Note Tavola 2
1. Media geometrica e armonica
Nel Libro V degli Elementi di Euclide viene esposta la teoria generale delle proporzioni che
fu applicata a molti campi della matematica come: la geometria, l’aritmetica e anche alla
musica. Molto prima di Euclide, Pitagora ottenne da tre numeri a, b, c con a<c, ben 10
relazione in cui b era definita come media di a e b. Le tre medie più importanti erano
1) (b-a)/(c-b)=a/a
2) (b-a)/(c-b)=a/b
3) (b-a)/(c-b)=a/c
da cui b=(c+a)/2
che è la media aritmetica (ba);
da cui b = ac
che è la media geometrica (bg);
da cui b=2 a c /(c+a) che è la media armonica (bar);
E’ facile verificare che esistono le seguenti due relazioni equivalenti tra queste tre medie
ba bar = c ⋅ a
ba ⋅ bar = bg2
(1)
La prima e seconda relazione della (1) , scritte sotto forma di proporzioni diventano
a : ba = bar : c
ba : b g = b g : bar
Inoltre, dalla relazione della media geometrica si ha la proporzione
a:b=b:c
Su quest’ultima proporzione si basa una costruzione grafica per il calcolo della media
geometrica tra due numeri.
Nel Libro III della Collezione di Pappo, fu presentata una costruzione grafica per il calcolo
delle medie aritmetica, geometrica e armonica entro un unico semicerchio.
Fig. 1: Media aritmetica, geometrica ed armonica
Sia AB=c , BC=a, e O è il punto medio di AC=c+a. Se si traccia un semicerchio di centro O e
raggio OA e da B si traccia la verticale fino ad incontrare il semicerchio nel punto D, si ha che
le lunghezze dei segmenti OD, BD e DE misurano, rispettivamente, la media aritmetica,
geometrica e armonica dei numeri (c,a).
La media aritmetica è per costruzione uguale a OD, che è il raggio del semicerchio. Il
triangolo ADC è rettangolo e i due triangoli ADB e BDC sono simili per cui
DB 2 = AB ⋅ BC = c ⋅ a → DB = bg = c ⋅ a
1
Se si considera la similitudine tra i triangoli ODB e EDB si ha
DB 2 = ED ⋅ OD → ED = bg2 / ba
→ ED = bar
Se il valore di a=1, la misura di DB è uguale alla radice quadrata di c. Per c>>1 e per ridurre
gli errori grafici nel calcolo della sua radice quadratasi si può assegnare ad a un valore, di cui
si conosce la radice quadrata, avente lo stesso ordine di grandezza di c, per cui si ha
DB = a c = Ra c
→
c = DB / Ra
Un altro metodo per ridurre gli errori grafici è scomporre c in due fattori c=c1*c2, dove c1 e c2
hanno lo stesso ordine di grandezza.
In Fig. 2 è riportata la costruzione grafica per il calcolo della radice quadrata di 150.
Abbiamo posto a=100 , e si è ottenuto il valore di 122,47/10=12,247, che ovviamente
coincide col valore calcolato numericamente, perché l’errore grafico della costruzione è molto
piccolo. In Fig. 2 abbiamo calcolato graficamente anche la media armonica tra c=150 e
a=100, ottenendo il valore preciso di 120.
Fig. 2: Calcolo grafico delle medie geometrica, armonica e radice quadrata di un numero
Fig. 3: Radice quadrata di c=150=15*10
2. Divisione armonica di un segmento AB
La divisione armonica di un segmento consiste nel trovare un suo punto interno C ed un punto
esterno D, situato sul prolungamento del segmento, tale che sia soddisfatto il rapporto
AC AD
=
=k
CB BD
(1)
Esistono infiniti punti C e D che soddisfano tale rapporti, infatti se per semplicità indichiamo
con x=AC e y=AD dalla (1) si ha
2
x
(2)
2 x − AB
Se si fissa il punto C allora il punto dalla (2) è univocamente determinato e viceversa. Per
una scelta di x si ha che il rapporto della (1) è dato da
x
k=
AB − x
x( y − AB ) = ( AB − x ) y →
y = AB
Dalla (1) si osserva che se si considera il segmento CD si ha che il punto interno B e quello
esterno A lo dividono armonicamente con lo stesso rapporto k.
Se si fissa k, la divisione armonica è univocamente determinata perché si ha
k
k
x = AB
e y = AB
1+ k
k −1
Una costruzione grafica che permette di determinare i punti armonici di un segmento si basa
sulla Prop. 3 del VI Libro degli Elementi ( Euclide). Tale proposizione dimostra che in un
triangolo ABP la bisettrice dell’angolo APB interseca il lato AB in C, tale che
AC AP
=
=k
CB BP
Se si traccia la bisettrice anche dell’angolo supplementare esterno BPE, si ha che essa
interseca il prolungamento di AB in D, tale che
AD AP
=
=k
BD BP
pertanto dalla (1) si ha che i punti C e D sono i punti armonici di AB.
Una costruzione grafica che permette di determinare i punti armonici di un segmento si basa
sulla Prop. 3 del VI Libro degli Elementi ( Euclide). Tale proposizione dimostra che in un
triangolo ABP la bisettrice dell’angolo APB interseca il lato AB in C, tale che
E
P
A
C
B
D
Fig. Costruzione grafica dei punti armonici Ce D del segmento AB
Se si assegnano il segmento e il rapporto k, occorre costruire il triangolo ABP, dove AP=kBP
e facendo in modo da soddisfare la relazione sui lati di un triangolo AP+BP>AB.
2) Birapporto di Pappo
Nella proposizione 129 del libro VII della Collezione di Pappo, apparve per la prima volta
l’invarianza del birapporto, ottenuto da una retta che taglia altre quattro rette convergenti
verso un punto. Siano date quattro rette convergenti in P, e siano P1,P2,P3 e P4 i punti di
intersezione con la retta a, si ha che per qualsiasi altra retta è costante il birapporto
3
P1 P3 P1 P4
:
=k
P2 P3 P2 P4
E’ possibile esprimere l’invarianza del birapporto anche in altri modi come
P1 P2 P1 P4
:
= k1
P2 P3 P3 P4
P
b
P1
P2
P3
a
P4
Pertanto se i punti P2 e P4 sono punti armonici del segmento P1P3 si ha che k1=1.
P
P1
A
P2
C
P3
B
a
P4
D
Utilizzando l’invarianza del birapporto è possibile ottenere i punti armonici di un segmento se
sono dati i punti armonici di un altro segmento.
Siano C e D i punti armonici del segmento AB, e P1P3 un segmento di cui si vogliono
conoscere i suoi due punti armonici. Si tracci a piacere una retta a a cui appartiene il
segmento P1P3 , e le rette per i punti A , P1 e B, P3 che si intersecano in P. Si traccino le rette
CP e DP, che intersecano la retta a, rispettivamente, in P2 e P4. Ebbene per l’invarianza del
birapporto i punti P2 e P4 sono i punti armonici del segmento P1 P3.
4. Cerchio di Apollonio
Apollonio di Perga ( III Sec a.C.) fu uno dei più grandi geometri greci, il cui trattato più
famoso fu le Coniche, che per circa 1800 anni fu ritenuto il trattato più completo scritto sulle
coniche. Apollonio definì il cerchio anche come luogo di punti le cui distanze tra due punti
fissi stanno in un assegnato rapporto k.
4
Se si considera la costruzione dei punti armonici si osserva che il rapporto delle distanze del
punto P da A e B è assegnato, e le due bisettrici tracciate da P sono tra di loro perpendicoli,
dunque il triangolo CPD è un triangolo rettangolo in P. Se si costruisce un differente triangolo
ABP con lo stesso rapporto k sui lati, cioè AP=kBP, si ha che i punti armonici sono sempre C
e D, come sarà ancora rettangolo il nuovo triangolo CPD.
Ebbene, dalla proprietà dei triangoli rettangoli inscritti in un semicerchio ne consegue che il
luogo dei punti di P è un cerchio, avente diametro CD. Tale cerchio viene indicato come
cerchio di Apollonio.
Se si risolve analiticamente il problema e per semplicità si assume il punto A come origine del
sistema cartesiano e B=(xB,0) si ha
k2
k2
x 2 + y 2 = k 2 ( x − xB ) 2 + y 2 → x 2 + y 2 − 2x xB 2
= − x B2 2
k −1
k −1
che è l’equazione di un cerchio, i cui centro e raggio sono
k2
k
,
x0 = x B 2
R = xB 2
k −1
k −1
Questo cerchio interseca l’asse x nei punti C e D che hanno ascisse
k
k
, D = x0 + R = x B
C = x0 − R = x B
k +1
k −1
Pertanto, le distanze dei segmenti CB e BD sono
1
1
CB = x B
, BD = x B
k +1
k −1
E’ facile di nuovo verificare che i punti C e D sono i punti armonici del segmento AB.
Per tracciare il cerchio di Apollonio per un assegnato k e due punti A e B, si costruiscano i
punti armonici del segmento AB, siano essi C e D. Il cerchio di Apollonio avrà come centro il
punto medio del segmento CD e diametro uguale a CD.
[
]
Un’interessante applicazione del cerchio di Apollonio può essere quella di risolvere il
seguente problema: Siano A e B due navicelle nello spazio che hanno un moto rettilineo
uniforme con un certo rapporto k>1 tra le velocità VA=kVB. Nota la distanza tra A e B, e la
direzione della navicella B, quale direzione deve avere A per poter incontrare B.
Il loro punto di incontro sarà situato sul cerchio di Apollonio, per cui se a è l’inclinazione
della traiettoria di B sulla retta AB, la navicella A deve avere una traiettoria avente
inclinazione b sulla retta AB data da
k sin β = sin(π − α )
5. Trisettrice di Ippia
Ippia di Elide fu un geometra che visse ad Atene nella seconda metà del V secolo a.C. e cercò
di risolvere con riga e compasso il problema della trisezione di un angolo. Egli traccio una
curva ottenuta dall’intersezione tra una retta orizzontale che trasla in modo uniforme e una
retta che ruota anche essa in modo uniforme. Se OA la retta che ruota attorno ad O e AB la
retta che trasla, si deve avere che quando la retta OA ruota di 90° la retta AB è traslata fino ad
OC. Pertanto per ottenere i punti della curva occorre dividere l’angolo COA=90° in un
numero di angolo uguali, e il segmento OA in uno stesso numero di intervalli. Sia N il
numero delle suddivisioni e se si numera a partire da A sia gli intervalli tra OA e sia gli
angoli, si ha che l’intersezione tra le corrispondenti rette di traslazione e rotazione
determinano i punti della trisettrice di Ippia.
5
Un modo per calcolare l’equazione analitica della trisettrice è risolvere il problema
dell’intersezione tra una retta orizzontale che si sposta in senso verticale con moto uniforme e
la retta passante per l’origine che ruota con moto uniforme attorno all’origine. Nelle
condizioni iniziali la retta orizzontale passa per A ed è data da AB, mentre la retta che ruota
passa per OA. Quando la retta AB si sovrappone a OC anche la retta OA ruota di 90° e si
sovrappone anche essa a OC.
In Fig. 1 è riportata la costruzione.
Fig. 1 : Trisettrice di Ippia
Se indichiamo con a=OA e con t il parametro che rappresenta il movimento delle due rette si
ha
π
y = (1 − t ) a
y = x tg (α ) dove α = (1 − t )
2
dove a è l’inclinazione della retta che ruota rispetto all’asse x.
Dalla prima equazione si ha
⎛π y ⎞
1−t = y / a
che sostituito nella seconda equazione y=y(x) ci da y = x tg ⎜ ⎟
⎝ 2a ⎠
Per calcolare l’intersezione della curva con l’asse x occorre considerare il limite per y→0,
perché per y=0 il valore di x non è definito
x = y / tg (
πy
2a
) →
x = lim
y →0
y
dy / dy
1
2a
= lim
= lim
=
2
0
0
y
→
y
→
tg (πy / 2a )
d (tg (πy / 2a )) / dy
(π / 2a ) cos (πy / 2a ) π
Pertanto il segmento OG è una misura di p, di ciò si rese conto anche Menecmo (350 a.C.),
che fu maestro di Alessandro Magno, che la curva di Ippia poteva essere utilizzata anche per
risolvere l’altro grande problema della geometria greca , che era quello della quadratura del
cerchio. Infatti, la trisettrice di Ippia viene anche indicata come quadratrice di Ippia.
Purtroppo la curva di Ippia non veniva costruita con riga e compasso, per cui i due problemi
della quadratura del cerchio e della trisezione di un angolo non furono risolti con riga e
6
compasso. Solo nel XIX secolo Gauss dimostrò che questi due problemi non potevano essere
risolti con riga e compasso.
6. Sezione Aurea
I primi ben documentati studi sulle proprietà geometriche della sezione aurea, che
apparvero magiche ed esoteriche, furono di Pitagora (580-500 a.C.), la cui Scuola aveva per
motto “Tutto è numero”.
Le diagonali del pentagono permettono di definire diversi triangoli isosceli, che risultano
simili tra di loro, in particolare se si considerano i triangoli simili AA1B e BDE si ha
BE DE BA1
=
=
BA1 AA1 A1 E
36°
B
A
(1)
E'
C
D'
O
A1
E
D
Figura 1: Pentagono stellato
Se si considera la diagonale AD del pentagono si osserva che essa divide la diagonale BE in
due segmenti BA1 e A1E tali che il rapporto tra la diagonale e il segmento maggiore BA1 è
uguale al rapporto tra il segmento maggiore e il minore A1E. La precedente costruzione
permette di dividere una linea in media ed estrema ragione e il segmento maggiore BA1 viene
indicato come “sezione aurea” della linea BE. Se indichiamo con d0 la lunghezza della
diagonale e con x la sua sezione aurea, il valore di x è dato dalla soluzione algebrica
dell’equazione di secondo grado
d0
x
=
x d0 − x
→ x 2 + x d 0 = d 02
da cui
x=
d0
(− 1 ± 5 ) = d1
2
(2)
Per BE =d0=1 si ha che una soluzione della (2) è uguale a BA1=d1=0.618034…, mentre l’altra
soluzione in valore assoluto è 1/BA1=1.618034…. Spesso in letteratura il numero irrazionale
rappresentato da 1/BA1 è indicato con F in onore dello scultore Fidia, che fu tra i primi a
utilizzare tale numero nelle proporzioni delle sculture decorative del Partenone. Se si
analizzano le dimensioni e proporzioni del Partendone si consta che i suoi progettisti (Ictino e
Callicrate), pur conoscendo le proprietà della sezione aurea perché il Partenone fu costruito
verso gli anni 440 a.C., non la utilizzarono come criterio di progetto. Alcune volte si indica
come sezione aurea il valore di f =BA1 = 1/F, mentre spesso i matematici indicano con t
(taglio) la sezione aurea.
7
Euclide, nelle Proposizioni 11 (Libro II) e 30 ( Libro VI) degli Elementi, propose un metodo
grafico per la soluzione della (2) e iterando la costruzione grafica ottenne dei rettangoli aurei,
i cui rapporti tra il lato maggiore e quello minore era uguale a F .
Se si considerano gli angoli della Figura 1 è possibile trovare una relazione tra la sezione
aurea e un altro importante numero irrazionale che è p. Infatti, si ha che l’angolo
EBD=36°=p/5, per cui se si pone BE=1 si ha
ED=ϕ=2 sin(p/10)
Pertanto, in un triangolo isoscele, i cui angoli sono (72°,36°,72°), il rapporto tra il lato e la sua
base è uguale alla sezione aurea, tale triangolo è detto aureo.
Se si considera un decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio R, la lunghezza
del suo lato è uguale a
(4)
l10 = R ⋅ 2 sin(π / 10) = R ⋅ ϕ
per cui il rapporto tra il raggio della circonferenza e il lato del decagono inscritto risulta essere
uguale a F . Mentre, il lato e la diagonale di un pentagono regolare e il raggio della sua
circonferenza circoscritta sono legate dalle seguenti relazioni
l5 = d 0 ⋅ ϕ
d 0 = 2 R cos(π / 10) → l5 = 2ϕ ⋅ R ⋅ cos(π / 10)
Tenuto conto che il lato di un esagono è uguale al raggio della circonferenza circoscritta
l6 = R
, si ha dalle precedenti equazioni che
l102 + l62 = l52 = R 2 ⋅ (3 − Φ )
(5)
per cui i lati di un decagono, esagono e pentagono iscritti in una circonferenza di raggio R
sono i lati di un triangolo rettangolo.
Tale teorema fu dimostrato da Euclide nella Proposizione 9 del Libro XIII.
Una soluzione grafica che permette di calcolare la sezione aurea di una linea è riportata nella
parte superiore della Fig. 2,dove OA0=d0 è la linea data. Se si pone OB= d0/2 si ha BC=BA0 =
d0SQRT(5)/2, per cui OA1=OC=BC-OB= d0(SQRT(5)-1)/2=d1 è il valore della sezione aurea
di d0.
C
A0
O
B1
A1
C
B
O
A1
Fig.2 : I Costruzione grafica sezione aurea
A0
B1
Fig. 3: II Costruzione grafica sezione aurea
8
Nella parte inferiore della Fig. 2 è riportata la soluzione negativa della (2), che per comodità
si riporta sulla parte destra per avere valori positivi delle lunghezze, dove si ottiene la linea
OB1= d0(SQRT(5)+1)/2=d0 F , che rappresenta la linea la cui sezione aurea è d0=0A0.
In fig. 3 è riportata un’altra costruzione dove CA0=OA0/2, il segmento OA1 è la sezione aurea
della linea OA0, oppure OB1 è la linea avente per sezione aurea il segmento OA0.
Nella Fig. 4 è riportata la costruzione grafica proposta da Euclide, che permette di ottenere la
linea OB1 la cui sezione aurea è il segmento OA0.
Fig.4: Costruzione grafica di Euclide per la sezione aurea
7. Spirale aurea
Euclide osservò che gli archi di circonferenza, tracciati per ottenere i rettangoli aurei,
individuano una spirale logaritmica, che viene indicata come spirale aurea. Le diagonali
congiungenti i vertici dei rettangoli aurei, che non sono punti di tangenza della spirale
aurea, si intersecano tutte in un punto, che è il centro della spirale aurea, indicato dal
matematico C.A. Pickover come “occhio di Dio”, perché la spirale tende al suo centro solo
per un numero infinito di iterazioni. Si osserva che la forma della spirale si conserva sia verso
dimensioni infinitesimali sia verso dimensioni infinite e quindi potrebbe essere un modello di
crescita per la simulazione di molti fenomeni naturali in cui la proprietà di auto-somiglianza
deve essere soddisfatta. Se il rettangolo aureo ABCD ha BC=F e quindi AB=1, si ha che i
raggi dei raccordi che formano la spirale hanno lunghezza uguale a
Ri = Φ i
− ∞ < i < +∞
per
Per i<1 la spirale è contenuta nel rettangolo ABCD e se i → - ∞ la spirale tende verso il suo
centro. Ovviamente, per avere da un rettangolo aureo di dimensione minore è sufficiente
sottrarre al dato rettangolo aureo un quadrato avente per lato il suo lato minore.
La proprietà di auto-somiglianza è una delle tante legate alla sezione aurea, che è soddisfatta
anche per i triangoli e gnomoni aurei. Se si considera la Fig. 1 e la bisettrice EC dell’angolo
alla base del triangolo aureo BDEI si ottengono il triangolo aureo e uno gnomone aureo.
Analogamente, se si divide l’angolo al vertice (108°) dello gnomone aureo ABE in due
angoli di ampiezza di 72° e 36° si ottengono il triangolo aureo AA1B e lo gnomone aureo
AA1E.
9
La semplice costruzione per ottenere rettangoli aurei maggiori o minori è simile ad un’altra
costruzione riguardante i formati ISO dei fogli di disegno, anche in questo caso il numero che
interviene è un numero irrazionale (sqrt(2)).
Fig.5: Spirale aurea ottenuta dai rettangoli aurei
8. Pentagono e decagono regolare
R=C
R
D
La costruzione grafica del pentagono regolare ( Fig. 1), proposta da Tolomeo, è quella
riportata negli attuali testi di disegno, dove i segmenti DE, OE e OD sono , rispettivamente i
lati del pentagono , esagono e decagono regolari. Il punto C è il punto medio del segmento
AO, il segmento CE è uguale a CD.
Questa costruzione gli permise di calcolare le corde di 36° e 72°, utili per le tavole
trigonometriche.
D
P
A
C
O
E
B
Fig. 1 :Costruzione del pentagono e decagono (Tolomeo)
Utilizzando la costruzione grafica della sezione aurea è possibile avere un’altra costruzione in
cui si ottiene sia il pentagono sia il decagono regolare. Tale costruzione è riportata in Fig. 2,
dove si è posto R=100 il raggio del cerchio circoscritto al pentagono e al decagono regolare.
10
Il segmento AB è uguale al lato del decagono, mentre la corda AD= F. La corda ED è il
cateto del triangolo rettangolo ADE, per cui si ha
ED 2 = R 2 [4 − Φ 2 ] = R 2 (3 − Φ)
e per la (5) si ha che la corda ED è uguale al lato del pentagono regolare.
Costruzione pentagono e decagono regolari (Santoro)
Fig. 2 :Costruzione del pentagono e decagono (Santoro)
11
