M. Barlotti
“Esercizi di Teoria dei grafi”
v. !." Pag. 1
Esercizi di Teoria dei grafi.
Esercizio 1
Un grafo connesso Z è disegnato nel piano senza sovrapposizione di lati e le sue facce hanno
il bordo formato da $ o "# lati; precisamente, ci sono "# facce col bordo formato da $ lati e
una faccia col bordo formato da "# lati. Inoltre, sei vertici di Z hanno grado # e tutti gli altri,
tranne uno che indicheremo con @! , hanno grado & . Nessun vertice ha grado " .
Si dica:
quanti lati ha Z ;
quanti vertici ha Z ;
qual è il grado di @! ;
se Z è euleriano.
Esercizio 2
Sia Z il grafo disegnato qui di seguito, che ha * vertici e "& lati. Si dica:
se Z può essere disegnato nel piano senza sovrapposizione di lati;
se Z è euleriano;
se Z è hamiltoniano.
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Esercizio 3
Sia Z il multigrafo (con & vertici e ( lati) disegnato qui sotto nel piano senza sovrapposizione
di lati. Si dica:
( 3)
se Z è euleriano;
(33)
se Z ha cammini euleriani, e in caso affermativo se ne descriva uno;
(333)
se Z è hamiltoniano.
Esercizio 4
Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha "! vertici e "& lati. Si dica se Z è un grafo piano.
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Esercizio 5
Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha #" vertici e $& lati. Si dica se Z è euleriano e/o
hamiltoniano.
Esercizio 6
Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha ## vertici (numerati da " a ##) e $" lati. Z è
euleriano? Z è hamiltoniano? Questo disegno può essere tracciato (partendo da un vertice di
Z) senza mai ripassare sullo stesso tratto? Se la risposta è affermativa, si può partire da
qualsiasi vertice di Z ? Da quale/i?
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Esercizio 7
Sia Z il grafo senza orientamento disegnato qui sotto, che ha "* vertici (numerati da " a "*) e
$! lati.
Si dica se Z ha
un circuito euleriano;
un cammino euleriano;
un ciclo hamiltoniano.
Esercizio 8
Sia Z il grafo senza orientamento disegnato qui sotto, che ha "# vertici (numerati da " a "#) e
") lati.
Si dica se Z ha
un circuito euleriano;
un cammino euleriano (e in tal caso quali sono i possibili estremi);
un ciclo hamiltoniano.
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Esercizio 9
Sia Z il grafo senza orientamento disegnato qui sotto, che ha come vertici i punti +, ,, - , . , /,
0 , 1, 2. Si dica:
( 3)
se Z è euleriano;
(33)
se Z ha un cammino euleriano (specificando nel caso che la risposta sia affermativa il
vertice inziale e il vertice finale del cammino euleriano).
(333)
se Z è planare;
(3@)
se Z è hamiltoniano.
Esercizio 10
Sia Z il grafo senza orientamento disegnato qui sotto, che ha %' vertici e '* lati.
Si dica se Z ha
un circuito euleriano;
un cammino euleriano (e in tal caso quali sono i possibili estremi);
un ciclo hamiltoniano.
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Esercizio 11
Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha "' vertici e #" lati. Si dica se Z è euleriano e/o
hamiltoniano.
Esercizio 12
Sia Z il grafo disegnato qui di seguito, che ha "' vertici e ## lati. Si dica:
( 3)
se Z è un grafo piano (planare);
(33)
se Z è un grafo euleriano; se Z possiede un circuito eulerianoà se Z possiede un
cammino euleriano;
(333)
se Z è un grafo hamiltoniano.
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Esercizio 13
Sia Z il (multi)grafo senza orientamento qui disegnato, che ha "$ vertici e "* lati:
Si stabilisca se Z è un (multi)grafo euleriano e/o possiede un cammino euleriano, precisando
in quest’ultimo caso quali vertici possono essere gli estremi di tale cammino. Si stabilisca
inoltre se Z è hamiltoniano.
Esercizio 14
Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha ( vertici e "! lati, e sia Z la chiusura di Z . Si dica:
( 3)
se Z è euleriano;
(33)
se Z non è euleriano, ma ha un cammino euleriano (e in tal caso quali sono i possibili
estremi di tale cammino);
(333)
se Z è hamiltoniano;
(3@)
se Z è un grafo piano;
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Esercizio 15
Sia Z il grafo disegnato qui sotto, che ha "! vertici e "& lati. Si dica se Z è un grafo piano.
Esercizio 16
Sia Z il grafo senza orientamento disegnato qui sotto, che ha come vertici i punti +, ,, - , . , /,
0 , 1, 2. Si dica:
( 3)
se Z è euleriano;
(33)
se Z ha un cammino euleriano (specificando nel caso che la risposta sia affermativa il
vertice inziale e il vertice finale del cammino euleriano).
(333)
se Z è planare;
(3@)
se Z è hamiltoniano.
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Esercizio 17
Sia Z il grafo (con ) vertici e "% lati) disegnato qui sotto. Si dica:
( 3)
(33)
(333)
(3@)
se Z è un grafo piano;
se Z è un grafo euleriano;
se Z ha cammini euleriani, e in caso affermativo se ne descriva uno;
se Z è un grafo hamiltoniano.
Esercizio 18
Sia Z il grafo (con ( vertici e "# lati) disegnato qui sotto. Si dica:
( 3)
(33)
(333)
(3@)
se Z è un grafo piano;
se Z è un grafo euleriano;
se Z ha cammini euleriani, e in caso affermativo se ne descriva uno;
se Z è un grafo hamiltoniano.
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Esercizio 19
Siano Z" e Z# i grafi disegnati qui di seguito: il primo ha ( vertici e "# lati, il secondo ha "%
vertici e #" lati. Si dica per ciascuno di essi se è un grafo piano.
Esercizio 20
Siano Z" e Z# i grafi disegnati qui di seguito. Per ciascuno di essi si dica se è euleriano e/o
hamiltoniano.
