Corso di Laurea in Matematica, Universit`a di Roma

Corso di Laurea in Matematica, Università di Roma ”La Sapienza”
Corso di Analisi Numerica / Analisi Numerica 2
Docente M. Falcone
Foglio di esercizi: Interpolazione e integrazione polinomiali
Interpolazione
1. Determinare un polinomio interpolatore Hf ∈ Pn tale che
(Hf )k (x0 ) = f k (x0 ) k = 0, ..., n
e verificare
Hf (x) =
n
X
f j (x0 )
j=0
j!
(x − x0 )j
cioè l’interpolazione polinomiale di Hermite costruita su un nodo coincide con il
polinomio di Taylor.
2. Dimostrare che vale la formula ricorsiva
f [x0 , ..., xn ] =
f [x0 , ..., xn−1 ] − f [x1 , ..., xn ]
x0 − xn
n≥1
per le differenze finite di Newton, usando la seguente espressione:
f [x0 , ..., xn ] =
n
X
f (xj )
′
ω (x )
j=0 n+1 j
dove ωn+1 è il polinomio nodale.
3. Sia f (x) = x2 , fi = f (xi ), i = 0, 1, 2, 3, 4 dove i nodi sono
x0 = 0, xi+1 = xi + 1.
Calcolare la tabella delle differenze divise fino alla quarta.
4. Sia f un polinomio di grado n e sia fi = f (xi ), i = 0, 1, . . . . Dimostrare che
f [x0 , ..., xk ] = 0 per k > n.
5. Sull’intervallo [−1, 1] viene interpolata la funzione sin(2πx) con 22 nodi uniformemente distribuiti. Vengono generati un insieme di valori perturbati f˜(xi ) di f (xi ) =
˜ i )| ≤ 5 · 10−3 .
sin(2πxi ) con maxi=0,...,21 |f (xi ) − f(x
Stimare kΠ21 f − Π21 f˜k∞ e dedurre le proprietà di stabilità per tale tipo di interpolazione.
6. Fornire una maggiorazione dell’errore che si commette (indipendentemente dalla
distribuzione dei nodi) approssimando la funzione f (x) = sin2 (x) nell’intervallo
[−5, 5] con un suo polinomio interpolatore di grado 7.
2
7. Data la seguente tabella di valori della funzione f (x) = e−x si costruisca la tavola
delle differenze divise della funzione a partire dai nodi -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5.
1
x
f (x)
-1.5 0.1054
-1.0 0.3679
-0.5 0.7788
0.0
1.0
8. Data la funzione f (x) = x7/2 su nove nodi uniformementi distribuiti su [0, 1], applicare un metodo di interpolazione opportuno per approssimare il suo valore in 3/5 e
dare una stima a priori dell’errore.
9. Si interpoli in modo quadratico la funzione f (x) = ln(x) sui punti x = 10, 11, 12. Valutare l’errore di interpolazione per x = 11.1. Come dipende da x il segno dell’errore?
10. Supponiamo che la funzione f ∈ C 2 ((−1, 1)) venga interpolata mediante un polinomio lineare p1 basato sui nodi x0 , x1 ∈ I ≡ [−1, 1]. Dimostrare che una stima
dell’errore di interpolazione E è data da
E≤
1
max |f ′′ (ξ)| max |(x − x0 )(x − x1 )| .
x∈I
2 ξ∈I
Come devono essere scelti x0 , x1 per minimizzare l’errore ?
Integrazione
11. Data la formula di quadratura del punto medio per approssimare
a+b
I0 (f ) = (b − a)f
2
dimostrare che se f ∈ C 2 ((a, b)), E0 (f ) =
h3 ′′
f (ξ)
3
Rb
a
f (x)dx:
dove ξ ∈ [a, b] e h =
b−a
.
2
12. Data la funzione x7/2 su nove nodi uniformementi distribuiti su [0, 1], applicare un
metodo di integrazione composita per calcolare il valore dell’integrale in [0,1] e dare
una stima a priori dell’errore.
13. Siano Em (f ) e E2m (f ) gli errori di quadratura della formula di Cavalieri-Simpson.
Dimostrare che |Em (f )| ≃ 16|E2m (f )|.
R1
14. Si consideri l’integrale I(f ) = 0 ex dx. Stimare il numero minimo m di sottointervalli necessari per calcolare un errore in modulo minore di 5 · 10−4 usando la formula
dei trapezi composita e Cavalieri-Simpson composita.
R1
15. Considerare l’integrale I(f ) = 0 sin(x) cos(x)dx e stimare il numero minimo m di
sottointervalli necessari per calcolare un errore in modulo minore di 5 · 10−4 usando
la formula dei trapezi composita.
16. Sia f (x) = sgn(x)x2 . Che errore si commette nel calcolo dell’integrale I(f ) =
R3
f (x)dx con la formula di Cavalieri-Simpson composita su 11 nodi equispaziati?
−3
Qual’e’ l’errore che si commette se invece f (x) = sgn(x)(x2 + 1)? Qual’e’ l’errore
che si commette nei due casi usando 10 nodi equispaziati?
2
17. Sia f (x) ∈ C 2 ((a, b)). Dimostrare che
Z
a
b
f (x)dx =
b−a
(b − a)3 ′′
(f (a) + f (b)) −
f (ξ),
2
12
con ξ ∈ (a, b).
18. Si consideri una approssimazione di f : [−1, 1] → IR attraverso il polinomio di grado
1 tale che p(0) = f (0) e p′ (0) = f ′ (0). Supponendo che la f sia sufficientemente
regolare, dare una stima dell’errore. Che grado di regolarità è richiesto per f ?
19. Si consideri una approssimazione di f : [−1, 1] → IR attraverso il polinomio di grado
3 tale che p(±1) = f (±1) e p′ (±1) = f ′ (±1). Dimostrare che
Z 1
1
f (x)dx ≃ f (−1) + f (1) + (f ′ (−1) − f ′ (1)).
3
−1
Che grado di precisione ha questa formula di quadratura?
20. Si consideri una funzione f : Q → IR dove Q = [−1, 1]2 . Costruita una griglia
di passo uniforme su Q si ricavi la stima dell’errore corrispondente alla formula di
quadratura che approssima f in ogni cella con il suo valore nel baricentro della cella.
Quale regolarità è richiesta su f per ottenere la stima dell’errore? Sia f (x) = x2 +y 2
che errore si commette se nella griglia ci sono 11 nodi su ogni lato del quadrato?
3