Dispense del Corso di Disegno, tenuto da Riccardo Migliari
nella Facoltà di Architettura ‘Ludovico Quaroni’ della ‘Sapienza’ Università di Roma
nell’Anno Accademico 2009 –2010
La prospettiva
e i suoi strumenti teorici e tecnici
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Misure di angoli e segmenti
Fig. 5.1 (in alto) Misura in prospettiva
dell’angolo formato da due rette
incidenti r ed s, appartenenti al piano
geometrale 1.
Fig. 5.2 (in basso) Ricostruzione nello
spazio della misura dell’angolo formato da due rette incidenti r ed s,
appartenenti al piano geometrale 1.
La retta r e la retta a oggettive sono incidenti nel punto P e formano, nello spazio, angoli (supplementari) che sono generalmente
diversi da quelli formati dalle prospettive r’ e a’ incidenti in P’. Si
pone dunque il problema di misurare questi angoli. Consideriamo
allora le rette proiettanti r° e a°: queste rette hanno per costruzione
la direzione delle corrispondenti rette oggettive (il che è come dire
che sono a quelle parallele) e perciò formano angoli eguali a quelli
formati dalle rette oggettive. Perciò, per compiere la misura che ci
interessa, basta riportare sul piano di quadro, cioè sul disegno, le
rette r° e a°, facendo compiere loro un movimento rigido.
Questo movimento si chiama ribaltamento e interessa il piano individuato dalle due rette, che, in questo caso, è il piano
dell’orizzonte. La retta intersezione del piano delle due rette con il
quadro è la cerniera del ribaltamento che serve da asse di rotazione del piano. I due punti di fuga I’r e I’a, che appartengono alla cerniera, restano fermi durante il ribaltamento, o, se si vuole, ruotano
su sé stessi.
Il centro di proiezione O’ descrive un arco di cerchio che giace in
un piano perpendicolare alla cerniera (come fa la maniglia di una
porta quando la chiudiamo). Questo piano taglia il quadro secondo
una retta perpendicolare alla cerniera che passa per O’° e su questa retta si porta il centro di proiezione O’ a ribaltamento avvenuto.
Per trovare la posizione di O’, a ribaltamento avvenuto, posizione
che indicheremo con il simbolo O’* (leggi O primo asterisco), basta
misurare la distanza del centro di proiezione dal quadro, cioè la
distanza principale; ma, dato che questa distanza è eguale al raggio del cerchio omonimo, è evidente che O’* si trova sul cerchio di
distanza, da una parte o dall’altra della cerniera, secondo il verso
del movimento di rotazione (figg. 5.1, 5.2).
Il piano ribaltato trascina nel suo movimento anche le rette r° e a°
che, a ribaltamento avvenuto, si portano in r°* e a°* incidenti in O’*
e descrivono così l’angolo che volevamo misurare in vera forma.
cerniera del ribaltamento
Vogliamo ora risolvere un altro problema, quello di rappresentare in
prospettiva un segmento di lunghezza nota, appartenente ad una
retta perpendicolare al quadro. Le considerazioni che svilupperemo, tuttavia, sono del tutto generali e si possono applicare, come
vedremo, a qualsiasi retta incidente il quadro, quale che sia la sua
direzione.
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Consideriamo dunque la retta r, che ha prospettiva r’ (T’r I’r), e
cioè ha traccia nel punto T’r e fuga nel punto I’r. Vogliamo staccare
su questa retta un segmento (T’r-P) lungo un metro, cioè desideriamo costruire la prospettiva (T’r-P’) di tale segmento.
In primo luogo, bisogna individuare uno degli infiniti piani che appartengono alla retta r, il che significa trovarne la traccia e la fuga. Dato
che r è lo spigolo tra il pavimento della stanza e la parete destra,
converrà scegliere il primo, cioè il geometrale, o la seconda, che
appartiene ad un piano verticale, perché questi piani sono già rappresentati, ma, come vedremo tra poco, nulla impedisce di scegliere
un qualsiasi altro piano del fascio che usa retta r come sostegno.
Il piano geometrale, dunque, il pavimento della stanza, ci aiuterà in
questa prima operazione di misura.
Perché abbiamo bisogno di un piano? Perché su questo piano 1, nello
spazio, potremo disegnare una retta m, capace di staccare sulla retta r
e sulla traccia del piano che la contiene, t’1, segmenti eguali. Disegneremo dunque la prospettiva m’ della retta m e questa incontrerà la prospettiva r’ della retta r nella prospettiva P’ del punto P (figg. 5.3, 5.4).
Come sappiamo, la prospettiva di una retta resta individuata quando se ne conosca la traccia e la fuga, chiediamoci dunque: dove si
trovano questi due punti? Dato che la retta m appartiene, per nostra scelta, al piano 1, la traccia T’m sarà su t’1 e la fuga I’m su
i’1, cioè sull’orizzonte.
Il punto T’m, in particolare, dista da T’r un metro, ovviamente nella
scala della prospettiva, giacché tutto lo spazio che rappresentiamo
ha subito una riduzione. Possiamo staccare questo punto, sulla
traccia t’1, indifferentemente a destra o a sinistra di T’r.
Occupiamoci ora della fuga I’m.
Osserviamo che i punti T’r, T’m e P costituiscono i vertici di un triangolo
isoscele, essendo i segmenti (T’r-T’m) e (T’r-P) eguali per costruzione.
Osserviamo che i punti I’r, I’m e O’ costituiscono anch’essi i vertici
di un triangolo isoscele, perché, per costruzione, il lato (I’r-I’m) appartiene all’orizzonte, che è parallelo alla fondamentale, mentre il
lato (I’r-O’) è parallelo al lato (T’r-P) perché appartiene alla retta r°,
proiettante e parallela alla retta r.
Questa osservazione ci permette dunque di affermare quanto segue:
il punto di fuga della retta m, I’m, capace di staccare segmenti eguali su una retta oggettiva e sulla traccia del piano che la contiene, dista dalla fuga della retta oggettiva quanto quest’ultima dista
dal centro di proiezione O’.
Fig. 5.3 Misura in prospettiva di un segmento T’r-P, di lunghezza assegnata, su di
una retta r perpendicolare al piano di quadro.
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Fig. 5.4 Ricostruzione nello spazio della misura in prospettiva di un segmento T’r-P,
di lunghezza assegnata, su di una retta r perpendicolare al piano di quadro.
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Ebbene: la distanza (O’-I’r) è nota perché è la distanza principale,
raggio del cerchio di distanza, e dunque il punto I’ m sta sulla fuga
i’1 e sul cerchio medesimo.
I punti come I’ m, che sono fuga delle rette che ‘misurano’ una retta
oggettiva, si dicono punti di misura e l’enunciato che abbiamo dato
poc’anzi può anche scriversi nella seguente forma semplificata:
il punto di misura dista dal punto di fuga della retta da misurare
tanto quanto quest’ultimo dista dal punto di vista.
Possiamo riassumere il procedimento che permette di misurare
una retta r qualsiasi nella seguente procedura:
1. si sceglie un piano, tra quelli che passano per la retta r, sul
quale operare la misura, ad esempio ;
2. si rappresenta il piano , disegnandone la traccia t’ e la fuga
i’;
3. si stacca sulla traccia del piano la traccia della retta di misura m, ad una distanza, dalla traccia della retta da misurare,
eguale al segmento che si vuole staccare;
4. si stacca sulla fuga del piano la fuga della retta di misura ad
una distanza dalla fuga della retta da misurare eguale alla distanza della medesima dal centro di proiezione O’;
5. si disegna la prospettiva m’ della retta m, che stacca sulla prospettiva r’ della retta r, la prospettiva P’ del punto che si voleva
costruire.
Supponiamo ora di voler staccare sulla retta oggettiva a una serie
di segmenti eguali in successione: caso frequentissimo, questo,
perché ricorre ogni volta che si debbano rappresentare strutture
regolari dello spazio, come un porticato o anche semplicemente un
pavimento ammattonato. In questo caso non basterà una sola retta
m, ma occorrerà costruirne tante quanti sono i punti da staccare
sulla retta oggettiva (fig. 5.5).
Supponiamo, ancora, di voler staccare sulla retta oggettiva un segmento P2-P3 a partire da un punto P2 di cui si conosce la prospettiva P’2. In questo caso basterà costruire il punto di misura I’m per
tracciare la prospettiva m’2 (I’m P’2) della retta m2: la m’2 incontrerà
la traccia del piano scelto per misurare nel punto T’m2, a partire dal
quale si potranno riportare, nella scala del disegno, i segmenti che
si vuole staccare sulla retta oggettiva (fig. 5.5).
Fig. 5.5 Prospettiva di un porticato e di un pavimento ammattonato quadrato.
Misurare su un piano qualsiasi
Come abbiamo già detto, la prima operazione da compiere, quando si voglia misurare una retta, consiste nello scegliere il piano,
passante per la retta da misurare, nel quale sarà costruita la retta
m. Se decidiamo di assumere, a questo scopo, il piano verticale ,
la traccia della retta m si troverà sulla t’, la fuga sulla i’, ad una
distanza da I’r eguale alla distanza di quest’ultimo punto dal centro
di proiezione O’ e perciò eguale alla distanza principale, visto che r
è perpendicolare al quadro.
La retta di misura m sarà, perciò, una retta obliqua che giace nella
parete della stanza (fig. 5.3).
Supponiamo ora che r non sia lo spigolo tra parete e pavimento,
ma una retta del soffitto, pur sempre perpendicolare al quadro, ma
posta in una posizione qualsiasi (fig. 5.6). Dato che abbiamo scelto
di appoggiare la parete di fondo della stanza sul quadro, la traccia
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Fig. 5.6 Misura di un segmento in prospettiva su un piano obliquo qualsiasi.
del piano del soffitto, t’, è nota, e così la traccia della retta T’r, che
gli appartiene.
Scegliamo di misurare su un piano obliquo qualsiasi: questa scelta, a volte, è necessaria per aumentare la distanza tra la traccia e
la fuga del piano di misura e ottenere, così facendo, un risultato più
accurato.
Ebbene: la traccia del piano di misura appartiene alla traccia della
retta, T’r, la fuga alla fuga I’r e, dato che traccia e fuga di un piano
sono rette parallele, i’ è determinata. Il resto segue com’è noto.
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