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Insiemi numerici
Numeri naturali
Un assioma è una proposizione o un principio che viene assunto come vero perché ritenuto evidente o
perché fornisce il punto di partenza di un quadro teorico di riferimento.
Un numero è una entità astratta usata per descrivere una quantità.
Assiomi di Peano
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Esiste un numero naturale, 0.
Ogni numero naturale a ha un numero naturale successore, denotato come S(a).
Non esiste un numero naturale il cui successore è 0.
Numeri naturali distinti hanno distinti successori: se a ≠ b, allora S(a) ≠ S(b).
Se una proprietà P è posseduta dallo 0 ed è posseduta anche dal successore di ogni numero
naturale che possiede la proprietà P, allora la proprietà P è posseduta da tutti i numeri naturali.
(Questo postulato è noto anche come principio di induzione)
Molti insiemi soddisfano questi assiomi , uno di questi è l’insieme dei numeri naturali
La seguente è una costruzione standard nella teoria degli insiemi per definire i numeri naturali:
Poniamo 0 = { }, l'insieme vuoto (∅)
L'insieme dei numeri naturali è allora definito come l'intersezione di tutti gli insiemi contenenti 0 che
sono chiusi rispetto alla funzione successione S
1= S(0)
2=S(1)= S(S(0))= {0,1}
3=S(2)=S(S(S(0)))= {0,1,2}
……………
…………....
Ogni numero naturale si costruisce a partire dal primo, lo zero, al quale si aggiunge via via il successivo. Di
conseguenza ogni numero costruito è sempre maggiore di tutti i suoi precedenti e quindi i numeri naturali
sono ordinati secondo una relazione d'ordine, che si rappresenta tramite il simbolo di disuguaglianza
,o
disuguaglianza stretta <.
Il numero naturale n+1, costruito a partire da n, si chiama successivo di n, mentre il numero naturale n-1 si
chiama precedente di n.
In matematica si usa il simbolo N (a volte scritto come ) per indicare l'insieme dei numeri naturali.
Gli elementi di N : 1 , 2 , 3 , 4 . . . sono infiniti. Quando viene considerato anche lo 0 la notazione è: N0 =
{0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5…….}
N nella storia serviva per contare, per i greci iniziava da 2. Gli indiani introdussero lo zero.
Si introduce lo zero per convenzione.
L’ operazione di addizione gode delle seguenti proprietà:

proprietà commutativa della somma: Per qualsiasi a,b
N: a+b=b+a .

proprietà associativa della somma: Per qualsiasi a,b,c
N: (a+b)+c=(c+a)+b .

esistenza dell’ elemento neutro per la somma; l'elementro neutro per l'addizione è lo 0, infatti per
esso vale:
Per qualsiasi a
N:
a+0=a.
L’ operazione di moltiplicazione gode di proprietà analoghe:

proprietà commutativa del prodotto: Per qualsiasi a,b
N: a.b=b.a

proprietà associativa del prodotto: Per qualsiasi a,b,c
N:(a.b).c=(c.a).b

esistenza dell’ elemento neutro; l'elementro neutro per l'addizione è il numero 1, infatti per esso
vale:
Per qualsiasi a N:
a.1=a.

Un numero naturale maggiore di uno che sia divisibile solamente per uno e per sé stesso si chiama numero
primo (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37……..)
Numeri Interi
L'insieme dei numeri interi viene introdotto al fine di rendere interna l'operazione di sottrazione tra numeri
e per tale ragione risulta essere un ampliamento di
.
L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z o , perché è la lettera iniziale di "Zahl"
che in tedesco significa numero.
Esso è dato da:
È possibile immaginare
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come ripartito nei tre sottoinsiemi:
formato dal solo 0;
formato dai numeri interi negati;
formato dai numeri interi positivi.
In questo modo possiamo vedere i numeri naturali come un sottoinsieme dei numeri interi.
Anche l'insieme dei numeri interi è infinito e totalmente ordinato; inoltre è ordinato in modo discreto. A
differenza di , l'insieme non possiede un primo elemento e inoltre non sempre un sottoinsieme di
possiede un numero minimo (per esempio l'insieme dei numeri dispari non ammette minimo).
In matematica, qualsiasi numero intero è o pari o dispari. Se è un multiplo di due, è un numero pari,
altrimenti, è un numero dispari.
L’insieme dei numeri interi gode delle stesse proprietà dei numeri interi :associativa, distributiva, esistenza
dell’elemento neutro ma in più nell’insieme dei numeri interi è sempre possibile effettuare l’operazione di
sottrazione tra gli elementi. ( si dice che l’insieme è chiuso rispetto all’operazione sottrazione)