Esercizi di Algebra II 18 Aprile 2017 1) Usando i polinomi x2 + x − 1

Esercizi di Algebra II
18 Aprile 2017
1) Usando i polinomi x2 + x − 1 e x63 − x + 1, costruire campi con 4, 8, 9, 27 elementi.
2) Si dimostri che se p è un primo e f (x) ∈ Fp [x] è un polinomio irriducibile di grado n, f (x)
n
divide xp − x.
3) Si determinino polinomi minimi su Q per i numeri 1 + i, 2 +
√
3 e 1+
√
3
2+
√
3
4.
4) Dimostrare che x3 − 2 e x3 − 3 sono irriducibili in Q(i).
5) Dimostrare che se F è un campo e α è tale che [F (α) : F ] è dispari, allora F (α2 ) = F (α).
6) Sia K ⊂ L un’estensione finita R un anello tale che K ⊂ R ⊂ L. Dimostrare che R è un
campo.
√
√ √
√
√
√
7) Dimostrare che Q( 2 + 3) = Q( 2, 3). e trovare il polinomio minimo di 2 + 3 su Q.
8) Sia K ⊂ L un’estensione finita di grado n. Dato a ∈ L si consideri l’applicazione ma : L → L
data da ma (b) = ab. Si dimostri che
(1) ma è un’applicazione K lineare.
(2) L’applicazione L → EndK (L) che manda a in ma è un inclusione di anelli.
(3) Il polinomio caratteristico di ma è un multiplo del polinomio minimo di a e coincide
con esso se L = K(a).
√
√
9) Sia K un campo e d un non
√ quadrato in K. Si consideri K( d) con base {1, d}. Si scriva
la matrice ma con a = b + c d, b, c ∈ K rispetto alla base data. Si usi questo per identficare
C con il campo delle matrici 2 × 2 reali della forma
b −c
.
c b
10) Si dimostri che un dominio di integrità finito è un campo.
11) Si dimostri che se R ⊃ C è un dominio di integrità di dimensione finita su C, allora R = C.
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