Forme bilineari simmetriche Qui il campo dei coefficienti è sempre R. Definizione 1. Sia V uno spazio vettoriale. Una forma bilineare su V è una funzione b: V × V → R tale che • ∀ v1 , v2 , v3 ∈ V b(v1 + v2 , v3 ) = b(v1 , v3 ) + b(v2 , v3 ), • ∀ t ∈ R ∀ v1 , v2 ∈ V • ∀ v1 , v2 , v3 ∈ V b(tv1 , v2 ) = tb(v1 , v2 ), b(v1 , v2 + v3 ) = b(v1 , v2 ) + b(v1 , v3 ), • ∀ t ∈ R ∀ v1 , v2 ∈ V b(v1 , tv2 ) = tb(v1 , v2 ). Equivalentemente, per ogni v ∈ V , b( , v) e b(v, ) sono forme lineari su V . In generale, b(t1 v1 +t2 v2 , t3 v3 +t4 v4 ) = t1 t3 b(v1 , v3 )+t1 t4 b(v1 , v4 )+t2 t3 b(v2 , v3 )+t2 t4 b(v2 , v4 ). Sia A = (ai j ) una matrice n × n. Possiamo definire una forma bilineare bA su Rn nel modo seguente: per ogni coppia di vettori x, y di Rn , pensati come vettori colonna x1 y1 x = ... y = ... , xn yn poniamo bA (x, y) = xT Ay, cioè x1 ... xn a1 1 . .. an 1 ... a1 n ... an n y1 .. . . yn Consideriamo la base canonica (e1 , . . . , en ) di Rn , osserviamo che, per ogni i, j, bA (ei , ej ) = ai j . In generale, sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n e sia b una forma bilineare su V . Data B = (v1 , . . . , vn ) una base di V , definiamo la matrice associata alla forma bilineare b rispetto alla base B MB (b) = (mi j ), matrice n × n ottenuta ponendo per ogni i, j mi j = b(vi , vj ). 1 Cioè b(v1 , v1 ) . . . .. MB (b) = . b(vn , v1 ) . . . b(v1 , vn ) . b(vn , vn ) Per ogni coppia di vettori v, v 0 in V , abbiamo b(v, v 0 ) = (vB )T MB (b)vB0 , dove vB è il vettore colonna delle coordinate di v rispetto alla base B. Fissata una base B, l’applicazione che a ogni forma bilineare b su V associa la matrice MB (b) è biettiva (in effetti è un isomorfismo di spazi vettoriali). Date due basi B1 e B2 di V , consideriamo la matrice di cambiamento di base MB1 ,B2 (idV ). Per ogni forma bilineare b su V abbiamo MB2 (b) = (MB1 ,B2 (idV ))T MB1 (b)MB1 ,B2 (idV ). Infatti, (vB2 )T (MB1 ,B2 (idV ))T MB1 (b)MB1 ,B2 (idV )vB0 2 = T = MB1 ,B2 (idV )vB2 MB1 (b)MB1 ,B2 (idV )vB0 2 = (vB1 )T MB1 (b)vB0 1 . Due matrici A e B n × n si dicono congruenti se esiste una matrice invertibile M tale che A = M T BM. Due matrici n × n rappresentano la stessa forma bilineare (rispetto a due basi eventualmente distinte) se e solo se sono congruenti. Esercizio. Consideriamo 1 A= 1 0 −1 0 1 −1 1 0 e definiamo b(x, y) = xT Ay. Abbiamo A = ME (b). Consideriamo un’altra base di R3 1 1 1 B = ( 0 , 1 , 1 ). 0 1 0 Scrivere la matrice MB (b). Definizione 2. Una forma bilineare b su V si dice simmetrica se per ogni v1 , v2 in V b(v1 , v2 ) = b(v2 , v1 ). 2 Una forma bilineare b su V è simmetrica se e solo se la sua matrice associata rispetto a una qualsiasi base B è una matrice simmetrica, cioè (MB (b))T = MB (b). D’ora in avanti consideriamo solo forme bilineari simmetriche. Sia b una forma bilineare simmetrica fissata. Due vettori v1 , v2 si dicono ortogonali se b(v1 , v2 ) = 0, si scrive anche v1 ⊥ v2 . Un vettore v si dice isotropo se b(v, v) = 0. Per ogni sottoinsieme U di V , l’ortogonale U ⊥ = {v ∈ V | b(v, u) = 0 ∀ u ∈ U } è un sottospazio vettoriale di V . Abbiamo U1 ⊆ U2 ⇒ U1⊥ ⊇ U2⊥ (U1 + U2 )⊥ = U1⊥ ∩ U2⊥ (U1 ∩ U2 )⊥ = U1⊥ + U2⊥ Il radicale di b è V ⊥ = {v ∈ V | b(v, w) = 0 ∀ w ∈ V }. Definizione 3. La forma bilineare simmetrica b si dice non degenere se il suo radicale V ⊥ è zero. Si dice definita positiva se b(v, v) > 0 per ogni v 6= 0. Una forma bilineare simmetrica definita positiva è necessariamente nondegenere. La forma bilineare simmetrica b è non-degenere se e solo se la matrice associata a b rispetto a una qualsiasi base di V è di rango massimo. Infatti, fissato v ∈ V , b(v, ) è una forma lineare su V , e v ∈ V ⊥ se e solo se b(v, ) è la forma lineare nulla. La matrice associata all’applicazione lineare b(v, ): V → R rispetto alla base B (e alla base canonica in R) è uguale al vettore riga (vB )T MB (b), quindi v ∈ V ⊥ se e solo se tale vettore riga è zero, ovvero (trasponendo) se e solo se il vettore colonna MB (b)vB è zero, ovvero il vettore colonna vB appartiene a un sottospazio di Rn di dimensione dim V − rg(MB (b)). Teorema 1 (Teorema di Sylvester). Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n, sia b una forma bilineare simmetrica su V . Allora esiste una base B 3 di V tale che la matrice associata alla forma bilineare b rispetto alla base B è della forma a blocchi Ip 0 0 0 −Iq 0 0 0 0 con p ≥ 0, q ≥ 0 e p + q ≤ n, dove p e q non dipendono dalla base B scelta, ma solo dalla forma bilineare b. Attenzione, precisiamo che i blocchi sulla diagonale della matrice dell’enunciato del Teorema di Sylvester sono rispettivamente della forma p × p, q × q e (n − p − q) × (n − p − q), ma qualcuno di questi interi p, q, n − p − q può anche essere zero, quindi qualcuno di questi blocchi può anche non comparire. Ad esempio, se p = n (quindi q = 0) la matrice diventa semplicemente In . La coppia di tali numeri naturali (p, q) si chiama segnatura della forma bilineare simmetrica b. La forma bilineare simmetrica di segnatura (p, q) è non-degenere se e solo se p + q = n, ed è definita positiva se e solo se p = n. Dimostrazione. Prima di tutto dimostriamo che per ogni spazio vettoriale V di dimensione finita e per ogni forma bilineare simmetrica b su V esiste una base B di V rispetto alla quale la matrice associata a b sia diagonale. Procediamo per induzione sulla dimensione n di V . Se n = 1 è banale. Supponiamo che sia vero per ogni spazio vettoriale di dimensione n − 1, e consideriamo V di dimensione n con b forma bilineare simmetrica. Se b è identicamente nulla allora tutte le basi di V vanno bene. Supponiamo che b non sia identicamente nulla, prendiamo un vettore v1 non isotropo. Questo è sempre possibile infatti poiché b non è identicamente nulla esistono u1 , u2 ∈ V tali che b(u1 , u2 ) 6= 0, ma se u1 e u2 sono entrambi isotropi, allora u1 +u2 non è isotropo: b(u1 + u2 , u1 + u2 ) = b(u1 , u1 ) + b(u2 , u2 ) + 2b(u1 , u2 ) = 2b(u1 , u2 ) 6= 0. Consideriamo {v1 }⊥ , esso ha dimensione n − 1, infatti coincide con Ker b(v1 , ) e per costruzione b(v1 , ) è una forma lineare non nulla su V . Inoltre v1 6∈ {v1 }⊥ . La restrizione di b a {v1 }⊥ è una forma bilineare simmetrica, diciamo b0 , quindi per ipotesi induttiva esiste una base B 0 = (v2 , . . . , vn ) di {v1 }⊥ rispetto alla quale la matrice associata a b0 è diagonale. Ora (v1 , v2 , . . . , vn ) è una base di V rispetto alla quale la matrice associata a b è della forma a blocchi 0 b(v1 , v1 ) . 0 MB0 (b0 ) Sia quindi B = (v1 , . . . , vn ) una base rispetto alla quale la matrice associata a b è diagonale. Gli elementi sulla diagonale sono m1 1 = b(v1 , v1 ), ..., 4 mn n = b(vn , vn ). Eventualmente riordinando i vettori della base possiamo supporre che i primi p elementi siano > 0, i successivi q siano < 0 e i restanti = 0 (per qualche p e q). Possiamo quindi riscalare i vettori della base nel modo seguente, (√ v1 vp vp+1 vp+q ,..., √ ,√ ,..., √ , vp+q+1 , . . . , vn ), m1 1 mp p −mp+1 p+1 −mp+q p+q ottenendo la matrice desiderata. Rimane da dimostrare che gli interi p e q non dipendono dalla base scelta. La loro somma è uguale al rango della matrice quindi non dipende dalla base. Mostriamo che p non dipende dalla base scelta, perché è la dimensione massima di un sottospazio vettoriale di V su cui la restrizione di b sia definita positiva. Sia W un sottospazio di V su cui la restrizione di b è definita positiva. Se dim W fosse > p, intersecando con W 0 = Span{vp+1 , . . . , vn }, per la Formula di Grassmann avremmo dim(W ∩ W 0 ) = dim W + dim W 0 − dim(W + W 0 ) > p + (n − p) − n = 0, cioè W ∩ Span{vp+1 , . . . , vn } = 6 {0} che è impossibile. Esercizio. 2 A= 1 0 1 2 1 0 1 2 Trovare una matrice invertibile M tale che M T AM sia della forma prescritta dal Teorema di Sylvester. (Si procede ricorsivamente come nella dimostrazione: se la forma è non nulla si trova un vettore non isotropo e ci si restringe al sottospazio ortogonale, e poi si ricomincia da capo fino a che non si arriva al sottospazio zero o a un sottospazio su cui la forma bilineare sia nulla.) 5