Indice
Nozioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alcuni richiami di analisi matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Somme infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
3
1
Spazi di probabilità discreti: teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Modelli probabilistici discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Considerazioni introduttive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Assiomi della probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Probabilità e densità discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Proprietà fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Principi basilari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Disposizioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Il principio fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Disposizioni semplici e permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Estrazioni di palline da un’urna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Probabilità condizionale e indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Probabilità condizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bayes e dintorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Indipendenza di eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Prove ripetute e indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Esempi e paradossi sul condizionamento . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Note bibliografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
10
12
15
20
20
21
22
24
28
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33
33
36
40
47
52
61
67
2
Spazi di probabilità discreti: esempi e applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Permutazioni aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 La passeggiata aleatoria semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Statistiche classiche e quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
69
77
84
viii
Indice
2.4
2.5
2.6
Il modello di Ising in meccanica statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Il modello di Hardy-Weinberg in genetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Note bibliografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3
Variabili aleatorie discrete: teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Variabili aleatorie e distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Considerazioni introduttive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Probabilità discrete su spazi generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Distribuzione e densità discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Osservazioni ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Costruzione canonica di una variabile aleatoria . . . . . . . . . . .
3.2 Indipendenza di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Distribuzioni congiunte e marginali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Indipendenza di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Rivisitazione delle prove ripetute e indipendenti . . . . . . . . . .
3.2.4 Proprietà dell’indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Costruzione di variabili aleatorie indipendenti . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Dallo spazio di probabilità alle variabili aleatorie . . . . . . . . . .
3.3 Valor medio e disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Proprietà del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Momenti, varianza e covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Valor medio e indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Coefficiente di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Lavorare con le distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Somma di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Funzione di ripartizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Massimo e minimo di variabili aleatorie indipendenti . . . . . .
3.4.4 Funzione generatrice dei momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Classi notevoli di variabili aleatorie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Uniforme discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Ipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Note bibliografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
103
103
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176
182
187
4
Variabili aleatorie discrete: esempi e applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Sulla legge dei piccoli numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Un’applicazione alla finanza: il modello binomiale . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Il problema del collezionista di figurine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
189
193
200
Indice
4.4
4.5
4.6
4.7
ix
Mescolare un mazzo di carte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rivisitazione delle passeggiate aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La condensazione di Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Note bibliografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
211
218
229
5
Spazi di probabilità e variabili aleatorie generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 σ -algebre e misure di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Variabili aleatorie generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Indipendenza e valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Costruzione di modelli probabilistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Note bibliografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
231
235
238
241
242
6
Variabili aleatorie assolutamente continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Richiami sull’integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 L’integrale in senso proprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 L’integrale in senso improprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Approfondimenti sull’integrabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Proprietà dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Variabili aleatorie reali assolutamente continue . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Definizione e prime proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Determinare la densità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Il calcolo del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Calcoli con variabili aleatorie indipendenti . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Classi notevoli di variabili aleatorie reali assolutamente continue . . .
6.3.1 Uniforme continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Vettori aleatori assolutamente continui * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Definizione e prime proprietà * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Densità congiunta e marginali * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Calcoli con densità* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Esempi e applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Le variabili aleatorie chi-quadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Statistiche d’ordine e variabili aleatorie Beta . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Il processo di Poisson (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 Il processo di Poisson (parte II) * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.5 I vettori aleatori uniformi e il paradosso di Bertrand * . . . . . .
6.6 Vettori aleatori normali * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Matrice di covarianza * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Definizione e proprietà principali * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 Proiezioni ortogonali di vettori normali * . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Note bibliografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
243
243
244
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261
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282
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292
294
294
296
300
303
311
x
Indice
7
Teoremi limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 La legge dei grandi numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Enunciato, dimostrazione e discussione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Il metodo Monte Carlo per il calcolo di integrali . . . . . . . . . .
7.1.3 Il teorema di approssimazione di Weierstrass . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Un esempio con variabili aleatorie correlate . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Il teorema limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Enunciato e discussione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Il metodo dell’approssimazione normale . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Dimostrazione del teorema limite centrale . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Un teorema limite locale per variabili esponenziali . . . . . . . .
7.3 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Note bibliografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
313
314
317
319
321
324
324
327
333
338
340
343
8
Applicazioni alla statistica matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Modelli statistici parametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Intervalli di confidenza per campioni normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Proprietà asintotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Stimatori di massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Note bibliografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345
345
350
354
358
372
Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1 Somme infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Una misura finitamente additiva (ma non σ -additiva) su N . . . . . . . .
A.3 Il principio fondamentale del calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . .
373
373
378
382
Tavola della distribuzione normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Principali distribuzioni notevoli su R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
http://www.springer.com/978-88-470-2594-3
