svolgimento eserc topolo 2

Svolgimento esercizi riassuntivi di Topologia 2° serie a.a.2007/08
1. Se S e’ uno spazio topologico e X e’ un suo sottoinsieme privo di punti
di accumulazione, la topologia su X e’ quella discreta. Infatti:
x X ´ x S ´ x D X ´ U I x , U aperto,t.c.
U 9 X " x ´ U 9 X x ´ x e’ un aperto di X ´ X
ha la topologia discreta.
Ÿ £¤
Ÿ £¤ £¤
D D
E £¡ ¡
¤ E £¢ ¢
¤
D D
D D
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D D2.
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¢ ¡ cx ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ ¢
xb
Segue che £¢c, b ¡¤ e’ una base per D 1 9 D 2 .
La topologia generata da D 1 : D 2 , e’ quella discreta. Infatti la famiglia
E £A 1 9 A 2 3 A 1 D 1, A 2 D 2 ¤e’ base per la topologia generata da D 1 : D 2
In particolare ¡a, b ¡ 9 ¢c, a ¢ £a ¤ E , per cui ogni sottoinsieme di U e’ un aperto.
2. Su U si considerino le topologie 1 , 2 aventi per base rispettivamente
a, b 3 a b, a, b U , 2 a, b 3 a b, a, b U .
1 Determinare la topologia 1 9 2 e la topologia generata da 1 : 2 .
svolgimento: la topologia 1 9 2 e’ quella naturale. Infatti sia A 1 9
x A ´ a, b 1 t.c. x a, b – A ´ x, b – Aed c, d 2 t.c.
x c, d – A ´ c, x – A.
Segue che per ogni x A, c, b t.c. x c, b – A.
Inoltre la famiglia c, b e’ una famiglia di elementi di 1 9 2 in quanto
c, b : x, b , c, b : c, x .
3. A differenza del caso finito, il prodotto di una famiglia qualunque
di spazi discreti non e’ uno spazio discreto. Provare che
S i e’ discreto· J
£ŸS i , D i ¤ iI
– I, J finito t.c. i J, S i e’ ridotto ad un punto.
iI
´ S i discreto´ £x Ÿx i iI ¤ e’ un aperto di S i ´
iI
iI
A i , con
iI
A i S i , i J, J – I, J finito, e A i opportuno aperto di S i ,i
x x i iI – A i – x x i iI ´ A i x i ´
£
Ÿ ¤
£
Ÿ ¤
i I
i J, J – I, J finito ,S i A i £x i ¤.
iI
iI
£ ¤
£ ¤
(² si supponga cheJ – I, J finito t.c. i J, S i x i .
Si costruisce il seguente aperto A i con A i S i , i
iI
e A i aperto ridotto ad un punto ,i
di S i .
J, t.c.
J
J. Segue che un punto e’ un aperto
iI
Ÿ D Ÿ D D D D
Ÿ D Ÿ D Ÿ Ÿ 4. Siano S 1 , 1 , S 2 , 2 due spazi topologici con S 1 9 S 2 .
Provare che su S S 1 : S 2 la famiglia
1 : 2 e’ una topologia.
Provare inoltre , che se S 1 , 1 , S 2 , 2 sono T 3 T 4 , anche S,
e’ T 3 T 4 .Dire se S e’ o no connesso. Infine se S 1 , S 2 sono compatti,
provare che S e’ compatto.
Svolgimento.
La verifica che
1 : 2 e’ una topologia su S S 1 : S 2 e’ semplice.
D D D
Ÿ D Ÿ
F F F
La famiglia dei chiusi e’ 1 : 2 . Supponiamo S 1 e S 2 spazi T 3 . quindi sono T 1
Lo spazio S S 1 : S 2 e’ sicuramente T 1 . Siano x, y S. Se x, y S 1 , poiche’S 1
e’ T 1 e 1 – segue l’asserto. Analogamente se x, y S 2 . Se poi x S 1 , y S 2 ,
S 1 e’ un intorno di x che non contiene y e S 2 e’ un intorno di y che non contiene x.
Proviamo che S e’ T 3 . Sia x S e C C 1 : C 2 1 : 2 con x C.
Si distinguono vari casi:
se x S 1 , poiche’x C 1 l’asserto e’ ovvio.Analogamente se x S 2 .
La dimostrazione e’ simile nel caso gli spazi siano T 4 .
Sicuramente S non e’ connesso perche’ e’ unione disgiunta degli aperti S 1 e S 2 .
Supponiamo S 1 e S 2 compatti.Sia A i iI un ricoprimento aperto di S.i I,
A i A 1i : A 2i con A 1i 1 e A 2i 2 . Le famiglie A 1i iI e A 2i iI
sono ricoprimenti aperti rispettivamente di S 1 e S 2 che sono compatti. Segue che
esistono due sottoinsiemi finiti I 1 e I 2 di I, tali che A 1i iI 1 e’ un ricoprimento di
S 1 e A 1i iI 2 e’ un ricoprimento di S 2 . Segue che A i iI 1 :I 2 e’ un sottoricoprimento finito di S.
D
D
F F F
£ ¤
D
D
£ ¤
£ ¤
£ ¤
£ ¤
£ ¤
5. Sia U con la topologia cofinita e U • U con la topologia prodotto.
Provare che la retta di equazione y x non e’ un chiuso di U • U .
£Ÿ ¤
Supponiamo per assurdo che x, x 3 x U sia un chiuso.
Segue che x, y 3 x p y e’ un aperto di U • U, quindi
A 1 U x 1 , x 2 , ...x n , A 2 U y 1 , y 2 , ...y m aperti di U, tale che
A 1 • A 2 – . Un punto x x 1 , x 2 , ...x n , y 1 , y 2 , .....y m e’ tale che
x, x .Assurdo.
£Ÿ ¤
£
Ÿ £
¤
£
¤
¤
Ÿ D 6. Provare che se S,
e’ uno spazio T 1 , ogni sottoinsieme finito di S
e’ privo di punti di accumulazione.
Poiche’ lo spazio e’ T 1 , ogni suo sottoinsieme finito e U chiuso, per cui contiene
il suo derivato. Per assurdo supponiamo che un sottoinsieme X x 1 , x 2 , ...x n
£
finito di S, abbia derivato non vuoto.Sia x
£
DŸX – X , supponiamo x x 1 .
¤
£
L’aperto S x 2 , ...x n e’ un intorno di x 1 e S x 2 , ...x n
F £
¤
¤ 9 X " £x 1 ¤ .Assurdo.
¤
7. Su U si consideri la famiglia
, U : X 3 X numerabile .
a) provare che e’ la famiglia dei chiusi di una topologia .
b) provare che U,
e’ T 1 , non e’T 2 e non e’ separabile.
F
Ÿ D D
Il punto a) e’ di semplice verifica. Dimostriamo b).
Siano x, y U con x p y. Certamente U x e’ un intorno di y che non
contiene x e U y e’ un intorno di x che non contiene y. Quindi U,
e’ T 1 .
U, non e’T 2 perche’non esistono aperti non vuoti disgiunti. Per assurdo
supponiamo l’esistenza di due aperti A 1 U X 1 , A 2 U X 2 , con X 1 , X 2
numerabili, non vuoti con A 1 9 A 2 . Segue che U X 1 : X 2 , da cui
Ÿ D £¤
£¤
Ÿ D Ÿ
X1
: X 2 U. Cio’ e’ assurdo perche’X 1 : X 2 e’ numerabile mentre U non lo e’.
£ ¤
£¤
£ ¤
Ÿ UŸ £¤
£¤ D
D D D
£¤
1 : 2,
8. Su U • 0, 1 U • 0 : U • 1 si consideri la topologia
con 1 topologia euclidea su U • 0 e 2 topologia discreta su U • 1 .
Su U • 0, 1 si consideri la relazione di equivalenza tale che:
x, y
xU, yU · x xU.
Provare che lo spazio quoziente U • 0, 1
e’ T 2 e che la surgezione
canonica = non e’ una applicazione aperta.
Svolgimento.
Per provare che U • 0, 1
e’ T 2 ci si puo’ riferire alla seguente proprieta’ :
Sia f : S v S U una applicazione continua con S U spazio T 2 . Considerata su S
la relazione f determinata da f , lo spazio quoziente S
f e’ T 2 .
U l’applicazione tale che
Infatti, sia = la surgezione canonica e g : S
S
v
f
g ( = f. E’ noto che g e’ continua ed ingettiva.
Siano = x , = y S
f con = x p = y . Allora f x p f y e poiche’
S U e’ T 2 , U U I f x , V U I f y con U U 9 V U . Essendo g continua
U I = x , V I = y tali che g U – U U , g V – V. Segue:
g U 9 V – U U 9 V U ´ U 9 V .
D
U
£ ¤OU
£ ¤OU
OU
OU
Ÿ Ÿ OU
Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ U
Ÿ
Nel nostro caso , considerato U con la topologia naturale, U e’ T 2 e l’applicazione f : U • 0, 1 v U tale che f x, y x e’ continua.
Poiche’ la relazione coincide con f , segue che U • 0, 1
e’ T 2 .
£ ¤
U
Ÿ U
£ ¤OU
La surgezione canonica = non e’ aperta perche’ £0 ¤ • £1 ¤ e’ un aperto di
U •£0, 1 ¤ mentre =Ÿ£0 ¤ • £1 ¤ £Ÿ0, 0 , Ÿ0, 1 ¤ che e’ un chiuso di
U •£0, 1 ¤OU.
£ ¤
£ ¤
9. Sia U • 0, 1 con la topologia naturale. Su U • 0, 1 si consideri
U
Ÿ
la relazione di equivalenza tale che:
x, y
x U , y U · x p 0, x x U 8 x x U , y y U .
Provare che lo spazio quoziente U • 0, 1
e’ T 1 ma non T 2 .
Svolgimento.
Osserviamo che U • 0, 1 e’ l’unione delle due rette y 0, y 1
e che la relazione identifica tutti i punti delle due rette tranne i punti
O 0, 0 , A 0, 1 .Segue che, detta = la surgezione canonica, si ha = 0, 0 0, 0
= 0, 1 0, 1 , = x, 0 x, 0 , x, 1 , per ogni x p 0.
U • 0, 1 essendo un sottospazio di U 2 con la topologia naturale che e’ T 1 ,
e’ uno spazio T 1 .Pertanto ogni suo sottoinsieme finito e’ chiuso.Allora, poiche’
ogni classe di equivalenza e’ un chiuso di U • 0, 1 , ne consegue che U • 0, 1
e’ T 1 . Proviamo che U • 0, 1
non e’T 2 . Per assurdo supponiamo che sia T 2 .
Poiche U = 0, 0 p = 0, 1 , U I = 0, 0 , V I = 0, 1 tale che U 9 V . Inoltre
U = U , V = V con U I 0, 0 , V I 0, 1 saturi per la relazione. Siano
S O, . – U, S A, . U – V con . t . U . Si a x, 0 , x p 0 un punto di S O, . . Allora il punto
x, 1 S A, . U da cui = x, 0 = x, 1 = U 9 = V U 9 V.Assurdo.
Ÿ UŸ
Ÿ
£ ¤OU
£ ¤
U
Ÿ Ÿ Ÿ £Ÿ ¤ Ÿ £Ÿ Ÿ ¤
£ ¤
Ÿ £Ÿ ¤
£ ¤
£ ¤OU
Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ £ ¤OU
Ÿ 10. Sia S un insieme.Provare che l’insieme di tutte le topologie su S, munito
della relazione d’ordine ” meno fine di”e U un reticolo limitato.
U
Sia la relazione ” meno fine di”nell’insieme A di tutte le topologie su S.
L’ insieme ordinato A,
e’ limitato . Il suo minimo e’ la topologia indiscreta,
il suo massimo e’ la topologia discreta. Inoltre 1 , 2 A, inf 1 , 2 e’
la topologia intersezione 1 9 2 , mentre sup 1 , 2 e’ la topologia generata
da 1 : 2 .Segue che A,
e’ un reticolo limitato.
D D
Ÿ U D D
Ÿ U D D
£D D ¤
£D D ¤