Il sistema formale per l`aritmetica elementare

Il sistema formale per l’aritmetica elementare
Ogni teoria matematica usa una teoria degli insiemi ed una teoria
dei numeri.
La teoria dei numeri si può trattare all’interno della teoria degli
insiemi oppure come sistema formale.
Un primo tentativo risale a Peano e Dedekind, che hanno dimostrato
che la teoria dei numeri si può sviluppare, almeno per l’aritmetica
elementare, partendo dai seguenti simboli ed assiomi:
Segni logici: ,
,  che si leggono rispettivamente “implica”,
“appartiene”, “uguale”.
Termini non definiti: zero, successore, numero; N per la totalità dei
numeri naturali, “0” per il termine zero, “ ´ ” per il successore, “x  N”
per “x è un numero”. Allora il successore di 0 è 0´ , il successore di 0´
è (0´)´ e così via.
Assiomi:
P1. 0  N
“0 è un numero”
P2. x  N  x  N
“il successore di ogni numero è un numero”
P3. x  0
“ lo zero non è successore di alcun numero”
P4. x  y  x  y
“numeri diversi hanno successori diversi”
P5. ((0  K)  (x  N)( x K  x  K ))  ( N  K ) “Se una classe K
contiene 0 e se dal contenere x si deduce che contiene x, allora
K contiene N”
L’assioma P5 è noto come principio di induzione. Si osservi che, in
particolare, se K è la classe degli oggetti che godono di una certa
proprietà Q, si ha:
“se 0 ha la proprietà Q e se dalla validità di Q per x si deduce la
validità di Q per il successore x, allora Q vale per ogni numero
naturale.”
Esso si applica per dimostrare formule per i numeri naturali: ne
diamo un esempio.
Con questi assiomi si riesce a definire tutte le operazioni tra numeri,
usufruendo della teoria degli insiemi.
La teoria di Peano non è però così semplice come appare, poiché
richiede mezzi logici non tanto elementari della teoria degli insiemi.
Sulla falsariga degli assiomi di Peano, si può elaborare una teoria
formale dei numeri.