DEFINIZIONE E CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI
Con il termine segnale si indica una funzione, generalmente del
tempo, che rappresenta la legge di variazione di una grandezza
fisica, (acustica, elettrica, ottica etc.) la pressione prodotta da un
suono, il campo elettromagnetico irradiato da un’antenna, la
tensione in uscita da un microfono, l’intensità luminosa di una scena
televisiva, la temperatura in un processo chimico, la velocità
angolare di un albero motore, sono esempi di segnali.
L1/1
SCHEMA LOGICO DI UN SISTEMA DI TELECOMUNICAZIONE
Sorgente
Sensore
Codifica
Modulatore
Canale
Segnale
di Uscita
Trasduttore
Decodifa
Demodulatore
L1/2
ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI
L1/3
CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI
Periodici
Segnali
Determinati
Aperiodici
Segnali
Ergodici
Stazionari
Non
Ergodici
Segnali
Aleatori
Non
Stazionari
L1/4
ESEMPI DI SEGNALI DETERMINATI
⎧1 se t ≥ 0
u (t ) = ⎨
⎩0 se t < 0
2
x ( t ) = ∑ X n cos ( 2π nf0 t + θ n )
n =1
u (t )
t
0
T0 =
Gradino Unitario
1
1
f0
t
0
y ( t ) = exp ( −at ) ⋅ u ( t )
⎧1 se n ≥ 0
u [ n] = ⎨
⎩0 se n < 0
u [ n]
Gradino Discreto
1
…
0
1
a
…
t
0
n
L1/5
L’Impulso Discreto
δ [ n ] = u [ n ] − u [ n − 1]
u [ n] =
Impulso discreto
∞
∑δ [n − k ]
Gradino discreto
k =0
δ [ n ] consente di rappresentare una sequenza x [ n ] come somma di
impulsi traslati e pesati dai valori della sequenza stessa:
x [ n] =
∞
∑ x [ m ]δ [ n − m ]
m=−∞
L1/6
L’Impulso di Dirac
Il gradino unitario
u (t )
1
0
t
presenta nell’origine una discontinuità di primo tipo (cioè un salto
istantaneo finito) che non esiste in natura, cioè il segnale come si
dice non è fisicamente realizzabile. Procedendo con un approccio
intuitivo, si può considerare una funzione “pseudogradino”:
⎧0 se t < 0
⎪⎪ t
uθ ( t ) = ⎨ se 0 ≤ t < θ
⎪θ
⎪⎩1 se t ≥ θ
L1/7
L’impulso di Dirac
δθ ( t )
uθ ( t )
1
1
0
θ
θ
0
t
θ
t
⎧0 se t < 0 e t ≥ θ
d uθ ( t ) ⎪
δθ ( t ) =
= ⎨1
dt
⎪⎩θ se 0 ≤ t < θ
Al tendere a zero di θ , la funzione impulsiva δθ ( t ) tende all’impulso
di Dirac δ ( t ) . L’impulso δ ( t ) ha le proprietà di:
- tendere ad infinito nell’intorno infinitesimo dell’istante t = 0 ed
essere nullo altrove
+∞
- sottendere un’area unitaria:
∫ δ (t ) dt = 1
−∞
L1/8
L’impulso di Dirac
L’impulso di Dirac si rappresenta graficamente come:
δ (t )
0
t
Relazione tra impulso di Dirac e funzione gradino unitario continuo:
d u (t )
δ (t ) =
dt
discende immediatamente la relazione inversa:
t
u (t ) =
∫ δ (α ) d α
−∞
L1/9
Proprietà di Campionamento dell’Impulso
Se x ( t ) è un segnale continuo per ogni t, il prodotto:
x ( t ) ⋅ δ ( t ) = x ( t ) ⋅ lim δθ ( t ) = x ( 0 ) ⋅ δ ( t )
θ →0
integrando si ottiene la proprietà di campionamento dell’impulso:
+∞
∫
+∞
∫
x ( α ) ⋅ δ ( α ) d α = x ( 0 ) δ (α ) d α = x ( 0 )
−∞
−∞
Se l’impulso è centrato in un istante t0 ≠ 0 :
+∞
+∞
∫ x ( α ) ⋅ δ ( α − t ) d α = x ( t ) ∫ δ (α − t ) d α = x ( t )
0
0
−∞
0
0
−∞
Da cui si ricava l’importante risultato per la rappresentazione di x ( t )
+∞
x (t ) =
∫
x (α ) ⋅ δ (α − t ) d α
−∞
L1/10
Segnali Complessi: l’Esponenziale
L’esponenziale complesso tempo continuo è definito come:
x ( t ) = exp ( jωt ) = cos ωt + j sin ωt
Per le formule di Eulero:
exp ( jωt ) − exp ( − jωt )
sin ωt =
2j
exp ( jωt ) + exp ( − jωt )
cos ωt =
2
x ( t ) è periodico di periodo: T0 =
2π
ω
, ω è la pulsazione [ rad sec −1 ]
2π
ω=
= 2π f0 con f0 frequenza misurata in cicli al secondo [Hz].
T0
Rappresentazione di x ( t ) in modulo e la fase:
exp ( jωt ) = cos ωt + sin ωt = 1
2
2
sin ωt ⎞
⎛
∠ exp ( jωt ) = arctan ⎜
⎟ = ωt
⎝ cos ωt ⎠
L1/11
Segnali Complessi: l’Esponenziale
Sul piano complesso x ( t ) è un vettore di modulo unitario che ruota
con velocità angolare costante ω (la fase varia linearmente con il
tempo).
Im { x ( t )}
2π f0 t
1
Re { x ( t )}
L1/12
Segnali Complessi: l’Esponenziale
Più generale un esponenziale complesso assume la forma:
x ( t ) = A ⋅ exp [ j (ωt + φ )]
A = ampiezza (modulo del vettore rotante);
ω = pulsazione (velocità angolare del vettore rotante);
φ = fase iniziale (angolo formato dal vettore rotante con l’asse
reale all’istante iniziale, t = 0 ).
Osservazione: nella rappresentazione vettoriale la pulsazione (o la
frequenza) può assumere anche valore negativo (il segno della
pulsazione è legato al verso di rotazione del vettore: positivo verso
antiorario, negativo verso orario).
L1/13
Segnale Cosinusoidale
Rappresentazione in termini di vettori rotanti:
⎡ exp { j ( 2π f0 t + φ )} + exp {− j ( 2π f0 t + φ )} ⎤
A ⋅ cos ( 2π f0 t + φ ) = A ⎢
⎥
2
⎣
⎦
A
, eguale fase
2
φ , che ruotano in verso antiorario ed orario rispettivamente.
somma vettoriale di due vettori rotanti di ampiezza
Im { x ( t )}
2π f0 t
−
A
2
A
2
Re { x ( t )}
−2π f0 t
L1/14
ESEMPIO DI SEGNALE ALEATORIO (stazionario)
X 1 (t )
t
X 2 (t )
t
X 3 (t )
t
X n (t )
t1
t
Insieme di realizzazioni che definiscono il processo aleatorio X(t).
L1/15
PROCESSO DI CONVERSIONE: ANALOGICO - NUMERICO
SEGNALI CONTINUI E DISCRETI IN AMPIEZZA E NEL TEMPO
x (t )
(a)
t
Segnale Analogico
x [ nT ]
(b)
T
2T
3T 4T
nT
Segnale Campionato
L1/16
PROCESSO DI CONVERSIONE: ANALOGICO - NUMERICO
SEGNALI CONTINUI E DISCRETI IN AMPIEZZA E NEL TEMPO
xq ( t )
(c)
3
2
1
0
t
-1
Segnale Quantizzato
-2
-3
xq [ nT ] = xq [ n ]
(d)
3
2
1
0
n
-1
Segnale Numerico
-2
-3
L1/17
PROCESSO DI CONVERSIONE: ANALOGICO - NUMERICO
SEGNALI CONTINUI E DISCRETI IN AMPIEZZA E NEL TEMPO
Ampiezza
Continua
Discreta
x (t )
Continuo
xq ( t )
Tempo
t
0
t
0
Segnale Analogico
Segnale Quantizzato
xq ( tk ) = x [ k ]
Discreto
x ( tk )
t
t
0
0
Segnale Campionato
Segnale Numerico
L1/18
QUANTIZZAZIONE E CODIFICA
Cifra
Rappresentazione Binaria
0
0
0
0
1
0
0
1
2
0
1
0
3
0
1
1
4
1
0
0
5
1
0
1
6
1
1
0
7
1
1
1
Forma d’onda
L1/19
QUANTIZZAZIONE E CODIFICA
x (t )
7
6.2
6
6.8
5
4
3.4
3
2
1
0.8
t
Quantizzazione
1
3
6
7
Codifica
0 0 1
0 1 1
1 1 0
1 1 1
Segnale
…
…
L1/20
QUANTIZZAZIONE E CODIFICA
A
Livelli del segnale “campionato” e “tenuto”
(a)
11
10
01
00
−3Ts −2Ts
−Ts
Ts
2Ts
3Ts
4Ts
5Ts
6Ts
7Ts
8Ts
t
A
Livelli del segnale quantizzato
(b)
11
10
01
00
−3Ts −2Ts −Ts
01
01 01
Ts
01
2Ts
00
3Ts
00
4Ts 5Ts 6Ts 7Ts
8Ts
01 01 10
11
11
t
L1/21
ERRORE DI QUANTIZZAZIONE
A
Errore di quantizzazione
−3Ts −2Ts −Ts
01
01 01
Ts
01
2Ts
00
3Ts
00
4Ts
01
5Ts
01
6Ts
10
7Ts 8Ts
11
11
t
L’errore di quantizzazione ε q , essendo legato all’istante di
campionamento, è considerato una quantità aleatoria che assume
valori positivi e negativi che si dispongono, senza alcuna
⎛ q q⎞
preferenza, cioè uniformemente, nell’intervallo ⎜ − ,+ ⎟ .
⎝ 2 2⎠
L1/22
ERRORE DI QUANTIZZAZIONE
•
N bit di codifica
•
x ( t ) compreso tra [Vmin ,VMAX ]
VMAX − Vmin
• quanto elementare (ampiezza di ogni livello): q =
2N
Un sistema di DSP usa A/D converter a 10 o 12 bit
(a seconda delle applicazioni si arriva anche a 16 o 24 bit come
avviene in ambito musicale).
210 = 1024
oppure
212 = 4096
Se il segnale di ingresso varia tra 0 e 5 Volt, il bit meno significativo
(LSB) o quanto elementare vale:
4.88 mV per A/D a 10 bit
1.22 mV per A/D a 12 bit
L1/23
ERRORE DI QUANTIZZAZIONE
Mediamente l’errore di quantizzazione risulta nullo con una potenza
media:
q2
Pεq =
12
Per convertitori A/D a 10 oppure 12 bit, Il livello di rumore di
quantizzazione è generalmente trascurabile rispetto ad altre sorgenti
di rumore del sistema.
L1/24
ENERGIA E POTENZA DI UN SEGNALE CONTINUO
Si definisce energia di un segnale continuo x(t), reale o complesso,
l’integrale:
∞
E=
∫
x ( t ) dt
2
−∞
Il segnale x(t) è detto ad energia finita se E è finito e diverso da zero.
Si definisce potenza media del segnale continuo x(t) il limite:
T 2
1
T →∞ T
P = lim
∫
x ( t ) dt
2
−T 2
per cui il segnale è detto a potenza finita se P è finito e diverso da
zero.
L1/25
ENERGIA E POTENZA DI UN SEGNALE PERIODICO
Una classe importante di segnali a potenza media finita è costituita
dai segnali periodici; in tal caso l’energia è infinita e la potenza
media coincide con quella calcolata in un periodo T0 .
1
P=
T0
T0 2
∫
x ( t ) dt
2
−T0 2
Osservazioni sull’energia e sulla potenza di un segnale
• Se un segnale ha energia finita la sua potenza media è nulla.
• Se ha potenza finita la sua energia è infinita.
L1/26
ENERGIA E POTENZA DI UN SEGNALE DISCRETO
Per un segnale discreto (sequenza) x[n], reale o complesso,
l’energia e definita come:
+∞
E=
∑
x [n]
2
n =−∞
La potenza media del segnale discreto è:
N
∑
2
1
P = lim
x [n]
n →∞ 2N + 1
n =− N
Per sequenze periodiche di periodo N 0 la potenza si calcola su
un solo periodo:
N 0 −1
2
1
P=
x [n]
N 0 n =0
∑
L1/27
COMPONENTE CONTINUA DI UN SEGNALE
Per un segnale (aperiodico o periodico) a potenza finita, la
componente continua (bias) è:
1
b = lim
T →∞ T
+ T2
∫
x ( t ) dt
− T2
NB: per segnali periodici, media sul periodo -
L1/28
DINAMICA DI UN SEGNALE
• Segnale reale ⇒ ampiezza limitata, quantomeno inferiore alla
tensione di alimentazione!
• Saturazione dei circuiti (amplificatori etc.) ⇒ relazione ingresso –
uscita non lineare.
• Dinamica (dynamic range): rapporto tra massima e minima
ampiezza (espressa in dB)
L1/29
SCALA LOGARITMICA
Nel trattamento dei segnali è molto usata la scala logaritmica dei
Decibel, o dB, che si riferisce a rapporti di ampiezza o
corrispondenti potenze.
Siano x1 e x2 le ampiezze di interesse ( P1 = k ⋅ x12 , P2 = k ⋅ x22 le
relative potenze).
Il rapporto tra i detti valori, in dB è:
⎛ x1 ⎞
⎛ P1 ⎞
rdB (1, 2 ) = 20 ⋅ log10 ⎜ ⎟ = 10 ⋅ log10 ⎜ ⎟
⎝ x2 ⎠
⎝ P2 ⎠
L1/30
DINAMICA IN DECIBEL
• Se x2 è il minimo segnale di interesse (per es. il livello medio di
disturbo) e x1 il segnale sotto esame, rdB (1, 2 ) definisce il livello
relativo di tale segnale.
• In particolare se x1 è il massimo valore del segnale sotto esame,
rdB (1, 2 ) definisce la dinamica del segnale.
L1/31
LA SATURAZIONE
xout
Dura: “hard limiting”
xin
xout
Dolce: “soft limiting”
xin
NB: La dinamica dopo la saturazione è normalmente misurata
rispetto al punto (“valore massimo”) a 1 dB di compressione
L1/32
TRASFORMAZIONE DEI SEGNALI
• SENZA MEMORIA: ZMNL (Zero-Memory Non Linearity)
y ( t ) = g ⎡⎣ x ( t ) ⎤⎦
⎧Lineari (tra cui il Filtraggio)
⎪
• CON MEMORIA: ⎨
⎪Non Lineari
⎩
L1/33
TRASFORMAZIONI SENZA MEMORIA (ISTANTANEE)
y (t )
yM
x (t ) > 0
Limitazione
dura
⎧⎪ y ( t ) = x ( t ) se x ( t ) < xM
⎨
se x ( t ) ≥ xM
⎪⎩ y ( t ) = yM
xM
y (t )
x (t )
x (t ) > 0
Compressione
logaritmica
⎪⎧ y ( t ) = a ⋅ log ⎡⎣b ⋅ x ( t ) ⎤⎦ se x ( t ) > x1
⎨
se x ( t ) ≤ x1
⎪⎩ y ( t ) = k ⋅ x ( t )
x1
y (t )
x (t )
Espansione
(es. Trasmissione
Voce, legge “A”
e “μ”)
x (t )
Zona di
silenziamento
L1/34
TRASFORMAZIONI CON MEMORIA
y(t) dipende dai valori PRECEDENTI (oltre che dall’attuale) di x(t)
x (t ) − y (t )
d
= C y (t )
R
dt
d
x ( t ) = RC y ( t ) + y ( t )
dt
R
x (t )
y (t )
C
(a)
x (t )
y (t )
t
(b)
x (t )
X ( f ) = RCj2π f ⋅ Y ( f ) + Y ( f )
t
y (t )
t
(c)
x (t )
t
y (t )
t
(d)
Y( f )
1
H(f )=
=
X ( f ) 1 + j2π f ⋅ RC
H(f ) =
1
1 + 4π 2 f 2 R 2C 2
∠H ( f ) = − arctan ( 2π fRC )
t
L1/35
TRASFORMAZIONI CON MEMORIA (segue circuito RC)
Ponendo: fT =
1
2π RC
L1/36
TRASFORMAZIONI CON MEMORIA (segue circuito RC)
L1/37
CONVERSIONE ANALOGICO – DIGITALE (A/D)
Segnale
Filtro Passa-Basso
Campionamento
Tenuta
Livelli del segnale campionato
L1/38
CONVERSIONE ANALOGICO – DIGITALE (A/D) (Cont.)
Livelli del segnale campionato
Livelli “quantizzati” del segnale campionato
L1/39
CONVERSIONE ANALOGICO – DIGITALE (A/D) (Cont.)
L1/40
SISTEMA COMPLETO DI ELABORAZIONE DEL SEGNALE
Conversione A/D
Elaborazione
Conversione D/A
L1/41
Esempio di Elaborazione del Segnale
Cross-correlazione tra il segnale trasmesso (radar, sonar,...) e
quello ricevuto per la determinazione del tempo di arrivo
L1/42
DSP (Digital Signal Processing)
Vantaggi dell’Elaborazione Numerica del Segnale
• Programmabilità
• Adattabilità
• Stabilità
• Funzioni Speciali (Notch filters,…)
• Portabilità
• Compressione dati
• Riduzione dei disturbi
L1/43
La tecnologia DSP segue la legge di Moore
L1/44
