sezione aurea2

Prof. Fernando D’Angelo. a.s. 2010/11 . PLS11. Sezione aurea e lato del decagono regolare.
TRIANGOLO ISOSCELE CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°.
Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72°
ciascuno, e l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo
alla base divide il lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in
due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti il
triangolo ABC è simile al triangolo BCD e da questo risulta che:
AC : BC = BD : DC
36°
e dunque:
⎛ −1 + 5 ⎞
⎜
⎟L
⎜
⎟
2
⎝
⎠
AC : AD = AD : DC
Pertanto:
L
AB = AC = L
108°
L
BC = BD = AD =
ϕ
⎛ −1+
⎜
2
AC ⎜⎝
DC =
=
ϕ
1+
2
(− 1 + 5 )
=
⎛ −1+ 5 ⎞
⎟L
= ⎜⎜
⎟
2
⎝
⎠
5⎞
⎟L
⎟
⎠ = −1+ 5 L =
1+ 5
5
2
5 −1
L=
72°
36°
36°
H
72°
⎛ −1 + 5 ⎞
⎜
⎟L
⎜
⎟
2
⎝
⎠
6−2 5
3− 5
L=
L
4
2
Applicazione: calcolo delle funzioni goniometriche degli angoli 18° , 72°
⎛ −1+ 5 ⎞
⎟L
⎜
⎟
4
BH ⎜⎝
⎠ =
cos 72° =
=
BA
L
5 −1
= sin 18°
4
2
⎛ 5 −1⎞
16 − 6 + 2 5
10 + 2 5
⎟ =
sin 72° = 1 − cos 72° = 1 − ⎜⎜
=
= cos 18°
⎟
16
4
⎝ 4 ⎠
2
sin 72°
=
tg 72° =
cos 72°
=
tg18° =
10 + 2 5
10 + 2 5
10 + 2 5
4
=
=
=
2
5 −1
6
−
2
5
5 −1
4
(
)
5+ 5 3+ 5
15 + 5 5 + 3 5 + 5
⋅
=
=
9−5
3− 5 3+ 5
20 + 8 5
= 5 + 2 5 = cot g18°
4
1
=
cot g18°
1
5+2 5
=
5−2 5
5
1
Applicazione: lato del decagono regolare.
Il lato del decagono regolare è la sezione aurea del raggio r della
circonferenza circoscritta (basta considerare il triangolo ABC
della pagina precedente).
Pertanto:
l10 =
5 −1
r
2
TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°.
Dato un triangolo isoscele i
cui angoli alla base misurano
36° ciascuno, e l’angolo al
vertice misura 108°, il lato
obliquo e la differenza tra la
base e il lato obliquo danno
vita a una sezione aurea.
Infatti il triangolo CDE è
simile al triangolo ABD
della pagina precedente.
72°
36°
36°
72°
108°
36°
PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO
CONTENUTI
All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due
diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un
triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con le
proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il
punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo
dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in
precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione
aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due
diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno
nel rapporto aureo.
Il pentagono stellato è sicuramente la figura geometrica che
più di ogni altra rappresenta la sezione aurea. E' forse per
questo motivo che questo fu scelto come simbolo della scuola
pitagorica.
2