Prof. Fernando D’Angelo. a.s. 2010/11 . PLS11. Sezione aurea e lato del decagono regolare. TRIANGOLO ISOSCELE CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°. Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD e da questo risulta che: AC : BC = BD : DC 36° e dunque: ⎛ −1 + 5 ⎞ ⎜ ⎟L ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ AC : AD = AD : DC Pertanto: L AB = AC = L 108° L BC = BD = AD = ϕ ⎛ −1+ ⎜ 2 AC ⎜⎝ DC = = ϕ 1+ 2 (− 1 + 5 ) = ⎛ −1+ 5 ⎞ ⎟L = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 5⎞ ⎟L ⎟ ⎠ = −1+ 5 L = 1+ 5 5 2 5 −1 L= 72° 36° 36° H 72° ⎛ −1 + 5 ⎞ ⎜ ⎟L ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 6−2 5 3− 5 L= L 4 2 Applicazione: calcolo delle funzioni goniometriche degli angoli 18° , 72° ⎛ −1+ 5 ⎞ ⎟L ⎜ ⎟ 4 BH ⎜⎝ ⎠ = cos 72° = = BA L 5 −1 = sin 18° 4 2 ⎛ 5 −1⎞ 16 − 6 + 2 5 10 + 2 5 ⎟ = sin 72° = 1 − cos 72° = 1 − ⎜⎜ = = cos 18° ⎟ 16 4 ⎝ 4 ⎠ 2 sin 72° = tg 72° = cos 72° = tg18° = 10 + 2 5 10 + 2 5 10 + 2 5 4 = = = 2 5 −1 6 − 2 5 5 −1 4 ( ) 5+ 5 3+ 5 15 + 5 5 + 3 5 + 5 ⋅ = = 9−5 3− 5 3+ 5 20 + 8 5 = 5 + 2 5 = cot g18° 4 1 = cot g18° 1 5+2 5 = 5−2 5 5 1 Applicazione: lato del decagono regolare. Il lato del decagono regolare è la sezione aurea del raggio r della circonferenza circoscritta (basta considerare il triangolo ABC della pagina precedente). Pertanto: l10 = 5 −1 r 2 TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°. Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della pagina precedente. 72° 36° 36° 72° 108° 36° PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo. Il pentagono stellato è sicuramente la figura geometrica che più di ogni altra rappresenta la sezione aurea. E' forse per questo motivo che questo fu scelto come simbolo della scuola pitagorica. 2