Risposte esame - melfiweb, Melfi

SEZIONE 1
Si definiscano sinteticamente i seguenti termini anche con l’ausilio, se necessario, di formule e/o
grafici:
Teoria del consumatore
a) Elasticità incrociata al prezzo
E’ il rapporto tra la variazione percentuale della quantità domandata di un bene (X) e la
variazione percentuale del prezzo di un altro bene (Y).
b) Elasticità al reddito
E’ il rapporto tra la variazione percentuale della quantità domandata di un bene (X) e la
variazione percentuale del reddito (I) che l’ha provocata.
c) Pendenza del vincolo di bilancio
Px
e rappresenta il costo opportunità di x
Py
in termini di y (cioè indica a quante unità di y devo rinunciare per avere una unità di x in più)
In valore assoluto la pendenza del vincolo di bilancio è:
d) Costo opportunità
Il costo opportunità di un bene è dato dal valore del più prezioso t ra i beni alternativi ai quali si
rinuncia per averlo.
e) Bene inferiore
Un bene si dice inferiore se il suo consumo diminuisce con l’aumentare del reddito, ceteris paribus
f) Valore attuale
La cifra massima che sareste disposti a pagare oggi per avere diritto a riscuotere, a una data
scadenza futura, una certa somma di denaro.
g) Assioma di completezza
Dati due panieri di beni qualsiasi, il consumatore è sempre in grado di dire quale dei due
preferisce o se li considera equivalenti.
h) Bene di lusso
La definizione di bene di lusso è legata al concetto di elasticità della domanda al reddito,che
misura la sensibilità della domanda di un bene a variazioni nel reddito. Più precisamente, elasticità
della domanda al reddito è il rapporto tra la variazione percentuale della quantità domandata di
un bene e la variazione percentuale del reddito che l’ha provocata.
ε x ,I
∆x
∆x I
= x =
⋅
∆I
∆I x
I
Quando l’elasticità al reddito è positiva (∆X/∆I >0) e maggiore di 1, il bene si definisce “di lusso”.
All’aumentare del reddito la domanda del bene aumenta in modo più che proporzionale
2
Teoria dell’impresa
i) Costo marginale
E’ la variazione del costo totale dovuta alla produzione di un’unità aggiuntiva di prodotto. (Data la
funzione di costo Ctot= f(Y), il costo marginale è dato da: MC= dCtot/dY)
Può essere di lungo o breve periodo a seconda del costo totale che si sta considerando.
j) Rendimenti di scala decrescenti
Si hanno rendimenti di scala decrescenti quando, aumentando la quantità utilizzata di tutti i fattori
nella stessa proporzione, il prodotto aumenta meno che proporzionalmente. In termini analitici:
f (tL, tK ) < tf ( L, K ) .
k) Isocosto
E’ la curva che indica tutte le combinazioni di fattori per le quali il costo di produzione rimane
invariato.
l) Rendimenti marginali decrescenti
Si hanno quando il prodotto marginale di un fattore diminuisce al crescere della quantità utilizzata
dello stesso fattore, a parità di utilizzo degli altri fattori produttivi.
m) Tecnologia con fattori perfetti complementi
Nel caso dei perfetti complementi gli input, capitale e lavoro, devono essere utilizzati secondo una
proporzione fissa. q = min (αL, βK )
n) Saggio marginale di sostituzione tecnica
Indica in quale rapporto una data tecnologia consente di sostituire un fattore produttivo con un
altro. E’ pari all’opposto della pendenza dell’isoquanto.
o) Isoquanto
L’isoquanto è la curva indicante tutte le combinazioni di due inputs che consentono di ottenere lo
stesso volume di produzione.
p) Ricavo marginale
La variazione del ricavo totale dovuta alla vendita di un’unità aggiuntiva di prodotto.
Equilibrio economico generale
q) Primo teorema dell’economia del benessere
Stabilisce che l’allocazione raggiunta da un equilibrio concorrenziale è Pareto-efficiente.
r) Curva dei contratti
La curva dei contratti identifica l’insieme delle allocazioni Pareto-efficienti, ovvero quelle per cui
non è possibile migliorare la posizione di un soggetto senza peggiorare quella dell’altro.
Analiticamente corrisponde alla condizione che MRS A = MRS B, dove A e B sono i due soggetti.
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s) Secondo teorema del benessere
Se tutte le curve di indifferenza e tutti gli isoquanti sono convessi, per ogni allocazione di risorse
Pareto-efficiente esistono un insieme di prezzi e una distribuzione delle dotazioni iniziali che
consentono di raggiungere tale allocazione come un equilibrio economico generale concorrenziale.
Monopolio
t) Monopolio naturale
Il monopolio naturale è un’industria in cui un’unica impresa è in grado di produrre la quantità
domandata complessivamente a un costo medio inferiore rispetto a quello che dovrebbero
sostenere più imprese produttrici. Il monopolio naturale è dunque favorito dalla presenza di
economie di scala, vale a dire da costi medi decrescenti.
AC
Q
u) Discriminazione di prezzo perfetta.
Pratica che prevede di vendere ogni unità prodotta al prezzo che coincide esattamente con la cifra
massima che ciascun consumatore è disposto a pagare per quell’unità.
Teoria dei giochi - Ologopolio
v) Equilibrio di Nash
Un equilibrio di Nash di un gioco è un profilo di strategie tale che ogni giocatore massimizza la
propria utilità date le scelte dei propri avversari.
Scelte in condizioni di incertezza
w) Avversione al rischio
Un individuo è avverso al rischio se preferisce un pagamento certo ad uno incerto con uguale
valore atteso (rifiuta sempre una scommessa equa). La funzione di utilità di un individuo avverso al
rischio è concava nella ricchezza totale.
x) Amore per il rischio
Un individuo è amante del rischio se ad un pagamento certo ne preferisce uno incerto con uguale
valore atteso (accetta sempre una scommessa equa). La funzione di utilità di un individuo amante
del rischio è convessa nella ricchezza totale.
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y) Equivalente certo.
In presenza di una scommessa cui viene associata un’utilità attesa, l’equivalente certo è quel valore
che se garantito con certezza rende l’agente indifferente tra il partecipare o meno alla scommessa.
Informazione asimmetrica ed esternalità
z) Esternalità positiva
Si ha un’esternalità positiva quando il comportamento di un so ggetto ha un effetto positivo sul
benessere di altri, senza che questi ultimi lo ricompensino per i benefici ottenuti.
aa) Esternalità negativa
Si ha un’esternalità negativa quando il comportamento di un soggetto ha un effetto negativo sul
benessere di altri, senza che questi ultimi vengano ricompensati dal primo per i danni subiti.
bb) Selezione avversa
Fenomeno per cui, in presenza di asimmetria informativa su caratteristiche nascoste, i soggetti che
appartengono alla parte più informata del mercato si autoselezionano in un modo che risulta
dannoso per i soggetti che appartengono alla parte meno informata.
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SEZIONE 2
Si stabilisca se i seguenti enunciati sono veri, falsi, o incerti (cioè veri solo sotto ipotesi restrittive
non contenute nell’enunciato). Si fornisca una spiegazione della risposta. [La spiegazione è più
importante della corretta classificazione]
Teoria del consumatore
a) Nello scegliere come allocare il tempo disponibile tra tempo libero e tempo dedicato al lavoro,
un individuo razionale deciderà sempre di lavorare di più in seguito ad un aumento del salario. Falso. Se il tempo libero è un bene normale, in seguito all’aumento del salario si ha un aumento
dell’offerta di lavoro per effetto di sostituzione, ma una diminuzione dell’offerta di lavoro per
effetto di reddito. L’effetto complessivo è dunque incerto e, se prevale l’effetto reddito, l’offerta di
lavoro potrebbe anche diminuire in seguito un aumento del salario.
b) In un modello biperiodale di scelta di consumo in cui il risparmio è soggetto ad una tassa sugli
interessi, una riduzione della tassa genera sempre un aumento dell’offerta di risparmio da parte di
un individuo risparmiatore. Falso. Una riduzione della tassa sugli interessi equivale ad un aumento del tasso di interesse attivo,
in seguito al quale, se il consumo presente è un bene normale, un individuo risparmiatore è portato
a risparmiare di più per effetto di sostituzione, ma anche a risparmiare di meno per effetto di
reddito. L’effetto complessivo è dunque incerto. L’offerta di risparmio aumenta solo se prevale
l’effetto di sostituzione.
c) Un consumatore ha una funzione di utilità definite da u(x,y)= x + y. Il prezzo del bene x è 0.5 e
il prezzo del bene y è 1. Il reddito del consumatore è 10. Se il prezzo del bene x sale a 2, la
variazione nella domanda del bene x è interamente dovuta all’effetto sostituzione. –
Vero. I paniere ottimale passa da (20,0)( punto A) a (0,10) (punto C). L’effetto sostituzione è dato
dal passaggio dal punto A al punto B, mentre l’effetto reddito è dato dal passaggio dal punto B al
punto C. Solo il passaggio dal punto A al punto B implica una variazione non nulla nella domanda
del bene x.
y
Curve di indifferenza
B
Vincolo di bilancio compensato
Vincolo di bilancio finale
C=(0,10)
Vincolo di bilancio iniziale
A=(20,0)
6
x
d) “Se vengono consumati due beni e il consumatore spende tutto il suo reddito, non è possibile
che entrambi i beni siano beni inferior i”.
Vero. Difatti se il reddito aumenta, il consumo di entrambi i beni dovrebbe diminuire ma ciò
contraddice l’assunzione, derivante dal principio di non sazietà, che tutto il reddito venga speso.
e) “Se il tempo libero è considerato un bene inferiore, una riduzione del salario fa sempre
diminuire la quantità di ore di lavoro offerte dagli individui”.
Vero. Per l’effetto di sostituzione, l’offerta di lavoro si riduce. Per l’effetto di reddito, la domanda
di tempo libero aumenta (essendo questo un bene inferiore), sicché l’offerta di lavoro diminuisce.
Perciò, col tempo libero bene inferiore, l’effetto di sostituzione e quello di reddito vanno nella
stessa direzione e provocano una diminuzione dell’offerta di lavoro.
f) Per un individuo mutuatario, un calo del tasso di interesse ha un effetto ambiguo sul suo livello
di indebitamento.
Falso. Se il consumo presente è un bene normale, sia l’effetto di reddito che l’effetto di sostituzione
vanno nella direzione di aumentare il consumo corrente, e quindi l’indebitamento.
g) La curva di Engel è sempre inclinata positivamente.
Falso. La curva di Engel è inclinata positivamente nel caso di beni normali, ed inclinata
negativamente nel caso di beni inferiori
h) Un consumatore ha una funzione di utilità definita da u(x,y)= min { x , y} . Il prezzo del bene x è
0.5 e il prezzo del bene y è 1. Il reddito del consumatore è 10. Se il prezzo del bene x sale a 2, la
variazione nella domanda del bene x è interamente dovuta all’effetto di sostituzione.
E’ esclusivamente l’effetto di reddito che modifica la domanda dei due beni. L’effetto sostituzione è
dato dal passaggio da A a B, cioè è nullo dato che i due punti coincidono. Solo il passaggio a C
implica una variazione non nulla della domanda del bene x, e tale variazione è dovuta all’effetto di
reddito.
y
Vincolo di bilancio compensato
10
A=B
p x = 0.5
C
5
20
x
px = 2
i) Se un bene è considerato inferiore, una diminuzione della tassa sul reddito non servirà a
stimolarne la domanda.
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Vero. La diminuzione della tassa genera un incremento del reddito disponibile per il consumo. Nel
caso di beni inferiori, all’aumentare del reddito diminuisce la domanda. Quindi, il provvedimento
non stimola la domanda del bene, anzi ne produce una riduzione.
Teoria dell’impresa
j) Data una funzione di produzione y = min(L,K), una variazione del prezzo di uno dei due fattori
produttivi non ha effetto sulla combinazione di fattori utilizzata per produrre una data quantità di
output, ma solo sul costo complessivo di produzione. Vero. Poiché si tratta di una tecnologia in cui i fattori produttivi sono perfetti complementi, la
combinazione economica efficiente dei fattori produttivi è sempre quella corrispondente al vertice
della curva di indifferenza corrispondente al livello di produzione desiderato. Il costo di
produzione, invece, varia al variare del prezzo dei fattori: aumenta quando questi aumentano e
diminuisce in caso contrario.
k) La funzione di produzione y = L + K è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. - Parziale 6
Aprile 2004 (v/f. c, turno B)
Vero. f (tL, tK ) = tL + tK = t ( L + K ) = tf ( L, K )
l) In una funzione di produzione del tipo Y=f(L,K)=min(L,K), dove Y è l’output e L e K i due
fattori produttivi, i rendimenti di scala sono sempre costanti. Vero o falso? Si motivi la risposta. Vero, in questo caso i rendimenti di scala sono costanti: infatti, considerato un numero qualsiasi h,
si ha: min(hL; hK) = h*min(L;K) = hY.
I costi – L’impresa che non fa il prezzo
m) Per un’impresa che non fa il prezzo, nel breve periodo, data la situazione illustrata nel grafico
sottostante la scelta migliore è non produrre nulla. – Generale 8 Giugno 2004 (v/f. b)
P
Costo medio
totale, ovvero,
nella terminologia
Costo Marginale (sia
economico che e
contabile)
del K-R: Costo
medio contabile:
AFE
Costo medio
variabile, ovvero,
P*
nella terminologia
del K-R: Costo
medio
economico: AC
Quantità
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Falso. Non producendo nulla l’impresa consegue una perdita contabile superiore rispetto a
produrre la quantità in corrispondenza della quale il prezzo è uguale al costo marginale. Il punto
di chiusura per un’impresa che non fa il prezzo, nel breve periodo, è identificato dalla condizione
P<AC, dove AC è il costo medio variabile (ovvero: il costo medio economico).
n) Per un’impresa che no n fa il prezzo, nel breve periodo, data la situazione illustrata nel grafico
sottostante la scelta migliore è non produrre nulla.
€
Costo
marginale
Costo medio
totale
Costo medio
variabile
P*
Quantità
Vero, entrambi i costi medi minimi sono superiori al prezzo di mercato, quindi l’impresa non
produce sia nel breve che nel lungo periodo.
o) Se i costi marginali sono sempre superiori ai costi medi, la tecnologia è caratterizzata da
diseconomie di scala.
Vero. Quando i costi marginali sono superiori ai costi medi, questi ultimi sono crescenti. Costi
medi crescenti denotano diseconomie di scala.
L’equilibrio nei mercati concorrenziali
p) In un’industria in concorrenza perfetta la curva di offerta di mercato di breve periodo e di lungo
periodo sono crescenti.
Falso (incerto). La curva di offerta di breve periodo è sempre crescente, mentre la curva di offerta
di lungo periodo può essere costante, crescente o decrescente a seconda dell’andamento dei prezzi
dei fattori.
q) Un’impresa in concorrenza perfetta, nel breve periodo, ottiene profitti nulli. Falso. In equilibrio di breve periodo un’impresa in concorrenza perfetta produce ad un livello per
cui P = MC > AC , quindi i profitti sono positivi.
r) Nel caso in cui la curva di domanda di mercato sia perfettamente rigida e quella di offerta sia
inclinata positivamente, un’accisa che colpisce i consumatori modifica il prezzo e la quantità di
equilibrio.
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Falso. In questo caso, la curva di offerta non si sposta e la curva di domanda di mercato dovrebbe
spostarsi verso il basso. Essendo la curva di domanda perfettamente verticale il prezzo e la
quantità di equilibrio non variano.
Equilibrio economico generale
s) “Se valgono tutte le ipotesi del teorema di Coase, l’assegnazione dei diritti di proprietà è
irrilevante dal punto di vista dell’efficienza ma non da quello dell’equità”.
Vero. Sotto le ipotesi del teorema di Coase, l’assegnazione dei diritti di proprietà all’una o all’altra
delle parti è irrilevante dal punto di vista dell’efficienza, ma non da quello dell’equità: i diritti di
proprietà hanno valore economico e assegnarli ad una parte piuttosto che all’altra modifica la
distribuzione del reddito.
t) In un’economia di puro scambio operano due persone Luca e Victoria, che hanno a disposizione
complessivamente 100 mele e 100 arance. Se Luca e Victoria hanno le stesse preferenze allora in
equilibrio Luca e Victoria consumeranno la stessa quantità di beni.
Falso/Incerto. Dipende dall’allocazione iniziale. Consideriamo un’allocazione iniziale in cui tutte
le mele e tutte le arance sono detenute da Victoria. Se le preferenze soddisfano l’assioma di non
sazietà e sono regolari l’unica allocazione d’equilibrio è quella iniziale.
Monopolio
u) Il sovrappiù totale (benessere sociale) è massimo in concorrenza perfetta e in monopolio qualora
il monopolista applichi una discriminazione di prezzo perfetta. - Parziale 8 Giugno 2004 (v/f. c, turno B)
Vero. Infatti con discriminazione perfetta la quantità complessivamente venduta è uguale a quella
di concorrenza perfetta. Il sovrappiù totale è perciò uguale a quello di concorrenza perfetta, cioè è
quello massimo. Qui accade però che il monopolista si appropria di tutto il sovrappiù del
consumatore.
v) Un’impresa monopolista in equilibrio non produce mai una quantità in corrispondenza del tratto
inelastico della curva di domanda.
Vero. In fatti in corrispondenza del tratto della curva di domanda con elasticità minore di uno il
ricavo marginale è negativo.
w) Un’impresa che opera in regime di monopolio all’aumentare della produzione incrementa i
propri ricavi in misura inferiore al prezzo dell’ultima unità venduta.
c)
Vero. Per vendere una unità addizionale del bene, il monopolista deve ridurre il prezzo applicato
su tutte le unità, anche quelle inframarginali (la disponibilità a pagare dei consumatori è
decrescente). Quindi, al maggiore ricavo per l’unità addizionale venduta si contrappone un minore
prezzo ricavato sulle unità che si vendevano anche in precedenza. Per un monopolista, dunque, un
aumento unitario di produzione genera un ricavo pari a: prezzo dell’unità addizionale – perdita di
ricavo sulle unità inframarginali.
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Teoria dei giochi - Oligopolio
x) Un equilibrio perfetto nei sottogiochi è sempre anche un equilibrio di Nash. Vero. Un equilibrio nei sottogiochi è un equilibrio di Nash a cui aggiungere la credibilità delle
minacce (o delle promesse)
y) Un equilibrio di Nash è sempre un equilibrio in strategie dominanti Falso. E’ un equilibrio in strategie dominanti che è sempre un equilibrio di Nash.
z) In un settore in cui si compete sulle quantità, due imprese si dividono sempre a metà il mercato.
Falso, dipende dalla struttura dei costi delle due imprese. Se il duopolio è simmetrico allora le
imprese si dividono sempre a metà il mercato. Nel caso in cui invece sostengano costi marginali
diversi l’impresa con costi più elevati produrrà in equilibrio una quantità inferiore rispetto alla
concorrente.
aa) “In un equilibrio di Cournot, le imprese si spartiscono sempre a metà il mercato.” Vero o
falso? Si motivi la risposta.
Falso, dipende dalla struttura di costi che hanno le due imprese. Se la funzione di costo è la stessa,
allora si avranno funzioni di reazione simmetriche e quindi la stessa quota di mercato. Se invece le
funzioni di costi sono diverse, allora si avranno anche funzioni di reazione differenti e diversi
quantità prodotte.
Scelte in condizioni di incertezza
bb) “Se il premio al rischio per un soggetto è strettamente positivo, allora questi sarà sicuramente
avverso al rischio”.
Vero. Il premio al rischio è definito come la differenza tra il valore atteso di una lotteria e il suo
equivalente certo: Premio al rischio=EV-EC. Se il premio al rischio è >0 allora EV>EC, e tale
condizione individua i soggetti avversi al rischio.
cc) Se un individuo investiva tutto il suo reddito in azioni un aumento del rendimento atteso delle
azioni non muterà la sua scelta.
Vero, se l’individuo investiva in azioni il rendimento atteso più che compensava il premio per il
rischio. Un aumento ulteriore del rendimento delle azioni (coeteris paribus) non potrà mutare le
scelte d’investimento dell’individuo.
Informazione asimmetrica ed esternalità
dd) Attraverso la segnalazione si risolve il problema della selezione avversa e si torna all’efficienza
raggiunta nel caso di informazione perfetta.
Falso. L’acquisizione del segnale comporta un costo, che non si sarebbe dovuto sostenere con
informazione perfetta. Tale costo rappresenta quindi una perdita di efficienza (soluzione di “second
best”).
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SEZIONE 3
Teoria del consumatore
Esercizio 1 Considerate la scelta di un genitore che deve decidere quanto spendere nell’istruzione della propria
figlia e quanto in altri beni. Si denoti con X il numero di ore di lezione effettuato dalla figlia e con Y
tutti gli altri beni. Il prezzo di tutti gli altri beni è unitario ( pY = 1 ). Il costo di 1 ora di lezione è di €
6, e il reddito del genitore è di € 900 mensili. Le preferenze del genitore sono rappresentate dalla
funzione di utilità:
U ( X , Y ) = XY 2
a) Scrivete il vincolo di bilancio del genitore e indicatelo nel seguente grafico, indicando intercette
e pendenza.
In generale il vincolo di bilancio è:
p X X + pY Y = I
Nel nostro caso:
6 X + Y = 900
Y = 900 − 6 X
Le intercette sono date da
X = 0 → Y = 900
(0;900 ) intercetta verticale
Y = 0 → X = 150
(150;0 ) intercetta orizzontale
p
La pendenza è:
− X = −6
pY
Y
900
-6
X
150
b) Trovate l’equilibrio e rappresentatelo nel grafico precedente.
Anzitutto, calcoliamo il saggio marginale di sostituzione:
2
MU
X = Y = Y
MRS
=
Y, X
MU
2 XY 2 X
Y
La scelta ottima del consumo è data dalla soluzione del sistema composto dalla condizione di
ottimo e dal vincolo di bilancio:
12
P

 MRS
= X
Y, X
P

Y

 p X X + pY Y = I
 Y
=6

 2X
6 X + Y = 900
Y = 12 X

6 X + 12 X = 900
Y = 12 ⋅ 50 = 600

 X = 50
E (50;600)
Y
900
600
E
X
150
c) Supponete che il go verno ritenga importante che le ore di istruzione mensili dei propri cittadini
siano almeno 60, e che a tal fine dia un sussidio in somma fissa a ciascuna famiglia pari a € 90, che
le famiglie sono libere di spendere come vogliono. Riuscirà il governo a raggiungere il proprio
scopo?
50
Di fatto il governo ha aumentato di 90 il reddito della famiglia. Risolvendo come al punto
precedente:
 Y
=6
Y = 12 X

X = 55 < 60
 2X

6
X
+
12
X
=
990

6 X + Y = 900 + 90
Il governo non raggiunge l’obiettivo.
d) Calcolate il sussidio minimo che il governo deve dare per indurre la scelta X = 60 e
rappresentate il vecchio e il nuovo equilibrio nel grafico sottostante.
Sulla base del ragionamento precedentemente svolto:
 Y
 2X = 6
Y = 12 X


g = 18 ⋅ 60 − 900 = 180
6 X + 12 X = 900 + g
6 X + Y = 900 + g
 X = 60
 X = 60



Il sussidio minimo è pari a 180.
Abbiamo cos un nuovo vincolo di bilancio con un nuovo livello del reddito
6 X + Y = 1080
Le intercette sono date da
X = 0 → Y = 1080 (0;1080 ) intercetta verticale
Y = 0 → X = 180
(180;0 ) intercetta orizzontale
p
La pendenza è:
− X = −6
pY
13
Y
1080
900
E’
600
E
50 60 150 180
X
Esercizio 2 Matteo, laureando in Ingegneria, riceve un’offerta di lavoro che prevede un contratto per due anni,
con un reddito nel primo anno I0 = 20, ed un reddito nel secondo anno I1 = 33.
a) Sapendo che Matteo può prendere e dare a prestito ad un tasso di interesse i = 0,10 e indicando
con C0 e C1 il consumo nel primo e nel secondo anno, rispettivamente, si scriva il vincolo di
bilancio di Matteo e lo si rappresenti graficamente, indicando i valori delle intercette, della
pendenza e della dotazione iniziale.
C0 + (C1 /1,1) = 20 + (33/1,1)
C1 = -1,1 C0 + 55 (VDB)
Pendenza = -1,1
Intercette: C0 = 0→ C1 = 55 (0;55) intercetta verticale
C1 = 0→ C0= 50 (50;0) intercetta orizzontale
C1
55
33
D
E
27,5
20
25
C0
b) Supponendo che la funzione di utilità di Matteo sia U (C0 , C1 ) = C01/ 3C11 / 3 , si calcoli MRS C1C 0 , si
trovi il punto di equilibrio e lo si rappresenti nel grafico precedente. Matteo è risparmiatore o
mutuatario?
14
MRSC1C0 = MU C0 /MU C1 = C 1 /C0
C1
= 1,1
C0
C1 = -1,1 C0 + 55
C1 * = 27,5
C0 * = 25
Matteo è mutuatario perché C0 * > I0
c) Supponete, ora, che lo stato introduca un’imposta t = 0,05 proporzionale agli interessi attivi
(cioè agli interessi percepiti sulla somma prestata da chi risparmia). Come si modifica il vincolo di
bilancio? Scrivete il nuovo vincolo di bilancio e disegnatelo nel grafico precedente.
iR = 0,1 (1-0,05) = 0,095 (tasso d’interesse quando è risparmiatore)
iM = 0,1 (tasso d’interesse quando è mutuatario)
Nuovo vincolo di bilancio è una spezzata:
C0 + (C1 /1,1) = 20 + ( 33/1,1) C0 >20
C0 + (C1 /1,095) = 20 + ( 33/1,095) C0 <20
d) Determinate il nuovo punto d’equilibrio e rappresentatelo nel grafico precedente, specificando
se il comportamento di Matteo varia rispetto al punto b). [Non è necessario effettuare calcoli]
L’equilibrio non varia rispetto al caso precedente, così come il comportamento di Matteo, che
continua ad essere mutuatario, come al punto b)
Esercizio 3 Giovanni vuole emanciparsi dalla famiglia e deve scegliere come allocare il proprio reddito annuale
(pari a € 18000) tra l’affitto di una casa grande X mq. e il consumo di tutti gli altri beni (Y). Il
prezzo di ogni mq. affittato è di € 200, mentre pY = 1 . Le preferenze di Giovanni sono rappresentate
dalla funzione di utilità:
U ( X , Y ) = X 2Y
a) Scrivete il vincolo di bilancio di Giovanni e rappresentatelo nel seguente grafico, indicando
intercette e pendenza.
In generale il vincolo di bilancio è:
p X X + pY Y = I
Nel nostro caso:
200 X + Y = 18000
Y = 18000 − 200 X
Le intercette sono date da
X = 0 → Y = 18000 (0;18000 ) intercetta verticale
Y = 0 → X = 90
(90;0 ) intercetta orizzontale
15
pX
= −200
pY
b) Quanto sarà grande l’appartamento scelto da Giovanni e quanto spenderà di affitto all’anno?
−
La pendenza è:
Y
18000
-200
X
90
Rappresentate l’equilibrio nel grafico precedente.
Anzitutto, calcoliamo il saggio marginale di sostituzione:
MU
X = 2 XY = 2 Y
MRS
=
Y, X
MU
X2
X
Y
La scelta ottima del consumo è data dalla soluzione del sistema composto dalla condizione di
ottimo e dal vincolo di bilancio:
P

 Y
= X
 MRS
Y = 100 X
Y = 200 ⋅ 60 = 6000
2 = 200
Y, X
P

 X


Y
 X = 60
p X + p Y = I
200 X + Y = 18000 200 X + 100 X = 18000
 X
Y
E (60;6000)
Spesa in affitto: S = 200 ⋅ 60 = 12000€
Y
18000
6000
E
60
90
X
c) I genitori di Giovanni ritengono troppo piccolo l’appartamento che il figlio vorrebbe affittare e
decidono di regalargli 6000 € che possono essere spesi esclusivamente per l’affitto
16
dell’appartamento. Disegnate il nuovo vincolo di bilancio di Giovanni e individuate, sia
analiticamente che graficamente, il nuovo equilibrio.
Si ha uno spostamento a destra del vincolo in quanto i 6000 € donati costituiscono un incremento di
reddito. Il tratto tra il punto A e l’asse verticale è orizzontale in quanto i 6000 € non possono essere
spesi in tutti gli altri beni. Con i 6000 € Giovanni può pagare l’affitto di 30 mq. mantenendo intatto
il reddito iniziale. Analiticamente:
Y = 18000 per X < 30

200 X + Y = 24000 per X ≥ 30
 Y
Y = 100 X
2 = 200
 X

200 X + Y = 24000 200 X + 100 X = 24000
Y = 8000

 X = 80 > 30
Y
A
18000
E’
8000
30
80
120
X
d) Cosa sarebbe cambiato nella scelta di Giovanni se i genitori no n avessero posto alcuna
restrizione sull’equilibrio sull’utilizzo dei 6000 €? (Non sono richiesti calcoli).
L’equilibrio sarebbe rimasto invariato, poiché si trova sul tratto del vincolo di bilancio non
interessato dal vincolo di utilizzo (cioè a destra di A).
Esercizio 4 Matteo, studente di Ingegneria, deve scegliere tra consumo (c) e tempo libero (n). Egli percepisce
una borsa di studio mensile fissa e pari a 1000 Euro e lavora come barista, ricevendo un salario
orario w = 10 Euro.
a) Sapendo che la dotazione di tempo di Matteo è di 50 ore al mese e che pc = 1, si scriva il
vincolo di bilancio di Matteo e lo si rappresenti graficamente, indicando chiaramente i valori della
pendenza e delle intercette.
Pc c + w n = w T + M
c + 10 n = 500 + 1000
17
c = -10 n + 1500 (VDB)
pendenza = -10
Intercette: n = 0 → c = 1500 (0; 1500) è l’intercetta verticale
c = 0 → n = 150 ma, dal momento che T = 50, l’intercetta orizzontale sarà (50;0)
Il VDB sarà dunque una spezzata:
c
1500
1250
1200
1000
E
E'
30 50
150
250
n
1
4
b) Supponendo che la funzione di utilità di Matteo sia U (n, c ) = n 5 c 5 , si calcoli MRS cn , si trovi il
punto di equilibrio (n*, c*) e lo si rappresenti nel grafico precedente. Quante ore al mese deciderà di
lavorare Matteo?
MRScn= MU n /MU c =
1c
= 10
4n
c = -10 n + 1500
1c
4n
c* = 1200
n* = 30
l* = 50-30 = 20
c) Matteo riceve una brutta notizia dal padrone del bar, che gli riduce il salario orario da 10 a 5
Euro. Come si modifica il vincolo di bilancio? Si scriva l’espressione analitica del nuovo vincolo di
bilancio e lo si rappresenti nel grafico precedente, indicando chiaramente i valori della pendenza e
delle intercette.
pc c + w’n = w’T + M
c + 5 n = 250 + 1000
c = -5 n + 1250 (nuovo VDB)
pendenza = -5
Intercette: n = 0 → c = 1250 (0; 1250) è l’intercetta verticale
c = 0 → n = 250 ma, dal momento che T = 50, l’intercetta orizzontale sarà (50;0)
Il VDB sarà nuovamente una spezzata
(si noti che l’intersezione tra il vecchio e il nuovo vincolo avviene in corrispondenza di (50; 1000))
d) Si determini il nuovo punto di equilibrio. Matteo lavora di più o di meno rispetto al punto b)?
c** = 1000
1c
=5
n** = 50
4n
l** = 50-50 = 0 Matteo lavora di meno rispetto al punto b) infatti
c = -5 n + 1250
impiega l’intera dotazione di tempo in tempo libero
18
Esercizio 5 Alessia ha 16 anni, e consuma esclusivamente libri (X) e concerti musicali (Y). Il prezzo unitario dei
libri è pari a 4 euro e quello dei concerti 7. Inoltre le preferenze di Alessia per questi due beni
possono essere rappresentate dalla seguente funzione di utilità:
U(X,Y)=X0,3Y0,7
a) Scrivete e rappresentate il vincolo di bilancio sapendo che il reddito di cui dispone Alessia è di
280 euro settimanali, indicando chiaramente le intercette e l’inclinazione.
Y
F
28
A
U
21
E
X
Sostituendo nell’equazione generale del vincolo di bilancio PxX + PYY = I i dati del problema, si
ottiene 4X + 7Y = 280. La pendenza del vincolo di bilancio di Alessia è data da –4/7, mentre le
intercette orizzontale e verticale sono rispettivamente date da E = 280/4 = 70 e F = 280/7 = 40.
b) Quale sarà il paniere ottimo scelto da Alessia? Derivate analiticamente la quantità ottima
consumata dei due beni e fornitene una rappresentazione nel grafico precedente.
In questo caso, il saggio marginale di sostituzione è dato da MRS Y,X = MUX/MUY = 3Y/7X.
Eguagliando l’MRS con il rapporto fra i prezzi e mettendo a sistema con il vincolo di bilancio si
ottiene:
4
 3Y
=
 X = 21

⇒
 7X 7
Y = 28
4 X + 7Y = 280
Nel grafico, l’equilibrio è indicato con la lettera A.
c) Alessia riceve dai genitori un aumento della paghetta settimanale ed il suo nuovo reddito sarà
pari a 320 euro. Come varierà la quantità di libri e concerti che Alessia vorrà acquistare? Calcolate
il nuovo equilibrio e rappresentatelo graficamente.
Il nuovo sistema che ci consente di determinare l’equilibrio di Alessia (punto B nel grafico)
diventa:
4
 3Y
=
 X = 24

⇒
 7X 7
4 X + 7Y = 320 Y = 32
19
Y
B
32
24
X
d) Supponete ora che Alessia, invece di ottenere un aumento della paghetta, possa ricevere in
regalo dai genitori 10 libri (Alessia non può rivendere i libri che le vengono regalati). Quale delle
due alternative sarà la preferita da Alessia?
Dati i prezzi di mercato, 10 libri hanno un valore di 40. Poiché quando il reddito viene aumentato
di 40, Alessia decide in equilibrio di consumare solo tre libri in più, un trasferimento in natura di
uguale valore aumenta l’utilità di Alessia sicuramente meno del trasferimento monetario. Quindi
Alessia preferirà l’aumento della paghetta.
Esercizio 6 Gianni è uno studente universitario. Per mantenersi agli studi, Gianni riceve dai genitori una rendita
mensile pari a M = 30; tuttavia, egli ha anche la possibilità di lavorare. La dotazione di tempo
rispetto al quale può scegliere se lavorare o dedicarsi alle proprie attività del tempo libero è T =
120, mentre il salario orario è pari a w = 3/2.
a) Si scriva l’espressione analitica del vincolo di bilancio, e lo si rappresenti graficamente
indicando le intercette e la pendenza del vincolo di bilancio.
Il vincolo di bilancio è dato da C = (T – N)w + M se N ∈ [0 , 120] (dove N indica il tempo libero).
Sostituendo:
C = (120 – N)·3/2 + 30
C = 210 – (3/2)N
Graficamente:
C
210
105
E
30
pendenza = -3/2
70
120
N
20
b) Si determinino i valori del consumo e delle ore dedicate al lavoro sapendo che la funzione di
utilità di Gianni ha la seguente espressione analitica: U(C,N) = C 1/2 ·N 1/2 (dove C è il consumo ed N
il tempo libero). Si rappresenti l’equilibrio nel grafico precedente.
Data la funzione di utilità, l’MRS è uguale a
MU N C
= . Il sistema che occorre risolvere è il
MU C N
seguente:
3

C = 105
C = 210 − 2 N
C = (T − N ) * w + M

⇒
⇒  N = 70

 MRS = w
C = 3
lavoro = 50

 N 2
Il punto di equilibrio corrisponde al punto E nel grafico al punto a).
c) Supponete ora che i genitori di Gianni vogliano evitare che il proprio figlio lavori, e per questo
motivo aumentino la rendita M, portandola a 60. Riusciranno i genitori nel loro scopo?
In questo caso, il sistema da risolvere risulta essere il seguente:
C = 120
3

C
=
240
−
N


240

2
⇒ N =
= 80

3
C = 3

 N 2
lavoro = 120 − 80 = 40
I genitori, quindi, non raggiungeranno il loro scopo perché Gianni continuerà a lavorare (anche se
meno ore che nel caso precedente)
d) Qual è il valore minimo della rendita M per cui Gianni sarebbe disposto a non lavorare?
Occorre trovare quel valore di M per cui N=120 risulta la soluzione ottima. Quindi il sistema da
risolvere diventa:
3

C = (120 − 120) 2 + M
C = 180
⇒

M = 180
 C =3
120 2
I genitori quindi dovranno incrementare la rendita fino a 180 per indurre Gianni a non lavorare.
Esercizio 7 Un consumatore è appassionato di frutta (F) e gelati (G). I prezzi dei beni che può acquistare sono
rispettivamente: PF = 4 per la frutta e PG = 2 per i gelati. Ha a disposizione un reddito pari a I =
100, mentre la sua funzione di utilità è rappresentata da U = F0,4 G 0,6
a) Scrivete l’equazione del vincolo di bilancio e disegnatelo, indicando chiaramente intercette e
pendenza.
Il vincolo di bilancio è: 4F + 2G = 100 ð G = 50 – 2 F
21
G
(I/pG) = 50
E
G = 50 – 2 F
pendenza = –2
F
(I/pF) = 25
b) Calcolate le quantità consumate di frutta (F*) e di gelati (G*).
La condizione di ottimo è:
MRSG,F = MU F/MU G = PF/PG
il calcolo viene semplificato dalla presenza di una funzione Cobb-Douglas:
(0.4/0.6) ·(G/F) = 2 ð G = 3F
sostituisco questo valore nel vincolo di bilancio:
4F+ 2(3F) = 100 ð 4F + 6 F= 100 ð F* = 10
ð G* = 30
Il consumo di equilibrio è E (10, 30).
c) Ricavate la funzione di domanda della frutta (F) in corrispondenza del livello del reddito I=100.
La funzione di domanda dei singoli beni, nel caso di una Cobb-Douglas, è data da: F = 0.4
(I/P F) che, in corrispondenza di I=100, diventa F= 40/P F
Oppure:
(0.4/0.6) ·(G/F) = PF/2
G =(¾) PF/F
F = 100/P F –(2/ PF )G
F =100/P F –(3/2)F
F=40/ PF
d) Calcolate l’elasticità al prezzo della frutta ( eF) nel punto di equilibrio.
L’elasticità al prezzo si deriva dalla funzione di domanda:
eF = |(dF/dp)·(p/F)|
dF/dp = –40/(P F)2
ð eF = |–40/(P F)2 ·PF/(40/P F)| ð eF = 1, elasticità unitaria
Esercizio 8 A Tommaso è offerto un contratto a tempo determinato per due anni. Il contratto prevede una
retribuzione di 800 euro e di 1220 il secondo. Tommaso può prendere e dare a prestito ad un tasso
d'interesse di mercato pari al 10% (i=0,1). Denotiamo con C0 il consumo presente e con C1 il
consumo futuro (i prezzi dei beni di consumo sono costanti e uguali ad 1).
a) Scrivete il vincolo di bilancio intertemporale in valore futuro di Tommaso e rappresentatelo
graficamente, indicando chiaramente le intercette, la pendenza e il paniere delle dotazioni D.
22
C0 (1+i)+ C1 = I0 (1+i)+I1
C1 =I1 + (1+i ) (I0 -C0 )
C1 = 2100 - C0 (1,1)
A=2100
B=2100/1,1
Pendenza α= -(1+i)= -1,1
C1
A
D
1220
E
800
B
C0
b) Le preferenze di Tommaso sono espresse dalla seguente funzione di utilità intertemporale:
U (C0 , C1 ) = min{ C0 , C1} . Determinate i livelli ottimali di consumo nei due periodi. E disegnate sul
grafico il paniere di equilibrio.

C0 = C1

C
=
2100
- C 0 (1,1)
 1
ð C1=2100- C1(1,1) ð 2,1C1=2100
ð C1=1000 e C0 =1000
c) Tommaso dà o prende a prestito in equilibrio? Calcolate l'ammontare eventualmente dato o
preso a prestito.
Tommaso è mutuatario perché nel primo periodo consuma più di quanto guadagna. Prende a
prestito un importo pari a C0-I0 =200.
d) Ipotizzate che il tasso d’interesse aumenti e che il nuovo tasso sia pari al 20% (i=0,2). Come si
modifica la condizione di Tommaso? Darà o prenderà a prestito? (Non è necessario fare calcoli.)
Tommaso prenderà a presto qualunque sia il tasso di interesse in quanto la retta dei panieri di
equilibrio è a sinistra del punto di dotazione iniziale.
Esercizio 9 Lorenzo è uno studente di dottorato. Egli spende tutto il suo reddito in due soli beni: manuali di
econometria (X) e tavolette di cioccolato (Y). La funzione di utilità di Lorenzo è data da
U(x,y) = 10x + y.
Il prezzo dei manuali di econometria è di 20 Euro, mentre il prezzo delle tavolette di cioccolato è di
1 Euro.
a) Che relazione sussiste fra i due beni nelle preferenze di Lorenzo?
I due beni sono perfetti sostituti
b) Scrivete e rappresentate nel grafico sottostante il vincolo di bilancio di Lorenzo sapendo che il
reddito di cui dispone è di 800 Euro al mese, corrispondente alla sua borsa di studio. Indicate
chiaramente le intercette e l’inclinazione.
23
y
800
E
pendenza=-20
40
x
Analiticamente, il vincolo di bilancio è dato da 20x+y=800, la pendenza è pari 20 in valore
assoluto, e le intercette verticali ed orizzontali sono rispettivamente 800 e 40. Il vincolo è
rappresentato dalla linea in grassetto.
c) Quale sarà il panie re ottimo scelto da Lorenzo? Derivate analiticamente la quantità ottima
consumata dei due beni e fornitene una rappresentazione nel grafico precedente.
La soluzione sarà una soluzione d’angolo. Occorre confrontare l’ MRS con il rapporto fra i prezzi.
In questo caso:
p
MRS yx = 10 < 20 = x
py
Di conseguenza, Lorenzo deciderà di consumare solo tavolette di cioccolato. In equilibrio, x * = 0 e
800
y* =
= 800
1
L’equilibrio è rappresentato dal punto E.
d) Insoddisfatto della performance degli studenti di dottorato italiano, il Ministero dell’Istruzione
decide di introdurre un sussidio per l’acquisto di libri scientifici. Allo stesso tempo, però, per
finanziare la riforma, decide di ridurre la borsa di studio per gli studenti di dottorato. Dopo la
riforma, il prezzo dei manuali di econometria diventa 12 Euro, mentre l’ammontare della borsa di
studio (che costituisce l’unica fonte di reddito per Lorenzo) è pari a 750 Euro. Ritenete che Lorenzo
sarà favorevole o contrario alla riforma?
Nel nuovo equilibrio,
p
MRS yx = 10 < 12 = x
py
Di conseguenza, Lorenzo continuerà di consumare solo tavolette di cioccolato. In equilibrio,
750
x* = 0 e y* =
= 750 .
1
24
Poiché il consumo di x è rimasto inalterato, ed il consumo di y si è ridotto, Lorenzo vede la sua
utilità ridotta in equilibrio, e quindi sarà contrario alla riforma.
Esercizio 10 Giulio è un dottorando. Le sue fonti di reddito sono una borsa di studio finanziata dal Ministero
dell’Istruzione pari a K e la possibilità di offrire ripetizioni in statistica. Il salario orario è w e il
numero massimo di ore che può lavorare in un giorno è 16. Giulio spende il suo reddito per
acquistare un bene di consumo, il cui prezzo è p C . Ogni giorno Giulio deve scegliere quante ore
lavorare e quante ore dedicare allo studio (sia N il numero di ore dedicate alla ricerca e L il numero
di ore lavorate).
a) Si scriva il vincolo di bilancio di Giulio e lo si rappresenti graficamente indicando chiaramente
intercetta e pendenza.
C
K
w
+ 16
pC
pC
36
−
6
w
pC
16
K
+ 16
w
N
K + w (16 − N ) = pC C
 K
w w
+ 16
N =C

−
pC  pC
 pC
b) Si assuma che la funzione di utilità di Giulio sia U (C , N ) = C 3 / 4 N 1/ 4 . Si determini il saggio
marginale di sostituzione tra consumo ed ore dedicate alla ricerca.
MRSN , C =
MU N 1 C
=
MU C 3 N
c) Si supponga che w = 2 , K = 16 e p C = 1 . Quante ore di ripetizione offrirà Giulio e quanto
consumerà? Rappresentate graficamente la soluzione trovata.
w 2
1 C
3 N = p = 1

C
16 + 2 (16 − N ) = C

C = 6 N

 48 − 2 N = C
48

=6
N =
8

C = 36
d) Insoddisfatto della performance (in termini di ricerca) degli studenti di dottorato, il Ministero
dell’Istruzione decide di introdurre un sussidio giornaliero per tutti gli studenti di dottorato (S).
25
Qual è il valore minimo del sussidio tale per cui Giulio si dedicherà esclusivamente alla ricerca
(N=16)?
1 C = 2

3 N 1
16 + S + 2 (16 − N ) = C

C = 6 N

C
=
6
N


S

6+ = N

16
+
S
+
2
16
−
N
=
C
(
)


8
S
Dove N deve essere uguale a 16, quindi 6 + = 16 . Dalla precedente espressione ricaviamo che S
8
deve essere almeno pari a 80.
Esercizio 11 Dante dispone di un reddito pari a 1000 Euro, che impiega per l’acquisto di libri (L) e di visite ai
musei cittadini (M), i cui prezzi rispettivi sono PL = 5 e PM = 4.
a) Scrivete l’espressione del vincolo di bilancio e rappresentatelo nel grafico sottostante, indicando
intercette e inclinazione.
I= PL L + PM M
1000 = 5 L + 4 M
Inclinazione = - 5/4
M
250
E
150
60
200
L
b) Sapendo che la funzione d’utilità di Dante è: U(L,M) = LM, calcolate il paniere ottimo e
rappresentatelo nel grafico precedente.
1000 = 5L + 4M
(5/4)= M/L
L* = 100 , M*=125
M= (5/4)L
c) A seguito di una riduzione dell’IVA sui libri, il prezzo di questi scende a 4 Euro. Calcolate il
nuovo paniere ottimo.
1000 = 4L + 4M
(4/4)= M/L
L* = 125 , M*=125
M= L
26
d) Quale valore assume l’elasticità incrociata della domanda di visite ai musei rispetto al prezzo
dei libri?
L’elasticità incrociata è nulla. Al variare del prezzo di libri, la domanda di M non cambia. I due
beni sono non correlati.
Esercizio 12 Giovanni deve decidere come ripartire il consumo tra il primo periodo (C1 ) ed il secondo (C2 ), dato
che il reddito percepito nei due periodi è rispettivamente I1 = 190 €, e I2 = 286 €. Il tasso d’interesse
di prendere e dare a prestito è i=0,1. Il prezzo del generico bene di consumo C non varia tra il
primo e secondo periodo ed è uguale ad 1, cioè: p1 =p2 =1.
a) Scrivete l’espressione del vincolo di bilancio e rappresentatelo nel grafico sottostante, indicando
intercette, inclinazione e dotazione iniziale.
C2
495
Risparmiato
re
Dotazione
286
Mutuatario
190
450
C1
C2 = I 2 + (1 + i )( I1 − C1 )
C2 = 286 + 1,1 * 190 − 1,1C1
C2 = 495 − 1,1C1
b) Indicate sul grafico precedente un punto del vincolo di bilancio in cui Giovanni prende a
prestito e un punto del vincolo di bilancio in cui Giovanni dà a prestito. Motivate la risposta.
Il punto in grigio indica che Giovanni è risparmiatore, poiché nel primo periodo consuma meno del
suo reddito (che è 190), mentre il punto in bianco indica che Giovanni è mutuatario, in quanto nel
primo periodo consuma di più di quanto guadagna.
c) Sapendo che la funzione d’utilità di Giovanni è:
U (C 1 ;C2 ) = C1 0,4 C20,6
calcolate il paniere ottimo.
 3C2
C = 270
 2C = 1,1
⇒ 1
 1
C2 = 198
C = 495 − 1,1C
 2
1
27
d) Giovanni prende o dà a prestito?
Poiché Giovanni consuma nel primo periodo 270 e il suo reddito è di 190, Giovanni sarà mutuarlo
per 80 euro.
Teoria dell’impresa
Esercizio 13 L’impresa Alfa fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = 2L+5K, dove Q indica la
quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati
nel processo produttivo.
a) Di che tecnologia si tratta? Rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante e
calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro (MRTS KL).
Perfetti sostituti
MRTSKL= MP L/MP K = 2/5
K
10
E
E’
25
L
b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono, rispettivamente, PL=1, PK=1, scrivete l’espressione
analitica del generico isocosto.
TC= PLL + PK K
TC = L + K, fascio di rette parallele con pendenza = -1
c) Supponete che l’impresa intenda produrre una quantità Q = 50. Trovate la combinazione di
fattori impiegata in equilibrio e rappresentatela nel grafico precedente.
Isoquanto di riferimento:
50 = 2L + 5 K, retta con pendenza = -2/5 ed intercette (0;10) (25;0)
Isocosti: vedi b)
MRTSKL<(P L/PK ) → soluzione verticale (0;10)
d) Supponete, ora, che il prezzo del capitale PK salga a 5. Che effetto avrà tale aumento sulla
combinazione di fattori impiegata in equilibrio? Rispondete analiticamente e graficamente.
Nuova mappa di isocosti:
TC= PLL + PK’ K
TC = L + 5 K, fascio di rette parallele con pendenza = - 1/5
28
MRTSKL>(P L/PK ) → soluzione orizzontale (25;0)
Esercizio 14 L’impresa Beta fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = min(K, L), dove Q indica la
quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati
nel processo produttivo.
a) Di che tecnologia si tratta? Rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante e
indicate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro (MRTS KL).
Perfetti complementi
Retta uscente dall’origine: K=L (retta 45°)
Sul tratto verticale degli isoquanti → MRTSKL = ∞
Sul tratto orizzontale degli isoquanti → MRTSKL = 0
Nei punti angolosi MRTSKL non definito
K
K=L
E = E’
60
L
b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono, rispettivamente, PL=3, PK=4, scrivete l’espressione
analitica del generico isocosto.
TC= PLL + PK K
TC = 3 L + 4 K, fascio di rette parallele con pendenza = -3/4
c) Supponete che l’impresa intenda produrre una quantità Q = 60. Trovate la combinazione di
fattori impiegata in equilibrio e rappresentatela nel grafico precedente.
Isoquanto di riferimento:
60 = min (K, L)
Isocosti: vedi b)
60 = min (K, L)
K=L
K* = L* = 60
d) Supponete, ora, che il prezzo del lavoro PL salga a 7. Che effetto avrà tale aumento sulla
combinazione di fattori impiegata in equilibrio? Rispondete analiticamente e graficamente.
Nuova mappa di isocosti:
TC = PL’L + PK K
TC = 7 L + 4 K, fascio di rette parallele con pendenza = -7/4
29
La combinazione di fattori impiegata in equilibrio non varia, E=E’
Esercizio 15 Nonna Nuccia prepara le sue famose crostate utilizzando due soli ingredienti: pasta frolla (F) e
marmellata di more (M). La funzione di produzione delle crostate di Nonna Nuccia è la seguente:
Y = g ( F , M ) = F 0.8 M 0.2 ,
dove Y è la quantità di crostate.
a) Verificate analiticamente che la funzione di produzione delle crostate presenta rendimenti di
scala costanti.
g ( tF, tM ) = (tF ) 0.2 (tM ) 0. 2 = tF 0.8 M 0.2 = tg( F , M ) per ogni t>0
b) Supponendo che i prezzi unitari della pasta frolla e della marmellata di more siano
rispettivamente 4 Euro e 1 Euro, scrivete la generica equazione di una retta di isocosto, e
rappresentate graficamente i due isocosti corrispondenti ad un costo di produzione pari a 20 e a 50
Euro, indicando le intercette verticali, orizzontali e le pendenze.
M
50
20
10
E
pendenza=-4
5
10
F
12,5
L’equazione della generica retta di isocosto è data C=4F+M. I due isocosti richiesti hanno
equazione, rispettivamente M=20-4F e M=50-4F. La pendenza è in valore assoluto pari a 4. Le
intercette verticali sono 20 e 50 e le intercette orizzontali 5 e 12.5.
c) Per il compleanno di Sara, la sua adorata nipotina, Nonna Nuccia decide di preparare dieci
crostate. Quale sarà l’ammontare totale di pasta frolla e marmellata di more che Nonna Nuccia
utilizzerà, volendo minimizzare i costi di produzione? Rappresentate l’equilibrio nel grafico
precedente.
Occorre risolvere il seguente sistema:
pF

 MRST MF = p

M
10 = F 0. 8 M 0. 2

Di conseguenza,
30
 M
=4
4
 F
10 = F 0.8M 0. 2

In equilibrio
 M * = 10
 *
 F = 10
Nel grafico, l’equilibrio è rappresentato dal punto E.
d) Se invece di regalare a Sara le dieci crostate, Nonna Nuccia decidesse di venderle ad un prezzo
unitario di 8 Euro, quale sarebbe il suo profitto complessivo?
I costi totali associati alla produzione di 10 crostate sono a pari a 4*10+1*10=50. I ricavi totali
sono 8*10=80. Di conseguenza, i profitti sono 80-50=30 .
Esercizio 16 La Paperon Dollars produce barrette di gomma da masticare (Y). La gomma da masticare è prodotta
con gomma arabica (G) e zucchero (Z ) in proporzioni fisse: ogni barretta richiede 1 unità di
zucchero e 2 unità di gomma arabica.
a) Si rappresenti analiticamente la funzione di produzione per Y. Si dia anche la rappresentazione
grafica di un generico isoquanto.
 1 
Y = g ( Z , G ) = min  Z , G 
 2 
Z
1000
E
1000
G
2000
b) Si dimostri analiticamente se la produzione di gomma da masticare presenta rendimenti di scala
crescenti, decrescenti o costanti.
1
1
Rendimenti costanti: min tZ , t G  = t min Z , G  = tY
2 

 2 
c) Il prezzo unitario della gomma arabica è pari a 3 euro, mentre quello dello zucchero è pari a 1
euro. La Paperon Dollars produce ogni quantità di gomma da masticare minimizzando i costi di
31
produzione. Si derivi la funzione di costo della Paperon dollars. Si derivino, inoltre, le quantità di
equilibrio di gomma arabica e zucchero per un volume di produzione pari a 1000 barrette di gomma
da masticare giornaliere e si rappresenti l’equilibrio ottenuto nel grafico precedente.
Dovendo valere in equilibrio Z=0.5G, ed essendo Y=min[Z,0.5G] si ha che Z=Y e G=2Y. Dato
inoltre C=3G+Z, la funzione di costo è C=7Y. Per Y=1000, Z=1000 e G=2000. Nel grafico,
l’equilibrio è rappresentato dal punto E.
d) Supponete che in seguito ad un cattivo raccolto il prezzo dello zucchero aumenti del 10%. Che
conseguenze avrà questo shock sulle quantità di equilibrio di gomma arabica e zucchero e sui costi
di produzione per 1000 barrette giornaliere? Non è necessario fare calcoli.
Le quantità restano invariate e i costi aumentano in seguito all’aumento del prezzo dello zucchero.
Esercizio 17 L’impresa Beta produce il bene B impiegando due fattori produttivi, X e Y, secondo la funzione di
produzione:
B(X,Y) = 2X + Y
a) Calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS) tra il fattore X ed il fattore Y.
Quale relazione sussiste fra i due fattori produttivi?
MRTSYX = MPX/MP Y
Dove MPX e MPY sono rispettivamente la produttività marginale del fattore X e Y.
In questo caso:
MPX = df/dX= 2
MPY = df/dY =1
Di conseguenza:
MRTSYX = 2
I due fattori sono perfetti sostituti (MRTSyx costante)
b) Rappresentate graficamente ed analiticamente gli isoquanti corrispondenti alla produzione di 20
e 40 unità di B.
Y
40
20
10
20
X
32
I due isoquanti per i livelli di produzione 20 e 40 sono rispettivamente:
20 = 2X + Y à
40 = 2X + Y à
Y = 20 – 2X
Y = 40 – 2X
Essi sono rappresentati graficamente dalla linea continua (produzione pari a 20) e dalla linea
tratteggiata (produzione pari 40).
c) Sapendo che il prezzo di X è tre volte più grande del prezzo di Y, quale dei due fattori produttivi
sarà più utilizzato?
Data la natura di perfetti sostituti dei fattori, occorre confrontare il prezzo relativo dei fattori ed il
saggio marginale di sostituzione tecnica. In questo caso:
pX
= 3 > MRTS YX = 2
py
Questa relazione implica una soluzione d’angolo nella quale solo il fattore Y è utilizzato.
d) Supponete che il prezzo unitario del fattore X sia 12, mentre il prezzo del fattore unitario del
fattore Y sia 4. Quale sarà il costo di produrre 20 unità del bene B?
Dato il rapporto fra i prezzi, solo il fattore Y è utilizzato (vedi punto precedente). La produzione di
un generico livello di output pari a B richiede un impiego di Y pari esattamente a B (per ogni unità
di B si impiega una unità di Y). Quindi per produrre 20 unità di B si impiegano 20 unità di Y per un
costo pari a Ctot= 20*Py = 80
L’equilibrio nei mercati concorrenziali
Esercizio 18 Considerate un mercato con 3 imprese, ciascuna delle quali si comporta come price-taker e ha una
funzione di offerta data da yi = 2 p , dove yi è la quantità offerta dalla i-esima impresa.
a) Qual è la funzione di offerta di mercato Y S ?
Y S = 3(2 p ) = 6 p
b) Se la funzione di domanda di mercato è data da Y D = 14 − p , qual è la quantità offerta in
equilibrio da ciascuna delle 3 imprese?
12
= 4.
3
Se si considera direttamente la funzione di offerta della singola impresa, yi * = 2 * 2 = 4 .
In equilibrio Y S = Y D , ⇒ 6 p = 14 − p ⇒ p* = 2 , Y * = 12 . Per cui: yi * =
c) Se nella funzione di costo di ciascuna delle imprese sono assenti costi fissi di qualunque tipo,
quali sono i suoi profitti in equilibrio? (Se lo ritenete opportuno, potete aiutarvi con un grafico)
I ricavi totali di ciascuna impresa sono TR=p*yi*=2x4=8
33
In assenza di costi fissi, i costi totali dell’impresa sono dati dall’area del triangolo sottostante la
y
curva di offerta inversa p = i (che rappresenta anche i costi marginali) fino al livello di
2
4*2
produzione yi*=4: TC=:
=4
2
Perciò: Π=8-4=4
d) Ipotizzate che lo Stato ponga un’accisa di 7 euro su ogni unità prodotta. Come varierà la
funzione di offerta della singola impresa?
Funzione di offerta inversa singola impresa prima della tassa: p =
Funzione di offerta inversa singola impresa dopo la tassa: p =
yi
2
yi
+7
2
per p < 7
 yi = 0
Funzione di offerta dopo la tassa: 
 y i = 2 p − 14 per p ≥ 7
Esercizio 19 In un mercato di concorrenza perfetta operano due tipi di imprese. Le imprese appartenenti al tipo
A sono due; ciascuna ha costi marginali di lungo periodo MC=2y+2 e raggiunge il costo medio
minimo di lungo periodo in corrispondenza del volume di produzione y=2. Le imprese appartenenti
al tipo B sono in numero infinito; ciascuna ha costo medio minimo di lungo periodo uguale a 8.
a) Calcolate il costo medio minimo di lungo periodo per le imprese di tipo A.
MC e AC s’intersecano nel punto di minimo dei costi medi, quindi sapendo che AC minimo si ha
per y=2, AC minimo=2*2+2=6
b) Ipotizzando che il costo dei fattori produttivi impiegati dalle imprese rimanga costante al variare
della produzione totale, si derivi la curva di offerta di lungo periodo per l’intero mercato e la si
disegni nel grafico sottostante.
per p < 6
0
{0,2,4} per p = 6

y =  p − 2 per 6 < p < 8
[6,+∞]
per p = 8

+ ∞
per p > 8
p
E
8
6
2
4
6
10
34
y
c) Se la domanda di mercato è data da y=18-p, in equilibrio quale sarà la quantità totale prodotta e
a quale prezzo sarà venduta? Si rappresenti l’equilibrio nel grafico precedente.
Per p<8 si hanno eccessi di domanda; per p>8 eccessi di offerta; l’unico equilibrio è p=8 e y=10.
L’equilibrio è il punto E nel grafico precedente.
d) Ipotizzando che le imprese di tipo B raggiungano il costo medio minimo in corrispondenza del
volume di produzione y=1, si calcoli il numero totale di imprese che operano nel mercato in
equilibrio.
Le due imprese di tipo A sono entrambe presenti, producendo ciascuna y=3. Il resto del mercato è
servito da 4 imprese di tipo B, ciascuna con y=1.
Esercizio 20 I produttori di bastoni da passeggio operano in un mercato perfettamente concorrenziale,
fronteggiando una domanda pari a:
Q = 144 - 2P
Ognuna delle 80 imprese sul mercato ha le seguenti funzioni di costo medio e costo marginale di
breve periodo
AC = 4qi
MC = 8qi
a) Calcolate la curva di offerta della singola impresa e fornitene una rappresentazione grafica.
P
MC
P = MC
P= 8qi
(per P= 0)
ovvero
qi = P/8 (per P= 0)
qi
b) Calcolate quantità e prezzo di equilibrio di mercato.
Offerta di mercato
Q = 80 qi = 80 (P/8) = 10P
per
P =0
Equilibrio: Domanda=Offerta
144 – 2P = 10P
P = 12
Q = 120
c) Calcolate i profitti realizzati dalla singola impresa.
La singola impresa produce
qi = P/8 =(oppure Q/n)= 1,5
Π = RT – CT = P. qi – 4 qi2 = 18 – 9 = 9
35
d) Cosa accade nel mercato dei bastoni nel lungo periodo? Argomentate.
Essendo i profitti positivi, vi è incentivo per altre imprese ad entrare. Aumenterà quindi l’offerta e,
a parità di domanda, si ridurranno il prezzo e i profitti. La dinamica di entrata si interrompe
quando i profitti divengono nulli.
Monopolio
Esercizio 21 L’impresa Ecis produce macchine da cucire in regime di monopolio. La curva di domanda inversa è
data da p = 100 – 4q, dove q è la quantità prodotta e p il prezzo. La sua funzione di costo è data da
C = 20q.
a) Derivate la curva dei ricavi marginali (MR) e la curva dei costi marginali (MC) e rappresentatele
graficamente insieme alla curva di domanda.
La funzione di ricavo totale è data da TR = (100 − 4q ) q = 100q − 4q 2 .
Di conseguenza,
MR =
dTR
dC
= 100 − 8q . I costi marginali sono dati da MC =
= 20 .
dq
dq
Graficamente:
P
100
E
60
MC
20
MR
10
Domanda
q
25
b) Calcolate l’equilibrio nel mercato, in termini di quantità e prezzo, e rappresentatelo nel grafico
precedente.
La condizione di massimizzazione del profitto ci dà MR = MC .Quindi 100 - 8q=20, che implica
q * = 10 . Di conseguenza, p * = 60 .
c) Supponete che grazie ad un investimento in Ricerca e Sviluppo, l’impresa possa ridurre i suoi
costi, fronteggiando ora una funzione di costo pari a C = 12q. Calcolare la nuova quantità e prezzo
d’equilibrio.
La nuova condizione di massimizzazione del profitto MR = MC ci dà 100 - 8q=12, che implica
q * = 11 . Di conseguenza, p * = 56
d) Indicando con I la spesa in Ricerca e Sviluppo, qual è il valore massimo di I per cui l’impresa
troverà conveniente effettuare l’investimento?
Occorre confrontare i profitti del monopolista nei due equilibri.
36
Nel primo caso: Π = p*q − C = 60 * 10 − 20 *10 = 400
Nel secondo caso:, Π = p *q − C = 56 *11 − 12 *11 = 484 .
Quindi l’impresa troverà conveniente investire in Ricerca se i profitti dopo l’investimento, al netto
di I, risultano superiori ai profitti senza l’investimento. Per cui I < 84.
Esercizio 22 L’impresa Maas produce canne da pesca in regime di monopolio. La curva di domanda inversa è
data: P= 50 – 2q, dove q è la quantità prodotta e p il prezzo. La sua funzione di costo è data da:
C=10q.
a) Derivate la curva dei ricavi marginali (MR) e la curva dei costi marginali (MC) e rappresentatele
graficamente insieme alla curva di domanda.
La funzione di ricavo totale è data da TR = (50 − 2 q) q = 50q − 2q 2
dTR
dC
Di conseguenza, MR =
= 50 − 4q . I costi marginali sono dati da MC =
= 10 .
dq
dq
Graficamente,
P
50
E
30
MC
10
MR
10
Domanda
q
25
b) Calcolate l’equilibrio del monopolista: quantità e prezzo, e rappresentatelo nel grafico
precedente.
La condizione di massimizzazione del profitto ci dà MR = MC . Quindi 50-4q=10, che implica
q * = 10 . Di conseguenza, p * = 30 .
c) Supponete ora che lo stato introduca un sussidio alla produzione pari a 8 per ogni unità prodotta.
Calcolate il nuovo equilibrio in termini di prezzi e quantità.
Il sussidio alla produzione riduce i costi dell’impresa, e dal punto di vista dell’impresa, rende la
funzione di costo C=2q.
La nuova condizione di massimizzazione del profitto MR=MC ci dà 50-4q=2, che implica
q * = 12 . Di conseguenza, p * = 26 .
d) Lo stato propone all’impresa, come alternativa al sussidio, un trasferimento in somma fissa pari
a 80 . L’impresa accetterà l’offerta dello stato?
Occorre confrontare i profitti del monopolista nei due equilibri. Nel primo caso,
Π = p*q − C = 30 * 10 − 10 * 10 = 200 . Nel secondo caso, Π = p*q − C = 26 *12 − 2 * 12 = 288 .
37
I profitti aumentano di un ammontare pari a 88, che è superiore al trasferimento che lo stato
propone. Quindi l’impresa non accetterà l’offerta dello stato, preferendo il sussidio.
Esercizio 23 L’impresa Rintel è l’unica produttrice di semiconduttori nel paese di Silicionia. Per produrre
microprocessori essa sostiene costi totali pari a TC = 16 + 4Q ove con Q si indica la quantità totale
prodotta. L’impresa si confronta con una curva di domanda di mercato P = 20 – Q.
a) Calcolate il costo marginale ed il ricavo marginale di Rintel. Rappresentateli nel grafico
sottostante insieme alla funzione di domanda di mercato, esplicitando tutte le intercette.
P
20
E
12
4
MC
D
MR
8
10
Q
20
MC = 4
MR = 20 − 2Q
b) Qual è la quantità di microprocessori offerti dall’impresa in equilibrio? Calcolate inoltre il
prezzo di equilibrio ed i profitti. Rappresentate nel grafico precedente il punto di equilibrio trovato.
MR = MC ⇒ 20 − 2Q = 4 ⇒ Q* = 8 ⇒ P* = 20 − 8 = 12
(
)
Π = TR − TC = P * Q* − 16 + 4Q * = (12 * 8 ) − 48 = 48
c) Supponete ora che lo stato introduca una tassa pari a 2 per ogni unità venduta. Quali saranno il
nuovo prezzo e la quantità di equilibrio in que sto caso? Calcolate inoltre l’ammontare totale
incassato dallo stato ed il nuovo profitto di Rintel.
La tassa modifica il ricavo marginale che ora diventa:
MR = 20 − 2Q − 2
In equilibrio si produrrà ora Q* = 7 ad un prezzo P* = 13.
L’ammontare totale delle tasse incassate sarà pari a T = 7 * 2 = 14.
Il nuovo profitto sarà pari a:
Π = TR − TC − T = P * Q * − 16 + 4Q * − T = (13 * 7 ) − (16 + 28 ) − 14 = 91 − 44 − 14 = 33
(
)
d) Secondo voi il nuovo equilibrio ottenuto dopo l’introduzione della tassa è più o meno efficiente
dal punto di vista sociale di quello trovato al punto b)? (Non sono richiesti calcoli)
38
Dal momento che la quantità prodotta in equilibrio diminuisce, il nuovo equilibrio sarà meno
efficiente di quello trovato al punto b).
Esercizio 24 Nel mercato delle motociclette della Birmania vi è un unico produttore, la RangoonBike, che
sostiene un costo marginale costante pari a 50. La curva di domanda inversa delle motociclette è
data da:
p = 500 – ½Q.
a) Calcolate il prezzo e la quantità di equilibrio nel mercato delle motociclette.
p = 500 – Q/2
MR= MC
à 500 – Q = 50
à
Q = 450 à
p = 500 – 450/2 = 275
b) Calcolate il profitto (o la perdita) della RangoonBike in corrispondenza di tale equilibrio.
Π = (p – AC)Q = (275-50)*450 = 101.250
(Nota bene: AC=MC=50)
c) Una nuova impresa, la MotorBir, entra sul mercato, sostenendo costi uguali alla RangoonBike.
Calcolate il nuovo prezzo di equilibrio e i profitti delle due imprese nel caso queste competano sui
prezzi. Quale modello di oligopolio state applicando?
Oligopolio di Bertrand
p = MC = 50
Dalla funzione di domanda:
50 = 500 – Q/2
Q = 450*2 = 900
qR=qM=450 nell’ipotesi che la domanda si ripartisca in modo uguale fra le 2 imprese
Π=0
d) Riportate sul grafico la curva di domanda, nonché i prezzi e le quantità di equilibrio trovate ai
punti a) e d). Calcolate il surplus dei consumatori nelle due situazioni.
Surplus consumatorimonopolio = area A = 50.625
Surplus consumatorioligopolio =area A+B+C = 202.500
500
A
p MON.= 275
B
C
MC=50
QMON.
= 450
QOLIGOP.
= 900
1000
Q
39
Teoria dei giochi – Oligopolio
Esercizio 25 L’impresa Hein&Ken s.p.a. (H) e l’impresa Biperoni s.p.a. (B) sono oligopolisti nel mercato della
birra. Le loro funzioni di costo totale sono:
TCH ( qH ) = 4 qH
TCB ( qB ) = 40 qB
per Hein&Ken
per Biperoni
La domanda di mercato è data da P = 100 - 2Q , dove Q = qH + qB, e le due imprese competono
scegliendo la quantità da produrre.
a) Trovate le funzioni di risposta ottima delle due imprese.
Impresa H (condizione di massimizzazione):
100 - 2qB - 2qH - 2qH – 40 = 0
da cui:
qH =15 - (1/2)qB
per H
Per simmetria:
qB =15 - (1/2)qH
per B
b) Disegnate nel grafico sottostante le funzioni di risposta ottima, avendo cura di specificare le
intercette e le pendenze.
qB
Risposta ottima di H (pendenza –2)
30
Nuova risposta ottima di H (pendenza –2)
15
Risposta ottima di B (pendenza –1/2)
10
10
15
30
qH
c) Quali saranno la quantità prodotte da ciascuna impresa, la quantità totale e il prezzo di equilibrio
nel mercato?
Risolvendo il sistema tra le due funzioni di reazione:
qH =15-(1/2)( 15-(1/2)qH )
da cui:
q*H = q*B = 10
Quindi:
Q* = 20
P* = 60
d) In seguito ad un’innovazione di processo l’impresa Hein&Ken (H) riesce a ridurre i propri costi.
Ora la sua funzione di costo totale è pari a: TCH ( qH ) = 20qH (mentre per l’impresa B la funzione di
costo totale resta invariata). Rappresentate qualitativamente questo nuovo equilibrio nel grafico
precedente (non è necessario fare calcoli).
L’impresa H che ora ha costi marginali minori produrrà di più rispetto a prima a scapito
dell’impresa B che ora produrrà di meno.
Graficamente si ha uno spostamento della funzione di reazione di H verso l’esterno.
40
Esercizio 26 Il mercato delle automobili e’ dominato da due sole imprese: l’impresa Barchetta s.p.a. (B) e
l’impresa Huno s.p.a. (H). Le loro funzioni di costo totale sono:
CTB(qB)=20qB
CTH(qH)=30qH
Le due imprese competono scegliendo la quantita’ da produrre. La domanda di mercato e’ data da
P=100-Q, dove Q= qH + qB.
a) Siete in grado di stabilire se le due imprese in equilibrio produrranno la stessa quantita’ o meno?
Spiegate perche’ senza fare calcoli!
No, infatti l’impresa B che ha costi marginali minori produrra’ di piu’ rispetto all’impresa H che
produrra’ di meno.
b) Trovate le funzioni di reazione delle due imprese.
Impresa B:
100- qH -2qB = 20
qB =40-1/2qH
Impresa H:
100- qB - 2qH = 30
qH =35-1/2qB
c) Calcolate la quantità prodotta da ciascuna impresa, la quantita’ totale e il prezzo di equilibrio nel
mercato.
Risolvo il sistema tra le due funzioni di reazione.
qH =35-1/2(40-1/2qH)
da cui:
q*H= 20
e
q*B=30
Quindi:
Q*=50
P*=50
d) Disegnate nel grafico sottostante l’equilibrio trovato indicandolo con EC. Rappresentate poi
nello stesso grafico una situazione in cui la funzione di costo totale dell’impresa B e’ data da:
CTB(qB)=30qB (quella dell’impresa H resta invariata rispetto a prima) e indicate il nuovo equilibrio
con EC’ (non occorre fare calcoli ne’ specificare le intercette e le pendenze).
qB
Ec
Ec’
qH
41
Esercizio 27 Si consideri il seguente gioco simultaneo rappresent ato in forma normale.
Mr. Colonna
Mr. Riga
SINISTRA
CENTRO
DESTRA
ALTO
(8, 15)
(9, 13)
(13, 5)
BASSO
(12,7)
(10,11)
(2,7)
a) Si individuino gli equilibri di Nash (o l’equilibrio di Nash, nel caso fosse unico).
Mr. Riga
ALTO
BASSO
SINISTRA
(8, 15)
(12,7)
Mr. Colonna
CENTRO
(9, 13)
(10,11)
DESTRA
(13, 5)
(2,7)
L’equilibrio di Nash è unico ed è dato dalla coppia di strategie:
Mr. Riga: Basso, Mr. Colonna: Centro.
b) Gli equilibri trovati sono Pareto-efficienti?
Sì, in questo gioco l’equilibrio di Nash è Pareto-efficiente: qualunque altro esito del gioco
comporta infatti la diminuzione del payoff di almeno uno dei due giocatori.
Supponete ora che Mr. Colonna conosca la decisione di Mr. Riga prima di fare la propria scelta.
c) Rappresentate il nuovo gioco in forma estesa.
(8, 15)
S
Colonna
C
(9, 13)
A
Riga
D
(13, 15)
(12, 7)
S
B
C
(10, 11)
D
(2, 7)
d) Si individui l’equilibrio perfetto del nuovo gioco.
L’equilibrio perfetto nei sottogiochi è dato dalla coppia di strategie: Mr. Riga: Basso; Mr.
Colonna: (Sinistra, Centro).
42
Scelte in condizioni di incertezza
Esercizio 28 Supponete che la funzione di utilità dell’ambiziosa Jamelia sia data da:
U = X (1/3).
dove X indica il suo reddito.
Se Jamelia diventerà cassiera al supermercato, otterrà un reddito pari a X=27 annui con certezza. Se
invece decidesse di intraprendere la carriera di cantante R&B, potrebbe ottenere X=1000 annui nel
caso in cui fosse ingaggiata da una prestigiosa casa discografica di Londra, ma solo X=8 all’anno in
caso di ingaggio da parte di una piccola band londinese. La probabilità di avere successo nel campo
dell’R&B (e quindi di essere ingaggiata dalla suddetta casa discografica) è 0,2.
a) Vista la funzione di utilità, come si può caratterizzare l’atteggiamento di Jamelia nei confronti
del rischio? Rappresentate graficamente la funzione di utilità di Jamelia indicando chiaramente le
variabili sugli assi!
Jamelia è avversa al rischio dal momento che la sua funzione di utilità e’ concava.
U(X)
X
b) Calcolare il valore di monetario atteso del reddito di Jamelia nel caso in cui decida di diventare
cassiera e nel caso in cui decida la carriera di cantante.
EVC = 1 * 27 = 27
EVF = 0,2 * 1000 + 0,8 * 8 = 200 + 6,4 = 206,4
c) Calcolare l’utilità attesa che Jamelia otterrebbe dalle due opzioni.
EUC = 1 * 271/3 = 3
EUF = 0, 2 * 10001/3 + 0,8 * 81/3 = 0,2 * 10 + 0,8 * 2= 2 + 1,6 = 3,6
d) Quale delle due opzioni sceglierebbe?
La seconda percheè le conferisce una utilità attesa maggiore, in base al principio di Von-Neumenn
e Morgenstern.
e) Definite il concetto di equivalente certo e calcolatelo nel caso Jamelia decidesse di intraprendere
la carriera di cantante.
Quantità di denaro ricevuta con certezza che conferisce a Jamelia la stessa utilità dell’evento
incerto (scommessa).
EUF= X 1/3
Quindi qui:
3,6 = X1/3
ossia X= circa 46,6
43
Esercizio 29 Supponete che la funzione di utilità della ambiziosa Jennifer sia data da:
U(X) = X1/3
dove X indica il suo reddito.
Se Jennifer decidesse di intraprendere la carriera di cantante R&B, potrebbe ottenere X=1000 annui
nel caso in cui fosse ingaggiata da una prestigiosa casa discografica di New York, ma solo X=125
all’anno in caso di ingaggio da parte di una piccola band locale. La probabilità di avere successo nel
campo dell’R&B (e quindi di essere ingaggiata dalla suddetta casa discografica) è 0,5.
Jennifer ha comunque l’opportunita’ di abbandonare la carriera di cantante e di diventare cassiera al
supermercato, ottenendo un reddito certo pari a X=216 annui.
a) Calcolare il valore monetario atteso del reddito per Jennifer nel caso in cui decida di tentare la
carriera di cantante e nel caso in cui decida di diventare cassiera.
EVC = 1 * 216 = 216
EVF = 0,5 * 1000 + 0,5 * 125 = 500 + 62,5 = 562,5
b) Calcolare l’utilità attesa che Jennifer otterrebbe dalle due opzioni.
EUC = 1 * 2161/3 = 6
EUF = 0, 5 * 10001/3 + 0,5 * 1251/3 = 0,5 * 10 + 0,5 * 5= 5 + 2,5 = 7,5
c) Quale delle due opzioni sceglierebbe? Motivate la risposta.
La seconda, perchè le conferisce una utilità attesa maggiore, in base al principio di Von-Neumann
e Morgensten.
d) Date una rappresentazione grafica dell’utilità che Jennifer trae dall’intraprendere la carriera di
cantante, indicando anche l’ammontare di denaro corrispondente all’equivalente certo.
EUF= X 1/3
quindi qui:
7,5 = X1/3
ossia X= circa 421,875
u(x)
10
7,5
5
125
421.8 562,5 1000 X
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Informazione asimmetrica ed esternalità
Esercizio 30 Sul mercato dei Personal Computers usati si possono acquistare sia PCs di buona qualità sia PCs di
qualità scarsa. I venditori di PCs di buona qualità sostengono un costo di 790 Euro per ogni pezzo
venduto. I venditori di PCs di cattiva qualità invece sostengono un costo pari a 450 Euro per ogni
computer. L’acquirente tipo pagherebbe 1000 Euro per un buon PC e 500 Euro per uno di cattiva
qualità.
a) Supponete che l’acquirente non sia in grado di distinguere un tipo di PC dall’altro al momento
dell’acquisto ma sappia che esiste il 50% di probabilità di acquistarne uno di cattiva qualità. Qual è
il prezzo che il consumatore tipo sarebbe disposto a pagare in questo caso?
Il prezzo coincide con il valore atteso.
VA = 0.50 ? (1000) + 0.50 (500) = 750
b) Ipotizzando che i venditori fissino un prezzo uguale a quello trovato al punto a) calcolate il
profitto unitario ottenibile dalla vendita di PC di buona e cattiva qualità.
∏ (PC scarsi) = 750 – 450 = 300
∏ (PC buoni) = 750 – 790 = – 40
c) Che tipo di PCs vi aspettate venga offerto sul mercato (motivate la risposta)?
Solo PCs di cattiva qualità perché solo in questo caso i profitti sono positivi.
d) I venditori di PC di buona qualità decidono ora di offrire una garanzia della buona qualità del
prodotto. Grazie all’introduzione della garanzia, i consumatori sono in grado di distinguere fra PC
di buona e cattiva qualità. Tuttavia, offrire la garanzia comporta ai venditori di PC di buona qualità
un costo aggiuntivo. Qual è il massimo costo della garanzia per il quale i venditori di PC di buona
qualità saranno effettivamente disposti ad offrirla?
Con la garanzia, i venditori di PC di buone qualità vendono ora ad un prezzo massimo di 1000
Euro. Indicando con G il costo della garanzia, essi faranno un profitto massimo di:
∏ (PC buoni con garanzia) = 1000 – 790 – G
la garanzia sarà offerta solo se:
∏ (PC buoni con garanzia) > 0
1000 – 790 – G > 0
G< 210
Al massimo la garanzia potrà costare 210 perché il venditore abbia interesse ad introdurla.
Esercizio 31 Sul mercato dei mobili etnici, su cui operano ormai un numero elevato di compratori e venditori,
sono offerti sia mobili autentici, importati dai paesi di origine, che imitazioni realizzate da
falegnami locali. Queste ultime rappresentano il 50% dei mobili etnici presenti sul mercato.
L’acquirente tipo è disposto a pagare 1000 Euro per un mobile autentico e solo 200 Euro per
un’imitazione, ma non è in grado di distinguere l’uno dall’altro al momento dell’acquisto. Il costo
marginale per i venditori di mobili etnici autentici è costante è pari a 650 Euro, mentre il costo
marginale per i venditori di imitazioni è pari a 100 Euro, anch’esso costante.
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a) Qual è il valore atteso di un mobile etnico per l’acquirente tipo?
Attendendosi che il valore atteso di un mobile etnico per l’acquirente tipo coincida con la sua
disponibilità a pagare, i venditori fissano il prezzo uguale al valore atteso. Calcolate il profitto
unitario ottenuto sulla vendita di mobili etnici originari e quello ottenuto sulla vendita di imitazioni.
Valore Atteso di un mobile = 0.5x1000+0.5x200=600
π Autentici = 600 − 650 = −50 < 0
π imitazioni = 600 − 100 = 500
b) Che tipo di mobili etnici vi aspettate venga offerto sul mercato (motivate la risposta)?
Solo imitazioni, poiché i produttori di mobili autentici incorrerebbero in profitti negativi
c) Supponete ora che i venditori di mobili offrano una certificazione che attesta l’autenticità del
mobile. Per ottenere tale certificazione devono sostenere un costo pari a 150 Euro. Che effetto ha
questa decisione sul prezzo a cui i due tipi di mobili vengono venduti sul mercato? E sui profitti?
La certificazione consente di distinguere i due tipi di mobili all’atto dell’acquisto. Di conseguenza i
prezzi dei due tipi coincidono con la disponibilità a pagare da parte dei consumatori e i profitti nei
due casi sono:
π Autentici +certificazione = 1000 − 650 − 150 = 200
π imitazioni = 200 − 100 = 100
d) Anche i venditori di imitazioni potrebbero cercare di ottenere la certificazione, ma ad un costo
unitario più alto: 810 Euro. Ritenete che sia per essi conveniente acquistare la certificazione?
No, perché i profitti sarebbero inferiori:
π imitazioni+ certificazione = 1000 − 100 − 810 = 90 < 100
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