Una *-algebra di Banach A la cui norma soddisfa la condizione ka∗ ak = kak2 ,
per ogni a ∈ A è detta una C*-algebra. La (d) della proposizione 2.1.6 ci consente di concludere che
B(H) è una C*-algebra.
2.2
Alcuni tipi di operatori limitati
2.2.1
Operatori simmetrici, operatori positivi
Definizione 2.2.1 Un operatore A ∈ B(H) tale che A∗ = A è detto simmetrico ( o autoaggiunto
o hermitiano).
Un operatore simmetrico A ∈ B(H) è caratterizzato dalla proprietà che (Ax, x) è un numero
reale per ogni x ∈ H.
} Osservazione 2.2.2 Dato un qualsiasi operatore A ∈ B(H), poniamo
H=
A + A∗
,
2
K=
A − A∗
.
2i
Gli operatori H e K sono simmetrici e A = H + iK. Quindi ogni operatore A ∈ B(H) è combinazione
lineare di operatori simmetrici.
Esempio 2.2.3
L’operatore di moltiplicazione considerato nell’esempio 2.1.3 è simmetrico se, e soltanto se, g è una
funzione a valori reali.
Definizione 2.2.4 Un operatore A ∈ B(H) è detto positivo se (Ax, x) ≥ 0 per ogni x ∈ H.
Esempio 2.2.5
Dato un qualunque A ∈ B(H), l’operatore A∗ A è positivo. Infatti,
(A∗ Ax, x) = (Ax, Ax) = kAxk2 ≥ 0.
Proposizione 2.2.6 Un operatore positivo A ∈ B(H) è necessariamente simmetrico.
Dimostrazione – Si ha, infatti,
(Ax, x) = (x, Ax) = (x, Ax),
∀x ∈ H.
Dall’identità di polarizzazione segue, allora, che
(Ax, y) =
3
3
k=0
k=0
1X k
1X k
i (A(x + ik y), x + ik y) =
i (x + ik y, A(x + ik y)) = (x, Ay),
4
4
∀x, y ∈ H.
2.2. Alcuni tipi di operatori limitati
21
L’insieme degli elementi positivi di B(H) sarà indicato con B(H)+ . Esso è un cono; gode,
cioè, delle proprietà seguenti:
(a) A + B ∈ B(H)+ ,
(b) λA ∈ B(H)+ ,
∀A, B ∈ B(H)+ ;
∀A, B ∈ B(H)+ , ∀λ ≥ 0;
(c) B(H)+ ∩ {−B(H)+ } = {0}.
La nozione di positività ci permette di definire una relazione d’ordine nell’insieme B(H)s
degli operatori simmetrici di B(H). Se A, B ∈ B(H)s , diremo che A ≤ B se B − A ≥ 0.
Con una dimostrazione simile a quella fatta per la disuaglianza di Schwarz [Proposizione
1.2.3], si prova che, se A ≥ 0,
|(Ax, y)|2 ≤ (Ax, x)(Ay, y),
∀x, y ∈ H,
(2.3)
detta disuguaglianza di Schwarz generalizzata.
Se A ≥ 0, esistono m ≥ 0 e M > 0 tali che
mI ≤ A ≤ M I,
(2.4)
che equivale a dire
m(x, x) ≤ (Ax, x) ≤ M (x, x),
∀x ∈ H.
L’esistenza di m è ovvia. Quanto ad M si ha
(Ax, x) ≤ kAxkkxk ≤ kAkkxk2 = kAk(x, x),
∀x ∈ H.
Dunque kAk è un possibile valore di M . Si può anzi provare che kAk è la più piccola costante
positiva per cui la (2.4) è soddisfatta.
Una successione {An } di operatori limitati è detta limitata se esiste L > 0 tale che kAn k ≤ L,
per ogni n ∈ N. Per le successioni monotone e limitate di operatori simmetrici vale un teorema
di regolarità simile a quello che vale per le successioni di numeri reali con le stesse proprietà.
Teorema 2.2.7 Ogni successione monotona e limitata {An } di operatori simmetrici di B(H)
converge fortemente ad un operatore simmetrico limitato A, cioè,
lim kAn x − Axk = 0,
n→∞
∀x ∈ H.
Dimostrazione – Senza essere restrittivi si può supporre che
0 ≤ A1 ≤ A2 ≤ . . . ≤ An ≤ . . . ≤ I.
22
2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali
Siano n, m ∈ N con n > m. In questo caso An − Am ≥ 0. Applicando la (2.3), si ha, per ogni
x ∈ H, con kxk = 1,
k(An − Am )xk4 = ((An − Am )x, (An − Am )x)2
≤ ((An − Am )x, x)((An − Am )2 x, (An − Am )x).
Adesso osserviamo che, per le ipotesi fatte, ((An − Am )2 x, (An − Am )x) ≤ kxk2 . Dunque
k(An − Am )xk4 ≤ ((An − Am )x, x).
La successione di numeri positivi {(An x, x)} è crescente e limitata e, dunque, convergente. Essa
è perciò di Cauchy. Lo è, quindi, anche la successione {An x}. Poniamo Ax = limn→∞ An x.
Lasciamo al lettore di verificare che A è limitato e simmetrico.
} Osservazione 2.2.8 La stessa affermazione non è in generale vera se si considera la convergenza nella
norma degli operatori. Se, ad esempio, {en } è una base ortonormale in uno spazio di Hilbert separabile
H, la successione {An } di operatori definiti da
An x =
n
X
(x, ek )ek
k=1
è crescente e limitata superiormente da I. Si vede facilmente che converge ad I in senso forte. Tuttavia,
non converge ad I in norma, perché kI − An k = 1, per ogni n ∈ N.
Teorema 2.2.9 Ogni operatore positivo A ammette un’unica radice quadrata positiva; esiste,
cioè, un unico operatore X ≥ 0 tale che X 2 = A. L’operatore A1/2 := X commuta con A e con
tutti gli operatori limitati che commutano con A.
Dimostrazione – Si può supporre A ≤ I. Il nostro scopo è di provare l’esistenza di una (e una sola)
soluzione dell’equazione X 2 = A. Posto A = I − B, con 0 ≤ B ≤ I, e Y = I − X, l’equazione da risolvere
prende la forma
1
Y = (B + Y 2 ).
(2.5)
2
Costruiamo una successione per ricorrenza ponendo
Y0 = 0
Yn+1 = 12 (B + Yn2 )
Per induzione su n si prova facilmente che
(a) ogni Yn è un polinomio in B a coefficienti reali non negativi;
(b) Yn ≥ 0, per ogni n ≥ 0;
(c) Yn ≤ Yn+1 , per ogni n ≥ 0;
(d) kYn k ≤ 1, per ogni n ≥ 0.
La (a) è pressoché immediata. La (b) segue dalla (a) una volta dimostrato che se B ≥ 0 allora B n ≥ 0
(esercizio!), per ogni n. Dalla (a) discende che Yn Ym = Ym Yn per ogni n, m. La (c) è certo vera per
2.2. Alcuni tipi di operatori limitati
23
n = 0. Supponiamo che Yn−1 ≤ Yn . La differenza Yn − Yn−1 è un polinomio in B a coefficienti reali non
negativi e cosı̀ pure Yn − Yn−1 . Si ha allora
Yn+1 − Yn
=
=
=
1
2
(B + Yn2 ) − (B + Yn−1
)
2
1
2
Y 2 − Yn−1
2 n
1
(Yn + Yn−1 )(Yn − Yn−1 ) ≥ 0.
2
Anche la (d) è ovviamente vera per n = 0. Supponiamo allora che kYn k ≤ 1. Si ha, allora
kYn+1 k =
1
1
1
(kB + Yn2 k) ≤ (kBk + kYn2 k) = (kBk + kYn k2 ) ≤ 1.
2
2
2
Non resta che applicare il Teorema 2.2.7 per concludere che la successione {Yn } ammette limite Y . Un
semplice passaggio al limite nell’uguaglianza Yn+1 = 21 (B +Yn2 ) ci permette di affermare che Y è soluzione
dell’equazione 2.5. Visto che Y è limite forte di una successione di polinomi in B esso commuta con B e
con ogni operatore che commuta con B. Di conseguenza X = I = Y commuta con A e con ogni operatore
che commuta con A.
Resta da provare l’unicità. Supponiamo che esista un altro operatore positivo Z tale che Z 2 = A.
Cominciamo con l’osservare che AZ = ZA = Z 3 e, quindi, Z commuta con X. X e Z sono operatori
positivi. Quindi anch’essi ammettono radici positive. Indichiamole con T ed S rispettivamente. Sia
x ∈ H e poniamo y = (X − Z)x. Si ha
kT yk2 + kSyk2 = (T 2 y, y) + (S 2 y, y) = (Xy, y) + (Zy, y)
=
((X + Z)(X − Z)x, y) = ((X 2 − Z 2 )x, y) = ((A − A)x, y) = 0.
Dunque, T y = Sy = 0. Ne segue che Xy = T 2 y = 0 e Zy = S 2 y = 0. Quindi,
k(X − Z)xk2 = ((X − Z)2 x, x) = ((X − Z)y, x) = 0.
Dall’arbitrarietà di x segue che X = Z.
Corollario 2.2.10 Siano A e B operatori positivi che commutano. Allora AB è un operatore
positivo.
La dimostrazione è lasciata come esercizio.
Abbiamo già visto che, se A ∈ B(H), allora A∗ A è un operatore positivo. La sua radice
positiva (A∗ A)1/2 è detta modulo di A e si denota con |A|.
2.2.2
Operatori di proiezione
Una classe molto importante di operatori nello spazio di Hilbert è quella delle proiezioni.
Definizione 2.2.11 Un operatore P ∈ B(H) è chiamato un proiettore (o una proiezione)
ortogonale se
P = P2 = P∗
24
2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali
Il seguente teorema stabilisce la corrispondenza biunivoca tra proiettori ortogonali e sottospazi di H.
Teorema 2.2.12 Sia P un proiettore ortogonale in H. Posto MP = {y ∈ H : y = P y}, allora
MP coincide con l’immagine di P ed è un sottospazio chiuso di H.
Viceversa, se M è un sottospazio chiuso di H, esiste un proiettore P in H tale che M = MP
Dimostrazione – È ovvio che MP ⊂ ImP . L’inclusione inversa si ottiene dalle relazioni y = P x ⇒
P y = P 2 x = P x = y. Il fatto che MP è chiuso è immediato. Sia, viceversa, M un sottospazio chiuso di
H. Ogni elemento x ∈ H si può decomporre come x = y + z con y ∈ M e z ∈ M⊥ . Poniamo y = P x. È,
adesso, molto facile dimostrare che P è un proiettore e che M = MP .
In questa corrispondenza se P è il proiettore su MP , I − P è il proiettore su M⊥
P.
Esempio 2.2.13
Sia y un vettore fissato in H, con kyk = 1. L’operatore Py definito da
Py x = (x, y)y,
x∈H
è, come si verifica facilmente, un proiettore ortogonale. Il sottospazio di H corrispondente è il sottospazio
unidimensionale generato da y.
Esempio 2.2.14
In L2 (E), dove E è un insieme misurabile, l’operatore PF di moltiplicazione per la funzione caratteristica
χF di un sottoinsieme misurabile F di E è un proiettore. Il sottospazio corrispondente è isomorfo a
L2 (F ).
Proposizione 2.2.15 Siano P e Q gli operatori di proiezione sui sottospazi M ed N , rispettivamente. Le sequenti affermazioni sono equivalenti.
(i) M ⊆ N ;
(ii) QP = P ;
(iii) P Q = P ;
(iv) kP xk ≤ kQxk,
∀x ∈ H.
(v) P ≤ Q.
Dimostrazione – (i)⇒(ii): Se M ⊆ N , allora per ogni x ∈ H, P x ∈ M ⊆ N ; quindi QP x = P x.
(ii)⇒(iii): Si ha P Q = (QP )∗ = P ∗ = P .
(iii)⇒(iv): Se P Q = P , allora kP xk = kP Qxk ≤ kQxk.
(iv)⇒(v):
(P x, x) = (P 2 x, x) = (P x, P x) = kP xk2 ≤ kQxk2 = (Qx, Qx) = (Qx, x),
∀x ∈ H.
Quindi P ≤ Q.
(v)⇒(i): Supponiamo che P ≤ Q e sia y ∈ M. Allora,
(y, y) = (P y, y) ≤ (Qy, y) = (Qy, Qy) = kQyk2 .
Quindi, kQyk = kyk. Ma y = Qy + (I − Q)y e kyk2 = kQyk2 + k(1 − Q)yk2 , perché Qy e (I − Q)y sono
ortogonali. In conclusione, (I − Q)y = 0. Cioè, y = Qy e, dunque, y ∈ N .
2.2. Alcuni tipi di operatori limitati
2.2.2.1
25
Il reticolo dei proiettori
La proposizione 2.2.15 mette in evidenza che l’ordinamento parziale dei sottospazi di H, stabilito
dall’inclusione, si riflette completamente sui proiettori di H. Se {Mα } è una qualsiasi famiglia
di
V sottospazi, il più grande sottospazioTchiuso contenuto in tutti gli Mα , che indicheremo con
il sottospazio α Mα . Se indichiamo con PV
α il proiettore su Mα , al
α Mα è, chiaramente,
V
sottospazio α Mα corrisponderà un proiettore che indicheremo con α Pα . Si ha
^
Pα ≤ Pα ,
∀α.
α
W
In modo analogo, se indichiamo conW α Mα il sottospazio di H generato dalla famiglia {Mα }
ad esso corrisponderà un proiettore α Pα con la proprietà
^
Pα ≤
∀α.
Pα ,
α
} Osservazione 2.2.16 Valgono le relazioni
_
^
(I − Pα ) = I −
Pα
α
α
^
(I − Pα ) = I −
α
_
Pα
α
In particolare
Proposizione 2.2.17 Se P e Q sono proiettori che commutano, corrispondenti, rispettivamente, ai sottospazi M ed N , allora
P ∨ Q = P + Q − P Q,
2.2.2.2
P ∧ Q = P Q,
M ∨ N = M + N.
Sottospazi invarianti per un operatore
Definizione 2.2.18 Un sottospazio M si dice invariante per l’operatore A ∈ B(H) se AM ⊆ M;
cioè, se Ax ∈ M per ogni x ∈ M.
Proposizione 2.2.19 Se M è invariante per A, anche la sua chiusura M lo è.
La dimostrazione è lasciata per esercizio al lettore.
Proposizione 2.2.20 Sia P ∈ B(H) un proiettore. Se AP = P A, allora MP è un sottospazio
invariante per A.
Dimostrazione – Se x ∈ MP , si ha, infatti, P x = x e quindi AP x = Ax; per l’ipotesi di commutatività,
P Ax = Ax e, quindi, Ax ∈ MP .
Il fatto che un sottospazio chiuso M sia invariante per A non implica in generale che il
proiettore PM su M commuti con A.
26
2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali
Esempio 2.2.21
Sia A un operatore limitato ed assumiamo che esista un vettore y ∈ H, con kyk = 1, tale che Ay = λy,
per un certo λ ∈ C. È allora evidente che il sottospazio My generato da y è invariante per A. Tuttavia, il
proiettore Py su My , in generale, non commuta con A. Ricordando, infatti, che, se x ∈ H, Py x = (x, y)y,
si ha
Py Ax = (Ax, y)y
e
APy x = (x, y)Ay = λ(x, y)y.
D’altra parte, se, in quest’esempio, si suppone che My sia invariante anche per A∗ , allora si ha, com’è
facile vedere, A∗ y = λy e, quindi,
Py Ax = (Ax, y)y = (x, A∗ y)y = λ(x, y)y,
∀x ∈ H,
e dunque Py A = APy . Questo non è un caso come mostra la seguente proposizione.
Proposizione 2.2.22 Se M è un sottospazio chiuso invariante sia per A sia per A∗ , allora il
proiettore PM su M commuta con A (e con A∗ ).
Dimostrazione – Infatti, se x, y ∈ H, si ha
(PM Ax, y) = (Ax, PM y) = (x, A∗ PM y) = (x, PM A∗ PM y),
perché A∗ PM y ∈ M.
D’altra parte, dato che per ogni x ∈ H, APM x ∈ M,
(APM x, y) = (PM APM x, y) = (x, PM A∗ PM y).
Dunque APM = PM A.
Teorema 2.2.23 Ogni operatore simmetrico A si decompone nella differenza di due operatori
positivi A+ e A− tali che A+ A− = A− A+ = 0.
Dimostrazione – Sia |A| = (A2 )1/2 . Dato che |A| è limite di una successione di polinomi in A2 , esso
commuta con A e con ogni operatore limitato che commuta con A. Poniamo
A+ =
|A| + A
2
e A− =
|A| − A
.
2
È chiaro che A = A+ − A− . Inoltre,
A+ A− =
1
1
(|A| + A)(|A| − A) = (|A|2 − A2 ) = 0.
4
4
Dimostriamo che A+ e A− sono positivi. Sia M = {x ∈ H : A+ x = 0}. M è un sottospazio chiuso di
H. Indichiamo con P il proiettore corrispondente. Dalla definizione segue che |A| = A+ + A− È chiaro
che A+ P = P A+ = 0. D’altra parte, per ogni x ∈ H, A− x ∈ M, dato che A+ A− = 0. Dunque, P A− x =
A− x, per ogni x ∈ H, ovvero, P A− = A− P = A− . Allora A− = P A+ + P A− = P (A+ + A− ) = P |A|.
Quindi A− si esprime come prodotto di operatori positivi che commutano. Ne segue che A− ≥ 0. D’altra
parte, A+ = |A| − A− = |A| − P |A| = (I − P )|A| ≥ 0, per lo stesso motivo.
2.2. Alcuni tipi di operatori limitati
2.2.3
27
Operatori isometrici e unitari
Definizione 2.2.24 Un operatore U ∈ B(H) è detto isometrico se
(U x, U y) = (x, y)
∀x, y ∈ H
(2.6)
Da questa definizione segue immediatamente che per un operatore isometrico U ∗ U = I e che,
inoltre, kU f k = kf k ∀f ∈ H. Un operatore isometrico è dunque necessariamente iniettivo, ma
non è detto che sia suriettivo; se lo è allora U ha inverso U −1 ovunque definito e limitato. In
questo caso l’operatore sarà detto unitario.
Proposizione 2.2.25 Se U è un operatore isometrico le seguenti condizioni sono equivalenti
(i) U è unitario;
(ii) U ∗ = U −1 ;
(iii) U ∗ U = U U ∗ = I;
(iv) anche U ∗ è isometrico .
Dimostrazione – (i)⇒ (ii).
Se U −1 esiste si ha:
(U x, y) = (U x, U U −1 y) = (x, U −1 y)
e questo implica che U ∗ = U −1 .
(ii)⇒ (iii) è banale.
(iii)⇒ (iv) segue subito dalla definizione di operatore isometrico.
(iv)⇒ (i).
Se U ed U ∗ sono entrambi isometrici, si ha, per definizione: U ∗ U = U U ∗ = I. Quindi U
ha inverso ovunque definito e limitato. Cioé U è unitario.
Esempio 2.2.26
In L2 (R) consideriamo l’operatore U definito nel modo seguente. Se t ∈ R, poniamo ft (x) = f (x − t) e
definiamo
(U f )(x) = ft (x),
f ∈ L2 (R).
Lasciamo al lettore di verificare che U è un operatore unitario.
Esempio 2.2.27
In L2 ([0, +∞[) consideriamo l’operatore U definito nel modo seguente. Se t > 0, poniamo
f (x − t) se x ≥ t
ft (x) =
0
se x < t
e definiamo
(U f )(x) = ft (x),
f ∈ L2 ([0, +∞[).
Quest’operatore è isometrico ma non è unitario. Il suo aggiunto U ∗ associa a g(x) ∈ L2 ([0, +∞[) la
funzione g t (x) = f (x + t) e non è, perciò, isometrico.
28
2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali
Esempio 2.2.28
Sia H = L2 (R). La trasformata di Fourier fb = T f data da
Z
1
b
f (x) = √
e−ixy f (y)dy
2π R
definisce un operatore unitario di H in sé. L’operatore inverso T −1 fb = f è dato da
Z
1
f (x) = √
eixy fb(y)dy.
2π R
Questi fatti costituiscono il contenuto del Teorema di Fourier-Plancharel. È il caso di notare che gli
integrali usati per definre sia la trasformata di Fourier sia la sua inversa devono essere intesi nel senso
della convergenza in L2 (R), essi sono cioè il risultato di approssimazioni con i corrispondenti integrali
calcolati su una successione di funzioni regolari convergenti ad f (nel caso del primo integrale) o ad fb
(nel caso del secondo).
2.3
Topologie in B(H): convergenza forte e convergenza debole
Oltre alla topologia della norma (detta anche topologia uniforme) in B(H) è utile introdurre
altre topologie. Esse non sono definite da una norma, ma da famiglie separanti di seminorme.
Definizione 2.3.1 Sia E uno spazio vettoriale su C. Una seminorma su E è un’applicazione p
di E in R che associa a v 7→ p(v) con le seguenti proprietà:
(i) p(v) ≥ 0 ∀v ∈ E
(ii) Se v = 0, allora p(v) = 0
(iii) p(αv) = |α|p(v) ∀α ∈ C ∀v ∈ E
(iv) p(v + w) ≤ p(v) + p(w) ∀v, w ∈ E
Una famiglia {pα }α∈I è detta separante se per ogni v ∈ E, v 6= 0, esiste α ∈ I tale che
pα (v) 6= 0.
Una famiglia separante di seminorme definisce su E una topologia localmente convessa di
Hausdorff su E. Una base di intorni di 0 è costituita dagli insiemi del tipo
U = {v ∈ E : pαi (v) < ; ∀i = 1, 2, . . . , n}.
2.3.1
La topologia forte di B(H)
Sia H uno spazio di Hilbert. La famiglia di seminorme {px ; x ∈ H} in B(H) definite da
px (A) = kAxk,
x ∈ H,
2.4. Commutanti e Algebre di von Neumann
29
induce su B(H) una topologia localmente convessa, che indicheremo con ts , detta topologia forte
degli operatori. Essendo
px (A) = kAxk ≤ kAkkxk,
∀x ∈ H
la topologia ts è meno fine della topologia uniforme tu definita dalla norma degli operatori
limitati. Quindi, per esempio, se una successione {An } di operatori limitati converge in norma
ad un operatore limitato A, essa converge ad A anche fortemente. Il viceversa è, in generale
falso.
Esempio 2.3.2
Sia {en } una base ortonormale di uno spazio di Hilbert separabile H. Consideriamo la successione {Pn }
di proiettori definiti da
n
X
(x, ek )ek .
Pn x =
k=1
Dalle proprietà delle basi ortonormali deduciamo che, per ogni x ∈ H,
n
X
(x, ek )ek → 0,
n → ∞.
x −
k=1
Cioè, k(I − Pn )xk → 0, per ogni x ∈ H o, in altri termini, Pn → I fortemente. La successione {Pn } non
converge a I in norma, perché kI − Pn k = 1, per ogni n ∈ N.
2.3.2
La topologia debole di B(H)
La famiglia di seminorme {px,y ; x, y ∈ H} in B(H), definite da
px,y (A) = |(Ax, y)|,
x, y ∈ H,
induce su B(H) un’altra topologia localmente convessa, che indicheremo con tw , detta topologia
debole degli operatori. Essendo
px,y (A) = |(Ax, y)| ≤ kAxkkyk,
∀x ∈ H
la topologia tw è meno fine della topologia forte.
2.4
Commutanti e Algebre di von Neumann
Sia M un sottoinsieme di B(H). Il commutante M0 di M è definito da
M0 = {X ∈ B(H) : AX = XA, ∀A ∈ M.}
Porremo M00 = (M0 )0 ; M00 è detto il bicommutante di M. Risulta M ⊆ M00 ; M000 := (M00 )0 = M0 ,
etc.
Si vede facilmente che M0 è una sottoalgebra di B(H). Se M = M∗ , cioè se M contiene,
insieme con un elemento A anche il suo aggiunto A∗ , allora M0 è una *-sottoalgebra di B(H).
30
2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali
Proposizione 2.4.1 Per ogni M ⊆ B(H), M0 è un’algebra debolmente (e quindi, fortemente e
uniformemente) chiusa.
w
Se M è una sottoalgebra di B(H), contenente l’identità I, la sua chiusura debole M
certamente un sottoinsieme di M00 , perché questo è debolmente chiuso.
è
s
Teorema 2.4.2 Sia M una *-sottoalgebra di B(H), contenente l’identità I. Allora M00 = M ,
la chiusura forte di M.
Dimostrazione – Dobbiamo dimostrare che, fissato un B ∈ M00 , per ogni > 0 e per ogni x ∈ H esiste
A ∈ M tale che kBx − Axk < .
Sia x ∈ H e definiamo M = Mx = {Cx : C ∈ M}. Il sottospazio M è invariante per ogni operatore
A ∈ M (e quindi anche per A∗ ). Anche la sua chiusura M è dunque invariante per ogni operatore di M.
Per la proposizione 2.2.22 il proiettore P := PM commuta con ogni operatore A ∈ M. Cioè P ∈ M0 . Si
ha quindi, P B = BP e M è invariante anche per B. Questo implica che Bx ∈ M . Quindi esiste A ∈ M
tale che kBx − Axk < .
Corollario 2.4.3 Sia M una *-sottoalgebra di B(H), contenente l’identità I.
affermazioni sono equivalenti.
Le seguenti
(i) M è debolmente chiusa.
(ii) M = M00 .
s
w
s
Dimostrazione – (i)⇒(ii): Utilizzando il teorema precedente si ha, M ⊆ M ⊆ M ⊆ M00 = M .
w
s
Quindi M = M = M00 . Se M è debolmente chiusa, risulta allora M = M00 . L’implicazione (i)⇒(ii) è
ovvia, dato che M00 è, in ogni caso, debolmente chiusa.
} Osservazione 2.4.4 Le *-sottoalgebre di B(H), con identità, per cui si verifica l’una o l’altra delle
condizioni equivalenti del precedente corollario, svolgono un ruolo chiave nella teoria degli operatori.
Esse sono dette Algebre di von Neumann, dal nome di John von Neumann che per primo le studiò
(1948 circa). La teoria delle algebre di von Neumann rappresenta uno degli argomenti più fecondi della
ricerca matematica contemporanea e trova applicazioni negli ambiti più disparati: dalla geometria non
commutativa alle teorie quantistiche. La loro trattazione va comunque al di là dell’ambito di un corso
iniziale sulla teoria degli operatori.
Capitolo 3
Proprietà spettrali degli operatori
limitati
3.1
Lo spettro di un operatore limitato
Definizione 3.1.1 Sia A ∈ B(H). Un numero complesso λ appartiene al risolvente ρ(A) di A se
l’operatore A−λI è invertibile (cioè è bigettivo) e ha inverso limitato. L’insieme σ(A) := C\ρ(A)
è detto spettro di A.
Se λ ∈ ρ(A), l’operatore Rλ (A) = (A − λI)−1 è detto operatore risolvente di A in λ.
Definizione 3.1.2 Sia A ∈ B(H). Si dice che un numero λ ∈ C è un autovalore di A se
l’equazione (A−λ)x = 0 ammette soluzioni non nulle. Un vettore x ∈ H che soddisfa l’equazione
precedente è detto autovettore di A relativo a λ.
Chiaramente, se λ è un autovalore di A, allora λ ∈ σ(A). e lo spettro puntuale σp (A) consiste
esattamente degli autovalori di A.
Se λ è un autovalore di A, allora il corrispondente insieme di autovettori
Mλ = {x ∈ H : (A − λ)x = 0}
è un sottospazio chiuso di H. La sua dimensione (finita o infinita che sia) è chiamata molteplicità
di λ.
Teorema 3.1.3 Sia A ∈ B(H). Valgono le seguenti affermazioni.
(i) ρ(A) è un sottoinsieme aperto del piano complesso.
(ii) La funzione λ ∈ ρ(A) → Rλ (A) ∈ B(H) è una funzione analitica in ogni componente
connessa di ρ(A).
(iii) Per ogni λ, µ ∈ ρ(A), gli operatori Rλ (A) e Rµ (A) commutano e vale la relazione
Rλ (A) − Rµ (A) = (λ − µ)Rλ (A)Rµ (A).
32
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
Dimostrazione – (i): Fissiamo λ0 ∈ ρ(A) e cominciamo con il considerare la serie di elementi di B(H)
∞
X
(λ − λ0 )n [Rλ0 (A)]n .
(3.1)
n=1
Si ha:
n+p
n+p
n+p
X
X
X
|λ − λ0 |k k[Rλ0 (A)]k k ≤
|λ − λ0 |k k[Rλ0 (A)]kk .
(λ − λ0 )k [Rλ0 (A)]k ≤
k=n+1
k=n+1
k=n+1
Se |λ − λ0 | < k[Rλ0 (A)]k−1 , la serie (3.1) soddisfa, perciò, la condizione del criterio di Cauchy rispetto
alla norma di B(H) ed è quindi convergente. Poniamo, allora,
(
)
∞
X
X(λ, A) = Rλ0 (A) I +
(λ − λ0 )n [Rλ0 (A)]n .
n=1
Calcoliamo X(λ, A)(A − λI). Tenendo conto della continuità della moltiplicazione rispetto alla norma di
B(H) si ha
)
(
∞
X
n
n
(λ − λ0 ) [Rλ0 (A)]
(A − λI)
X(λ, A)(A − λ) = Rλ0 (A) I +
(
= Rλ0 (A) I +
(
=
Rλ0 (A) +
n=1
∞
X
n=1
∞
X
)
(λ − λ0 )n [Rλ0 (A)]n
((A − λ0 I) − (λ − λ0 )I)
)
n
n+1
(λ − λ0 ) [Rλ0 (A)]
((A − λ0 I) − (λ − λ0 )I)
n=1
= I+
∞
X
(λ − λ0 )n [Rλ0 (A)]n − (λ − λ0 )Rλ0 (A) −
n=1
∞
X
(λ − λ0 )n+1 [Rλ0 (A)]n+1
n=1
= I.
Quindi (A − λ)−1 esiste e (A − λ)−1 = X(λ, A). In conclusione, se λ0 ∈ ρ(A), tutti i λ tali che
|λ − λ0 | < k[Rλ0 (A)]k−1 appartengono al risolvente. Dunque ρ(A) è aperto.
(ii): Come dimostrato nel punto precedente, la funzione λ 7→ Rλ (A) si può esprimere in un intorno di un
punto λ0 ∈ ρ(A) mediante una serie di potenze in λ − λ0 . Essa è, quindi, analitica.
(iii): Si ha per λ, µ ∈ ρ(A),
Rλ (A) − Rµ (A)
= Rλ (A)(A − µI)Rµ (A) − Rλ (A)(A − λI)Rµ (A)
= Rλ (A)(A − µI − A + λI)Rµ (A)
=
(λ − µ)Rλ (A)Rµ (A).
Questa stessa uguaglianza mostra che Rλ (A) ed Rµ (A) commutano.
Lemma 3.1.4 Se |λ| > kAk, allora λ ∈ ρ(A) e vale il seguente sviluppo in serie, detto di
Neumann:
∞ 1X A n
.
Rλ (A) = −
λ
λ
n=0
Dimostrazione – Si ha:
n+p
n+p
n+p
X Ak X X kAkk
Ak ≤
≤
.
λk λk |λ|k
k=n+1
k=n+1
k=n+1
3.1. Lo spettro di un operatore limitato
33
Dall’ipotesi |λ| > kAk segue che la serie
∞
X
An
λn
n=0
soddisfa la condizione del criterio di Cauchy ed è, perciò, convergente in B(H). Sia Xλ la sua somma. Si
ha, allora,
∞ n
X
1
1
A
−(A − λI) Xλ = − (A − λI)
λ
λ
λ
n=0
= −
∞
∞
X
An+1 X An
+
= I.
λn+1 n=0 λn
n=0
Corollario 3.1.5 Sia A ∈ B(H). Allora σ(A) ⊆ {λ ∈ C : |λ| ≤ kAk}.
Corollario 3.1.6 Sia A ∈ B(H). Risulta lim Rλ (A) = 0.
|λ|→∞
Dimostrazione – Se |λ| > η > kAk, dalla dimostrazione del lemma precedente segue che
kRλ (A)k ≤
∞
1 X kAkn
1
η
=
·
→ 0,
|λ| n=0 η n
|λ| η − kAk
per |λ| → +∞.
Proposizione 3.1.7 Sia A ∈ B(H). Lo spettro di A, σ(A), non è vuoto.
Dimostrazione – Se lo fosse, la funzione risolvente λ 7→ Rλ (A) sarebbe analitica sull’intero piano
complesso. In particolare, esisterebbe A−1 ∈ B(H). Per il corollario 3.1.6, la funzione risolvente sarebbe anche limitata sull’intero piano. Il teorema di Liouville implicherebbe, allora, essa dovrebbe essere
costantemente nulla. Questo è impossibile perché R0 (A) = A−1 .
Esercizio 3.1.8 Si consideri l’operatore di moltiplicazione Tg studiato nell’Esempio 2.1.3, con g ∈
C(I). Si dimostri che σ(Tg ) = g(I). Si consideri poi l’operatore di moltiplicazione Tg studiato
nell’Esercizio 2.1.4, con g ∈ L∞ (I). Indicata con m la misura di Lebesgue in [0, 1], si provi che in
questo caso σ(Tg ) coincide con l’immagine essenziale Imess (g) di g, dove
Imess (g) = {λ ∈ C : m{x ∈ I : |g(x) − λ| < } > 0, ∀ > 0}.
Definizione 3.1.9 Sia A ∈ B(H). Il raggio spettrale r(A) di A è definito da
r(A) = sup{|λ|; λ ∈ σ(A)}.
Teorema 3.1.10 Sia A ∈ B(H). Si ha
r(A) = lim kAn k1/n .
n→∞
Di conseguenza, r(A) ≤ kAk. Se A = A∗ , allora r(A) = kAk
34
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
Dimostrazione – Poniamo ν = inf{kAn k1/n : n ∈ N}; proveremo che ν = limn→∞ kAn k1/n . Sia > 0;
allora esiste m ∈ N tale che kAm k1/m < ν + . Per n > m si può scrivere n = pm + q con 0 ≤ q ≤ m − 1.
Poiché q/n → 0, risulta pm/n → 1. Quindi
kAn k1/n = kApm+q k1/n ≤ kAm kp/n kAkq/n < (ν + )pm/n kAkq/n .
Questo implica che
lim sup kAn k1/n < lim sup(ν + )pm/n kAkq/n = lim (ν + )pm/n kAkq/n = ν + ;
n→∞
n→∞
n→∞
per l‘arbitrarietà di , otteniamo
lim sup kAn k1/n ≤ ν.
n→∞
D’altra parte, per ogni n ∈ N, ν ≤ kAn k1/n ; quindi, ν ≤ lim inf n→∞ kAn k1/n . In conclusione,
lim kAn k1/n = ν.
n→∞
Con un semplice adattamento dei noti teoremi sulle serie di potenze al caso di serie a coefficienti in un
spazio di Banach, si vede che la serie
∞ n
1X A
Rλ (A) = −
λ n=0 λ
ha raggio di convergenza R pari a
lim sup kAn k1/n = lim kAn k1/n ,
n→∞
n→∞
nel senso che essa converge per |λ| > R e non converge per |λ| < R. Quindi r(A) ≤ limn→∞ kAn k1/n .
D’altra parte se fosse r(A) < limn→∞ kAn k1/n , ogni η ∈ C con r(A) < |η| < limn→∞ kAn k1/n apparterrebbe a ρ(A); in tutta le regione |λ| > r(A), la funzione f (λ) = Rλ (A) ammetterebbe sviluppo di Laurent
convergente; in altre parole, la corrispondente serie di Neumann
Rη (A) = −
∞
X
An
η n+1
n=0
dovrebbe essere convergente dunque in un punto che ha modulo minore del suo raggio di convergenza. Il
che è impossibile.
k
k
k
k
Se A è simmetrico, allora kA2 k = kAk2 e kA2 k = kAk2 . Quindi, r(A) = limk→∞ kA2 k1/2 = kAk
Esempio 3.1.11
Sia I = [a, b]. Sia K(x, y) una funzione misurabile e limitata nel triangolo a ≤ y ≤ x ≤ b. Nello spazio
L2 (I) consideriamo l’operatore (di Volterra di II tipo) definito da
Z
(AK f )(x) =
x
K(x, y)f (y)dy,
f ∈ L2 (I).
a
La funzione K(x, y) è detta nucleo integrale dell’operatore AK . Una semplice applicazione della disuguaglianza di Schwarz mostra che AK f ∈ L2 (I) per ogni f ∈ L2 (I) e che AK è limitato (si veda la sezione
3.2.3). Il nostro scopo è di calcolare il raggio spettrale di AK . Prima di procedere notiamo che se K1 (x, y)
3.1. Lo spettro di un operatore limitato
35
e K2 (x, y) sono due nuclei integrali di questo tipo, il prodotto degli operatori AK1 e AK2 si può esprimere
anch’esso mediante un nucleo integrale. Per il teorema di Fubini, si ha, infatti
Z x
K1 (x, y)(AK2 f )(y)dy
(AK1 AK2 f )(x) =
Z x
Z y
Z x
Zax
K1 (x, y)K2 (y, z)dy dz.
f (z)
K2 (y, z)f (z)dz dy =
K1 (x, y)
=
a
a
a
Se si pone
z
x
Z
(K1 ⊗ K2 )(x, z) =
K1 (x, y)K2 (y, z)dy,
z
si ha
x
Z
(K1 ⊗ K2 )(x, z)f (z)dz.
(AK1 AK2 f )(x) =
a
K1 ⊗ K2 si chiama prodotto di convoluzione di Volterra dei due nuclei. Se K1 = K2 =: K, scriveremo,
per brevità, K (2) invece di K ⊗ K, etc. Sulla base di questa premessa è chiaro che si può scrivere
Z x
n
(AK f )(x) =
K (n) (x, z)f (z)dz.
a
Notiamo che essendo K limitato, si ha
Z
|K (2) (x, z)| = x
z
K1 (x, y)K1 (y, z)dy ≤ C 2 (x − z).
Assumiamo che sia
|K (n) (x, z)| ≤
Cn
(x − z)n−1 .
(n − 1)!
Si ha allora
|K
(n+1)
Z
(x, z)|
≤
x
|K (n) (x, y)| · |K(y, z)|dy
Z x
C n+1
C n+1
(x − y)n−1 dy =
(x − z)n .
(n − 1)! z
n!
z
≤
Quindi la (3.2) è valida per ogni n ∈ N.
|(AnK f )(x)|2
Z x
2
C 2n
n−1
|K (x, y)| |f (y)|dy ≤
(x − y)
|f (y)|
((n − 1)!)2
a
a
Z x
Z x
C 2n
2n−2
(x
−
y)
dy
·
|f (y)|2 dy
((n − 1)!)2 a
a
C 2n
(x − a)2n−1
kf k2 .
((n − 1)!)2 2n − 1
Z
≤
≤
≤
2
x
(n)
Infine integrando tra a e b, rispetto ad x, si ottiene,
kAnK f k2 ≤
(C(b − a))2n
kf k2
(n!)2
e, dunque,
kAnK k ≤
(C(b − a))n
n!
(3.2)
36
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
A questo punto possiamo concludere che r(AK ) = 0.
Un’interessante applicazione di questo risultato riguarda la ricerca di soluzioni dell’equazione integrale
Z
x
K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x)
a
dove g(x) è una fissata funzione di L2 (I). La conclusione è che quest’equazione possiede, per ogni λ 6= 0,
una e una sola soluzione in L2 (I). Lasciamo al lettore la verifica di quest’affermazione.
Concludiamo questa sezione elencando alcune proprietà elementari dello spettro di un operatore.
Proposizione 3.1.12 Sia A ∈ B(H). Allora, σ(A∗ ) = {λ : λ ∈ σ(A)} e Rλ (A∗ ) = Rλ (A)∗ .
Dimostrazione – Entrambe seguono facilmente dalla (c) della Proposizione 2.1.6.
3.2
Operatori compatti
C’è una classe di operatori limitati, detti compatti o anche completamente continui che condivide
diverse proprietà degli operatori lineari negli spazi di dimensione finita.
3.2.1
Definizioni ed esempi
Definizione 3.2.1 Un operatore A definito nello spazio di Hilbert H si dice compatto se l’immagine {Axn } di ogni successione {xn } limitata in H contiene una sottosuccessione convergente.
Indicheremo con K(H) l’insieme degli operatori compatti in H.
Proposizione 3.2.2 Ogni operatore compatto è limitato; cioè K(H) ⊆ B(H). Inoltre, K(H) =
B(H) se, e soltanto se, H è di dimensione finita.
Dimostrazione – Supponiamo che A non sia limitato. Allora, esiste una successione {xn } ⊂ H tale
che kxn k = 1 e kAxn k → +∞. Dalla successione {Axn } non si può, quindi estrarre una sottosuccessione
convergente.
Se dimH = +∞, l’operatore I, identità di H, non è un operatore compatto. In questo caso, infatti, esiste
un sistema ortonormale numerabile {en } di vettori di H, cioè ken k = 1, (en , em ) = 0, se n 6= m. Poiché
ken − em k2 = (en − em , en − em ) = ken k2 + kem k2 = 2
dalla successione {en } non si può estrarre alcuna sottosuccessione convergente. Se, infine, dimH = n <
+∞, lo spazio H essendo isomorfo a Cn è localmente compatto. Se A ∈ B(H), data una successione
limitata {xn }, anche la successione {Axn } è limitata. Da essa si può quindi estrarre una sottosuccessione
convergente.
Teorema 3.2.3 Le seguenti affermazioni sono equivalenti.
3.2. Operatori compatti
37
(i) A è compatto.
(ii) Se xn → x debolmente e yn → y debolmente, allora (Axn , yn ) → (Ax, y).
(iii) Se xn → x debolmente, allora Axn → Ax nella norma dello spazio di Hilbert.
Dimostrazione – (i)⇒ (ii): Se non fosse cosı̀ esisterebbe 0 tale che per infiniti valori dell’indice n,
|(Axn , yn ) − (Ax, y)| ≥ 0 .
(3.3)
Si può quindi trovare una sottosuccessione di {xn } che soddisfa (3.3). Continuiamo ad indicarla con
{xn }. La successione {xn } è limitata in norma (Principio di uniforme limitatezza), quindi da {xn } si può
estrarre una sottosuccessione {xnk } tale che {Axnk } sia convergente. Risulta Axnk → Ax. Infatti visto
che xnk → x, debolmente, e Axnk → z si ha:
(Axnk , y) → (z, y),
∀y ∈ H.
Ma
(Axnk , y) = (xnk , A∗ y) → (x, A∗ y) = (Ax, y),
∀y ∈ H.
Da questo segue facilmente che z = Ax. Utilizzando questo fatto, abbiamo quindi
0 ≤ |(Axnk , ynk )−(Ax, y)| ≤ |(Axnk −Ax, ynk )|+|(Ax, ynk −y)| ≤ kAxnk −Axkkynk k+|(Ax, ynk −y)| → 0,
e questa è una contraddizione.
(ii)⇒ (iii): Sappiamo che se xn → x debolmente, allora anche Axn → Ax debolmente. Dunque, posto
vn = xn − x e zn = Axn − Ax, si ha
kAxn − Axk2 = (Axn − Ax, Axn − Ax) = (Avn , zn ) → 0.
(iii)⇒ (i): Sia {xn } una successione limitata in norma; senza ledere la generalità, possiamo supporre
che kxn k ≤ 1, per ogni n ∈ N. Il teorema di Banach-Alaglou garantisce che la boccia unitaria di H è
debolmente compatta. Quindi da {xn } si può estrarre una sottosuccessione {xnk } debolmente convergente
a un x della stessa boccia unitaria. Allora Axnk → Ax.
Diamo adesso alcuni esempi.
Esempio 3.2.4
Sia P il proiettore su un sottospazio M di H di dimensione finita. Allora P è compatto. Viceversa se un
operatore di proiezione P è compatto allora la sua immagine P H è un sottospazio di dimensione finita.
Esempio 3.2.5
Sia H uno spazio di Hilbert e y, z due vettori fissati di H. L’operatore
Ax = (x, y)z,
x∈H
è compatto. Infatti se {xn } è una successione limitata, la successione {Axn } ammette certamente una
sottosuccessione convergente, perché dalla successione limitata di numeri complessi (xn , y) è possibile
estrarre una sottosuccessione convergente, per il Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Esempio 3.2.6
Generalizzando l’esempio precedente possiamo affermare che ogni operatore (di rango finito) del tipo
Ax =
n
X
(x, yj )zj ,
j=1
con y1 , . . . , yn e z1 , . . . , zn vettori fissati di H è un operatore compatto.
38
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
Definizione 3.2.7 Un operatore A è detto di rango finito se R(A) := AH è un sottospazio di
dimensione finita di H.
Se A è un operatore di rango finito, allora esistono dei vettori y1 , . . . , yn e z1 , . . . , zn in H
tali che
n
X
Ax =
(x, yj )zj ,
∀x ∈ H.
j=1
Per vederlo, supponendo che dimR(A) = n, fissiamo una base di R(A), che possiamo supporre ortonormale. Sia essa {z1 , . . . , zn }. Allora esistono dei numeri complessi non tutti nulli
λ1 , . . . , λn , tali che
n
X
Ax =
λj zj .
j=1
Non resta adesso che scegliere i vettori y1 , . . . , yn in modo che (x, yj ) = λj . Lasciamo al lettore
di verificare che questa scelta è sempre possibile.
Dalla discussione precedente e dall’esempio 3.2.6 segue subito che
Proposizione 3.2.8 Ogni operatore di rango finito è compatto.
3.2.2
Lo spazio degli operatori compatti
Proposizione 3.2.9 L’insieme K(H) degli operatori compatti in H è un sottospazio chiuso in
norma di B(H). Quindi K(H) è uno spazio di Banach rispetto alla norma di B(H).
Dimostrazione – Siano A, B operatori compatti e {xn } una successione limitata di vettori di H. Allora
esiste una sottosuccessione {xnk } tale che la successione {Axnk } è convergente. Dalla successione {xnk }
si può estrarre una sottosuccessione xnkh in modo che Bxnkh sia concergente. La successione {Axnkh +
Bxnkh } è, dunque, convergente. Per dimostrare che K(H) è chiuso, consideriamo una successione {An } di
operatori compatti tali che kAn −Ak → 0, per n → ∞, per qualche A ∈ B(H). Dobbiamo dimostrare che A
è compatto. Sia {xn } una successione limitata di vettori di H. Indichiamo con {x1n } una sottosuccessione
(1)
(1)
(2)
di {xn } tale che A1 {xn } sia convergente. Adesso estraiamo da {xn } una sottosuccessione {xn } in
(2)
(n)
modo che A2 {xn } e cosı̀ via. Poniamo yn = xn . Poiché {yn } è una sottosuccessione di ognuna delle
(k)
successioni {xn }, per ogni k fissato {Ak yn } è convergente. Sia > 0 e k sufficientemente grande perché
sia kA − Ak | < e prendiamo N cosı̀ grande che risulti kAk yn − Ak yn+p k < per ogni n > N, p > 0.
Allora,
kAyn − Ayn+p k ≤ k(A − Ak )(yn − yn+p )k + kAk (yn − yn+p )k ≤ (2M + 1)
dove M = sup kxn k. La successione {Ayk } è quindi di Cauchy e, perciò, convergente. In conclusione, A
è un operatore compatto.
Proposizione 3.2.10 Se A è compatto e B è limitato, allora AB e BA sono compatti.
Dimostrazione – Sia {xn } una successione limitata e {xnk } una sottosuccessione tale che {Axnk } è
convergente. Allora anche {BAxnk } è convergente, per la continuità di B. Analogamente, essendo B
limitato, la successione {Bxn } è limitata; quindi, da {A(Bxn )} si può estrarre una sottosuccessione
convergente.
3.2. Operatori compatti
39
Lemma 3.2.11 Sia A ∈ B(H). Se l’operatore A∗ A è compatto, anche A è compatto.
Dimostrazione – Sia {xn } una successione limitata (kxn k ≤ C) e {xnk } una sottosuccessione tale che
{A∗ Axnk } è convergente. Si ha
kAxnk −Axnh k2 = (Axnk −Axnh , Axnk −Axnh ) = (A∗ A(xnk −xnh ), xnk −xnh ) ≤ kA∗ A(xnk −xnh )kkxnk −xnh k.
Tenuto conto che kxnk − xnh k ≤ 2C, concludiamo che
kAxnk − Axnh k2 ≤ 2CkA∗ A(xnk − xnh )k → 0
per n, m → +∞. Quindi la successione {Axnk }è convergente.
Proposizione 3.2.12 Se A è compatto, anche A∗ è compatto.
Dimostrazione – Se A è compatto, per la Proposizione 3.2.10, anche AA∗ è compatto. Ma AA∗ =
(A∗ )∗ A∗ . Per il Lemma 3.2.11, anche A∗ è compatto.
In conclusione,
Proposizione 3.2.13 K(H) è uno *-ideale chiuso di B(H).
3.2.3
Operatori integrali
La proposizione 3.2.13 ci permette di dimostrare che sono compatti alcuni tipi di operatori
integrali. Consideriamo lo spazio di Hilbert L2 ([a, b]). Per brevità, poniamo Q = [a, b] × [a, b] e
consideriamo una funzione K(x, y) ∈ L2 (Q). Porremo
Z
2
1/2
|K(x, y)| dxdy
kKk2,Q =
.
Q
Dato che kKk2,Q < +∞, dal teorema di Fubini segue che l’integrale
Z
b
|K(x, y)|2 dy
a
esiste per quasi tutti gli x ∈ [a, b]. Inoltre
Z b Z b
Z
2
|K(x, y)| dy dx =
|K(x, y)|2 dxdy = kKk22,Q .
a
a
Q
Quindi la funzione
Z
b
2
1/2
|K(x, y)| dy
k(x) =
a
è un elemento di L2 ([a, b]) e kkk2 = kKk2,Q . Sia adesso f (x) ∈ L2 ([a, b]). L’integrale
Z
b
K(x, y)f (y)dy
a
40
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
è definito per tutti gli x dove k(x) è finita. Mostriamo che la funzione
Z b
K(x, y)f (y)dy
g(x) =
a
appartiene ad L2 ([a, b]). Si ha, infatti, utilizzando la disuguaglianza di Schwarz,
2 Z b
Z b
Z b
2
≤
|f (y)|2 dy = k(x)2 kf k22
|K(x,
y)|
dy
·
K(x,
y)f
(y)dy
e
kgk22
a
a
a
2
Z b
Z b Z b
k 2 (x)dx · kf k22 = kKk22,Q kf k22 .
K(x, y)f (y)dy dx ≤
=
a
a
a
In conclusione, posto
Z
b
(AK f )(x) =
f ∈ L2 ([a, b]),
K(x, y)f (y)dy,
a
si definisce un operatore lineare limitato in L2 ([a, b]) con la proprietà
kAK k ≤ kKk2,Q .
(3.4)
La funzione K(x, y), che determina l’operatore AK , è detto nucleo (integrale) dell’operatore. Un
nucleo K(x, y) è detto di rango finito se esistono delle funzioni ξj , ηj ∈ L2 ([a, b]), j = 1, . . . n tali
che
n
X
K(x, y) =
ξj (x)ηj (y).
j=1
In questo caso, il corrispondente operatore AK è di rango finito. Infatti,


Z b
Z b X
n

(AK f )(x) =
K(x, y)f (y)dy =
ξj (x)ηj (y) f (y)dy
a
a
=
n
X
j=1
j=1
Z
ξj (x)
b
f (y)ηj (y)dy =
a
n
X
(f, ηj )ξj (x).
j=1
} Osservazione 3.2.14 Un nucleo K ∈ L2 (Q) viene chiamato anche nucleo di Hilbert-Schmidt.
Teorema 3.2.15 Per ogni nucleo K(x, y) ∈ L2 (Q) esiste una successione {Kn (x, y)} di nuclei
di rango finito tali che
kK − Kn k2,Q → 0 per n → +∞.
Dimostrazione – Cominciamo con il porre
K(x, y)
KN (x, y) =
0
(x, y) ∈ Q : |K(x, y)| ≤ N
altrove
Si ha
lim |K(x, y) − KN (x, y)|2 = 0.
N →+∞
3.2. Operatori compatti
41
Inoltre |K(x, y) − KN (x, y)|2 ≤ |K(x, y)|2 , per ogni (x, y) ∈ Q. Il teorema di convergenza dominata di
Lebesgue implica allora che
Z
|K(x, y) − KN (x, y)|2 dxdy → 0.
Q
Fissato > 0, è, allora, possibile scegliere N in modo che
kK − KN k2,Q <
.
2
La funzione KN (x, y) è sommabile in Q. Dunque è possibile trovare una successione di funzioni a gradinata
{uN,n }, con |uN,n (x, y)| ≤ N , che converge quasi ovunque a KN (x, y). La successione delle funzioni
|KN (x, y) − uN,n (x, y)|2
è limitata (|KN (x, y) − uN,n (x, y)|2 < 4N 2 ) e converge a zero quasi ovunque. Ancora il teorema di
convergenza dominata di Lebesgue ci permette di dire che
Z
2
kKN − uN,n k2,Q =
|KN (x, y) − uN,n (x, y)|2 dxdy → 0.
Q
Per n grande abbastanza, sarà dunque kKN − uN,n k2,Q ≤ 2 . Quindi
kK − uN,n k2,Q ≤ kK − KN k2,Q + kKN − uN,n k2,Q < .
Per concludere, non resta che osservare che ogni funzione a gradini su Q si può esprimere nella forma
n
X
ξj (x)ηj (y).
j=1
con ξi , ηj funzioni a gradini su [a, b].
Teorema 3.2.16 Per ogni nucleo K(x, y) ∈ L2 (Q), l‘operatore AK definito da
Z
(AK f )(x) =
b
K(x, y)f (y)dy,
f ∈ L2 ([a, b]),
a
è compatto.
Dimostrazione – Intanto osserviamo che AK è limite, nella norma di B(H) di una successione di
operatori di rango finito. Sia, infatti, {Kn } la successione di nuclei di rango finito che approssima K,
nella norma k · k2,Q . Si ha allora, per la (3.4),
kAK − AKn k ≤ kK − Kn k2,Q → 0 per n → ∞.
L’affermazione segue allora dalla compattezza degli operatori di rango finito e dal fatto che K(H) è chiuso
nella norma di B(H).
Esempio 3.2.17
Pn
Sia K(x, y) =
j=1 ξj (x)ηj (y) un nucleo di rango finito. Cerchiamo le condizioni su λ ∈ C per cui
esistono soluzioni dell’equazione integrale
Z b
K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x),
g ∈ L2 ([a, b)].
(3.5)
a
42
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
Possiamo supporre che le funzioni ξi siano linearmente indipendenti.
!
Z b
n
X
ηj (y)f (y)dy − λf (x) = g(x),
ξj (x)
j=1
a
o, in breve,
n
X
(f, ηi )ξi − λf = g.
(3.6)
i=1
Questa stessa equazione ci permette di affermare che, se λ 6= 0, la soluzione f (x) deve avere la forma
n
1
1X
f (x) = − g(x) +
αi ξi (x).
λ
λ i=1
Sostituendo nella (3.6), si ottiene


n
n
n
X
X
X
1
1
− g +
αj ξj (x), ηi  ξi −
αi ξi = 0.
λ
λ j=1
i=1
i=1
Cioè,


n
X
− 1 (g, ηi ) + 1
αj (ξj , ηi ) − αi  ξi = 0.
λ
λ j=1
i=1
n
X
Dato che le funzioni ξi sono linearmente indipendenti, deve essere
n
1
1X
αj (ξj , ηi ) − αi ,
− (g, ηi ) +
λ
λ j=1
i = 1, 2, . . . n,
che ponendo βi = (g, ηi ), cij = (ξj , ηi ) e ricordando che αi = αj δij , dove δij indica il simbolo di Kronecker,
si scrive infine
n
X
(cij − λδij )αj = βi ,
i = 1, 2, . . . n.
j=1
Siamo quindi pervenuti ad un sistema lineare di n equazioni nelle n incognite α1 , . . . , αn . Esso ammette
una e una sola soluzione se, e soltanto se, λ non si annulla il determinante det(cij −λδij ) è non nullo. Come
vedremo tra poco questi valori di λ costituiscono il risolvente ρ(AK ) dell’operatore AK corrispondente al
nucleo K. Lo spettro di AK è costituito dai λ che annullano il determinante det(cij − λδij ). Essi sono
autovalori di AK . In definitiva, l’equazione integrale (3.5) ammette una e una sola soluzione per ogni λ
tale che det(cij − λδij ) 6= 0
Teorema 3.2.18 Sia H uno spazio di Hilbert separabile. Ogni operatore compatto è limite di
operatori di rango finito.
Dimostrazione – Sia T un
operatore compatto ed {en } una base ON in H. Se x ∈ H con x =
P
P∞
∞
k=1 (x, ek )ek , allora T x =
k=1 (x, ek )T ek . Definiamo
Tn x =
n
X
(x, ek )T ek .
k=1
3.3. La teoria spettrale degli operatori compatti
43
L’operatore Tn è di rango finito.
Si ha
∞
X
kT x − Tn xk = (x, ek )T ek x = kT Qn xk ≤ kT M⊥
n kkxk
k=n+1
Questo implica che
kT − Tn k ≤ kT M⊥
n k =: αn ,
dove Qn indica il proiettore sul complemento ortogonale del sottospazio Mn generato dai primi n vettori,
e1 , . . . , en , della base. Il teorema sarà dimostrato se proviamo che limn→∞ αn = 0. La successione di
numeri non negativi αn è decrescente e, quindi, ammette limite α.
Se fosse α > 0, potremmo costruire, a partire da un certo n0 , una successione {zn } di vettori di H
α
⊥
tali che
P∞zn ∈ Mn , kzn k = 1 e kT zn k ≥ 2 . La successione {zn } converge debolmente a zero. Infatti se
y = j=1 βj ej ∈ H si ha,
∞
∞
X
X
β j (zn , ej ) =
β j (zn , ej )
(zn , y) =
j=1
j=n+1
P∞
essendo (zn , ej ) = 0 per j ≤ n. La convergenza della serie j=1 β j (zn , ej ) implica che, per ogni > 0
esiste k0 tale che per ogni k ≥ k0 ,
∞
X
β
(z
,
e
)
j n j < n.
2
j=k
Se k0 ≤ n,
∞
X
j=k
β j (zn , ej ) =
∞
X
β j (zn , ej ).
j=n+1
Se k0 > n la somma si può far partire da n + 1 perché, in ogni caso i termini precedenti sono nulli. Quindi
X
∞
|(zn , y)| = β j (zn , ej ) < n → 0.
2
j=n+1
Essendo T compatto, T zn → 0 nella norma di H e questa è una contraddizione.
3.3
La teoria spettrale degli operatori compatti
Il nostro intento è di studiare adesso le proprietà degli autovalori, se ne esistono, di un operatore
compatto.
La prima osservazione da fare è che se A è compatto in H con dim H = ∞, allora 0 ∈ σ(A).
Infatti, in questo caso A non può avere inverso limitato.
In quel che segue indicheremo con σp (A), lo spettro puntuale di A cioè l’insieme degli
autovalori non nulli di un operatore A
Lemma 3.3.1 Sia λ un autovalore non nullo dell’ operatore compatto A. Allora il sottospazio
Mλ di H degli autovettori relativi a λ, cioè Mλ = {x ∈ H : (A − λ)x = 0}, ha dimensione
finita.
44
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
Dimostrazione – Se cosı̀ non fosse, sarebbe possibile trovare una successione (infinita) {xk } di autovettori di A a due a due ortogonali e tali che kxn k = 1, per ogni n ∈ N. Dalla compattezza di A segue allora
che dalla successione {Axn } si dovrebbe poter estrarre una sottosuccessione convergente. Ma questo è
impossibile perché
kAxn − Axm k2 = |λ|2 kxn − xm k2 = |λ|2 (kxn k2 + kxm k2 ) = 2|λ|2 .
3.3.1
Teorema di Riesz–Schauder: prima dimostrazione
Lemma 3.3.2 Sia A un operatore lineare definito in H. Sia {yn } una famiglia di autovettori
corrispondenti agli autovalori distinti {λn }, cioè, (A − λn )yn = 0, λn 6= λk , per n 6= k. Allora i
vettori dell’insieme {yn } sono linearmente indipendenti.
Dimostrazione – Supponiamo che l’affermazione non sia vera
e sia k il minimo naturale tale che
Pk−1
y1 , . . . , yk siano linearmente dipendenti. Si ha certamente yk = i=1 βi yi , perché i vettori y1 , . . . , yk−1
sono linearmente indipendenti. Si ha, allora
(A − λk I)yk = (A − λk I)
k−1
X
i=1
βi yi =
k−1
X
βi (λi − λk )yi = 0
i=1
I coefficienti βi (λi − λk ) non sono tutti nulli, perché non lo sono i βi e gli autovalori sono tutti diversi.
La conclusione è che i vettori y1 , . . . , yk−1 sono linearmente dipendenti; il che contraddice la definizione
di k.
Lemma 3.3.3 Sia A un operatore compatto. L’insieme σp (A) degli autovalori di A è finito o
numerabile ed ammette al più il punto 0 come punto di accumulazione.
Dimostrazione – Per prima cosa dimostriamo che l’insieme degli autovalori di A non può avere un punto
di accumulazione λ con λ 6= 0. Se cosı̀ non fosse, esisterebbe una successione di autovalori {λn } distinti
con autovettori yn tali che 0 6= λn → λ 6= 0. Sia Mn il sottospazio genenerato dai vettori {y1 , · · · , yn }.
Mn è invariante per A. Poiché {y1 , · · · , yn } sono linearmente indipendenti, Mn−1 è un sottospazio
proprio di Mn . Quindi Mn contiene un elemento xn tale che kxn k = 1 ed ortogonale a Mn−1 . In questo
modo si costruisce una successione {xn } di vettori di H, limitata. La successione {λ−1
n xn } è limitata.
Faremo vedere che da {λ−1
n Axn } non si può estrarre alcuna sottosuccessione convergente. Infatti, se
m < n,
−1
−1
−1
λ−1
n Axn − λm Axm = xn − (λm Axm − λn (A − λn )xn ).
Il secondo termine a destra appartiene a Mn−1 , perché xm ∈ Mn−1 , Mn−1 è invariante per A e (A −
λn )xn ∈ Mn−1 . Quest’ultima affermazione nasce dalla considerazione che
xn = α1 y1 + α2 y2 + · · · + αn yn ,
e che applicando A − λn si ottiene
(A − λn )xn
= α1 (A − λn )y1 + α2 (A − λn )y2 + · · · + αn−1 (λn−1 − λn )yn−1 + αn (A − λn )yn
=
α1 (λ1 − λn )y1 + α2 (λ2 − λn )y2 + · · · + αn−1 (λn−1 − λn )yn−1 + αn (λn − λn )yn
=
α1 (λ1 − λn )y1 + α2 (λ2 − λn )y2 + · · · + αn−1 (λn−1 − λn )yn−1 .
3.3. La teoria spettrale degli operatori compatti
45
Quindi,
−1
2
2
−1
−1
2
kλ−1
n Axn − λm Axm k = kxn k + k(λm Axm − λn (A − λn I)xn )k ≥ 1.
La disuguaglianza precedente mostra che nessuna sottosuccessione di {λ−1
n Axn } può essere convergente.
L’insieme σp (A) è limitato, perché è limitato σ(A). Se σp (A) non ha punti di accumulazione, allora, per
il teorema di Bolzano - Weierstrass, esso è finito. In caso contrario, 0 è l’unico punto di accumulazione.
Dunque in al di fuori di ogni disco {λ ∈ C : |λ| ≤ n1 } può cadere solo un numero finito di autovalori. In
questo caso, quindi, σp (A) è numerabile.
Corollario 3.3.4 Gli autovalori di un operatore compatto A costituiscono un insieme finito o
numerabile. In quest’ultimo caso, disposti i {λn } in successione , risulta limn→∞ λn = 0.
Dimostrazione – Come abbiamo visto, 0 è l’unico possibile punto di accumulazione della successione
{λn } e al di fuori di ogni disco di centro l’origine e raggio cade solo un numero finito di elementi della
successione. Questo prova l’asserto.
Lemma 3.3.5 Sia A un operatore compatto. Se µ 6= 0 non è un autovalore di A, allora R(A −
µI) è chiuso.
Dimostrazione – Supponiamo che (A−µI)xn → y. Dobbiamo provare che y ∈ R(A−µI). Cominciamo
con il provare che la successione {xn } è limitata. Altrimenti, si potrebbe assumere (a meno di passare
ad una sottosuccessione) che kxn k → ∞. Posto x0n = xn /kxn k, la successione {x0n } è limitata e (A −
µ)x0n → 0. Rimpiazzando {x0n } con una sottosuccessione, possiamo supporre che {Ax0n } stessa sia di
Cauchy ad affermare Ax0n → w. Questo implica che µx0n → w e, dunque, (A − µI)w = 0 . Poiché
kwk = lim kµx0n k = |µ| > 0, si conclude che w 6= 0. Quindi w è un autovettore di A relativo a µ, il che
contraddice l’ipotesi.
Dato che {xn } è limitata, {Axn } contiene una successione di Cauchy; rimpiazzando, ancora una volta,
{xn } con una sottosuccessione, possiamo supporre che {Axn } stessa sia di Cauchy. Sia Axn → v. Allora
µxn = Axn − (A − µI)xn → v − y. Applicando A, µAxn → A(v − y). Dunque,
(A − µI)xn →
A(v − y)
1
− (v − y) = (A − µI)(v − y).
µ
µ
e, quindi, y = µ−1 (A − µI)(v − y) ∈ R(A − µI).
Lemma 3.3.6 Sia A un operatore compatto. Se µ 6= 0 non è un autovalore di A, allora esiste
c > 0 tale che k(A − µI)xk ≥ ckxk, per ogni x ∈ H.
Dimostrazione – Se cosı̀ non fosse, per ogni k ∈ N esisterebbe xk ∈ H, con kxk k = 1 tale che
k(A − µI)xk k ≤
1
,
k
∀k ∈ N.
Dunque, (A − µI)xk → 0.
Dalla successione {xk } si può estrarre una sottosuccessione {xkj } tale che Axkj → y ∈ H. Si ha, allora
xk j =
1
y
(Axkj − (A − µI)xkj ) → .
µ
µ
Dato che kxkj k = 1, y 6= 0. Si ha, infine
(A − µI)y = lim (A − µI)xkj = 0.
j→∞
Dunque, µ è un autovalore di A; contro l’ipotesi.
46
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
} Osservazione 3.3.7
Il lemma 3.3.6 implica che se µ 6= 0 non è un autovalore di A, l’ operatore
(A − µI)−1 , che è definito in R(A − µI) è limitato. In particolare, se R(A − µI) = H, allora (A − µI)−1 ∈
B(H).
Lemma 3.3.8 A ∈ B(H). Allora N (A∗ ) = R(A)⊥ . Quindi R(A) = N (A∗ )⊥ .
Dimostrazione – Sia x ∈ N (A∗ ). Allora si ha
x ∈ N (A∗ ) ⇔ 0 = (A∗ x, y) = (x, Ay),
∀y ∈ H ⇔ x ∈ R(A)⊥ .
Dall’uguaglianza N (A∗ ) = R(A)⊥ segue che N (A∗ )⊥ = R(A)⊥⊥ = R(A).
Lemma 3.3.9 Se λ è un autovalore di A , allora λ è un autovalore di A∗ .
Dimostrazione – Se λ non fosse autovalore di A∗ , allora esso ammetterebbe inverso definito in R(A∗ −
λI); di conseguenza esisterebbe anche l’inverso di A − λI e, dunque λ non potrebbe essere autovalore di
A.
} Osservazione 3.3.10 Per simmetria, il lemma precedente implica che è vero anche il viceversa e
dunque σp (A) = σp (A∗ ). Notiamo, infine, che si può dimostrare anche che, se λ è un autovalore di A di
molteplicità n allora λ, come autovalore di A∗ , ha la stessa molteplicità.
Proposizione 3.3.11 Sia A un operatore compatto. Allora
σ(A) = σp (A) ∪ {0}.
Dimostrazione – Intanto è chiaro che σp (A) ∪ {0} ⊆ σ(A). Sia adesso µ ∈ C \ σp (A), µ 6= 0. Allora µ
non è un autovalore di A∗ (v. lemma 3.3.9 e osservazione 3.3.10). Dal lemma 3.3.8 segue allora che
R(A − µI)⊥ = N (A∗ − µI) = {0}.
Dunque R(A − µI) = H. Ma R(A − µI) è chiuso (Lemma 3.3.5) e, quindi, (A − µI)−1 è ovunque definito
in H e, perciò, (A − µI)−1 ∈ B(H) (Osservazione 3.3.7). In conclusione σ(A) ⊆ σp (A) ∪ {0}.
In definitiva abbiamo dimostrato il seguente
Teorema 3.3.12 (di Riesz - Schauder) Lo spettro di un operatore compatto A è un insieme
finito o un insieme numerabile che non ha punti di accumulazione diversi da 0. Ogni elemento
non nullo di σ(A) è un autovalore di molteplicità finita. Un numero λ ∈ C \ {0} è autovalore di
A se, e soltanto se, λ è un autovalore di A∗ .
Corollario 3.3.13 Sia A un operatore compatto. Un numero complesso λ 6= 0 o è un elemento
di ρ(A) oppure è un autovalore isolato di molteplicità finita.
3.3. La teoria spettrale degli operatori compatti
47
Esempio 3.3.14
Nelle proposizioni precedenti il punto 0, che è sempre un elemento di σ(A) è stato lasciato da parte nelle
nostre considerazioni. Il motivo è che 0 può non essere un autovalore e, se lo è, non è necessariamente
di molteplicità finita. Per vedere qualche esempio, consideriamo uno spazio di Hilbert H separabile e sia
{en } una base ortonormale in H. Definiamo
∞
X
Ax =
an (x, en )en ,
n=1
dove {an } è una successione di numeri complessi tali che limn→∞ an = 0. Allora A è limite in norma
degli operatori di rango finito
k
X
Ak x =
an (x, en )en
n=1
ed è, perciò, compatto.
• se an =
1
n,
n ∈ N+ , allora, come si vede facilmente, 0 non è autovalore di A.
• Se an = n1 per n ≥ 5 e an = 0 per n < 5, allora 0 è un autovalore di molteplicità 4. L’autospazio
relativo a 0 è infatti generato da e1 , e2 , e3 , e4 .
• Se an = n1 per n pari e an = 0 per n dispari, 0 è un autovettore di molteplicità infinita. Il relativo
sottospazio è, infatti, generato dai vettori en con n dispari.
3.3.2
Teorema di Riesz–Schauder: seconda dimostrazione
Teorema 3.3.15 Sia D un sottoinsieme aperto e connesso di C ed f : D → B(H) una funzione
analitica a valori operatori, tale che f (z) è compatto per ogni z ∈ D. Allora si verifica una e
una sola delle seguenti situazioni:
(a) (I − f (z))−1 non esiste per alcun z ∈ D;
(b) (I − f (z))−1 esiste per ogni z ∈ D \ S, dove S è un sottoinsieme di D costituito di punti
isolati e privo di punti di accumulazione.
Dimostrazione – Sia z0 ∈ D. Cominciamo con il provare che l’alternativa espressa sopra vale in un
intorno di z0 . Scegliamo r > 0 in modo che, se z ∈ Dr = {z ∈ C : |z −z0 | < r}, risulti kf (z)−f (z0 )k < 21 .
Per il Teorema 3.2.18 esiste un operatore F di rango finito tale che kf (z0 ) − F k < 21 . Si ha dunque,
kf (z) − F k = kf (z) − f (z0 ) + f (z0 ) − F k ≤ kf (z) − f (z0 )k + kf (z0 ) − F k < 1.
Dunque, per ogni z ∈ Dr esiste (I − f (z) + F )−1 ed è una funzione analitica di z. L’operatore F è di
rango finito. Esistono dunque due insiemi {v1 , . . . , vn } e {w1 , . . . , wn } di vettori di H tali che
Fx =
n
X
(x, vk )wk ,
x ∈ H.
k=1
Poniamo
vn (z) := ((I − f (z) + F )−1 )∗ vn
48
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
e
G(z) := F (I − f (z) + F )−1 .
Se y ∈ H, si ha
G(z)y
= F (I − f (z) + F )−1 y
n
X
=
((I − f (z) + F )−1 y, vk )wk
=
=
k=1
n
X
(y, ((I − f (z) + F )−1 )∗ vk )wk
k=1
n
X
(y, vk (z))wk .
k=1
È facile verificare che vale l’uguaglianza
I − f (z) = (I − G(z))(I − f (z) + F ).
Da essa segue che I − f (z) è invertibile per z ∈ Dr se, e soltanto se, I − G(z) è invertibile e che l’equazione
(I − f (z))y = 0 ha soluzioni non nulle se, e soltanto se, l’equazione (I − G(z))h = 0 ha soluzioni non
nulle.
Pn
Se y ∈ H è soluzione di G(z)y = y, allora y = k=1 βk wk , perché esso appartiene all’immagine di
F e risulta


n
n
n
X
X
X

βk w k =
βj wj , vk (z) wk
k=1
k=1
j=1
L’indipendenza lineare dei wk implica allora che i βj risolvono il sistema lineare
βk =
n
X
(wj , vk (z))βj .
(3.7)
j=1
Pn
Viceversa, se il sistema lineare (3.7) ammette la soluzione {β1 , . . . , βn }, allora il vettore y = k=1 βk wk
è soluzione dell’equazione G(z)y = y. In conclusione, l’equazione G(z)y = y ha soluzioni non nulle se, e
soltanto se, il determinante
d(z) := det {δkj − (wj , vk (z))} = 0.
La funzione d(z) è analitica. Se d(z) = 0 identicamente, allora I − G(z) non è invertibile per ogni z ∈ Dr .
Se, invece, essa non è identicamente nulla, i suoi zeri costituiscono un insieme Sr di punti isolati, privo
di punti di accumulazione.
Supponiamo adesso che d(z) 6= 0 e, scelto un vettore
Pn h ∈ H cerchiamo una soluzione dell’equazione
(I − G(z))y = h. Cerchiamo y della forma y = h + k=1 γk wk . Sostituendo nell’equazione si ottiene il
sistema lineare
n
X
(h, vk (z)) = γk −
γj (wj , vk (z)).
j=1
Il determinante di questo sistema è esattamente d(z) che, per ipotesi è non nullo: il sistema ammette,
dunque, una e una sola soluzione. In conclusione, (I − G(z))−1 esiste in B(H) se, e soltanto se, z 6∈ Sr .
In questo modo, si è provato che per ogni punto di z0 ∈ D esiste un intorno Dr di z0 in cui o
(I − f (z))−1 non esiste in ogni punto oppure esso esiste tranne al più in un sottoinsieme Sr di Dr di punti
isolati privo di punti di punti di accumulazione. È chiaro che se facciamo variamo z0 in D non abbiamo
3.3. La teoria spettrale degli operatori compatti
49
alcuna garanzia che questo succeda globalmente su D. Per completare la domostrazione occorre usare la
proprietà di connessione di D. Lasciamo come esercizio al lettore il completamento della dimostrazione.
Teorema 3.3.16 (Riesz - Schauder) Lo spettro σ(A) di un operatore compatto A consiste unicamente di 0 e degli autovalori di A. Lo spettro è finito o numerabile ed, in questo caso, ha al
più 0 come punto di accumulazione. Ogni elemento non nullo dello spettro è un autovalore di
molteplicità finita.
Dimostrazione – Basta applicare il teorema 3.3.15 ad f (z) = zA. Allora f (z) è una funzione a
valori negli operatori compatti ed è analitica sull’intero piano complesso. L’insieme S = {z ∈ C : zAy =
y ha soluzioni non nulle} è un insieme di punti isolati senza punti di accumulazione, dato che non coincide
con C visto che 0 6∈ S. Se 1/λ 6∈ S, si ha
−1
1
1
I− A
(A − λI)−1 = −
λ
λ
e quindi λ ∈ ρ(A). Se l’insieme degli autovalori non è finito, allora esso ammette punto di accumulazione
che non può che essere 0, visto che lo spettro è chiuso. L’insieme degli autovalori è quindi numerabile
(verificare!). Se λ è un autovalore non nullo, il corrispondente autospazio ha dimensione finita (Lemma
3.3.1.
3.3.3
Conseguenze
Corollario 3.3.17 Sia A ∈ K(H) e λ ∈ C \ {0}. Allora, o l’equazione
(A − λI)x = y
ammette una, e una sola, soluzione per ogni y ∈ H oppure l’equazione (A − λI)x = 0 ammette
soluzioni non nulle.
Il corollario precedente è una generalizzazione al caso astratto del famoso teorema dell’alternativa
di Fredholm che stabilisce l’affermazione corrispondente per le equazioni integrali della forma
Z b
K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x)
a
L2 ([a, b)]
nello spazio di Hilbert
di questo tipo sono compatti.
e K ∈ L2 ([a, b] × [a, b]). Come abbiamo già visto, gli operatori
Lemma 3.3.18 Sia A ∈ B(H). Se A è simmetrico, allora
(i) ogni autovalore di A è reale;
(ii) autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.
Dimostrazione – (i): Se Ax = λx, x 6= 0, allora (Ax, x) = λkxk2 e (x, Ax) = λkx2 k. Dunque λ = λ.
(ii): Siano x, y autovettori corrispondenti agli autovalori λ e µ, rispettivamente. Allora
(Ax, y) = λ(x, y);
(x, Ay) = µ(x, y).
Ma (Ax, y) = (x, Ay). Dunque, se λ 6= µ, si ha (x, y) = 0.
50
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
Teorema 3.3.19 (Hilbert - Schmidt) Sia A un operatore simmetrico compatto in uno spazio
di Hilbert separabile. Allora, esiste una sistema ortonormale {ek } che è una base di H, tale che
Aek = λk ek .
Dimostrazione – Per ogni autovalore λk scegliamo una base ortonormale che genera il sottospazio degli
autovettori relativi a λk (includendo gli autovettori di 0, se questo è un autovalore). L’insieme di tutti
gli autovettori cosı̀ ottenuto, {ek }, è un sistema ortonormale in H, perché autovettori corrispondenti ad
autovalori distinti sono ortogonali. Sia M il sottospazio chiuso di H generato da {ek }. M è invariante per
A ed anche M⊥ lo è. La restrizione di A ad M⊥ , AM⊥ , è un operatore compatto con raggio spettrale
r(AM⊥ ) nullo, perché tutti gli autovettori di A appartengono ad M. Ma kAM⊥ k = r(AM⊥ ) = 0.
Dunque, M⊥ = {0}. Infatti, se 0 6= y ∈ M⊥ , dovrebbe essere Ay = 0 ed y, essendo un autovettore,
dovrebbe appartenere a M. In conclusione M = H.
} Osservazione 3.3.20 Abbiamo dato il teorema di Hilbert - Schmidt nella sua formulazione classica,
supponendo cioè che lo spazio di Hilbert sia separabile. Nel caso in cui lo spazio non sia separabile, la
dimostrazione precedente resta valida con la sola differenza che non sappiamo, a priori, se l’autospazio
relativo a 0 è separabile o no: una base si trova comunque ma potrebbe non essere numerabile. Se 0 non
è un autovalore di A, allora la base che si ottiene è certamente numerabile e lo spazio è automaticamente
separabile.
Se {ek } è la base di autovettori costruita nel teorema precedente, ogni vettore y ∈ H (che
supponiamo separabile) ammette la rappresentazione
y=
∞
X
(y, en )en
n=1
Agendo con l’operatore A che è continuo, si ha
Ay =
∞
X
(y, en )Aen =
n=1
∞
X
λn (y, en )en .
(3.8)
n=1
Se indichiamo con Pn il proiettore sul sottospazio unidimensionale generato da en (cioè, Pn y =
(y, en )en ), la precedente uguaglianza si scrive anche come
Ay =
∞
X
λn Pn y,
y ∈ H.
n=1
Si noti che nella precedente uguaglianza i λn non sono necessariamente distinti.
Concludiamo con il seguente teorema sulla rappresentazione spettrale di un operatore simmetrico compatto.
Teorema 3.3.21 Sia A un operatore simmetrico compatto in uno spazio di Hilbert separabile.
Sia {λn } la successione (possibilmente finita) dei suoi autovalori. Esiste allora una successione
(possibilmente finita) di proiettori {Qn }, di rango finito, a due a due ortogonali tali che
A=
∞
X
λn Qn
(3.9)
n=1
dove la convergenza
della serie è intesa nella norma di B(H). Inoltre, se 0 non è un autovalore
P
di A, risulta ∞
Q
n=1 n = I,
3.3. La teoria spettrale degli operatori compatti
51
Dimostrazione – Sia {λn } la successione degli autovalori distinti di A. Indichiamo con Qn il proiettore
sull’autospazio relativo a λn . Se λn 6= 0, per ogni n, i Qn sono tutti di rango finito, e a due a due
ortogonali. La (3.8) si riscrive nel modo seguente
Ay =
∞
X
y ∈ H.
λn Qn y,
n=1
Questo ci dice che la serie in (3.9) converge nella topologia forte di B(H). Poniamo
Ak =
k
X
λn Qn .
n=1
Dobbiamo dimostrare che kA − AK k → 0 per k → ∞. Si ha
∞
2
X
λn Qn y k(A − Ak )yk2 = =
n=k+1
∞
X
|λn |2 kQn yk2
n=k+1
≤
sup |λn |2 kyk2 .
n≥k+1
Dunque,
kA − Ak k ≤ sup |λn |2 → 0
per k → ∞,
n≥k+1
perché lim λn = 0.
n→∞
Se, infine, 0 non è un autovalore di A, la somma dei Qn dà l’operatore identico perché gli autovettori
costituiscono una base ortonormale di H.
Possiamo adesso dare la forma canonica di un operatore compatto.
Teorema 3.3.22 Sia A un operatore compatto nello spazio di Hilbert separabile H. Allora,
esistono due sistemi di vettori ortonormali {en }, {vn }, non necessariamente completi, e dei
numeri positivi {λn }, con lim λn = 0, tali che
n→∞
A=
∞
X
λn (·, en )vn .
n=1
La somma può essere finita o infinita. In quest’ultimo caso, la serie converge in norma. I
numeri {λn } si chiamano valori singolari di A.
Dimostrazione – L’operatore A∗ A è compatto e simmetrico. Quindi esiste un sistema ortonormale {en }
tale che A∗ Aen = µn en se µn 6= 0, mentre A∗ A si annulla sul complemento ortogonale del sottospazio
generato da {en } (che è non nullo se 0 è un autovalore di A∗ A). Poichè A∗ A ≥ 0, i µn sono positivi;
infatti
(A∗ Aen , en ) = µn (en , en ) = µn ≥ 0,
√
ma era già escluso che µn = 0. Sia λn = µn e poniamo vn = Aen /λn . Si ha
(vn , vm ) =
1
1
(Aen , Aem ) =
(A∗ Aen , em ) = δnm .
λn λm
λn λm
52
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
Cioè i {vn } costituiscono un sistema ortonormale. Si ha poi, per ogni x ∈ H,
x=
∞
X
(x, en )en +
n=1
∞
X
(x, e0k )e0k ,
k=1
dove gli {e0k } sono gli autovettori eventualmente corrispondenti all’autovalore 0. Applicando l’operatore
A, il termine relativo agli {e0k } si annulla (infatti A∗ Ae0k = 0 implica Ae0k = 0). Dunque,
Ax =
∞
X
(x, en )Aen =
n=1
∞
X
λn (x, en )
n=1
∞
X
Aen
=
λn (x, en )vn .
λn
n=1
La convergenza in norma della serie si dimostra in modo simile a quanto fatto nel teorema 3.3.21.
Esercizio 3.3.23 Nello spazio di Hilbert L2 (I), I = [0, 1] si consideri, l’operatore
Z x
(Af )(x) =
f (t)dt, f ∈ L2 (I).
0
Dopo aver verificato che l’espressione data sopra definisce un operatore limitato in L2 (I), provare
che A è compatto e che r(A) = 0. Dimostrare che 0 non è un autovalore di A.
Esercizio 3.3.24 Sia I = [0, 1] ed {Ek }k∈N una famiglia di sottoinsiemi misurabili di [0, 1] a due
a due disgiunti e la cui unione restituisce [0, 1]. Per ogni k ∈ N, si indichi con χk (x) la funzione
caratteristica di Ek . Sia {λk } una successione di numeri complessi tendente a 0. Dimostrare che
ogni λk è un autovalore dell’operatore A definito da
!
∞
X
λk χk (x) f (x), f ∈ L2 (I).
(Af )(x) =
k=0
Esistono altri elementi dello spettro di A? L’operatore A è compatto? In quali casi il punto 0 è un
elemento dello spettro di A?
3.4
Operatori di classe traccia e di Hilbert - Schmidt
Sia H uno spazio di Hilbert separabile, {en } una base ortonormale di H. Per ogni operatore
positivo A ∈ B(H) definiamo la traccia di A come
tr(A) =
∞
X
(Aen , en ).
n=1
Può succedere che tr(A) = ∞.
Prima di procedere, ricordiamo che se A ∈ B(H), A ≥ 0, allora esiste un unico operatore B
(la radice quadrata di A) con B ≥ 0 e B 2 = A e che, di solito, si scrive A1/2 = B. Ricordiamo,
inoltre, che se A ∈ B(H), allora A∗ A ≥ 0; quindi A∗ A ammette radice quadrata. Si pone
|A| = (A∗ A)1/2 l’operatore cosı̀ definito prende il nome di modulo di A.
Ritorniamo adesso alle proprietà della traccia.
3.4. Operatori di classe traccia e di Hilbert - Schmidt
53
Proposizione 3.4.1 Il numero tr(A) non dipende dalla base ortonormale scelta per calcolarlo.
Dimostrazione – Sia {vn } un’altra base ortonormale di H. Allora
∞
X
(Avn , vn )
=
n=1
=
=
=
=
=
∞
X
(A1/2 vn , A1/2 vn ) =
n=1
∞
X
∞
X
n=1
∞
X
m=1
∞
X
n=1
∞
X
m=1
∞
X
m=1
∞
X
n=1
∞
X
kA1/2 vn k2
n=1
!
|(A
1/2
2
vn , em )|
!
1/2
|(vn , A
2
em )|
!
1/2
|(vn , A
kA1/2 em k2 =
2
em )|
∞
X
(A1/2 em , A1/2 em )
m=1
m=1
∞
X
(Aem , Aem )
m=1
Lo scambio delle sommatorie è permesso dal fatto che tutti i termini sono positivi.
Elenchiamo alcune proprietà elementari della traccia.
Proposizione 3.4.2 Se A, B sono operatori limitati e positivi, si ha
(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B);
(ii) tr(λA) = λtr(A),
∀λ ≥ 0;
(iii) tr(U AU −1 ) = tr(A) per ogni operatore unitario U ;
(iv) Se 0 ≤ A ≤ B, allora tr(A) ≤ tr(B).
La dimostrazione è lasciata come esercizio.
Definizione 3.4.3 Un operatore A ∈ B(H) è detto di classe traccia se tr(|A|) < ∞. Indicheremo con T1 l’insieme degli operatori di classe traccia.
Definizione 3.4.4 Sia A un operatore limitato nello spazio di Hilbert separabile H e {en } una
base ortonormale di H. Poniamo
!1/2
∞
X
kAk2 =
kAen k2
.
n=1
Si dice che A è un operatore di Hilbert - Schmidt se kAk2 < ∞. Indicheremo con T2 l’insieme
degli operatori di Hilbert - Schmidt.
54
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
Dalle uguaglianze
kAk2 =
∞
X
!1/2
kAen k2
∞
X
=
n=1
!1/2
(Aen , Aen )2
∞
X
=
n=1
!1/2
(A∗ Aen , en )2
= tr(A∗ A)1/2
n=1
deduciamo che kAk2 non dipende dalla base scelta per calcolarla e che A ∈ T2 se, e soltanto se,
tr(A∗ A)1/2 < ∞.
Proposizione 3.4.5 T2 è uno *- ideale di B(H).
Dimostrazione – Siano A, B ∈ T2 . Dalla disuguaglianza, valida per ogni coppia di operatori di B(H),
(A + B)∗ (A + B) ≤ 2(A∗ A + B ∗ B)
si deduce subito che A + B ∈ T2 .
Se {en } e {vn } sono basi di H si ha
kA∗ k22
=
=
=
∞
X
kA∗ vn k2 =
n=1
∞ X
∞
X
∞
∞ X
X
|(A∗ vn , em )|2
n=1 m=1
∞ X
∞
X
|(vn , Aem )|2 =
n=1 m=1
∞
X
|(vn , Aem )|2
m=1 n=1
kAem k2 = kAk2 .
m=1
∗
Dunque, se A ∈ T2 , anche A ∈ T2 e kA∗ k2 = kAk2 .
Infine, se A ∈ T2 e B ∈ B(H) si ha
kBAk22 =
∞
X
∞
X
kBAen k2 ≤ kBk2
n=1
kAen k2 < ∞
n=1
Dunque BA ∈ T2 e kBAk2 ≤ kBkkAk2 . Il fatto che anche AB ∈ T2 segue dall’uguaglianza kABk2 =
k(B ∗ A∗ )∗ k2 = kB ∗ A∗ k2 e dai risultati precedenti.
Se A, B ∈ B(H) vale, come si vede facilmente, la disuguaglianza
2|(Ax, Bx)| ≤ kAxk2 + kBxk2 ,
∀x ∈ H.
Quindi, se A, B ∈ T2 ,
∞
X
k=1
1
|(Aek , Bek )| ≤
2
∞
X
kAek k2 +
k=1
∞
X
!
kBek k2
< ∞.
k=1
Dunque la serie di numeri complessi
∞
X
(Aek , Bek )
k=1
è assolutamente convergente. Poniamo
(A, B) :=
∞
X
(Aek , Bek ).
k=1
Lasciamo al lettore di verificare che (·, ·) definisce un prodotto interno in T2 e che si ha kAk22 =
(A, A). Da questo fatto segue che k · k2 è una norma in T2 .
3.4. Operatori di classe traccia e di Hilbert - Schmidt
55
Lemma 3.4.6 kAk ≤ kAk2 , per ogni A ∈ T2 .
Dimostrazione – Sia x ∈ H ed {en } una base ortonormale di H. Si ha
kAxk2 =
∞
X
|(Ax, en )|2 =
n=1
∞
X
|(x, A∗ en )|2 ≤
n=1
∞
X
kxk2 kA∗ en k2 = kA∗ k22 kxk2 = kAk22 kxk2 .
n=1
Teorema 3.4.7 T2 è completo rispetto alla k · k2 ed è, quindi uno spazio di Hilbert.
Dimostrazione – Sia {An } una successione di Cauchy in T2 . Quindi è di Cauchy anche nella norma di
B(H). Esiste, dunque, A ∈ B(H) tale che kAn − Ak → 0. Se n, m sono abbastanza grandi, si ha
s
X
k(An − Am )ek k2 ≤ kAn − Am k22 < 2
k=1
Per m → ∞ risulta, allora,
s
X
k(An − A)ek k2 ≤ 2 .
k=1
Questo implica che An − A ∈ T2 , e dunque A ∈ T2 , ed infine che kAn − Ak2 → 0.
Teorema 3.4.8 Ogni A ∈ T2 è compatto.
Dimostrazione – Sia > 0 e scegliamo n grande abbastanza perché risulti
∞
X
kAek k2 < 2 .
k=n+1
Poniamo An ek = Aek se k ≤ n e An ek = 0 se k > n ed estendiamo An per linearità a tutto H. Ogni
operatore An cosı̀ ottenuto è di rango finito. Si ha, evidentemente,
kAn − Ak ≤ kAn − Ak2 < .
Dunque A è compatto, perché limite in norma di operatori di rango finito.
Esempio 3.4.9
Consideriamo un operatore integrale del tipo studiato nella sezione 3.2.3. Se K ∈ L2 (Q) allora AK è
un operatore di Hilbert-Schmidt e kAK k2 = kKk2,Q . Infatti se φn (x) e ψn (x) sono basi ortonormali in
L2 ([a, b]) si ha
kAK k22
=
∞ X
∞
X
|(AK φn , ψm )|2
n=1 m=1
2
!
∞ X
∞ Z b Z b
X
=
K(x, y)φn (y)dy ψm (x)dx
a
a
n=1 m=1
Z
∞ X
∞
X
2
K(x, y)φn (y)ψm (x)dxdy =
=
n=1 m=1
kKk22,Q .
Q
56
3. Proprietà spettrali degli operatori limitati
l’uguaglianza finale segue dal fatto che il sistema di funzioni {φ( x)ψm (x)} costinuisce una base ortonormale di L2 (Q).
Capitolo 4
Operatori non limitati nello spazio di
Hilbert
Se la classe degli operatori limitati in uno spazio di Hilbert H gode di proprietà rilevanti, dovute
essenzialmente alla loro continuità, essa non esaurisce di certo la classe degli operatori che si
rivelano interessanti per le applicazioni. Un esempio che già da solo motiva lo studio degli
operatori non limitati è costituito dagli operatori differenziali. Una teoria degli operatori lineari
che lasciasse fuori questa importantissima classe sarebbe certamente fortemente incompleta.
Esempio 4.0.10
Consideriamo, per ora solo formalmente l’operatore di derivazione che agisce sullo spazio di Hilbert L2 (I)
dove I = [0, 1]. È intanto chiaro che quest’operatore non può essere definito sull’intero spazio L2 (I),
perché esso contiene anche funzioni che non sono deivabili in alcun punto di I. Siamo dunque davanti alla
necessità di selezionare un insieme di funzioni di L2 (I) dove l’operatore può agire e dare come risultato
una funzione di L2 (I). Consideriamo, ad esempio, il sottospazio di L2 (I)
Z x
2
2
D(A) = f ∈ L (I) : ∃g ∈ L (I) tale che f (x) = f (0) +
g(t)dt.
0
0
Le funzioni di D(A) sono dunque assolutamente continue e g(x) = f (x) q.o. Definiamo
(Af )(x) = g(x),
f ∈ D(A).
Da quanto detto sopra, segue che (Af )(x) = f 0 (x) quasi ovunque. L’operatore A definito in questo modo
non è limitato. Per convincercene, consideriamo la successione di funzioni φn (x) = einx . È facile vedere
che φn ∈ L2 (I) e kφn k = 1, per ogni n ∈ N. Le funzioni φn sono di classe C ∞ e, dunque appartengono
certo a D(A). Si ha
kAφn k = kinφn k = n → ∞.
4.1
Operatori chiusi e chiudibili
Definizione 4.1.1 Sia D(A) un sottospazio di H e A : D(A) → H un ’applicazione lineare, cioè
A(αx + βy) = αAx + βAy
∀α, β ∈ C; ∀x, y ∈ H
58
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Allora la coppia (A, D(A)) è un operatore lineare. D(A) è detto il dominio dell’ operatore A e
l’immagine R(A) di D(A) mediante A è detto immagine o range dell’ operatore.
Considereremo, in genere, operatori con dominio denso in H, cioè supporremo (D(A))⊥ = {0}
Definizione 4.1.2 Un operatore (B, D(B)) è detto un’estensione di (A, D(A)) se D(A) ⊆ D(B)
e Ax = Bx, ∀x ∈ D(A). In questo caso, scriveremo A ⊆ B.
La continuità di un operatore è un concetto cosı̀ utile da rendere necessario che si trovi
un’opportuna nozione che la sostituisca. La nozione di operatore chiuso svolge questo ruolo.
Definizione 4.1.3 Un operatore (A, D(A)) si dice chiuso se per ogni successione xn di elementi
di D(A) con xn → x e Axn convergente in H risulta x ∈ D(A) e Ax = lim Axn
Sia H × H il prodotto cartesiano di H per se stesso. In H × H si può definire un prodotto scalare
ponendo
({x1 , y1 }, {x2 , y2 }) = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ).
È facile dimostrare che H × H è uno spazio di Hilbert con questo prodotto scalare. Lo spazio di
Hilbert cosı̀ ottenuto si chiama somma diretta di H con se stesso e si indica con H ⊕ H.
Definizione 4.1.4 Si chiama grafico di un operatore lineare (A, D(A)) il sottoinsieme G(A) di
H ⊕ H definito da
G(A) = { {x, Ax} : x ∈ D(A)}
Da questo momento, in tutti i casi in cui non vi sia possibilità di confusione, ometteremo
l’indicazione esplicita del dominio dell’operatore.
La seguente proposizione è un’immediata conseguenza delle precedenti definizioni.
Proposizione 4.1.5 L’operatore A è chiuso se, e soltanto se, il suo grafico è chiuso in H ⊕ H.
Se un operatore A non è chiuso, in forza della precedente definizione, si potrebbe pensare di
estenderlo ad un operatore chiuso, considerando l’operatore che ha come grafico l’insieme chiuso
G(A). Questo non è tuttavia sempre possibile perché, a priori, niente impedisce che G(A)
contenga vettori del tipo {0, y} con y 6= 0. In questo caso è evidente che G(A) non può essere il
grafico di un operatore.
Definizione 4.1.6 Un operatore A è detto chiudibile se ammette un’ estensione chiusa.
Proposizione 4.1.7 L’operatore A è chiudibile se, e soltanto se, G(A) non contiene vettori del
tipo {0, y} con y 6= 0.
4.1. Operatori chiusi e chiudibili
59
Dimostrazione – Sia B un operatore chiuso tale che A ⊆ B. Allora G(B) è chiuso e G(A) ⊆ G(B).
Quindi G(A) non può contenere vettori del tipo {0, y} con y 6= 0. Viceversa, supponiamo che G(A) non
contenga vettori del tipo {0, y} con y 6= 0 e definiamo
D(B) = {x ∈ H : {x, y} ∈ G(A) per qualche y ∈ H}.
È chiaro che D(A) ⊆ D(B). Se x ∈ D(B), allora esiste un unico y ∈ H tale che {x, y} ∈ G(A) perché se
ve ne fosse un altro, sia esso y 0 , {0, y − y 0 } apparterrebbe a G(A). Allora è lecito porre Bx = y. Dalla
definizione stessa segue che G(B) = G(A) e quindi B è un’ estensione chiusa di A.
È allora chiaro che se A è chiudibile, esso ammette una minima estensione chiusa, detta chiusura
di A e indicata con A; si ha
G(A) = G(A).
Equivalentemente, si può dire che A è l’operatore definito sul dominio
D(A) = {x ∈ H| : ∃{xn } ⊂ D(A) : xn → x e Axn è convergente}
(4.1)
Ax = lim Axn
(4.2)
da
n→∞
} Osservazione 4.1.8 Nel caso particolare in cui (A, D(A)) è limitato, cioè esiste una costante M > 0
tale che
kAxk ≤ M kxk ∀x ∈ D(A)
e D(A) è denso in H, la chiusura A di A è un operatore ovunque definito in H. Infatti, se x ∈ H esiste
una successione {xn } ⊂ D(A) che converge ad x. Si ha
kAxn − Axm k ≤ M kxn − xm k → 0
La successione {Axn } è, dunque, di Cauchy in H e quindi converge ad un y ∈ H. Quindi dalle (4.1) e
(4.2) si deduce che D(A) = H. È facile dimostrare che A è un operatore limitato in H. Ne segue che un
operatore A limitato e ovunque definito in H è chiuso.
Proposizione 4.1.9 Sia (A, D(A)) un operatore lineare. La forma sesquilineare positiva
(x, y)A = (x, y) + (Ax, Ay),
x, y ∈ D(A)
definisce un prodotto interno in D(A). L’operatore A è chiuso se, e soltanto se, D(A) è uno
spazio di Hilbert rispetto alla norma k · kA definita dal prodotto interno (·, ·)A .
Dimostrazione – Proviamo solo la seconda parte. Supponiamo che A sia chiuso e sia {xn } una successione di Cauchy rispetto alla norma kxkA = (kxk2 + kAxk2 )1/2 , x ∈ D(A). Allora, scelto > 0, per n, m
sufficientemente grandi, si ha
kxn − xm kA = kxn − xm k2 + kA(xn − xm )k2 ≤ 2 .
Dunque le successioni {xn } e {Axn } sono entrambe di Cauchy rispetto alla norma di H. Esistono dunque
x, y ∈ H tali che xn → x e Axn → y. Dato che A è chiuso risulta x ∈ D(A) e y = Ax. Si verifica
facilmente che kx − xn kA → 0 e dunque D(A) è completo rispetto a k · kA . Lasciamo al lettore la
dimostrazione del viceversa.
60
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Il seguente teorema mostra che un operatore chiuso ma non limitato non può essere ovunque
definito. Per provare questo fatto è necessario tener conto della seguente proprietà degli spazi
di Banach
Lemma 4.1.10 Sia X uno spazio di Banach, rispetto alla norma k · k1 . Se X è uno spazio di
Banach anche rispetto ad una norma k · k2 soddisfacente la condizione
k · k2 ≤ Ck · k1
allora le due norme sono equivalenti. Esiste, quindi, una costante C 0 > 0 tale che
k · k1 ≤ C 0 k · k2 .
Possiamo ora dimostrare il seguente
Teorema 4.1.11 (del grafico chiuso) Se A è un operatore chiuso e ovunque definito allora A
è limitato.
Dimostrazione – In H introduciamo la norma k · kA definita nella proposizione 4.1.9. Allora H è
completo rispetto a questa norma. Evidentemente, si ha
kxk ≤ (kxk2 + kAxk2 )1/2 = kxkA .
Applicando il lemma 4.1.10, esiste C 0 > 0 tale che
(kxk2 + kAxk2 )1/2 = kxkA ≤ C 0 kxk,
∀x ∈ H.
Da questa disuguaglianza segue facilmente che A è limitato.
Esempio 4.1.12
Diamo un esempio di un operatore ovunque definito nello spazio di Hilbert H ma non limitato. Esso è,
dunque, necessariamente non chiuso.
Sia H uno spazio di Hilbert separabile ed {en } una sua base ortonormale. Com’ è noto ogni spazio
vettoriale ammette una base di Hamel contenente un prefissato insieme di vettori linearmente indipendenti. Si tratta di una base in senso algebrico, cioè ogni vettore dello spazio si esprime come combinazione
lineare finita di elementi della base. Supponiamo, dunque, che {vα }α∈I sia una famiglia di vettori linearmente indipendenti di H tale che {en } ∪ {vα }α∈I costituisca una base di Hamel di H. Se x ∈ H, x si può
rappresentare in modo unico come
n
X
X
x=
λ α vα +
µi ei
i=1
α∈F
dove F è un sottoinsieme finito di I. Definiamo un operatore A nel modo seguente
X
Ax ≡
λ α vα
α∈F
A è, chiaramente, ovunque definito in H. Tenuto conto del fatto che {en } è una base ortonormale di H,
si ha, per un fissato β ∈ I
∞
X
vβ =
γi e i
i=1
4.2. L’aggiunto di un operatore
61
Posto
sn ≡
n
X
γi e i
i=1
risulta
Asn = 0
mentre
A
lim sn = Avβ = vβ
n→∞
Cioè A non è continuo; quindi A è, effettivamente, un operatore ovunque definito ma non limitato.
4.2
L’aggiunto di un operatore
Sia (A, D(A)) un operatore lineare; indichiamo con D(A∗ ) l’insieme dei vettori y ∈ H per i quali
esiste un vettore z ∈ H tale che
∀x ∈ D(A)
(Ax, y) = (x, z)
(4.3)
Se D(A) è denso in H, per ogni y ∈ D(A∗ ) esiste un unico vettore z soddisfacente la (4.3). In
questo caso, allora, si può definire un’ applicazione A∗ : D(A∗ ) → H ponendo A∗ y = z ∀x ∈
D(A∗ ). È un facile esercizio dimostrare che l’ applicazione A∗ è lineare e dunque (A∗ , D(A∗ )) è
un operatore lineare.
È immediato dimostrare che se A ⊂ B allora B ∗ ⊂ A∗ .
Proposizione 4.2.1 Sia A un operatore di dominio denso. Allora A∗ è chiuso.
Dimostrazione – Sia yn una successione in D(A∗ ) tale che yn → y e A∗ yn → v. Se x ∈ D(A) si ha,
facendo uso della continuità del prodotto interno,
(Ax, y) = lim (Ax, yn ) = lim (x, A∗ yn ) = (x, v)
n→∞
∗
n→∞
∗
questo implica che y ∈ D(A ) e A y = v
In quello che abbiamo detto fin qui, non c’ è nulla che garantisca che se A è densamente
definito, anche A∗ lo è. Ed infatti non è cosı̀, come mostra il seguente esempio.
Esempio 4.2.2
Sia f una funzione misurabile e limitata, ma tale che f 6∈ L2 (R). Indichiamo con D(A) il seguente
dominio
Z
D(A) = {ψ ∈ L2 (R) :
|ψ(x)f (x)| dx < ∞}
R
D(A) è denso perché contiene tutte le funzioni di L2 (R) a supporto compatto. Fissiamo
ora un vettore
R
ψ0 ∈ L2 (R) e definiamo Aψ = [ψ, f ]ψ0 per ψ ∈ D(A) dove si è posto [ψ, f ] = R ψ(x)f (x) dx. Sia ora
φ ∈ D(A∗ ), si ha allora
(ψ, A∗ φ)
=
(Aψ, φ) = ([ψ, f ]ψ0 , φ)
=
[ψ, f ](ψ0 , φ) = (ψ, (ψ0 , φ)f )
per ogni ψ ∈ D(A). Quindi dovrebbe essere A∗ φ = (φ, ψ0 )f . Poiché f 6∈ L2 (R) questo è possibile solo se
(ψ0 , φ) = 0. Questo significa che D(A∗ ) = {φ0 }⊥ e quindi D(A∗ ) non è denso. Per quel che si è visto,
risulta, inoltre, A∗ φ = 0 ∀φ ∈ D(A∗ ).
62
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
La situazione descritta nel precedente esempio non può verificarsi se A oltre ad avere dominio
denso è anche chiuso.
Teorema 4.2.3 Se A è chiuso e densamente definito, allora D(A∗ ) è denso in H. Inoltre,
A∗∗ = (A∗ )∗ esiste e A∗∗ = A
Dimostrazione – Cominciamo col definire un operatore V in H ⊕ H nel modo seguente
V{x, y} = {−y, x}.
L’operatore V è unitario e quindi V(M⊥ ) = [V(M)]⊥ (esercizio!) per ogni sottospazio M di H ⊕ H.
Inoltre V2 = −I.
Sia G(A) il grafico di A. Poiché A è chiuso, G(A) è un sottospazio chiuso di H ⊕ H. Determiniamo
⊥
[V[G(A)]]
⊥
{x, z} ∈ [V[G(A)]]
⇔
({x, z}, {−Ay, y}) = 0 ∀y ∈ D(A)
⇔
−(x, Ay) + (z, y) = 0 ∀y ∈ D(A)
⇔
{x, z} ∈ G(A∗ )
⊥
Quindi G(A∗ ) = [V[G(A)]] . Si ha allora
G(A)
=
=
⊥⊥
G(A)⊥⊥ = V2 G(A)
⊥
V[V G(A)]⊥ = [V G(A∗ )]⊥
Supponiamo adesso che D(A∗ ) non sia denso; allora esiste un w ∈ H con w 6= 0 e w ∈ D(A∗ )⊥ .
Allora l’elemento {0, w} di H ⊕ H è ortogonale a tutti i vettori della forma {A∗ y, −y} con y ∈ D(A∗ ).
Cioè {0, w} ∈ [V G(A∗ )]⊥ = G(A) e questo è impossibile.
Se A∗ ha dominio denso, essendo esso sempre chiuso, A∗∗ esiste ed ha dominio denso.È facile verificare
che A ⊂ A∗∗ ma
⊥
G(A∗∗ ) = [V[G(A∗ )]] = G(A)
e quindi A = A∗∗
Applicando il teorema precedente ad A∗ , quando questo ha dominio denso, si ha A∗ = A∗∗∗ .
∗
Esercizio 4.2.4 Sia A un operatore chiudibile e con dominio denso. Provare che A = A∗ e che
A = A∗∗ .
4.3
Le operazioni algebriche
Siano dati due operatori (A, D(A)) e (B, D(B)). La somma A + B di A e B è l’operatore
lineare definito su D(A + B) = D(A) ∩ D(B) da (A + B)x = Ax + Bx per ogni f ∈ D(A + B).
Osserviamo che se D(A) e D(B) sono densi, in generale, D(A + B) non lo è. Inoltre la somma
di due operatori chiusi non è necessariamente un operatore chiuso.
Nessun problema sorge invece, ovviamente, per la moltiplicazione di uno scalare per un
operatore: se (A, D(A)) è un operatore lineare e λ ∈ C allora l’operatore (λA) è definito su
D(λA) = D(A) da (λA)x = λ(Ax) ∀x ∈ D(A). È ovvio che se A è chiuso anche λA è chiuso.
4.4. Operatori simmetrici e autoaggiunti
63
Dati due operatori (A, D(A)) e (B, D(B)) il prodotto AB è definito su dominio D(AB) =
{x ∈ D(B) : Bx ∈ D(A). Anche in questo caso niente garantisce che D(AB) sia denso né che
AB sia chiuso, nell’ipotesi che A e B lo siano.
Esercizio 4.3.1 Sia A ∈ B(H) e B un operatore chiuso di dominio D(B). BA è chiuso nel suo
dominio naturale. Dimostrare che D(AB) = D(B). Si può dire che AB è chiuso? Dare qualche
condizione aggiuntiva perché AB risulti chiuso.
Come si vede, dunque, gli operatori non limitati non si possono sommare e moltiplicare
con la stessa noncuranza con cui si sommano e si moltiplicano gli operatori limitati (che, come
abbiamo visto, costituiscono un’ algebra).
Per quanto riguarda il passaggio all’aggiunto valgono le regole seguenti:
(i) A∗ + B ∗ ⊂ (A + B)∗
(ii) A∗ B ∗ ⊂ (BA)∗
(iii) (λA)∗ = λ̄A∗
Naturalmente la (i) e la (ii) si intende che valgono quando entrambi i membri sono ben definiti;
la (iii) vale invece sotto la ovvia condizione che esista A∗ .
4.4
Operatori simmetrici e autoaggiunti
Nella descrizione matematica della Meccanica quantistica ad una certa grandezza fisica (osservabile) è associato un operatore lineare A che agisce nello spazio di Hilbert degli stati del sistema.
Questo spazio di Hilbert è uno spazio L2 (Rn ) e, nel caso di una singola particella, il vettore
ψ ∈ H rappresenta uno stato del sistema, nel senso che |ψ|2 fornisce la densità di probabilità
della funzione di distribuzione della probabilità. Il valor medio di A in questo stato è dato da
< A >ψ = (Aψ, ψ)
Il valor medio rappresenta, per cosı̀ dire, il valore più probabile che si ottiene facendo un ’gran‘
numero di misure di A nello stato ψ. Questo numero è dunque, per sua natura, un numero reale.
Questa è una condizione essenziale che deve essere soddisfatta dagli operatori che rappresentano
osservabili. Sia D(A) il dominio di A. Se (Ax, x) ∈ R, per ogni x ∈ D(A), dall’identità di
polarizzazione, si ha
3
(Ax, y) =
1X k
i A(x + ik y), x + ik y)
4
k=1
=
per ogni y ∈ D(A).
3
1X
4
k=1
ik x + ik y, A(x + ik y)) = (x, Ay)
64
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Questa proprietà (un operatore che la soddisfa sarà detto simmetrico o hermitiano non
è tuttavia sufficiente perché l’operatore A possa rappresentare un’osservabile. Quello che si
richiede è che ad A e ad un vettore di stato ψ sia possibile associare un distribuzione di probabilità
cioè una funzione FA,ψ (λ) della variabile reale λ, soddisfacente opportune proprietà di monotonia
e di continuità, in modo che il valor medio di A nello stato ψ si possa esprimere, come previsto
dalla teoria della probabilità, come
Z
λdFA,ψ (λ).
< A >ψ = (Aψ, ψ) =
R
Questo è possibile se A è autoaggiunto nel senso che preciseremo nella sezione seguente.
4.4.1
Generalità
Definizione 4.4.1 Un operatore A, di dominio D(A) denso in H, è detto simmetrico (o
hermitiano) se
(Ax, y) = (x, Ay),
∀x, y ∈ D(A)
Confrontando la definizione precedente con la definizione di aggiunto, segue subito che se A è
simmetrico, D(A) ⊂ D(A∗ ) e che A∗ x = Ax, per ogni x ∈ D(A), ovvero A ⊆ A∗ . In generale,
se la definizione 4.4.1 è verificata, A∗ è un’ estensione propria di A. Questo fatto suggerisce un’
ulteriore definizione.
Definizione 4.4.2 Un operatore simmetrico A è detto autoaggiunto se A = A∗
Esercizio 4.4.3 Dimostrare che A è autoaggiunto se, e soltanto se, è chiuso ed A∗ è simmetrico.
Provare, inoltre, che un operatore autoaggiunto è massimale, cioè che non ammette estensioni
simmetriche proprie.
È evidente che se D(A) è denso, anche D(A∗ ) è denso; cosicché A∗ è chiuso e densamente
definito. Dal Teorema 4.2.3 segue, allora, che A∗∗ è chiuso e densamente definito e si ha A ⊆
A∗∗ ⊆ A∗ e quindi:
Proposizione 4.4.4 Ogni operatore simmetrico è chiudibile.
Definizione 4.4.5 Un operatore simmetrico (A, D(A)) è detto essenzialmente autoaggiunto se
A è autoaggiunto.
4.4.2
Esempi
Esempio 4.4.6
Sia H uno spazio di Hilbert separabile e {ek } una base ortonormale di H. Sia {ak } una successione non
limitata di numeri reali. Un vettore x si H si rappresenta allora (in modo unico) nella forma
4.4. Operatori simmetrici e autoaggiunti
x=
∞
X
65
λ k ek
∞
X
con
k=1
Poniamo
k=1
(
D(A) =
|λk |2 < ∞.
x=
∞
X
λ k ek :
k=1
e
Ax =
∞
X
∞
X
)
2
|ak λk | < ∞
k=1
x ∈ D(A).
ak λk ek ,
k=1
Dimostriamo
che A è un operatore autoaggiunto. Per fare questo determiniamo
A∗ . Un vettore y =
P∞
P∞
∗
∗
k=1 µk ek appartiene a D(A ) se, e soltanto se, esiste un vettore y =
k=1 ξk ek tale che
(Ax, y) = (x, y ∗ ),
∀x ∈ D(A).
Cioè,
∞
X
a k λ k µk =
∞
X
λ k ηk .
k=1
k=1
Da questa uguaglianza si deduce facilmente che deve essere ηk = ak µk , per ogni k ∈ N. E poiché
ky ∗ k2 =
∞
X
|ηk |2 =
k=1
∞
X
|ak µk |2 < ∞,
k=1
risulta y ∈ D(A) e A∗ y = Ay. Dunque, A è autoaggiunto.
Esempio 4.4.7
In L2 ([0, 1]), consideriamo l’operatore P definito sul dominio
Z x
2
2
D(P ) = f ∈ L ([0, 1]) : f (x) =
g(y) dy per g ∈ L ([0, 1]), f (1) = f (0) = 0
0
da
(P f )(x) = −if 0 (x) = −ig(x)
L’operatore P è, come si vede facilmente integrando per parti, simmetrico. Ma non è autoaggiunto. Il
suo aggiunto P ∗ è infatti definito sul dominio
Z x
D(P ∗ ) = f ∈ L2 ([0, 1]) : f (x) =
g(y) dy + f (0) per g ∈ L2 ([0, 1])
0
da
(P ∗ f )(x) = −if 0 (x) = −ig(x)
Sia adesso S l’operatore definito, per un fissato valore di θ con 0 ≤ θ < 2π, sul dominio
D(S) = f ∈ D(P ∗ ) : f (1) = eiθ f (0)
da
(Sf )(x) = −if 0 (x) = −ig(x)
Integrando per parti, si vede facilmente che S è autoaggiunto. È chiaro che P ⊂ S ⊂ P ∗ e quindi
l’operatore P ammette infinite estensioni autoaggiunte (al variare di θ).
66
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Esempio 4.4.8
In L2 (R), consideriamo l’operatore Q definito sul dominio
D(Q) = f ∈ L2 (R) : xf (x) ∈ L2 (R)
da
(Qf )(x) = xf (x).
Il dominio D(Q) è denso perchè contiene le funzioni di L2 (R) a supporto compatto. Lasciamo al lettore
la semplice verifica del fatto che Q è simmetrico. Q è autoggiunto? Calcoliamo Q∗ . Se g ∈ D(Q∗ ) esiste
g ∗ ∈ L2 (R) tale che
Z
Z
f (x)g ∗ (x)dx,
xf (x)g(x)dx =
R
∀f ∈ D(Q)
R
Ovvero,
Z
f (x)(xg(x) − g ∗ (x))dx = 0
R
Questa uguaglianza implica che xg(x) − g ∗ (x) è ortogonale a D(Q) che è denso. Dunque, g ∈ D(Q) e
Q∗ g = Qg.
4.4.2.1
L’operatore di derivazione in R
Lo studio dell’autoaggiunzione dell’operatore P f = −if 0 in L2 (R) si presenta più complicato e
abbiamo bisogno di introdurre qualche nuova definizione.
Definizione 4.4.9 Sia f una funzione di L2 (R). Diciamo che f ammette derivata debole in
L2 (R) se esiste una funzione g ∈ L2 (R) tale che
Z
Z
0
f (x)φ (x) = − g(x)φ(x)dx, ∀φ ∈ C0∞ (R)
R
R
dove C0∞ (R) indica lo spazio delle funzioni infinitamente derivabili in R a supporto compatto.
In questo caso, porremo g = Df . Si indica con W 1,2 (R) il sottospazio delle funzioni di L2 (R)
che ammettono derivata debole in L2 (R).
Lo spazio W 1,2 (R) fa parte di una famiglia di spazi denominati spazi di Sobolev dal nome del
matematico russo che introdusse in concetto di derivata debole.
} Osservazione 4.4.10 Naturalmente se f ammette derivata f 0 in R, in senso ordinario, e se f 0 ∈ L2 (R)
allora Df = f 0 quasi ovunque.
Esercizio 4.4.11 Provare che la funzione

se − 1 < x < 0
 1
−1 se 0 < x < 1
g(x) =

0
altrove
è la derivata debole della funzione
f (x) =
1 − |x| se − 1 < x < 1
0
altrove.
4.4. Operatori simmetrici e autoaggiunti
67
Lo spazio W 1,2 (R), che è un sottospazio denso di L2 (R), perché contiene C0∞ (R), è dotato
di un suo proprio prodotto interno definito da
(f, g)w = (f, g) + (Df, Dg),
f, g ∈ W 1,2 (R)
e, di conseguenza, della norma
kf kw = (kf k2 + kDf k2 )1/2 .
Ovviamente possiamo considerare D come un operatore lineare definito nel dominio denso
W 1,2 (R). Mostriamo che
Proposizione 4.4.12 L’ operatore D, definito in W 1,2 (R), è chiuso in L2 (R).
Dimostrazione – Supponiamo, infatti, che {fn } sia una successione di funzioni di W 1,2 (R) che converge
ad f nella norma di L2 (R) e supponiamo che Dfn converga, sempre nella norma di L2 (R), ad una funzione
g ∈ L2 (R). Si ha, allora,
Z
Z
0
fn (x)φ (x)dx = − (Dfn )(x)φ(x)dx,
n ∈ N.
R
R
Tenuto conto che entrambi i membri di queste uguaglianze sono dei prodotti interni, si ottiene, passando
al limite,
Z
Z
0
f (x)φ (x)dx = − g(x)φ(x)dx,
n ∈ N.
R
R
Questa uguaglianza ci dice che f ∈ W
1,2
(R) e g = Df .
Dalla proposizione 4.1.9 segue allora che
Proposizione 4.4.13 W 1,2 (R) è completo rispetto alla norma k · kw .
} Osservazione 4.4.14 È utile notare che, se indichiamo con D0 la restrizione di D a C0∞ (R), dalla
definizione stessa di derivata debole segue che D = −D∗0 .
Proposizione 4.4.15 Vale l’uguaglianza D∗ = −D.
Dimostrazione – Una funzione g ∈ L2 (R) appartiene al dominio di D∗ se, e soltanto se, esiste una
funzione g ∗ ∈ L2 (R), tale che
(Df, g) = (f, g ∗ ),
∀f ∈ W 1,2 (R).
In particolare, risulta, quindi, per ogni φ ∈ C0∞ (R),
Z
Z
0
φ (x)g(x)dx =
φ(x)g ∗ (x)dx.
R
R
Questo implica che g(x) appartiene a W 1,2 (R) e che Dg(x) = −g ∗ (x). Di conseguenza, g ∈ W 1,2 (R) e
D∗ g = −Dg.
Tenuto conto dell’osservazione 4.4.14 e della proposizione 4.4.15, si deduce pure che
68
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Corollario 4.4.16 C0∞ (R) è denso in W 1,2 (R) rispetto alla norma k · kw .
Dimostrazione – Dalle uguaglianze D = −D∗0 e D∗ = −D, si deduce subito che D = D0 . Dalla
definizione di chiusura segue, allora che, per ogni f ∈ W 1,2 (R) esiste una successione {ψn } di funzioni di
C0∞ (R) tale che kf − ψn k → 0 e kD0 ψn − D0 f k → 0. Si ha dunque
kf − ψn k2w = kf − ψn k2 + kDf − D0 ψn k2 = kf − ψn k2 + kD0 f − D0 ψn k2 → 0.
Corollario 4.4.17 L’operatore P definito in W 1,2 (R) da
(P f )x = −i(Df )(x),
f ∈ W 1,2 (R)
è autoaggiunto.
Dimostrazione – Si ha infatti P ∗ = (−iD)∗ = iD∗ = i(−D) = −iD = P .
Esercizio 4.4.18 Sia A un operatore autoaggiunto in D(A) e B un operatore definito in D(B).
Supponiamo che esista un uperatore U unitario in H tale che U D(B) = D(A) e Bx = U −1 AU x,
per ogni x ∈ D(B). Allora B è autoaggiunto.
} Osservazione 4.4.19 Alla stessa conclusione si poteva giungere, più rapidamente, utilizzando alcune
proprietà di W 1,2 (R) in relazione alla trasformata di Fourier. Ricordiamo che la trasformata di Fourier
si definisce, inizialmente, per le funzioni dello spazio di Schwartz S(R) delle funzioni f di classe C ∞ che
soddisfano la condizione
sup |xm (Dn f )(x)k < ∞,
∀m, n ∈ N.
x∈R
Se f ∈ S(R), la trasformata di Fourier fb(x) è definita da
Z
1
b
f (y)e−ixy dy.
f (x) = √
2π R
Si prova che fb ∈ S(R), per ogni f ∈ S(R) e che, per le norme L2 , vale l’uguaglianza
kfbk = kf k,
∀f ∈ S(R)
Il teorema d’inversione di Fourier mostra che f si riottiene dalla sua trasformata di Fourier fb nel modo
seguente
Z
1
f (x) = √
fb(y)eixy dy.
2π R
Il secondo membro della precedente uguaglianza è chiamato l’antitrasformata di Fourier di fb. Ovviamente,
anche l’antitrasformata conserva la norma di L2
L’operatore U : f → fb è, dunque, isometrico nel sottospazio denso S(R) di L2 (R). Esso ammette
dunque un’estensione a tutto L2 (R) che è ancora isometrico. Inoltre si prova che U è invertibile ed il suo
inverso U −1 è proprio l’operatore che associa a g l’antitrasformata di Fourier di g. Per quanto riguarda lo
spazio W 1,2 (R), l’uso della trasformata di Fourier riposta le proprietà dell’operatore P considerato sopra
a quelle dell’operatore Q considerato nell’esempio 4.4.8. Si ha infatti
4.4. Operatori simmetrici e autoaggiunti
69
(a) f ∈ W 1,2 (R) se, e soltanto se, fb ∈ D(Q)
(b) P f = U −1 QU f per ogni f ∈ W 1,2 (R).
Dunque P è il trasformato unitario dell’operatore autoaggiunto Q ed è, dunque, autoaggiunto esso stesso
[vedi esercizio 4.4.18].
4.4.3
L’operatore A∗ A
Se A ∈ B(H) è molto semplice provare che l’operatore A∗ A è autoaggiunto e limitato. Se A
non è limitato, non è neanche evidente che il dominio di A∗ A sia denso in H. Tuttavia, von
Neumann ha dimostrato che se A è chiuso, allora A∗ A è un operatore autoaggiunto di dominio
denso in H. Premettiamo il seguente
Lemma 4.4.20 Sia (A, D(A)) un operatore autoaggiunto che ammetta inverso A−1 . Allora
D(A−1 ) è denso in H e A−1 è autoaggiunto.
Dimostrazione – Chiaramente D(A−1 ) = R(A) := {y ∈ H : y = Ax per qualche x ∈ D(A)}. Proviamo
che R(A) è denso in H. Se non lo fosse, esisterebbe z ∈ H, z 6= 0, tale che (Ax, z) = 0, per ogni x ∈ D(A).
Questo implica che z ∈ D(A∗ ) = D(A) e (x, Az) = 0, per ogni x ∈ D(A). Dunque Az = 0 e, dato che A
è invertibile, z = 0, il che è una contraddizione.
L’operatore (A−1 )∗ , dunque, esiste. Esso è simmetrico. Infatti, se x, y ∈ D(A−1 ) allora x = Ax0 , y = Ay 0 ,
per certi x, y ∈ D(A). Dunque
(A−1 x, y) = (A−1 Ax0 , Ay 0 ) = (x0 , Ay 0 ) = (Ax0 , y 0 ) = (Ax0 , A−1 Ay 0 ) = (x, A−1 y).
Quindi A−1 ⊆ (A−1 )∗ .
Proviamo che vale anche l’inclusione opposta. Sia y ∈ D((A−1 )∗ ), allora
(A−1 x, y) = (x, (A−1 )∗ y),
∀x ∈ R(A).
Posto x = Ax0 , x0 ∈ D(A), risulta
(x0 , y) = (Ax0 , (A−1 )∗ y).
Quest’ultima uguaglianza implica che (A−1 )∗ y ∈ D(A) e A(A−1 )∗ y = y. Dunque (A−1 )∗ = A−1 .
Teorema 4.4.21 (di von Neumann) Sia A un operatore chiuso di dominio D(A) denso in H.
Allora,
(i) l’operatore I + A∗ A ha come immagine l’intero spazio di Hilbert H. Esso è invertibile; il
suo inverso (I + A∗ A)−1 è ovunque definito e limitato e si ha k(I + A∗ A)−1 k ≤ 1;
(ii) il dominio D(A∗ A) dell’operatore l’operatore A∗ A è denso in H e A∗ A è autoaggiunto.
Dimostrazione – (i): Nel corso della dimostrazione del teorema 4.2.3 si è dimostrato che G(A∗ ) =
[VG(A)]⊥ . Dunque, ogni vettore {z, z 0 } di H ⊕ H si può esprimere nella forma
{z, z 0 } = {x, Ax} + {−A∗ y, y}
per certi x ∈ D(A) e y ∈ D(A∗ ). In particolare, se z 0 = 0 si avrà
x − A∗ y = z
e
Ax + y = 0.
70
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Questo implica che Ax = −y ∈ D(A∗ ) e z = x + A∗ Ax. Visto che z è arbitrario in H, concludiamo che
R(I + A∗ A) = H. Inoltre se x ∈ D(A∗ A) si ha, tenendo presente che D(A∗ A) ⊆ D(A),
k(I + A∗ A)xk2 = ((I + A∗ A)x, (I + A∗ A)x) = (x, x) + 2(Ax, Ax) + (A∗ Ax, A∗ Ax) ≥ (x, x) = kxk2 .
Questa disuguaglianza mostra che 1 + A∗ A è iniettivo e che il suo inverso ha norma non superiore ad 1.
(ii) L’operatore (I + A∗ A)−1 è simmetrico ed appartiene a B(H). Quindi esso è autoaggiunto. Questo
fatto implica, per il lemma 4.4.20 che D(A∗ A) è denso in H In conclusione anche 1 + A∗ A e A∗ A sono
autoaggiunti. .
Definizione 4.4.22 Sia (A, D(A)) un operatore di dominio denso. Si dice che A è positivo, e
si scrive A ≥ 0 se
(Ax, x) ≥ 0
∀x ∈ D(A)
Facendo uso dell’ identità di polarizzazione, si deduce facilmente che ogni operatore positivo è
simmetrico. La definizione generalizza quella data a suo tempo per gli operatori limitati in H.
Proposizione 4.4.23 L’operatore A∗ A è positivo.
Dimostrazione – Osservato che D(A∗ A) ⊆ D(A) si ha, per ogni x ∈ D(A∗ A),
(A∗ Ax, x) = (Ax, Ax) ≥ 0.
Corollario 4.4.24 Se A è autoaggiunto, A2 è autoaggiunto e positivo.
} Osservazione 4.4.25 Come dimostreremo più avanti, per ogni operatore autoaggiunto positivo A,
esiste un operatore B, anch’esso autoaggiunto e positivo tale che B 2 = A. Quest’operatore sarà chiamato
la radice di A e indicata con A1/2 . In particolare, se A è un operatore chiuso, come abbiamo visto, A∗ A
è autoaggiunto e positivo. L’operatore (A∗ A)1/2 , che si indica con |A|, è chiamato modulo di A.
Naturalmente se A è chiuso e densamente definito, anche A∗ lo è. Ha senso dunque considerare l’operatore AA∗ che, per le proposizioni precedenti, è autoaggiunto e positivo. In generale,
A∗ A 6= AA∗ e dunque |A| =
6 |A∗ |. Un operatore chiuso A tale che A∗ A = AA∗ è detto normale.
Esempio 4.4.26
Consideriamo ancora l’operatore P studiato nella sezione 4.4.2.1. L’operatore P 2 = −D2 è autoaggiunto.
Il suo dominio è
D(P 2 ) = {f ∈ D(P ) : P f ∈ D(P )}.
Ricordando che D(P ) = W 1,2 (R) si deduce che D(P ) coincide con lo spazio delle funzioni di W 1,2 (R) la
cui derivata debole appartiene pure a W 1,2 (R). Questo spazio è lo spazio di Sobolev W 2,2 (R). Per esso
si può provare che valgono le seguenti affermazioni.
• W 2,2 (R) è uno spazio di Banach rispetto alla norma
kf k2,2 = (kf k2 + kDf k2 + kD2 f k2 )1/2 .
• Lo spazio C0∞ (R) è denso in W 2,2 (R) rispetto alla norma k · k2,2 .
• f ∈ W 2,2 (R) se, e soltanto se, fb ∈ D(Q2 ), dove fb indica la trasformata di Fourier di f .
4.4. Operatori simmetrici e autoaggiunti
4.4.4
71
Criteri di autoaggiunzione
Come nel capitolo precedente, Se (A, D(A)) è un operatore lineare, indicheremo con N (A) ed
R(A) il nucleo e l’immagine di A. Cioè,
N (A) = {x ∈ D(A) : Ax = 0};
R(A) = {y ∈ H : y = Ax per qualche x ∈ D(A)}.
Lasciamo al lettore di verificare che, se (A, D(A)) è un operatore chiuso, allora N (A) è un
sottospazio chiuso di H. Con una dimostrazione simile a quella fatta per gli operatori limitati
nel capitolo precedente [Lemma 3.3.8] si stabilisce l’uguaglianza
N (A∗ ) = R(A)⊥ .
(4.4)
Il teorema 4.4.28 fornisce il criterio fondamentale per stabilire se un operatore simmetrico è o
no autoaggiunto. Per dimostrarlo premettiamo il seguente
Lemma 4.4.27 Sia A un operatore chiuso e simmetrico. Allora i sottospazi R(A − iI) ed
R(A + iI) sono chiusi in H.
Dimostrazione – Proviamo soltanto che R(A − iI) è chiuso; la dimostrazione per R(A + iI) è, infatti,
analoga.
Se x ∈ D(A) si ha
k(A − iI)xk2 = kAxk2 + kxk2
(4.5)
Se {xn } è una successione in D(A) tale che (A − iI)xn → y0 , allora la successione xn converge ad un
certo x0 ∈ H e la successione Axn è convergente. Poiché A è chiuso, si conclude che x0 ∈ D(A) e che
(A − iI)x0 = y0 . Quindi R(A − iI) è chiuso.
Teorema 4.4.28 Sia A un operatore simmetrico con dominio D(A) denso in H. Le seguenti
affermazioni sono equivalenti:
(a) A è autoaggiunto.
(b) A è chiuso e N (A∗ ± iI) = {0}.
(c) R(A ± iI) = H
Dimostrazione – (a) =⇒ (b). Se A è autoaggiunto è evidentemente chiuso. Sia x ∈ N (A∗ − iI) =
N (A − iI). Allora
(Ax, x) = i(x, x)
e
(x, Ax) = −i(x, x)
Dall’uguaglianza dei primi membri segue allora che (x, x) = 0 e quindi x = 0. Analogamente si prova
l’affermazione relativa a A∗ + i.
(b) =⇒ (c) Sappiamo già che R(A − iI) è chiuso in H. Se proviamo che R(A − iI) è denso in H,
l’affermazione sarà dimostrata. Se x ∈ R(A − iI)⊥ , x ∈ N (A∗ + iI) e quindi x = 0.
72
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
(c) =⇒ (a) Sia x ∈ D(A∗ ). Poiché R(A−iI) = H esiste un y ∈ D(A) tale che (A−iI)y = (A∗ −iI)x.
Notando che x − y ∈ D(A∗ ) si perviene alla
(A∗ − iI)(x − y) = 0
Ma, analogamente a quanto si è provato nel primo punto della dimostrazione, N (A∗ −iI) = R(A+iI)⊥ =
{0}. Quindi x = y ∈ D(A). Questo prova che A è autoaggiunto.
Con piccole modifiche ai precedenti argomenti si può dimostrare la seguente
Proposizione 4.4.29 Sia A un operatore simmetrico con dominio D(A) denso in H.
seguenti affermazioni sono equivalenti:
Le
(a) A è essenzialmente autoaggiunto.
(b) N (A∗ ± iI) = {0}.
(c) R(A ± iI) sono densi in H
Si è visto che nelle precedenti proposizioni un ruolo particolarmente importante è svolto dai sottospazi N (A∗ ± iI). Essi, in realtà, forniscono informazioni complete sull’esistenza di estensioni
autoaggiunte di un operatore simmetrico A.
Definizione 4.4.30 Sia (A, D(A)) un operatore simmetrico i sottospazi
M+ = N (A∗ + iI)
M− = N (A∗ − iI)
sono detti sottospazi di difetto di A; le loro rispettive dimensioni n+ ed n− sono detti indici di
difetto di A.
Un indice di difetto, o entrambi, possono anche essere ∞. Il teorema 4.4.28 ci garantisce che
un operatore chiuso e simmetrico A è autoaggiunto se, e soltanto se, i suoi indici di difetto sono
entrambi nulli.
Se A è un operatore chiuso, simmetrico di dominio denso D(A), allora D(A∗ ) può essere
reso uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto interno
(x, y)A∗ = (x, y) + (A∗ x, A∗ y).
I sottospazi D(A), M+ e M− sono sottospazi chiusi di D(A), rispetto alla norma del nuovo
prodotto scalare. Essi sono a due a due ortogonali. Si ha, infatti, se x ∈ M+ e y ∈ M− ,
(x, y)A∗ = (x, y) + (A∗ x, A∗ y) = (x, y) + (−ix, iy) = (x, y) − (x, y) = 0.
0
Inoltre y ∈ D(A)⊥ (con ⊥0 indichiamo l’ortogonale preso in D(A∗ )), se, e soltanto se,
(x, y)A∗ = (x, y) + (A∗ x, A∗ y) = (x, y) + (Ax, A∗ y) = 0,
∀x ∈ D(A);
cioè, se, e soltanto se, A∗ y ∈ D(A∗ ) e (A∗ )2 y = −y. È facile vedere che sia i vettori di M+
sia quelli di M− soddisfano entrambi questa condizione. Quindi M+ e M− sono entrambi
ortogonali a D(A).
4.4. Operatori simmetrici e autoaggiunti
73
Teorema 4.4.31 Sia A un un operatore chiuso, simmetrico di dominio denso D(A). Allora,
D(A∗ ) = D(A) ⊕ M+ ⊕ M−
Dimostrazione – Alla luce della discussione precedente, è sufficiente provare che non esistono vettori
non nulli di D(A∗ ) ortogonali a D(A) ⊕ M+ ⊕ M− . Supponiamo per assurdo che un tale vettore y esista.
Come abbiamo visto sopra, dato che y è ortogonale a D(A), risulta
(x, y) = −(Ax, Ay),
∀x ∈ D(A)
da cui si deduce, come sopra, che A∗ y ∈ D(A∗ ) e (A∗ )2 y = −y. Si ha allora
(A∗ + iI)(A∗ − iI)y = ((A∗ )2 + I)y = 0.
Dunque (A∗ − iI)y ∈ M+ . Se z ∈ M+ si ha, però,
((A∗ − iI)y, −iz) = (A∗ y, A∗ z) + (y, z) = (y, z)A∗ = 0
perché y è ortogonale a D(A) ⊕ M+ ⊕ M− . Dunque non può che essere (A∗ − iI)y = 0. Cioè, y ∈ M− .
Ma y è ortogonale ad M− e quindi y = 0.
L’equazione (4.5) implica facilmente che
k(A − iI)xk2 = kAxk2 + kxk2 = k(A + iI)xk2 ,
∀x ∈ D(A).
Questa uguaglianza ci permette di affermare che l’operatore UA = (A − iI)(A + iI)−1 è un
operatore isometrico (e perciò iniettivo) di R(A + iI) in R(A − iI). L’operatore UA è detto
trasformata di Cayley di A.
Proposizione 4.4.32 Un operatore chiuso e simmetrico A è autoaggiunto se, e soltanto se, la
sua trasformata di Cayley è un operatore unitario di H in H.
Dimostrazione – L’operatore UA è unitario, se, e soltanto se, R(A + iI) = R(A − iI) = H. Il teorema
4.4.28 garantisce che questo accade se, e soltanto se, A è autoaggiunto.
} Osservazione 4.4.33
A = i(I + UA )(I − UA )−1 .
È facile verificare che, se UA è la trasformata di Cayley di A, allora
Proposizione 4.4.34 Esiste una corrispondenza biunivoca tra le estensioni simmetriche di A
e le estensioni isometriche di UA .
La (4.4), il lemma 4.4.27 ed la proposizione precedente ci danno un’indicazione sul fatto che,
affinché un operatore chiuso e simmetrico A ammetta un’estensione autoaggiunta deve esistere
un operatore unitario U che ristretto a R(A + iI) coincida con la trasformata di Cayley UA di A.
Questo implica che la dimensione di R(A + iI) e quella di R(A − iI) sono uguali. Saranno quindi
uguali anche le loro codimensioni, cioè le dimensioni dei due sottospazi di difetto. Viceversa
se n+ = n− , esiste un operatore isometrico V definito su N (A∗ − iI) tale che V N (A∗ − iI) =
N (A∗ + iI). Se si pone,
UA x se x ∈ R(A + iI)
Ux =
Vx
se x ∈ N (A∗ − iI)
74
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
e si estende U per linearità a tutto H, si definisce un operatore unitario in H la cui restrizione ad
R(A + iI) coincide, ovviamente, con UA . Posto B = i(I + U )(I − U )−1 , si verifica senza difficoltà
che B è un’estensione autoaggiunta di A. Di conseguenza un operatore ammette estensioni
autoaggiunte se, e soltanto se, i suoi indici di difetto sono uguali. Questo è il contenuto del
seguente teorema, del quale omettiamo i dettagli della dimostrazione.
Teorema 4.4.35 (di von Neumann) Sia A un operatore simmetrico con dominio D(A) denso
in H. Valgono le seguenti affermazioni:
(a) A è essenzialmente autoaggiunto se, e soltanto se, n+ = n− = 0.
(b) A ammette estensioni autoaggiunte se, e soltanto se, n+ = n− .
(c) A è massimale simmetrico (cioè, non ammette estensioni simmetriche proprie) se, e
soltanto se, è chiuso e n+ n− = 0.
Non daremo la dimostrazione completa del precedente teorema, limitandoci ad osservare che la
(a) è soltanto una formulazione diversa della (a) della Proposizione 4.4.29.
Esempio 4.4.36
L’operatore A definito sul dominio
Z
D(A) = f ∈ L2 (0, ∞)|f (x) =
x
g(y) dy per g ∈ L2 (0, ∞),
0
da
(Af )(x) = if 0 (x) = ig(x)
è simmetrico. A ha indici di difetto (0, 1) e quindi non ammette estensioni autoaggiunte.
Esercizio 4.4.37 Determinare gli indici di difetto degli operatori P ed S dell’ Esempio 1.
4.5
Lo spettro di un operatore
Nel caso di un operatore le nozioni di risolvente e di spettro sono state introdotte nella sezione
3.1. Vediamo come esse si generalizzano al caso di operatori non limitati.
Definizione 4.5.1 Sia (A, D(A)) un operatore chiuso e densamente definito. Il risolvente ρ(A)
di A è il seguente sottoinsieme del piano complesso
ρ(A) = {λ ∈ C : ∃(A − λI)−1 ∈ B(H)}
Il complementare σ(A) di ρ(A) in C si chiama spettro di A
Se λ ∈ ρ(A), l’ operatore Rλ (A) = (A − λI)−1 si chiama operatore risolvente.
4.5. Lo spettro di un operatore
75
} Osservazione 4.5.2 Quando non vi sarà pericolo di ambiguità, ometteremo l’indicazione dell’
operatore A; scriveremo cioè Rλ invece di Rλ (A).
Definizione 4.5.3 Sia (A, D(A)) un operatore chiuso e densamente definito. Un numero
complesso λ è detto un autovalore di A se esistono, in D(A) soluzioni non nulle dell’ equazione
Ax = λx
Le soluzioni corrispondenti sono dette autovettori di A.
È chiaro che ogni autovalore di A appartiene a σ(A).
Proposizione 4.5.4 Sia A un operatore chiuso. Valgono le seguenti affermazioni:
1. Rλ − Rµ = (λ − µ)Rλ Rµ
2. ρ(A) è aperto.
Dimostrazione – (1): si dimostra esattamente come nel caso degli operatori limitati.
(2): Se λ0 ∈ ρ(A), esiste C > 0 tale che
k(A − λ0 I)xk ≥ Ckxk
Se |λ − λ0 | <
C
2
∀x ∈ D(A)
ed x ∈ D(A) si ha
k(A − λ)xk ≥ k(A − λ0 I)xk −
C
C
kxk ≥ kxk
2
2
e quindi λ non è un autovalore di A; l’operatore A − λ ha quindi inverso limitato. Resta da provare
che quest’ inverso è ovunque definito in H o, che è lo stesso, che, per ogni y ∈ H esiste una soluzione x
dell’equazione
(A − λI)x = y
Pn
Sia xn = k=1 (λ − λ0 )k−1 Rλk 0 y. Osserviamo che l’operatore ARλ0 è ovunque definito e che ARλ0 =
I + λ0 Rλ0 . Scegliamo tale che 0 < < 1 e sia δ < min{kRλ0 k−1 , C2 }. Se |λ − λ0 | < δ, si ha, per m < n,
n
X
kA(xn − xm )k = A
(λ − λ0 )k−1 Rλk 0 y k=m+1
n
X
= (λ − λ0 )k−1 ARλk 0 y k=m+1
n
X
k−1 k−1
= (λ − λ0 )
(I + λ0 Rλ0 )Rλ0 y k=m+1
≤
≤
(1 + |λ0 | kRλ0 k)kyk
(1 + |λ0 | kRλ0 k)kyk
n
X
k=m+1
n
X
k=m+1
per n, m → ∞. Quindi la successione Axn è convergente.
|λ − λ0 |k−1 kRλ0 kk−1
k−1 → 0
76
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Una stima dello stesso tipo di quella di sopra vale se vi si omette l’operatore A. Quindi anche la successione
xn è convergente. Sia x il suo limite. Evidentemente,
x=
∞
X
(λ − λ0 )n−1 Rλn0 y
n=1
Dal fatto che l’operatore A è chiuso segue che x ∈ D(A) e che Ax = limn→∞ Axn . Si ha
(A − λI)x =
=
(A − λ0 I)x − (λ − λ0 )x
∞
∞
X
X
n−1 n−1
(λ − λ0 )
Rλ0 y −
(λ − λ0 )n Rλn0 y = y
n=1
n=1
È conveniente suddividere lo spettro di un operatore A in tre sottoinsiemi disgiunti nel
modo seguente:
Definizione 4.5.5 Sia A un operatore chiuso e densamente definito e λ ∈ σ(A)
(a) Diciamo che λ appartiene allo spettro puntuale, σp (A) se A − λI non è iniettivo o, equivalentemente, se λ è un autovalore di A.
(b) Diciamo che λ appartiene allo spettro continuo, σc (A) se (A − λI)−1 esiste, è densamente
definito ma non è limitato.
(b) Diciamo che λ appartiene allo spettro residuo, σr (A) se (A − λI)−1 esiste, ma non è
densamente definito.
Analizziamo adesso lo spettro di un operatore autoaggiunto. Come nel caso degli operatori
limitati, si prova che
Lemma 4.5.6 Sia A un operatore simmetrico. Allora
(i) Gli autovalori di A sono reali.
(ii) Autovettori corrispondenti ad autovalori diversi sono ortogonali.
Teorema 4.5.7 Sia A un operatore autoaggiunto. Un numero λ ∈ C è un autovalore di A se,
e soltanto se, R(A − λI) non è denso in H.
Dimostrazione – Sia λ un autovalore di A; allora λ è reale e Ax = λx per qualche 0 6= x ∈ D(A).
Poiché
R(A − λI) = N (A∗ − λI)⊥ = N (A − λI)⊥ 6= H,
R(A − λI)) non è denso in H.
Viceversa se R(A − λI) non è denso, N (A∗ − λI) = N (A − λI) 6= {0} quindi, λ è un autovalore di A e
coincide con λ perché A è simmetrico.
Una conseguenza immediata del precedente teorema è la seguente
4.5. Lo spettro di un operatore
77
Proposizione 4.5.8 Lo spettro residuo di un operatore autoaggiunto è vuoto.
Dimostrazione – Infatti se λ ∈ σr (A) allora R(A − λI) non è denso in H; quindi λ è un autovalore. Dal teorema 4.4.28 si deduce facilmente che
Proposizione 4.5.9 Sia A un operatore chiuso e simmetrico di dominio D(A) denso in H. Se
σ(A) ⊆ R, allora A è autoaggiunto.
Dimostrazione – Se σ(A) ⊆ R, allora ±i ∈ ρ(A). Dunque R(A ± iI) = H e A è autoaggiunto.
Il seguente teorema mostra che è vero pure il viceversa.
Teorema 4.5.10 Lo spettro di un operatore autoaggiunto è reale.
Dimostrazione – Proviamo che C \ R ⊆ ρ(A). Sia λ = a + ib con b 6= 0. Allora λ non è un autovalore
di A (perché questi sono reali). Quindi (A − λI)−1 esiste; proviamo che è limitato e ovunque definito.
Sia y ∈ R(A − λI). Allora y = Ax − λx per qualche x ∈ D(A) e
kyk2
=
((A − a)x − ibx, (A − a)x − ibx)
= k(A − a)xk2 + ib((A − a)x, x) − ib(x, (A − a)x) + b2 kxk2
= k(A − a)xk2 + b2 kxk2
e quindi
kxk ≤
1
kyk
|b|
o, che è lo stesso
k(A − λI)−1 yk ≤
1
kyk.
|b|
Ciò prova che (A − λI)−1 è limitato. Inoltre, dato che λ non è un autovalore, dal teorema 4.5.7, segue
che R(A − λI) è denso. Supponiamo che R(A − λI) 6= H. L’operatore (A − λI)−1 , essendo limitato e
di dominio denso, ha un’estensione continua (che coincide, evidentemente con la sua chiusura) a tutto
lo spazio. L’ operatore (A − λI)−1 è quindi un operatore non chiuso (perché la chiusura lo contiene
propriamente). Il che è impossibile perché, se A è chiuso, anche (A − λI)−1 lo è. Infatti, sia xn → x e
(A − λI)−1 xn convergente. Posto yn = (A − λI)−1 xn , la successione yn converge ad un vettore y ∈ H e
(A − λI)yn = xn converge anch’ essa. Questo conclude la dimostrazione.
Nella dimostrazione precedente è stato implicitamente provato che
Proposizione 4.5.11 Sia A un operatore autoaggiunto e z ∈ C \ R. Allora
kRA (z)k ≤ |=z|−1 .
La Proposizione 4.5.11 può essere resa più precisa. Vale infatti il seguente
Teorema 4.5.12 Sia A un operatore autoaggiunto e λ ∈ ρ(A). Allora,
kRA (λ)k ≤ [dist (λ, σ(A))]−1 .
78
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Non daremo qui la dimostrazione di questo teorema, ma useremo talvolta questo risultato.
Proposizione 4.5.13 Sia A un operatore autoaggiunto. Allora A ≥ 0 se, e soltanto se, σ(A) ⊆
[0, +∞[.
Dimostrazione – Supponiamo che (Au, u) ≥ 0, per ogni u ∈ D(A). È sufficiente provare che se b > 0,
l’operatore A + b ha inverso ovunque definito e limitato. Intanto −b non può essere un autovalore, perché
l’equazione (A + b)u = 0 ha solo la soluzione u = 0. Quindi, visto che A è autoggiunto e dunque il suo
spettro residuo è vuoto, (A + b)−1 esiste ed ha dominio denso. Si ha inoltre,
k(A + b)uk2 = ((A + b)u, (A + b)u) = kAuk2 + 2b(Au, u) + b2 kuk2 ≥ b2 kuk2 .
Quindi (A + b)−1 , essendo chiuso, è ovunque definito e limitato. Dunque −b ∈ ρ(A).
Viceversa, se σ(A) ⊆ [0, +∞[, allora per ogni a > 0, −a ∈ ρ(A) e dist (a, σ(A)) ≥ a. Quindi, per il
Teorema 4.5.12, se u ∈ D(A),
k(A + a)uk ≥ akuk.
Questo implica che
a2 kuk2 ≤ k(A + a)uk2 = kAuk2 + 2a(Au, u) + a2 kuk2 ,
o
(Au, u) ≥ −(2a)−1 |Auk2 .
L’affermazione segue dall’arbitrarietà di a > 0.
Esempio 4.5.14
Determiniamo lo spettro dell’operatore Q considerato nell’esempio 4.4.8. Ricordiamo che D(Q) = {f ∈
L2 (R) : xf (x) ∈ L2 (R)} e che Q è autoaggiunto.
Intanto, è chiaro che Q non ha autovalori, visto che non esistono, quale che sia λ ∈ C soluzioni non
nulle dell’equazione (Q − λ)f = 0. Quindi l’operatore (Q − λI)−1 esiste in ogni caso ed ha dominio denso
1
in H, visto che lo spettro residuo di un operatore autoaggiunto è vuoto. Se λ ∈ C \ R, la funzione x−λ
è
continua e limitata su R dunque,
2
Z Z
1
dx ≤ 1
f
(x)
|f (x)|2 dx,
|λ|2 R
R x−λ
∀f ∈ L2 (R).
Questo ci dice soltanto che σ(Q) ⊆ R, com’era già previsto dalla teoria. Ma possiamo affermare che
1
σ(Q) = R. Infatti, se λ ∈ R, l’operatore di moltiplicazione per x−λ
non è ovunque definito in R. Per
esempio, la funzione
f (x) =
p
|x − λ| se x ∈ [λ − 1, λ + 1]
0
altrove
non appartiene dominio di (Q − λI)−1 .
Proposizione 4.5.15 Sia A un operatore autoaggiunto in D(A) e B un operatore definito in
D(B). Supponiamo che esista un operatore U unitario in H tale che U D(B) = D(A) e Bx =
U −1 AU x, per ogni x ∈ D(B). Allora σ(B) = σ(A).
4.6. Commutazione di operatori
79
Dimostrazione – Sappiamo già [Esercizio 4.4.18] che B è autoaggiunto. Se λ ∈ C, si ha
λ ∈ ρ(B) ⇔ (B − λI)−1 ∈ B(H) ⇔ (U −1 AU − λI)−1 ∈ B(H)
⇔
U −1 (A − λI)−1 U ∈ B(H) ⇔ (A − λI)−1 ∈ B(H)
⇔
λ ∈ ρ(A).
Esempio 4.5.16
La proposizione precedente ci permette di dimostrare che lo spettro dell’operatore P studiato nella sezione
4.4.2.1 è pure l’intera retta reale. Infatti, basta tener conto dell’osservazione 4.4.19 che P si ottiene da Q
per trasformazione unitaria mediante la trasformata di Fourier.
Esercizio 4.5.17 Determinare lo spettro dell’operatore Q2 di moltiplicazione per x2 nel suo dominio
naturale e, tenendo conto di quanto visto nell’esempio 4.4.26, determinare lo spettro dell’operatore
P 2 definito in W 2,2 (R).
4.6
Commutazione di operatori
Un’ altra nozione di cui avremo bisogno nel seguito è quella di commutazione di due operatori.
Se A e B sono due operatori ovunque definiti in H il fatto che essi commutano è definito, in
modo naturale, dicendo che ABx = BAx per ogni x ∈ H.
La cosa non è altrettanto semplice se si considerano operatori non ovunque definiti. Se (A, D(A))
e (B, D(B) sono due tali operatori si potrebbe essere tentati di dire che essi commutano se
ABx = BAx per ogni x ∈ D(AB) ∩ D(BA). Questa definizione non è, tuttavia, soddisfacente
per varie ragioni, la prima delle quali sta nel fatto che, molto spesso D(AB) ∩ D(BA) = {0}!
La nozione di commutazione sarebbe pertanto troppo debole per essere utile.
La commutazione è, invece, ben definita, se uno dei due operatori è limitato.
Definizione 4.6.1 Sia (A, D(A)) un operatore lineare e B un operatore limitato. Si dice che
A e B commutano se B : D(A) → D(A) e ABx = BAx ∀x ∈ D(A).
4.7
La decomposizione spettrale di un operatore autoaggiunto
Nel Capitolo 2 abbiamo studiato le proprietà spettrali degli operatori compatti. In particolare,
abbiamo visto che ogni operatore simmetrico e compatto A ammette una rappresentazione del
tipo
∞
X
A=
λ i Pi
i=1
dove λi sono gli autovalori di A e Pi i proiettori sui sottospazi generati dagli autovettori corrispondenti. Ci chiediamo adesso se questo procedimento ha un corrispondente nel caso più
generale di un operatore autoaggiunto (limitato o non limitato) che non sia compatto. Per
rispondere abbiamo bisogno della nozione di famiglia o misura spettrale.
80
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Definizione 4.7.1 Una famiglia spettrale sulla retta R è una famiglia E(λ) di operatori di
proiezione, dipendenti dal parametro reale λ, soddisfacente le seguenti condizioni:
(a) E(λ) ≤ E(µ) o, equivalentemente, E(λ)E(µ) = E(λ) per λ ≤ µ;
∀x ∈ H;
(b) lim E(λ + )x = E(λ)x
→0+
(c)
lim E(λ)x = 0 e lim E(λ)x = x, ∀x ∈ H.
λ→−∞
λ→+∞
} Osservazione 4.7.2 Una famiglia spettrale {E(λ)} definisce una misura a valori operatori su R nel
modo seguente: si comincia con il considerare un intervallo del tipo ∆ =]λ, µ] e si pone
E(∆) = E(µ) − E(λ).
La misura dell’intervallo chiuso [λ, µ] è definita da E([λ, µ]) = E({λ}) + E(∆). La misura di un punto
non è necessariamente nulla ed è definita come
E({λ}) = lim+ E(]λ − , λ]).
→0
Se {E(λ)} è una famiglia spettrale, ponendo
αx (λ) = (E(λ)x, x)
x ∈ H con kxk = 1
si definisce una funzione reale della variabile reale λ che gode delle seguenti proprietà
(a1) αx (λ) ≤ αx (µ) per λ ≤ µ;
(b1) lim αx (λ + ) = αx (λ);
→0+
(c1)
lim αx (λ) = 0 e lim αx (λ) = 1.
λ→−∞
λ→+∞
Le funzioni β(λ) soddisfacenti le (a1),(b1) e (c1) definiscono le cosiddette misure di Stiltjes
rispetto alle quali è possibile definire, per funzioni φ abbastanza regolari (per es. continue),
integrali su intervalli limitati [a, b] di R, del tipo cioè
Z b
φ(λ) dβ(λ)
a
o, anche, integrali impropri, nel senso abituale,
Z ∞
φ(λ) dβ(λ).
−∞
Quindi una famiglia spettrale consente di definire integrali di funzioni.
Nel caso della misura definita da una famiglia spettrale {E(λ)} ha senso anche definire
integrali del tipo
Z b
φ(λ)d(E(λ)x, y),
x, y ∈ H.
a
Infatti, la funzione a valori complessi (E(λ)x, y) è a variazione limitata e la sua variazione totale
non supera kxkkyk.
4.7. La decomposizione spettrale di un operatore autoaggiunto
81
Teorema 4.7.3 Sia {E(λ)} una famiglia spettrale sulla retta reale. Poniamo,
Z
2
D(B) = x ∈ H :
λ d(E(λ)x, x) < ∞ .
R
Allora esiste un unico operatore autoaggiunto B, di dominio D(B) tale che
Z
(Bx, y) =
λ d(E(λ)x, y) ∀y ∈ H.
R
Dimostrazione – Il primo passo della dimostrazione consiste nel dimostrare che D(B) è denso in H. Se
x ∈ H si pone xn = (E(n) − E(−n))x. Dalla (c) della definizione 4.7.1 segue che kx − xn k → 0. Resta
da vedere che xn ∈ D(B). Si ha
Z
Z
λ2 d(E(λ)xn , xn ) =
λ2 d(E(λ)(E(n) − E(−n))x, (E(n) − E(−n))x)
R
R
Z n
Z
=
λ2 d(E(λ)x, x) ≤ n2
d(E(λ)x, x) = n2 kxk2 < ∞
−n
R
Se x ∈ D(B), vale la disuguaglianza
Z
Z
1/2
2
λd(E(λ)x, y) ≤
λ
d(E(λ)x,
x)
kyk.
R
R
Infatti, se [α, β] è un intervallo limitato, e {∆k ; k = 1, . . . , n} una divisione in intervalli senza punti
interni in comune, scelto, per ogni k un punto λk ∈ ∆k , si ha
n
n
X
X
λk (E(∆k )x, y) ≤
|λk |(E(∆k )x, E(∆k )y)|
k=1
k=1
!1/2 n
!1/2
n
X
X
2
≤
λk (E(∆k )x, x)
(E(∆k )y, y
k=1
≤
n
X
k=1
!1/2
λ2k (E(∆k )x, x)
kyk.
k=1
Rβ
La quantità in parentesi nell’ultimo termine converge, per n → ∞, a α λ2 d(E(λ)x, x). Quindi,
Z
Z β
β
λd(E(λ)x, y) ≤ kyk
λ2 d(E(λ)x, x).
α
α
Tenuto conto che α, β sono arbitrari, si passa facilmente alla convergenza dei corrispondenti integrali
impropri e alla disuguaglianza
Z
Z
λd(E(λ)x, y) ≤ kyk λ2 d(E(λ)x, x).
(4.6)
R
R
Sia adesso x un vettore fissato in D(B) e definiamo
Z
Lx (y) :=
λ d(y, E(λ)x).
R
82
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Si ha, dalla (4.6),
Z
|Lx (y)| = λ(y, E(λ)x) ≤ Ckyk.
R
Il funzionale lineare Lx è dunque limitato. Il Lemma di Riesz garantisce, allora l’esistenza di un vettore
x∗ ∈ H tale che Lx (y) = (y, x∗ ). Posto Bx = x∗ si definisce un operatore lineare, di dominio D(B), tale
che
Z
(y, Bx) =
λ d(y, E(λ)x) ∀y ∈ H.
R
Verifichiamo che B è simmetrico. Infatti, se x, y ∈ D(B),
Z
Z
Z
(y, Bx) =
λ d(y, E(λ)x) =
λ d(E(λ)x, y) =
λ d(x, E(λ)y) = (x, By) = (By, x).
R
R
R
Per dimostrare del fatto che B è autoaggiunto, proviamo che il suo spettro è reale. Infatti, ponendo per
z ∈ C \ R,
Z
1
D(S(z)) = x ∈ H :
d(E(λ)x, x) < ∞ ,
2
R |λ − z|
e osservando che
D(S(z)) da
1
|λ−z|2
≤
1
|=z|2 ,
si vede facilmente che D(S(z)) = H e che l’operatore S(z) definito su
Z
S(z)y =
R
1
d(Eλ)y
λ−z
è limitato. Si ha, poi
Z
(B − zI)S(z)x =
(λ − z)dE(λ)S(z)x
Z
1
dE(µ)x
(λ − z)dE(λ)
R
R µ−z
Z
Z λ
1
(λ − z)d
dE(µ)x
R
−∞ µ − z
Z
1
(λ − z)
dE(λ)x = x.
λ−z
R
ZR
=
=
=
Queste uguaglianze provano che S(z), che è ovunque definito e limitato, coincide con l’operatore risolvente
Rz , per ogni z ∈ C \ R. Dunque σ(B) ⊆ R.
} Osservazione 4.7.4 Nella dimostrazione precedente si è usato il fatto, non dimostrato in queste note,
che una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale è valida anche per gli integrali
definiti dalle misure di Stiltjes.
Il seguente teorema costituisce uno dei risultati più profondi dell’analisi degli operatori e
stabilisce il viceversa del teorema precedente.
Teorema 4.7.5 (I teorema spettrale) Sia (A, D(A)) un operatore autoaggiunto in H. Allora
esiste un’ unica famiglia spettrale {E(λ)} sulla retta reale tale che A = B; cioè, A coincide
con l’operatore definito da {E(λ)}. L’ operatore A commuta con ogni operatore limitato B che
commuta con tutti gli E(λ)
Dimostrazione – Di questo teorema esiste in letteratura una varietà di dimostrazioni, tutte piuttosto
lunghe e tecnicamente complesse. Il punto centrale della dimostrazione consiste nella costruzione della
famiglia spettrale {E(λ)} associata ad A. Allo scopo di mantenere questo corso entro limiti ragionevoli,
ci limitiamo ad indicare, senza entrare nei dettagli, i passi principali della dimostrazione.
4.7. La decomposizione spettrale di un operatore autoaggiunto
83
Passo 1. Per z ∈ C \ R, z = a + ib, b > 0 si considera la funzione φ(z) = (Rz x, x) dove x ∈ H. Si prova
che φ(z) è analitica in =z > 0, che bφ(ib) ≥ 0 e che supb>0 bφ(ib) < ∞.
Passo 2. Si utilizza un teorema sulle funzioni a valori complessi che garantisce, nelle condizioni elencate
sopra, l’esistenza di una funzione ω(λ; x), crescente nella variabile reale λ, tale che
Z
dω(λ; x)
.
φ(z) =
R λ−z
Questa funzione, se si richiedono la continuità da destra e la condizione limλ→−∞ ω(λ; x) = 0, è
univocamente determinata.
Passo 3. Si prova poi che l’uguaglianza sopra stabilita è valida anche se =z < 0 e si definisce poi
3
ω(λ; x, y) =
1X k
i ω(λ; x + ik y),
4
x, y ∈ H.
k=0
Passo 4. Si prova che ω(λ; x, y) è, per ogni λ ∈ R, una forma sesquilineare limitata in H × H.
Passo 5. Si utilizza il teorema 1.2.20 per stabilire, per ogni λ ∈ R, l’esistenza di un operatore E(λ) ∈
B(H) tale che
ω(λ; x, y) = (E(λ)x, y), ∀x, y ∈ H.
Passo 6. Si prova che gli E(λ) sono proiettori e che {E(λ)} è una famiglia spettrale sulla retta.
Passo 7. Si definisce l’operatore B, la cui esistenza è stabilita dal teorema 4.7.3.
Passo 8. Si prova infine, con una tecnica simile a quella adoperata alla fine della dimostrazione del
teorema 4.7.3, che l’operatore B cosı̀ ottenuto coincide con A.
} Osservazione 4.7.6
seguenti tre fatti.
Dalla rappresentazione spettrale di un operatore autoaggiunto A discendono i
1. Se x ∈ D(A), si ha
kAxk2 =
Z
λ2 d(E(λ)x, x)
R
Z
λ2 dkE(λ)xk2 .
R
2. Se ∆ è un insieme di Borel di misura finita, risulta E(∆)x ∈ D(A), per ogni x ∈ H, perché
Z
Z
2
λ d(E(λ)E(∆)x, E(∆)x) =
λ2 d(E(λ)x, x) < ∞.
∆
R
3. Nelle ipotesi del punto precedente, l’operatore AE(∆) è ovunque definito e limitato.
Esempio 4.7.7
Consideriamo in L2 (R) l’operatore Q definito sul dominio
D(Q) = f ∈ L2 (R) : xf ∈ L2 (R)
da
(Qf )(x) = xf (x)
Poniamo
eλ (x) =
cioè eλ è la funzione caratteristica di (−∞, λ].
1
0
f ∈ D(q).
per x ≤ λ
per x > λ
84
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Per ogni λ, l’operatore E(λ) : f (x) ∈ L2 (R) → eλ (x)f (x) ∈ L2 (R) è un proiettore e si verifica
facilmente che {E(λ)} è una famiglia spettrale per la quale risulta
Z ∞
Qf =
λ dE(λ)f
−∞
} Osservazione 4.7.8 La teoria spettrale degli operatori autoaggiunti può farci apparire più chiaro il
motivo per cui richiediamo che gli operatori che rappresentano osservabili siano non soltanto simmetrici,
il che basterebbe ad assicurare la realtà di eventuali autovalori o, piú in generale dei valori medi (Af, f ),
ma autoaggiunti. Per capire meglio tutto ciò è necessario tornare alla interpretazione probabilistica della
meccanica quantistica. In questo contesto, una coppia costituita da una grandezza fisica, cioè un’ osservabile e da uno stato del sistema può essere considerata come una variabile aleatoria cioè una funzione che
assume valori, in modo casuale, in un certo insieme di valori. Cioé, se da un lato non ha senso chiedersi
“ Che risultato dà una misura dell’ osservabile A in un certo stato ψ del sistema? ”, ha senso invece porsi
la domanda “ Quant’ è la probabilità che una misura di A nello stato ψ del sistema dia un risultato che
appartiene ad un certo intervallo I di valori? ”
In teoria della probabilità, come si sa, ad una variabile aleatoria X si fa corrispondere una funzione di
ripartizione F (λ) definita da
F (λ) = prob{X ≤ λ}
e la derivata di F rispetto a λ, se esiste, fornisce la cosiddetta densità di probabilità di X.
Il valor medio della variabile aleatoria X è allora definito come
Z ∞
λ dF (λ).
−∞
Se A è un’osservabile e ψ uno stato, consideriamo la variabile aleatoria m(A, ψ) che fornisce il valore di
una misura di A nello stato ψ; indichiamo con F (A, ψ, λ) la sua funzione di ripartizione; cioè
F (A, ψ, λ) = prob{m(A, ψ} ≤ λ}
Il valor medio di A nello stato ψ è dato da
Z
∞
< A >ψ =
λ dF (A, ψ, λ)
−∞
D’altra parte già sappiamo che questo valor medio è anche dato da
< A >ψ = (Aψ, ψ).
Ora, se A è un operatore autoaggiunto, il teorema spettrale ci consente di scrivere
Z ∞
Z ∞
(Aψ, ψ) =
λ d(E(λ)ψ, ψ) =
λ dkE(λ)ψk2
−∞
−∞
È naturale quindi procedere all’ identificazione
F (A, ψ, λ) = (E(λ)ψ, ψ) = kE(λ)ψk2 .
È chiaro a questo punto che l’ assunzione che un’ osservabile si debba rappresentare con un operatore
autoaggiunto è ben motivata dalla necessità di determininare la funzione di ripartizione della probabilità.
Un’ altra importante conseguenza del teorema spettrale consiste nella possibilità di definire
le funzioni di un dato operatore autoaggiunto A.
4.8. Famiglia spettrale e spettro
85
Teorema 4.7.9 Sia A un operatore autoaggiunto, di dominio D(A) denso in H ed {E(λ)} la
famiglia spettrale di A. Se φ(·) è una funzione di Borel su R allora
Z ∞
φ(A) =
φ(λ) dE(λ)
−∞
è un operatore chiuso definito sul dominio denso
Z ∞
D(φ(A)) = x ∈ H :
|φ(λ)|2 d(E(λ)x, x < ∞)
−∞
Se φ è a valori reali allora φ(A) è autoaggiunto. Se la funzione φ è limitata, l’operatore φ(A) è
limitato.
Il precedente teorema è lo strumento essenziale per il cosiddetto calcolo funzionale con il
quale si fa corrispondere ad una funzione un operatore.
È interessante notare le seguenti regole di calcolo. Siano φ e ψ due funzioni soddisfacenti le
ipotesi del teorema 4.7.9; allora
1. (αφ)(A) = αφ(A)
∀α ∈ C
2. (φ + ψ)(A) ⊇ φ(A) + ψ(A)
3. (φψ)(A) ⊇ φ(A)ψ(A)
4. φ(A)∗ = φ(A)
Ovviamente, nel caso in cui φ e ψ sono limitate nelle relazioni di sopra vale l’ uguaglianza. Un
altro caso in cui nella (3) vale l’ uguaglianza è quello in cui ψ = φn , con n intero positivo, perché
la convergenza dell’integrale di |φn+1 (λ)|2 implica la convergenza dell’ integrale di |φn (λ)|2 .
Procedendo di passo in passo si perviene alla
(φn )(A) = [φ(A)]n
In particolare, si ha
An =
Z
n = 1, 2, . . . .
∞
λn dE(λ)
−∞
Da questa si deduce che tutte le potenze intere positive dell’ operatore autoaggiunto A sono
anch’esse autoaggiunte. Se A ≥ 0, si può dimostrare che sono autoaggiunte anche tutte le
potenze reali positive e, se A−1 esiste, anche le potenze reali negative di A. In particolare, se
A ≥ 0, esiste la radice quadrata di A. L’operatore A1/2 ha, infatti, la proprietà: (A1/2 )2 = A.
4.8
4.8.1
Famiglia spettrale e spettro
Il secondo teorema spettrale e le sue conseguenze
La conoscenza della famiglia spettrale determina completamente lo spettro dell’operatore. Infatti
86
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Teorema 4.8.1 (II teorema spettrale) Sia {E(λ)} la famiglia spettrale dell’ operatore autoaggiunto A e λ0 un numero reale. Allora
(i) λ0 6∈ σ(A) ⇔ E(λ) è costante in un intorno di λ0 .
(ii) λ0 è un autovalore ⇔ E(λ) è discontinua in λ0 .
(iii) λ0 ∈ σc (A) ⇔ E(λ) è continua in λ0 , ma non è costante in ogni intorno di λ0 .
Dimostrazione – Dimostriamo la (i). Cominciamo con il supporre che E(λ) sia costante in un intorno
di ]λ0 − , λ0 + [. L’uguaglianza
Z
2
k(A − λ0 I)xk = (λ − λ0 )2 d(E(λ)x, x)
R
implica che
k(A − λ0 I)xk2 =
Z
λ0 −
(λ − λ0 )2 d(E(λ)x, x) +
−∞
Z
λ0 +
(λ − λ0 )2 d(E(λ)x, x) +
Z
λ0 −
+∞
(λ − λ0 )2 d(E(λ)x, x).
λ0 +
L’integrale tra λ − e λ + è, ovviamente, nullo; la funzione (λ − λ0 )2 è maggiore o uguale di 2 in
ciascuno dei due intervalli restanti. Quindi,
k(A − λ0 I)xk2 ≥ 2 kxk2
L’operatore A − λ0 I ha, dunque, inverso limitato. Questo basta per affermare che λ0 ∈ ρ(A) perchè
altrimenti dovrebbe appartenere allo spettro residuo che è vuoto.
Adesso supponiamo che λ0 ∈ ρ(A). Allora, esiste > 0 tale che, per ogni x ∈ D(A)
k(A − λ0 I)xk ≥ kxk.
L’uguaglianza precedente è equivalente alla
Z
Z
2
2
(λ − λ0 ) d(E(λ)x, x) ≥ d(E(λ)x, x)
R
(4.7)
R
Supponiamo adesso che la famiglia spettrale E(λ) non sia costante in nessun intorno di λ0 . Sia
η < . Allora esiste y ∈ H tale che (E(λ0 + η) − E(λ0 − η))y 6= 0. Applichiamo la disuguaglianza (4.7)
al vettore
x = (E(λ0 + η) − E(λ0 − η))y
che appartiene a D(A). Si ottiene
Z
λ0 +η
(λ − λ0 )2 d(E(λ)y, y) ≥ 2
λ0 −η
λ0 +η
Z
d(E(λ)y, y),
λ0 −η
che è impossibile perché
Z
λ0 +η
(λ − λ0 )2 d(E(λ)y, y) ≤ η 2
λ0 −η
Z
λ0 +η
d(E(λ)y, y).
λ0 −η
Dimostriamo la (ii). Supponiamo che E(λ) sia discontinua in λ0 e definiamo
P x := lim (E(λ0 ) − E(λ0 − δ))x,
δ→0
x∈H
4.8. Famiglia spettrale e spettro
87
L’operatore P è un proiettore non nullo e l’ operatore AP è ovunque definito e limitato [Osservazione
4.7.6]. Si ha
Z
(AP x, x) = lim (A(E(λ0 ) − E(λ0 − δ))x, x) = lim
δ→0
δ→0
λ(χλ0 (λ)) − χλ0 −δ (λ))d(E(λ)x, x)
R
dove χα (λ) indica la funzione caratteristica dell’intervallo ] − ∞, α].
Osserviamo che
λ0 se λ = λ0
λ(χλ0 (λ) − χλ0 −δ (λ)) → µλ0 (λ) =
0
altrove
e che
|λ(χλ0 (λ)) − χλ0 −δ (λ)| ≤ |λ0 |.
Il teorema di convergenza dominata implica, allora, che
Z
Z
lim
λ(χλ0 (λ)) − χλ0 −δ (λ))d(E(λ)x, x) =
µλ0 (λ)d(E(λ)x, x) = λ0 (P x, x).
δ→0
R
(4.8)
R
Per verificare l’ultima uguaglianza, scegliamo δ > 0 e poniamo
λ0 se λ ∈]λ0 − δ, λ0 + δ[
vδ (λ) =
.
0
altrove
Allora vδ (λ) → µλ0 (λ) per δ → 0 e |vδ (λ)| ≤ |λ0 |. Applicando il teorema di convergenza dominata, si ha
Z
Z
µλ0 (λ)dE(λ)x
=
R
=
=
λ0 +δ
lim
δ→0
λ0 dE(λ)x
λ0 −δ
lim (λ0 (E(λ0 + δ) − E(λ0 − δ))x)
δ→0
lim (λ0 (E(λ0 ) − E(λ0 − δ))x)
δ→0
= λ0 P x.
La (4.8) a sua volta, implica che AP x = λ0 P x per ogni x ∈ H e quindi λ0 è un autovalore.
Proviamo il viceversa.
Sia x ∈ D(A), x 6= 0 tale che Ax − λ0 x = 0. Si ha, allora,
Z
(λ − λ0 )2 d(E(λ)x, x) = kAx − λ0 Ik2 = 0.
R
Se > 0, dall’uguaglianza precedente si deduce che
Z
λ0 −
(λ − λ0 )2 d(E(λ)x, x) = 0.
−∞
Ma
λ0 −
Z
(λ − λ0 )2 d(E(λ)x, x) ≥ 2
−∞
λ0 −
Z
d(E(λ)x, x) = 2 kE(λ0 − )xk2 ,
−∞
perché se λ ∈] − ∞, λ0 − [, allora (λ − λ0 )2 ≥ 2 . In modo analogo,
Z
+∞
0=
λ0 +
(λ − λ0 )2 d(E(λ)x, x) ≥ 2
Z
+∞
λ0 +
d(E(λ)x, x) = 2 kx − E(λ0 + )xk2 .
88
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Dunque
lim E(λ0 + )x = x
→0
e
lim E(λ0 − )x = 0.
→0
Di conseguenza, E(λ) è discontinua in λ0 .
La (iii) segue per esclusione dalle precedenti.
Corollario 4.8.2 Sia A un operatore autoaggiunto. Un numero reale λ0 appartiene allo spettro
σ(A) di A se, e soltanto se, E(λ0 + ) − E(λ0 − ) 6= 0, per ogni > 0.
4.8.2
Spettro discreto e spettro essenziale
Sia λ0 ∈ σ(A). Poniamo Pλ0 , := E(λ0 + ) − E(λ0 − ). L’operatore APλ0 , è, ovunque definito
e limitato [Osservazione 4.7.6]. Vogliamo adesso calcolare il limite (in senso forte) lim APλ0 , .
→0
Per ogni x ∈ H,
Z
λ(χλ0 + (λ)) − χλ0 − (λ))dE(λ)x.
APλ0 , x =
R
Per → 0, si ha
λχλ0 + (λ)) − χλ0 − (λ) → µλ0 (λ) =
λ0 se λ = λ0
.
0 altrove
Inoltre
|λ(χλ0 (λ)) − χλ0 −δ (λ)| ≤ |λ0 |.
Il teorema di convergenza dominata implica, allora, che
Z
Z
lim
λ(χλ0 + (λ)) − χλ0 − (λ))dE(λ)x =
µλ0 (λ)dE(λ)x.
→0 R
R
Procedendo come nella dimostrazione del teorema 4.8.1, si prova che
Z
µλ0 (λ)dE(λ)x = lim (λ0 (E(λ0 + δ) − E(λ0 − δ))x) = λ0 (E(λ0 ) − E(λ−
0 ))x.
R
δ→0
Posto quindi Pλ0 := E(λ0 ) − E(λ−
0 ), risulta
0
se λ0 ∈ σc (A)
lim APλ0 , x =
.
λ0 Pλ0 x se λ0 ∈ σp (A)
→0
Se λ0 ∈ σp (A), per → 0, risulta Pλ0 , x → Pλ0 x e APλ0 , x converge. Dunque, Pλ0 x ∈ D(A) e
lim APλ0 x = APλ0 x. In conclusione, ogni vettore del sottospazio Pλ0 H è un autovettore di A.
→0
I proiettori Pλ0 , considerati sopra conducono ad un’altra classificazione dei punti dello
spettro.
Definizione 4.8.3 Sia λ0 ∈ σ(A).
4.8. Famiglia spettrale e spettro
89
(i) Si dice che λ0 ∈ σess (A), lo spettro essenziale di A, se Pλ0 , H ha dimensione infinita per
ogni > 0.
(ii) Si dice che λ0 ∈ σd (A), lo spettro discreto di A, se esiste > 0 tale che Pλ0 , H ha
dimensione finita.
} Osservazione 4.8.4 Chiaramente, σ(A) = σd (A) ∪ σess (A). Ma è anche, σ(A) = σp (A) ∪ σc (A):
in altre parole, la nuova suddivisione dello spettro corrisponde ad aver spostato insieme con lo spettro
continuo di A, gli autovalori di molteplicità infinita. Per esempio se A è un operatore autoaggiunto
compatto il suo spettro essenziale può non essere vuoto, perché 0 può essere un autovalore di molteplicità
infinita.
Definizione 4.8.5 Sia A un operatore autoggiunto e λ0 ∈ R. Una successione {xn } di vettori
di D(A) è detta una successione di Weyl per λ0 se kxn k = 1 e lim kAxn − λ0 xn k → 0.
n→∞
Teorema 4.8.6 Sia A un operatore autoggiunto e λ0 ∈ R. λ0 ∈ σ(A) se, e soltanto se, esiste
una successione di Weyl per λ0 .
Dimostrazione – Sia λ0 ∈ σ(A). Allora o λ0 ∈ σp (A) oppure λ0 ∈ σc (A). Nel primo caso esiste
x ∈ D(A), kxk = 1, tale che Ax − λx = 0. È sufficiente, in questo caso, scegliere xn = x per dimostrare
l’affermazione. Consideriamo adesso il caso in cui λ0 ∈ σc (A). Per definizione, l’operatore (A − λ0 I)−1 è
definito nell’insieme denso R(A − λ0 I), ma non è limitato. Esiste dunque una successione {yn } di vettori
di R(A − λ0 I) tale che kyn k = 1, per ogni n ∈ N e k(A − λ0 I)−1 yn k → ∞. Definiamo
xn =
(A − λ0 I)−1 yn
,
k(A − λ0 I)−1 yn k
n ∈ N.
Si ha allora kxn k = 1 e
(A − λ0 I)xn =
yn
→ 0.
k(A − λ0 I)−1 yn k
Viceversa, supponiamo che esista una successione di Weyl {xn } per λ0 ed ammettiamo, per assurdo,
λ0 ∈ ρ(A). Dunque esiste (A − λ0 )−1 ∈ B(H). Posto yn = (A − λ0 I)xn , n ∈ N, risulta yn → 0,
ipotesi. Ma questo implica che (A − λ0 I)−1 yn = xn → 0. Questo è impossibile, perché kxn k = 1,
ogni n ∈ N.
che
per
per
Corollario 4.8.7 Sia λ0 ∈ σ(A). λ0 ∈ σess (A) se, e soltanto se, esiste una successione di Weyl
{xn } per λ0 costituita da vettori a due a due ortogonali.
Dimostrazione – Supponiamo che esista una successione di Weyl {xn } per λ0 costituita da vettori a
due a due ortogonali. Per definizione, risulta (A − λ0 I)xn → 0. Se fosse λ0 ∈ σd (A), esisterebbe > 0
tale che Pλ0 , H ha dimensione finita. Questo è equivalente a dire che Pλ0 , è compatto. Di conseguenza,
90
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Pλ0 , xn → 0 dato che xn → 0 debolmente. Si ha dunque
Z
2
k(A − λ0 I)xn k =
(λ − λ0 )2 d(E(λ)xn , xn )
R
λ0 −
Z
(λ − λ0 )2 d(E(λ)xn , xn ) +
≥
−∞
λ0 −
Z
+∞
+
−∞
Z
λ0 +
Z
(λ − λ0 )2 d(E(λ)xn , xn )
!
d(E(λ)xn , xn )
λ0 −
λ0 −
λ0 +
Z
λ0 +
−
+
Z
λ0 +
d(E(λ)xn , xn ) −
=
+∞
λ0 +
Z
≥ 2
Z
d(E(λ)xn , xn )
λ0 −
2
R
2
= (kxn k2 − kPλ0 , xn k )
Per n → ∞ si ha, allora
lim k(A − λ0 I)xn k2 ≥ 2
n→∞
che è impossibile. Dunque λ0 ∈ σess (A).
Viceversa, se λ0 ∈ σess (A), o λ0 è un autovalore di molteplicità infinita oppure è un elemento dello spettro
continuo di A. Nel primo caso caso, nell’autospazio relativo a λ0 è possibile determinare una successione
ortonormale di autovettori. Questa successione soddisfa in modo ovvio le richieste. Se, invece, λ0 ∈ σc (A),
risulta Pλ0 , 6= 0 per ogni > 0. Consideriamo la successione non crescente di proiettori {Pλ0 , n1 }. Sia
y1 ∈ Pλ0 ,1 H tale che Pλ0 , 21 Pλ0 ,1 y1 = 0. Definiamo x1 =
tale che Pλ0 , 13 Pλ0 , 21 y2 = 0. Definiamo x2 =
Pλ
kPλ
y
,1 1
0 2
1
0, 2
y1 k .
Pλ0 ,1 y1
kPλ0 ,1 y1 k .
Sia, adesso, y2 ∈ Pλ0 , 12 H un vettore
Si procede via via in questo e si ottiene una
successione ortonormale {xk } di vettori di D(A). Poiché Pλ0 , n1 xn = xn , risulta
k(A − λ0 I)xn k2
= k(A − λ0 I)Pλ0 , n1 xn k2 =
≤
1
n2
Z
Z
1
λ0 − n
1
λ0 − n
d(E(λ)xn , xn ) =
1
λ0 − n
(λ − λ0 )2 d(E(λ)xn , xn )
1
λ0 − n
1
1
kPλ0 , n1 xn k2 = 2 kxn k2 → 0.
2
n
n
Teorema 4.8.8 Un numero λ0 appartiene a σd (A) se, e soltanto se,
(i) λ0 è punto isolato di σ(A)
(ii) λ0 è autovalore di molteplicità finita.
Dimostrazione – Supponiamo che siano verificate (i) e (ii). Allora, se λ0 è punto isolato di σ(A), esiste
> 0 tale che ]λ0 − , λ0 + [∩σ(A) = {λ0 }. Dunque ]λ0 − , λ0 [⊂ ρ(A). Questo implica che E(λ) è
costante in ]λ0 − , λ0 [ e quindi E(λ) = E(λ−
0 ) per ogni λ ∈]λ0 − , λ0 [. In modo simile, E(λ) è costante in
−
]λ0 , λ0 + [. Quindi, E(λ) = E(λ+
)
=
E(λ
),
0 per ogni λ ∈]λ0 , λ0 + [. Quindi Pλ0 , = E(λ0 ) − E(λ0 ) 6= 0,
0
perché λ0 ∈ σ(A). Quindi λ0 è un autovalore di A ed essendo per ipotesi di molteplicità finita, appartiene
a σd (A).
Viceversa, se λ0 ∈ σd (A) esso è, per definizione, un autovalore di molteplicità finita. Resta da provare
che è un punto isolato di σ(A). Se cosı̀ non fosse, λ0 sarebbe un punto di accumulazione di σ(A). Quindi
esisterebbe una successione {λk } di elementi di σ(A) convergente a λ0 . Per ogni k, scegliamo un ak > 0
in modo che gli intervalli ]λk − ak , λk + ak ] siano a due disgiunti. Di conseguenza, i proiettori E(λk +
4.8. Famiglia spettrale e spettro
91
ak ) − E(λk − ak ) sono non nulli e a due a due ortogonali. Per ogni k sia xk = E(λk + ak ) − E(λk − ak )xk ,
con kxk k = 1. Si ha,
k(A − λ0 )xk k2 =
Z
λk +ak
(λ − λ0 )2 dkE(λ)xk k2 ≤ max{(λk + ak − λ0 )2 , (λk − ak − λ0 )2 }kxk k2 → 0.
λk −ak
Quindi, {xk } è una successione di Weyl di vettori a due a due ortogonali. Ne segue che λ0 ∈ σess (A),
contro l’ipotesi.
Definizione 4.8.9 Un operatore autoaggiunto A è detto di spettro discreto se σ(A) = σd (A).
} Osservazione 4.8.10 Per un operatore di spettro discreto la rappresentazione spettrale stabilita nel
teorema 4.7.5 assume una forma particolarmente semplice:
Ax =
∞
X
λ k Pk
k=1
dove i λk sono gli autovalori e Pk = E(λk ) − E(λ−
k ). Questa semplificazione è dovuta al fatto che tutti
i punti della retta reale che non sono autovalori appartengono al risolvente di A e, dunque, la famiglia
spettrale è costante nell’ intervallo compreso tra due autovalori successivi.
Proposizione 4.8.11 Se A è un operatore di spettro discreto, esiste una base ortonormale di
H costituita da autovettori di A.
Dimostrazione – Sia E(λ) la famiglia spettrale di A. Per ogni x ∈ H risulta
Z
x=
dE(λ)x =
R
∞
X
Pk x,
k=1
per quanto osservato sopra. In ogni sottospazio Pk H selezioniamo una base ortonormale (necessariamente
finita) di autovettori ek,1 , . . . , ek,`k . Visto che A è simmetrico, autovettori corrispondenti ad autovalori
distinti sono ortogonali. Il sistema di vettori cosı̀ ottenuto costituisce una base ortonormale di H.
Teorema 4.8.12 Se A è un operatore autoaggiunto di spettro discreto e dimH = ∞, allora A
è necessariamente non limitato.
Dimostrazione – La Proposizione 4.8.11 implica che gli autovalori distinti sono necessariamente infiniti,
altrimenti lo spazio H sarebbe di dimensione finita. D’altra parte, In ogni intervallo [−N, N ], N ∈ N
cade un numero finito di autovalori di A. Infatti se cosı̀ non fosse, in uno di questi intervalli si potrebbe
trovare una successione {λk } di autovalori. A meno di passare ad una sottosuccessione, si può supporre
che λk → λ ∈ [−N, N ]. Per ogni k, scegliamo un autovettore xk , con kxk k = 1. Gli xk sono a due a due
ortogonali e costituiscono una successione di Weyl per λ; infatti,
kAxk − λxk k = |λk − λ|kxk k → 0.
Dal corollario precedente segue che λ ∈ σess (A); il che è impossibile.
} Osservazione 4.8.13 Se lo spazio H è di dimensione infinita, dal Teorema 4.8.12 deduciamo che,
sup |λk | non può essere finito. Infatti, in questo caso, A sarebbe ovunque definito e, quindi, limitato.
92
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Il seguente teorema che non dimostriamo mostra che alcuni rilevanti operatori di Schrödinger
con potenziale V (x) limitato inferiormente hanno spettro discreto.
Teorema 4.8.14 Sia V (x) una funzione continua in R, a valori reali e tale che
V (x) ≥ 1,
∀x ∈ R
e
lim V (x) = +∞.
|x|→∞
Allora l’ operatore
d2
+ V (x)
dx2
definito in C0∞ R è essenzialmente autoaggiunto e positivo. La sua chiusura H è un operatore
di spettro discreto. Gli autovalori sono tutti semplici (hanno cioè molteplicità 1). Ordinando
gli autovalori in ordine crescente λ0 < λ1 < λ2 < · · · , ogni autofunzione ψk , relativa al k-simo
autovalore, ha esattamente k zeri.
Hoo = −
Il teorema 4.8.14 fornisce, come si vede, un buon numero di informazioni sull’operatore H,
quando V soddisfa le proprietà richieste e queste informazioni sono indipendenti dalla specifica
forma di V .
Esempio 4.8.15
Sia
Hoo =
1
2
−
d2
2
+
x
,
dx2
l’operatore hamiltoniano dell’ oscillatore armonico (si sono poste uguali a 1 tutte le costanti fisiche)
definito in C0∞ R è essenzialmente autoaggiunto; la sua chiusura H è un operatore positivo di spettro
discreto con le proprietà descritte nel teorema 4.8.14. Basta applicarlo, infatti, con V (x) = x2 + 1.
L’aggiunta dell’ identità non altera le proprietà spettrali di H. Tuttavia in questo caso, è possibile
calcolare esplicitamente autovalori ed autofunzioni di H.
Tuttavia per farlo è più conveniente considerare l’operatore Ho che agisce come Hoo ma su un dominio
diverso. Poniamo
2
D = {p(x)e−x /2 ; p(x) polinomio su C}.
Questo è un sottospazio denso di L2 (R) che ha intersezione nulla con C0∞ R. Si può dimostrare, tuttavia,
che le chiusure di Hoo e di Ho coincidono.
Definiamo i seguenti due operatori, definiti su D a valori in D stesso:
1
d
1
d
†
A= √
x+
A =√
x−
,
dx
dx
2
2
che sono usualmente chiamati, rispettivamente, operatore di annichilazione e operatore di creazione.
È facile verificare che A† ⊆ A∗ e che valgono le seguenti identità:
• AA† f − A† Af = f,
∀f ∈ D;
• Ho f = A† Af + 21 f = AA† f − 12 f,
∀f ∈ D.
4.8. Famiglia spettrale e spettro
93
Per provare queste due uguaglianze occorre tener conto della regola di commutazione canonica
df
x dx
= f , per ogni f ∈ D.
d
dx (xf ) −
Consideriamo adesso una funzione ψ0 che soddisfi Aψ0 = 0 e kψ0 k = 1. Si può scegliere ψ0 (x) =
2
π −1/4 e−x /2 . Allora, Ho ψ0 = 21 ψ0 . Cioè ψ0 è un autovettore di Ho con autovalore 21 .
Osserviamo adesso che se φ è un autovettore di Ho con autovalore λ, allora A† φ è autovettore di Ho
con autovalore λ + 1. Infatti,
1
Ho A† φ = A† AA† φ + A† φ
2
1
1
†
= A (Ho φ + φ) + A† φ
2
2
1 †
1 †
†
= λA φ + A φ + A φ
2
2
= (λ + 1)A† φ.
Di conseguenza, per ogni n ∈ N, (A† )n ψ0 è un autovettore di Ho con autovalore n + 1. Visto che
(A ) ψ0 ∈ D, esistono dei polinomi pn (x) tali che
† n
((A† )n ψ0 )(x) = pn (x)e−x
2
/2
.
Se si definisce
ψn = (n!)−1/2 (A† )n ψ0
si prova che kψn k = 1, per ogni n ∈ N. Inoltre i vettori ψn , essendo autovettori corrispondenti ad
autovalori distinti, sono ortogononali. Costituiscono quindi una sistema ortonormale. Si dimostra che
le funzioni ψn (x), dette funzioni di Hermite, costituiscono una base ortonormale di L2 (R). I polinomi
2
Hn (x) per i quali vale l’uguaglianza ψn (x) = Hn (x)e−x /2 sono detti polinomi di Hermite.
Esaminiamo adesso lo spettro dell’operatore φ(A) dove φ è una funzione reale continua in
R e A un operatore autoaggiunto.
Supponiamo che λ0 ∈ σ(A). L’operatore φ(A) è autoaggiunto quindi, se indichiamo con
{F (µ)} la sua famiglia spettrale, avremo
Z
φ(A) =
µdF (µ).
(4.9)
R
D’altra parte, il teorema sul calcolo funzionale ci garantisce che, se {E(λ)} è la famiglia spettrale
di A si può anche scrivere
Z
φ(A) =
φ(λ)dE(λ).
(4.10)
R
Esaminiamo, per semplicità, il caso in cui φ sia continua e strettamente crescente. Se nella (4.9)
si opera il cambiamento di variabile µ = φ(λ) si perviene a
Z
Z
φ(λ)dF (φ(λ)) =
φ(λ)dE(λ).
R
R
L’unicità della famiglia spettrale vuole allora che sia
F (φ(λ)) = E(λ),
∀λ ∈ R.
94
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Se λ0 ∈ σp (A), la famiglia spettrale E(λ) ha un salto, E(λ0 ) − E(λ−
0 ), in λ0 . Visto che φ
è continua, F (µ) ha un salto in φ(λ0 ). Quindi φ(λ0 ) è un autovalore di φ(A). In particolare,
se φ è strettamente crescente, il sottospazio degli autovettori corrispondenti a φ(λ0 ) è lo stesso
di quello degli autovettori corrispondenti a λ0 , perché F (φ(λ0 )) − F (φ(λ0 )− ) = E(λ0 ) − E(λ−
0 ).
Analogamente se E(λ) è continua ma non costante in ogni intorno di λ0 , cioè, se λ0 ∈ σc (A),
allora anche F (φ(λ) ha la stessa proprietà. Dunque,
{φ(λ); λ ∈ σ(A)} ⊆ σ(φ(A)).
Ragionando sulla funzione inversa φ−1 si perviene a stabilire l’uguaglianza dei due insiemi.
Abbiamo provato cosı̀, in un caso particolare, il seguente teorema.
Teorema 4.8.16 (Spectral mapping theorem) Se A è autoaggiunto e φ è una funzione continua
su σ(A), allora
σ(φ(A)) = {φ(λ); λ ∈ σ(A)} = φ(σ(A)).
Non daremo la dimostrazione completa di questo teorema. Osserviamo soltanto che non solo
non è richiesta la stretta monotonia di φ, ma neppure che φ sia una funzione reale.
Esempio 4.8.17
Consideriamo il caso in cui l’operatore autoaggiunto A ammetta inverso limitato, A−1 . Allora, certamente, 0 6∈ σ(A) e si ha
σ(A−1 ) = {λ−1 ; λ ∈ σ(A)}.
Esempio 4.8.18
Sia A autoaggiunto e z0 ∈ ρ(A), allora
σ(Rz0 (A)) = {(λ − z0 )−1 ; λ ∈ σ(A)}.
Questo è un esempio di un caso in cui φ(A) non è autoaggiunto.
Una condizione perché l’operatore autoaggiunto A abbia spettro discreto ci viene proprio
dall’operatore risolvente.
Teorema 4.8.19 Sia A un operatore autoaggiunto e supponiamo che esista z0 ∈ ρ(A) tale che
l’operatore risolvente Rz0 (A) sia compatto. Allora
(i) A è un operatore di spettro discreto.
(ii) Rz (A) è compatto per ogni z ∈ ρ(A).
Dimostrazione – (i): Come abbiamo visto nell’esempio 4.8.18, se z0 ∈ ρ(A),
σ(Rz0 (A)) = {(λ − z0 )−1 ; λ ∈ σ(A)}.
4.9. Il teorema di Stone
95
Dato che Rz0 (A) è compatto il suo spettro consiste di punti isolati che hanno, al più, 0 come punto di
accumulazione. Quindi σ(A) è costituito di punti isolati con unico possibile punto di accumulazione +∞.
Esaminiamo gli autospazi.
Ax = λ0 x ⇔ (A − z0 I)x = (λ0 − z0 )x
⇔ (A − z0 I)−1 (A − z0 I)x = (λ0 − z0 )(A − z0 I)−1 x
1
⇔
x = (A − z0 I)−1 x.
λ0 − z0
Da queste equivalenze si deduce che x è autovettore di A relativo all’autovalore λ0 se, e soltanto se, x è
1
. Dunque i sottospazi corrispondenti hanno
anche autovettore di (A − z0 I)−1 relativo all’autovalore λ0 −z
0
dimensione finita. Quindi, A ha spettro discreto.
(ii): Per provare la (ii), se z ∈ ρ(A), la prima formula del risolvente si scrive
Rz (A) = Rz0 (A)(1 + (z − z0 )Rz (A)).
Dunque Rz (A) è prodotto di un operatore compatto, Rz0 , per uno limitato. Esso è, perciò, compatto. 4.9
Il teorema di Stone
Sia A un operatore autoaggiunto (limitato o no). Per mezzo del calcolo funzionale stabilito nel
teorema 4.7.9, si può definire l’operatore eitA in corrispondenza alla funzione limitata eitλ (t è
un parametro reale).
Teorema 4.9.1 Sia A un operatore autoaggiunto e definiamo U (t) = eitA . Allora
(a) Per ogni t ∈ R, U (t) è un operatore unitario e U (t + s) = U (t)U (s) per ogni t, s ∈ R.
(b) Se x ∈ H e t → t0 , allora U (t)x → U (t0 )x
(c) Se x ∈ D(A),
(d) Se limt→0
U (t)x−x
t
U (t)x−x
t
→ iAx per t → 0.
esiste, allora x ∈ D(A).
Dimostrazione – La (a) è una conseguenza immediata del calcolo funzionale.
Per provare la (b) osserviamo che
ke
itA
2
Z
x − xk =
|eitλ − 1|2 d(E(λ)x, x)
R
Poiché |eitλ − 1|2 è dominata dalla funzione integrabile h(λ) = 4 e poiché, per ogni λ ∈ R,
|eitλ − 1|2 → 0 per t → 0
dal teorema di convergenza dominata di Lebesgue si deduce che kU (t)x − xk2 → 0. Quindi t 7→ U (t) è
fortemente continua in t = 0. Per provare la continuità in un punto arbitrario t0 , basta osservare che
U (t − t0 )x → x per t − t0 → 0 e quindi U (t0 )U (t − t0 )x = U (t)x → U (t0 )x per t → t0
Proviamo ora la (c). La funzione
eitλ −1
t
converge, ovviamente, a iλ per t tendente a 0. Inoltre
itλ
e − 1
≤ |λ|
t
96
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
l’affermazione segue, di nuovo, dal teorema di convergenza dominata di Lebesgue.
Proviamo, infine la (d). Definiamo
D(B) =
e poniamo iBy = limt→0
quindi B = A
U (t)y−y
.
t
U (t)y − y
y ∈ H : lim
esiste
t→0
t
Un semplice calcolo mostra che B è simmetrico. Dalla (c) B ⊃ A e
Definizione 4.9.2 Una funzione t 7→ U (t) soddisfacente le condizioni (a) e (b) del precedente
teorema è detta un gruppo ad un parametro di operatori unitari fortemente continuo.
Il seguente teorema, noto come teorema di Stone, afferma che ogni gruppo ad un parametro
di operatori unitari fortemente continuo si può esprimere come l’esponenziale di un operatore
autoaggiunto.
Teorema 4.9.3 Sia U (t) un gruppo ad un parametro di operatori unitari (fortemente continuo)
nello spazio di Hilbert H. Allora, esiste un operatore autoaggiunto A in H tale che U (t) = eitA .
Dimostrazione – Sia φ ∈ C0∞ (R) e per ogni x ∈ H definiamo un nuovo vettore
Z ∞
xφ =
φ(t)U (t)x dt
−∞
Per la continuità forte di U (t) l’integrale può essere inteso nel senso di Riemann. Indichiamo con D
l’insieme di tutte le combinazioni lineari finite di tutti i vettori del tipo xφ con x ∈ H e φ ∈ C0∞ (R). Sia
j (t) il nucleo regolarizzante definito a partire dalla funzione
(
1
γe 1−t2 |t| < 1 ,
j(t) =
0
|t| ≥ 1
che appartiene a C0∞ (R) (γ è scelto in modo che l’integrale su R dia 1), ponendo
1
t
j (t) = j
.
allora
kxj − xk
=
≤
Z ∞
j
(t)(U
(t)x
−
x)
dt
−∞
Z ∞
j (t) dt
sup kU (t)x − xk.
−∞
t∈[−,]
Poiché U (t) è fortemente continuo, D è denso.
Per xφ ∈ D calcoliamo
U (s) − I
xφ
s
∞
→
U (s + t) − U (t)
φ(t)
x dt
s
−∞
Z ∞
φ(τ − s) − φ(τ )
U (τ )x dτ
s
−∞
Z ∞
φ0 (τ )U (τ )x dτ
−
=
x−φ0
Z
=
=
−∞
4.9. Il teorema di Stone
97
poiché [φ(τ − s) − φ(τ )]/s converge uniformemente a −φ0 (τ ). Per xφ ∈ D, definiamo
Axφ = −ix−φ0 .
Si noti che U (t) : D → D, A : D → D e che U (t)Aξ = AU (t)ξ per ξ ∈ D. Inoltre se xφ , xψ ∈ D, si ha,
come si vede facilmente
(Axφ , xψ ) = (xφ , Axψ )
e quindi A è un operatore simmetrico in D.
Proviamo adesso che A è essenzialmente autoaggiunto. Sia u ∈ D(A∗ ) con A∗ u = iu. Allora, per ogni
x ∈ D(A) = D si ha
d
(U (t)x, u)
dt
=
(iAU (t)x, u)
=
i(U (t)x, A∗ u)
=
i(U (t)x, iu)
=
(U (t)x, u)
Cosicchè la funzione h(t) = (U (t)x, u) è soluzione dell’ equazione differenziale h0 = h e quindi h(t) = Cet ;
ma dato che U (t) è limitato, anche |h(t)| deve esserlo e quindi C = 0. In modo analogo si prova che non
esistono soluzioni non nulle di A∗ u = −iu e quindi A è essenzialmente autoaggiunto.
Per brevità, poniamo B = A e sia V (t) = eitB . Resta da provare che V (t) = U (t).
Sia x ∈ D. Dalla (c) del Teorema 4.9.1 sappiamo che V (t)x ∈ D(B) e che V 0 (t)x = iBV (t)x. Posto
w(t) = U (t)x − V (t)x, w(t) è una funzione a valore vettore derivabile in senso forte e
w0 (t) = iAU (t)x − iBV (t)x = iBw(t)
Quindi
d
kw(t)k2 = i(Bw(t), w(t)) − i(w(t), Bw(t)) = 0
dt
E perciò w(t) = 0 per ogni t, dato che w(0) = 0. Allora U (t)x = V (t)x per ogni t ∈ R e per ogni x ∈ D.
Poichè D è denso, si conclude che U (t) = V (t).
Esempio 4.9.4
Sia H = L2 (R). Per ogni t ∈ R, consideriamo l’operatore U definito nel modo seguente. Poniamo
ft (x) = f (x − t)
e definiamo
(U f )(x) = ft (x),
f ∈ L2 (R).
L’operatore cosı̀ definito è unitario. La famiglia di operatori unitari {U (t) ; t ∈ R} costituisce un gruppo
ad un parametro, fortemente continuo, di operatori unitari. Determiniamo il suo generatore. Procedendo
in modo un po’ formale si ha
U (t)f − f
f (x − t) − f (x)
= lim
= −(Df )(x).
t→0
t→0
t
t
lim
Quindi il generatore di questo gruppo è l’operatore P definito nel paragrafo 4.4.2.1. Per essere rigorosi, avremmo dovuto innanzitutto determinare il dominio del generatore infinitesimale: esso è lo spazio
W 1,2 (R). La dimostrazione è lasciata come esercizio al lettore.
98
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
} Osservazione 4.9.5 A questo punto, una domanda legittima è se, dato un operatore autoaggiunto
A, si possa esprimere eitA , come sarebbe naturale attendersi, nella forma
eitA =
∞
X
(iAt)n
.
n!
n=0
(4.11)
Il primo membro è un operatore unitario in H mentre il secondo pone alcuni problemi. Per cominciare,
osserviamo che, se A è autoaggiunto, tutte le sue potenze ad esponente naturale sono definite e sono
operatori densamente definiti. Tuttavia, perché si possa scrivere la serie a secondo membro della (4.11) è
necessario che l’insieme dei vettori di H per cui la serie è ben definita e convergente sia sufficientemente
ricco. Consideriamo il sottospazio di H
D∞ (A) ≡
∞
\
D (An ) .
n=1
Mostriamo che esso è denso in H. Poniamo
Dω = {E(∆)x; x ∈ H, ∆ sottoinsieme di Borel limitato}
Dω è denso in H. Infatti, se non lo fosse, esisterebbe y ∈ H, y 6= 0, tale che (E(∆)x, y) = 0, per ogni
sottoinsieme di Borel limitato ∆ e per ogni x ∈ H. Scegliendo xn = E(∆n )y con ∆n =] − n, n], si ha
kE(∆n )yk2 = (E(∆n )y, y) = 0,
∀n ∈ N.
Dunque kyk = limn→∞ kE(∆n )yk2 = 0 e, quindi y = 0; una contraddizione.
Per ogni sottoinsieme di Borel limitato ∆, per ogni x ∈ H e per ogni n ∈ N si ha
Z
Z
λ2n d(E(λ)E(∆)x, E(∆)x =
λ2n d(E(λ)x, x) ≤ sup λ2n kxk2 < ∞.
∆
R
λ∈∆
Dunque, E(∆)x ∈ D(An ), per ogni n ∈ N. Inoltre
kAn E(∆)xk ≤ C n kxk,
∀x ∈ H,
dove si è posto C = sup |λ|.
λ∈∆
Questo prova che Dω ⊂ D∞ (A) e dunque quest’ultimo spazio è denso in H. Su tutti i vettori x del
sottospazio generato da Dω , la serie a secondo menbro della (4.11) è convergente per ogni t ∈ R. Infatti
n+p
n+p
n+p
X (iAt)k
X |t|k kAk E(∆)xk
X |t|k C k
E(∆)x ≤
≤
kxk → 0
k!
k!
k!
k=n+1
k=n+1
k=n+1
} Osservazione 4.9.6 Diversi spazi funzionali (non normati) sono del tipo D∞ (A), per qualche
operatore autoaggiunto A. Ad esempio, se A
A=
1 2
|x| + 4n
2
si trova
D∞ (A) = S (Rn )
dove 4n è l’operatore laplaciano in n dimensioni e S (Rn ) è lo spazio di Schwartz delle funzioni a rapida
decrescenza.
4.10. Equazioni differenziali nello spazio di Hilbert
4.10
99
Equazioni differenziali nello spazio di Hilbert
Un’ applicazione della teoria dei gruppi ad un parametro di operatori unitari consiste nella
risoluzione di equazioni differenziali nello spazio di Hilbert.
Sia ]a, b[ un intervallo in R; una funzione t ∈]a, b[→ x(t) ∈ H è detta continua in ]a, b[ se
per ogni c ∈]a, b[
lim kx(t) − x(c)k = 0.
t→c
La funzione t ∈]a, b[→ x(t) ∈ H è detta derivabile in ]a, b[ se per ogni c ∈]a, b[ esiste x0 (c) ∈ H
tale che
x(t) − x(c)
0
lim − x (c)
= 0.
t→c
t−c
È a questo punto chiaro cosa intendiamo quando diciamo che la funzione x(t) è di classe C 1 .
Il problema che ci proponiamo di risolvere è il seguente: sia (A, D(A)) un operatore autoaggiunto in H ed x ∈ D(A). Cerchiamo una funzione x(t) di classe C 1 in [0, ∞) tale
che
1. x(t) ∈ D(A)
per 0 ≤ t < ∞
2. x(0) = x
3. x0 (t) = iAx(t)
Proveremo adesso che il suddetto problema ammette una, e una sola soluzione che si può
rappresentare nella forma
x(t) = eitA x, 0 ≤ t < ∞.
Per brevità poniamo, eitA = U (t). Per provare che x(t) ∈ D(A), basta provare che esiste il
U (s) − I
x(t).
s→0
s
lim
Infatti
U (s) − I
U (s) − I
x(t) = lim
U (t)x
s→0
s→0
s
s
U (s) − I
= U (t) lim
x
s→0
s
lim
e l’ultimo limite esiste perché x ∈ D(A).
Proviamo ora che x(t) è continua. Si ha
kx(t) − x(s)k = k(U (t) − U (s))xk
Ma dal terorema 4.9.1 sappiamo che U (t) è un gruppo fortemente continuo. Quindi se t → s
allora k(U (t) − U (s))xk tende a zero.
100
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
Si ha inoltre
x(t + h) − x(t)
lim − iAx(t)
=
h→0
h
U (t + h) − U (t)
lim x − iAU (t)x
h→0
h
U (h) − I
= lim x − iAx
=0
h→0
h
perché A è il generatore infinitesimale di U (t). Questo prova, ad un tempo, che x(t) è derivabile
e che x0 (t) è soluzione dell’ equazione differenziale in esame.
La dimostrazione dell’ unicità è lasciata come esercizio.
4.11
Operatori autoaggiunti che commutano
Se gli operatori A e B non sono limitati, come già sappiamo, non ha senso parlare di commutazione in senso puramente algebrico. Per dare un significato ragionevole all’ affermazione A e B
commutano, ricordiamo che per operatori autoaggiunti limitati è equivalente affermare che essi
commutano o che commutano le loro famiglie spettrali. Questo fatto suggerisce la definizione
seguente.
Definizione 4.11.1 Due operatori autoaggiunti A e B (possibilmente non limitati) commutano fortemente se tutti gli operatori di proiezione che compongono le loro famiglie spettrali
commutano.
Vale il seguente
Teorema 4.11.2 Siano A e B due operatori autoaggiunti in H. Le seguenti affermazioni sono
equivalenti:
(a) A e B commutano.
(b) Se =λ e =µ sono non nulli, Rλ (A)Rµ (B) = Rµ (B)Rλ (A).
(c) ∀s, t ∈ R, eitA eisB = eisB eitA .
Non dimostriamo questo risultato, limitandoci ad osservare che il fatto che (a) implica (b) e (c)
è una conseguenza immediata del calcolo funzionale.
} Osservazione 4.11.3 Un concetto molto importante in meccanica quantistica è quello di osservabili
compatibili. Due osservabili si diranno compatibili se possono essere misurate contemporaneamente. Dal
punto di vista probabilistico questo equivale a dire che esiste una distribuzione di probabilità congiunta;
ovvero, utilizzando le notazioni della sez. 2.6, che è sempre possibile attribuire una probabilità all’evento
{m(A, ψ) ∈ I} ∩ {m(B, ψ) ∈ J}
dove A e B indicano due osservabili, I e J, rispettivamente, insiemi di possibili determinazioni di A e B
e ψ uno stato del sistema.
4.12. Supplemento: Famiglie spettrali generalizzate
101
Nella rappresentazione delle osservabili come operatori, questo si traduce nel fatto che gli operatori
corrispondenti devono commutare. Per capire meglio cosa intendiamo, supponiamo che due osservabili
siano rappresentate dagli operatori autoaggiunti limitati A e B e che lo spettro di entrambi questi operatori
sia costituito solo dagli autovalori {ai } e {bi }, rispettivamente. In questo caso i possibili valori misurati
di A e di B sono solo i loro autovalori. Quindi sarà possibile misurare contemporaneamente A e B se,
e soltanto se, essi ammettono una famiglia di autovettori comuni che costituisce una base dello spazio.
Sia, infatti ψi,j una base di autovettori comuni. Col doppio indice abbiamo inteso che
Aψi,j = ai ψi,j
e che
Bψi,j = bj ψi,j
Un semplice calcolo mostra allora che
(AB − BA)ψi,j = 0
che implica che A e B commutano. Il viceversa è pure vero. Per farlo vedere, ci mettiamo nell’ ipotesi
che gli autovalori di A e gli autovalori di B abbiano tutti molteplicità uguale a uno.È immediato provare
che se ψ è un autovettore di A e B commuta con A, allora Bψ è un autovettore di A corrispondente
allo stesso autovalore. Ma, per le ipotesi fatte, non può quindi che essere Bψ = λψ e quindi ψ è anche
un autovettore di B. Nel caso in cui gli operatori A e B siano limitati ma non abbiano spettro solo
puntuale, si dimostra che una distribuzione di probabilità congiunta delle due osservabili si può definire
se, e soltanto se, AB = BA.
4.12
Supplemento: Famiglie spettrali generalizzate
La teoria di von Neumann delle estensioni autoaggiunte di un operatore simmetrico è stata, in
un certo senso, completata da Naimark utilizzando l’idea che un operatore simmetrico possa
ammettere estensioni autoaggiunte in uno spazio di Hilbert più grande dello spazio di Hilbert
in cui esso agisce inizialmente. Quest’idea ha dato avvio ad una nuova teoria spettrale degli
operatori simmetrici, nella quale è possibile attribuire ad ogni operatore simmetrico una famiglia
spettrale con proprietà simili a quelle già viste nel caso degli operatori autoaggiunti.
Definizione 4.12.1 Sia (T, D(T )) un operatore lineare in H. Chiameremo prolungamento di
c)) in uno spazio di Hilbert H
b contenente H come sottospazio
T un operatore lineare (Tb, D(T
chiuso e tale che:
c) ⊇ D(T ) e Tbf = T f per f ∈ D(T )
D(T
b sul suo sottospazio H sarà indicata con Pb
La proiezione ortogonale di H
Possiamo adesso dimostrare il seguente teorema di Naimark:
Teorema 4.12.2 Ogni operatore simmetrico (T, D(T )) ammette un prolungamento autoaggiunto (eventualmente in uno spazio più grande).
Dimostrazione – Siano n, m gli indici di difetto di T . Se n = m allora il teorema di von Neumann ci
assicura l’esistenza di un’estensione autoaggiunta nello stesso spazio di Hilbert H. Se n 6= m, consideriamo
b = H ⊕ H. Come si sa, esso consiste delle coppie ordinate {f, g} di elementi di H
lo spazio di Hilbert H
ed in esso le operazioni ed il prodotto scalare sono definiti in modo naturale:
{f1 , g1 } + α{f2 , g2 } = {f1 + αf2 , g1 + αg2 }
102
4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert
e
({f1 , g1 }, {f2 , g2 }) = (f1 , f2 ) + (g1 , g2 ).
L’operatore Tb definito da
Tb{f, g} = {T f, −T g},
f, g ∈ D(T )
b
ha, allora, indici di difetto (n + m, m + n) e pertanto ammette estensione autoaggiunta in H.
È opportuno notare che la dimostrazione del teorema precedente fornisce un modo per costruire
il prolungamento di T , ma questo non è il solo modo possible. In generale, il prolungamente
autoaggiunto di un operatore simmetrico non è unico.
b
Sia T un operatore simmetrico in H e Tb la sua estensione autoaggiunta nello spazio H.
Allora Tb ammette la decomposizione spettrale
Z
∞
b
λd E(λ)
Tb =
−∞
b
b Per f ∈ D(T ) e g ∈ H si hanno le relazioni:
dove gli E(λ)
sono proiettori in H.
Z ∞
Z ∞
b
b
b
b
b
(T f, g) = (T f, P g) =
λd (E(λ)f, P g) =
λd Pb(E(λ)f,
g)
−∞
,e
2
kT f k = kTbf k2 =
Z
−∞
∞
Z
2
∞
b
λ d E(λ)f,
f) =
−∞
b
λ2 d Pb(E(λ)f,
f)
−∞
. Ponendo,
b
B(λ) = Pb(E(λ)dH
per λ ∈ R, si ottiene una famiglia di operatori autoaggiunti limitati soddisfacenti le seguenti
proprietà:
(a) B(λ) ≤ B(µ) per λ ≤ µ;
(b) lim→0,>0 B(λ + )f = B(λ)f
∀f ∈ H;
(c) limλ→−∞ B(λ) = 0 e limλ→+∞ B(λ) = I.
Per ogni λ, B(λ) è un operatore positivo e minore di I ma non è necessariamente un proiettore.
Una famiglia di operatori positivi soddisfacente le proprietà (a)-(c) è detta una famiglia spettrale generalizzata. In conclusione ogni operatore simmetrico T ammette una famiglia spettrale
generalizzata e si ha, per ogni f ∈ D(T ) e g ∈ H:
Z ∞
(T f, g) =
λd Bλ)f, g)
−∞
e
2
Z
∞
kT f k =
−∞
λ2 d B(λ)f, f )

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