ESERCIZI GEOMETRIA II - 1
1)
Nello spazio vettoriale euclideo R3 si consideri la seguente forma bilineare
simmetrica :
f((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = 3x2y2 + 3x1y3 + 3x3y1.
i) Si scriva la forma quadratica q associata ad f;
ii) si determini il rango e la segnatura di q;
iii) si determini un riferimento canonico per q (ed f) e si scrivano q ed f in tale
riferimento.
2)
0
Assegnata la matrice A = 1
-2
1 - 2
0 2 ,
2 1
i) determinare la forma bilineare f e la forma quadratica q associate ad A;
ii) determinare il rango e la segnatura delle forme f e q;
iii) scrivere q in forma canonica e determinare un riferimento canonico per q;
iv) la f è un prodotto scalare definito positivo ?
2)
Nello spazio vettoriale euclideo R3 (con il prodotto scalare standard) è
assegnata la seguente forma quadratica :
q( (x, y, z,) = 10x2 + 6xz + y2 + 2z2;
i)
scrivere la forma bilineare simmetrica f a cui q è associata e determinarne il
rango e la segnatura;
ii) dire se la f è definita positiva;
iii) determinare un riferimento canonico per q e scrivere q in tale riferimento.
ESERCIZI GEOMETRIA II - 2
1)
Assegnata la matrice :
0 1 1
A = 1 0 1 ,
1 0 1
i)
scrivere la forma bilineare simmetrica f e la forma quadratica q aventi A
come matrice di Gram nel riferimento naturale di R3.
ii)
La f è un prodotto scalare definito positivo? In caso affermativo, dire se il
vettore v = (1, 1, -2) è un versore, rispetto ad f.
iii)
Scrivere f e q in forma canonica e determinare un riferimento canonico R per
esse. La forma canonica è univocamente determinata? Il riferimento canonico R?
2)
Nello spazio vettoriale euclideo R3 (con il prodotto scalare standard) è
assegnata la seguente forma quadratica :
q( (x, y, z,) = 2x2 +2y2+ 2yz + 2z2;
i)
scrivere la forma bilineare simmetrica f a cui q è associata e determinarne il
rango e la segnatura;
ii) dire se la f è definita positiva;
iii) determinare un riferimento canonico per q e scrivere q in tale riferimento.
3)
Nello spazio vettoriale euclideo R3 (con il prodotto scalare standard) è
assegnata la seguente forma bilineare :
f( (x, y, z), (x’, y’, z’) ) = 7xx’+yy’+3yz’+3y’z+9zz’ ;
i) verificare che f è simmetrica e scrivere la forma quadratica q associata ad f;
ii) determinare il rango e la segnatura di q;
iii) determinare un riferimento canonico per q e scrivere la forma canonica di f e di q.
