esercizi di geometria solida

ESERCIZI DI GEOMETRIA SOLIDA
1. Di due rette a e b, assegnate nello spazio ordinario, si sa soltanto che sono ortogonali alla
medesima retta p.
(a) É possibile che a e b siano parallele?
(b) É possibile che a e b siano ortogonali?
(c) Le rette a e b sono comunque parallele?
(d) Le rette a e b sono comunque ortogonali?
2. Vero o falso? (sono vere due affermazioni)
(a) Se due rette non hanno punti in comune allora non esiste un piano che le contenga
entrambe.
(b) Se non esiste alcun piano che contenga due rette date allora tali rette non hanno punti in
comune.
(c) Condizione necessaria e sufficiente affinchè una retta sia parallela ad un paino è che essa
sia parallela ad infinite rette del piano.
(d) Se una retta a è sghemba rispetto ad una retta b e questa è sghemba rispetto ad una retta
c allora a e c sono sghembe tra loro.
(e) Tre piani a due a due incidenti e paralleli ad una retta r passano tutti per una stessa retta.
3. Qual è il luogo delle rette che hanno distanza d prefissata da una retta r dello spazio?
4. Data una sfera ed un punto P ad essa esterno, qual è il luogo delle rette per P ad essa tangenti?
5. Quanti spigoli ha un ottaedro?
6. Calcolare il rapporto fra le superfici totali del cubo inscritto e di quello circoscritto ad una
stessa sfera.
h√ i
7. Qual è il volume di un cubo di diagonale d? 93 d3
8. Un cono e un cilindro hanno lo stesso √
volume e la stessa altezza. Qual è il rapporto tra il
raggio del cono e quello del cilindro? [ 3]
9. L’altezza di un cono circolare retto è doppia del raggio r di una
√ sfera e i due solidi sono
equivalenti. Calcolare la misura del raggio di base del cono. [r 2]
10. La differenza tra i volumi di due sfere è
della superficie delle due sfere. [9π; π]
13
3 π
ed il rapporto tra i raggi è 13 . Calcolare l’area
11. Un parallelepipedo retto ha per base un rombo con un angolo di 60◦ e l’altezza congruente al
doppio della diagonale maggiore della base.
√ Esprimere in funzione del lato l del rombo la
superficie totale e il volume del solido. [9 3l2 ; 3l3 ]
12. Due prismi regolari, uno esagonale e uno triangolare, sono equivalenti; l’altezza del primo è 2/3
di quella del secondo; determinare il rapporto fra le superfici laterali dei due prismi,
sapendo
che il lato di base e l’altezza del prisma triangolare sono rispettivamente 4a e h. 23
13. Nota la misura
s2 della
h√
i superficie totale di un cubo, calcolare la misura della diagonale e il
√
2
6 3
volume. 2 s; 36 s
14. In una piramide retta che ha per base un quadrato di lato l le facce laterali sono inclinate di
◦
45
sul2 piano√di base. 1Trova
l’area della superficie totale ed il volume della piramide.
S = l (1 + 2); V = 6 l3
1
15. Un cono equilatero e un cilindro equilatero
h√ √ ihanno la stessa superficie totale; trovare il rapporto
fra i loro raggi e fra i loro volumi.
2; 36
16. Un cono equilatero e un cilindro equilatero
hanno
hp √ √
i lo stesso volume; trovare il rapporto fra i
3
3
12
loro raggi e fra le superfici totali.
2 3; 2
17. Determinare il volume del solido
dalla rotazione di un triangolo equilatero di lato l
generato
attorno ad uno dei suoi lati. π4 l3
18. Data una sfera di raggio r dimostrare che la superficie totale del cono equilatero inscritto, del
cilindro equilatero inscritto, della sfera, del cilindro equilatero circoscritto, del cono equilatero
circoscritto stanno tra loro come 9 : 12 : 16 : 24 : 36.
19. In un parallelepipedo rettangolo la base ha dimensioni 5 e 12 e la diagonale del parallelepipedo
forma con il piano di base un angolo α tale che sen α = 54 .Trova la superficie totale ed il
volume del solido. S = 2128
3 ; V = 1040
20. I centri delle facce di un
sono i vertici di un ottaedro regolare. Qual è il rapporto tra i
cubo
volumi dei due solidi? 16
21. Provare che la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso
circoscrtta come 3 sta a 4.
22. Due tetraedri regolari
tali che il rapporto tra le loro superfici vale 2. Calcolare il rapporto
√ sono
tra i loro volumi. 2 2
23. Calcolare il rapporto tra il volume di un ottaedro regolare e quello della sfera circoscritta. π1
h √ i
24. Calcolare il rapporto tra il volume di un ottaedro regolare e quello della sfera inscritta. 3 π 3
25. Trovare
la misura dell’angolo
h
√ i diedro del tetraedro regolare e dell’ottaedro regolare.
1
arccos 3 ; 2 arccos 33
26. Calcolare il rapporto tra le due parti in cui un cubo è suddiviso da un piano passante per i
punti medi dei tre spigoli uscenti dallo stesso vertice. [1 : 47]
27. Sia l il latohdel tetraedro
regolare. Trova in funzione di l la superficie totale e il volume del
√ 3 √18 i
2
tetraedro. l 3; l 36
28. Una
√ misura
√ a, ha la superficie totale di
√ piramide regolare a base esagonale, il cui lato di base
6 3a2 . Trova l’apotema e l’altezza della piramide. 23 3a; 6a
29. Determina il rapporto tra la superficie della sfera inscritta
in un cubo di spigolo l e la
superficie della sfera circoscritta allo stesso cubo. 13
30. Il trapezio ABCD ha DC come base minore e AB come base maggiore. Si sa inoltre che:
AB̂C = 30◦ , DÂB = 90◦ e AD = DC = a .Trova:
(a) il volume del
che si ottiene ruotando il trapezio di un angolo giro attorno alla base
h solido
√ i
πa3 (3+ 3)
maggiore.
3
(b) il volumeh del solido
che si ottiene ruotando il trapezio di un angolo giro attorno alla base
√ i
πa3 (3+2 3)
minore.
3
31. Dimostra che un solido formato da un cubo di spigolo l e sormontato da una piramide retta a
base quadrata coincidente con quella del cubo e altezza l, è equivalente a un parallelepipedo
rettangolo di base uguale a quella del cubo e altezza pari a 43 l.
32. Una piramide e un prisma retto hanno basi equivalenti e il volume della piramide è la metà
del
volume del prisma. Calcola il rapporto tra l’altezza della piramide e l’altezza del prisma. 23
2
33. Dimostra che un cubo di spigolo l è equivalente a un prisma retto di altezza l che ha per base
un triangolo isoscele di base 2l e altezza l.
3