Elementi di Matematica e Statistica
1. Nozioni di base
Insiemi. Richiami sugli insiemi. Intersezione, unione, differenza e complementare. Prodotto cartesiano (anche di più fattori). Insiemi numerici: N, Z,
Q; decimali finiti e periodici. Rappresentazione grafica su una retta orientata.
Operazioni fra frazioni e ordinamento. Rappresentazione decimale. Incommensurabilità di diagonale e lato di un quadrato: l’insieme R dei numeri reali (come
allineamenti decimali illimitati). Definizione di R2 . Operazioni algebriche e disuguaglianze. Proprietà delle potenze (con esponente intero). Potenza con base
positiva ed esponente razionale. Potenze ad esponente reale (non formalizzato).
Calcolo algebrico. Espressioni polinomiali. Prodotti notevoli. Decomposizione del trinomio di secondo grado. Trasformazioni algebriche di espressioni.
Polinomi in una variabile: semplici decomposizioni.
Equazioni e disequazioni. Equazioni e sistemi di primo grado; equazioni di
secondo grado. Problemi che si formalizzano mediante equazioni. Segno del
trinomio di secondo grado. Disequazioni di primo e di secondo grado. Regola
dei segni nella risoluzione delle disequazioni. Sistemi di disequazioni.
Geometria analitica. Distanza fra due punti. Equazione cartesiana di una
retta. Significato del coefficiente angolare. Semipiani. Parabola. Legame con le
disequazioni di secondo grado. Iperbole. Equazione di una circonferenza.
Funzioni. Nozione generale di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzione inversa. Funzioni reali di variabile reale; grafici.
2. Funzioni elementari.
Definizione di potenza con base reale positiva ed esponente reale. Funzioni
potenza e funzioni esponenziali. Logaritmi e loro proprietà. Applicazioni: cenno
alle leggi di potenza in biologia; scale logaritmiche.
Definizione di seno e coseno di un angolo. Angoli notevoli. Misura in radianti. Funzioni seno e coseno: definizione e grafici. Periodicità. Cenno all’analisi
di Fourier di un segnale.
3. Il concetto di limite.
Introduzione intuitiva del concetto di limite. Principali proprietà. La nozione
di continuità di una funzione. Comportamento asintotico delle funzioni elementari a partire dai grafici. Cenno alle forme indeterminate. Ordini di infinito:
esponenziali, potenze e logaritmi.
Limite di una successione: introduzione del numero e di Neper.
4. Calcolo differenziale.
Pendenza di un grafico: il concetto di derivata. Equazione della retta tangente.
Derivate fondamentali e cenno ai limiti notevoli. Regole algebriche di derivazione. Regola di derivazione delle funzioni composte.
Monotonia di una funzione e segno della derivata prima. Massimi e minimi
locali e assoluti.
Definizione di convessità; legame con il segno della derivata seconda (giustificazione geometrica).
Applicazione dei risultati precedenti allo studio qualitativo del grafico di una
funzione.
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5. Calcolo integrale.
Problema dell’area: definizione di integrale definito mediante somme integrali.
Proprietà dell’integrale.
Problema della primitiva: esempio mediante l’equazione differenziale della
crescita malthusiana di una popolazione. Teorema fondamentale del calcolo
integrale: giustificazione geometrica. Formula di calcolo di un integrale definito
mediante calcolo di una primitiva.
Tabella degli integrali fondamentali e sua estensione mediante la regola di
derivazione delle funzioni composte. Regola di integrazione per parti. Regola
di integrazione per sostituzione.
6. Statistica
Cenni di statistica descrittiva. Popolazione statistica. Campionamento. Dati
qualitativi (o categorici) e quantitativi. Frequenze assolute e relative; densità.
Rappresentazioni grafiche.
Misure di centralità: media e mediana. Misure di dispersione: varianza
campionaria e deviazione campionaria standard; quartili e distanza interquartile. Cambiamenti di scala e traslazioni per media e varianza.
Cenni di Probabilità. Quadro probabilistico: spazio campionario, eventi, introduzione del concetto di probabilità. Prime proprietà.
Conteggi: principio delle scelte indipendenti, permutazioni, disposizioni e
combinazioni. Coefficienti binomiali.
Probabilità condizionata; principio delle “probabilità totali”. Formula di
Bayes e applicazioni.
Eventi indipendenti. Schema successo/insuccesso (con rimpiazzo; cenno al
caso senza rimpiazzo).
Variabili aleatorie. Variabili aleatorie discrete. Leggi di probabilità e funzioni
di ripartizione. Leggi binomiali B(n, p). Media e varianza di una variabile
aleatoria. Media di somma e prodotto. Varianza di una somma di variabili
aleatorie indipendenti.
Variabili aleatorie (assolutamente) continue. Leggi esponenziali. Legge normale standardizzata N (0, 1). Leggi N (µ, σ 2 ). Tabella della distribuzione normale cumulata (P (Z ≤ z)). Calcolo di P (X ≤ x) per X variabile aleatoria
N (µ, σ 2 ) (passaggio ai valori standardizzati).
Teorema centrale del limite (X n ∼ N (µ, σ 2 /n)). Intervalli di confidenza.
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