Elementi di Matematica e Statistica
1. Nozioni di base
Insiemi. Insiemi numerici. Richiami sugli insiemi. Intersezione, unione, differenza e complementare. Prodotto cartesiano (anche di più fattori). Insiemi
numerici: N, Z, Q; decimali finiti e periodici. Rappresentazione grafica su
una retta orientata. Operazioni fra frazioni e ordinamento. Rappresentazione
decimale. Incommensurabilità di diagonale e lato di un quadrato: l’insieme
R dei numeri reali (come allineamenti decimali illimitati). Definizione di R2 .
Operazioni algebriche e disuguaglianze. Proprietà delle potenze (con esponente
intero). Potenza con base positiva ed esponente razionale. Potenze ad esponente
reale (non formalizzato).
Calcolo algebrico. Espressioni polinomiali. Prodotti notevoli. Decomposizione del trinomio di secondo grado. Trasformazioni algebriche di espressioni.
Polinomi in una variabile: semplici decomposizioni.
Equazioni e disequazioni. Equazioni e sistemi di primo grado; equazioni di
secondo grado. Problemi che si formalizzano mediante equazioni. Segno del
trinomio di secondo grado. Disequazioni di primo e di secondo grado. Regola
dei segni nella risoluzione delle disequazioni. Sistemi di disequazioni.
Geometria analitica. Distanza fra due punti. Equazione cartesiana di una
retta. Significato del coefficiente angolare. Semipiani. Parabola. Legame con le
disequazioni di secondo grado. Iperbole. Equazione di una circonferenza.
Funzioni. Nozione generale di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzione inversa. Funzioni reali di variabile reale; grafici.
2. Funzioni elementari.
Definizione di potenza con base reale positiva ed esponente reale. Funzioni
potenza e funzioni esponenziali. Logaritmi e loro proprietà.
Definizione di seno e coseno di un angolo acuto. Angoli notevoli. Interpretazione mediante la circonferenza goniometrica ed estensione ad angoli maggiori
di un angolo retto. Misura in radianti. Funzioni seno e coseno: definizione e
grafici. Periodicità.
Semplici operazioni sui grafici: f (−x), −f (x), |f (x)|, f (x ± a), f (x) ± a,
f (λx), λf (x).
Applicazioni: cenno alle leggi di potenza in biologia; scale logaritmiche.
Cenno all’analisi di Fourier di un segnale.
3. Il concetto di limite.
Introduzione intuitiva del concetto di limite. Principali proprietà. La nozione
di continuità di una funzione. Comportamento asintotico delle funzioni elementari a partire dai grafici. Cenno alle forme indeterminate. Ordini di infinito:
esponenziali, potenze e logaritmi.
Limite di una successione: introduzione del numero e di Neper.
4. Calcolo differenziale.
Pendenza di un grafico: il concetto di derivata. Equazione della retta tangente.
Derivate fondamentali e cenno ai limiti notevoli. Regole algebriche di derivazione. Regola di derivazione delle funzioni composte.
Monotonia di una funzione e segno della derivata prima. Massimi e minimi
locali e assoluti.
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Definizione di convessità; legame con il segno della derivata seconda (giustificazione geometrica).
Applicazione dei risultati precedenti allo studio qualitativo del grafico di una
funzione.
5. Calcolo integrale.
Problema dell’area: definizione di integrale definito mediante somme integrali.
Proprietà dell’integrale.
Problema della primitiva. Teorema fondamentale del calcolo integrale: giustificazione geometrica. Formula di calcolo di un integrale definito mediante
calcolo di una primitiva.
Tabella degli integrali fondamentali e sua estensione mediante la regola di
derivazione delle funzioni composte. Regola di integrazione per parti.
Applicazione: cenno ai modelli della crescita malthusiana e logistica di una
popolazione. Curva logistica (sigmoide).
6. Statistica
Cenni di statistica descrittiva. Popolazione statistica. Campionamento. Dati
qualitativi (o categorici) e quantitativi. Frequenze assolute e relative; densità.
Rappresentazioni grafiche.
Misure di centralità: media e mediana. Misure di dispersione: varianza
campionaria e deviazione campionaria standard; quartili e distanza interquartile. Cambiamenti di scala e traslazioni per media e varianza.
Cenni di Probabilità. Conteggi: principio delle scelte indipendenti, permutazioni, disposizioni e combinazioni. Coefficienti binomiali.
Quadro probabilistico: spazio campionario, eventi, introduzione del concetto
di probabilità. Prime proprietà.
Probabilità condizionata; eventi indipendenti; principio delle “probabilità
totali”. Formula di Bayes e applicazioni (“probabilità delle cause”).
Schema successo/insuccesso (con rimpiazzo e senza rimpiazzo).
Variabili aleatorie. Variabili aleatorie discrete. Leggi di probabilità. Leggi binomiali B(n, p) e ipergeometriche. Valore atteso e varianza di una variabile
aleatoria discreta. Cenno alle variabili aleatorie congiunte. Variabili indipendenti. Valore atteso di somma e prodotto. Varianza di una somma di variabili
aleatorie indipendenti.
Applicazione: legge della costanza delle frequenze alleliche.
Variabili aleatorie (assolutamente) continue; valore atteso e varianza. Leggi
esponenziali. Legge normale standardizzata N (0, 1). Leggi N (µ, σ 2 ). Tabella
della distribuzione normale cumulata (P (Z ≤ z)). Calcolo di P (X ≤ x) per X
variabile aleatoria N (µ, σ 2 ) (passaggio ai valori standardizzati).
Teorema centrale del limite (X n ∼ N (µ, σ 2 /n)). Intervalli di confidenza.
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