Istituzioni di Logica Matematica

Istituzioni di Logica Matematica
Sezione 14 del Capitolo 3
Alessandro Andretta
Dipartimento di Matematica
Università di Torino
A. Andretta (Torino)
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AA 2013–2014
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AC
AC(X) dice che: se X è un insieme non vuoto, allora c’è una funzione di
scelta su X.
Esercizio
Dimostrare che se X Y , allora AC(X) ⇒ AC(Y ). In particolare, se
Y ⊆ X, allora AC(X) ⇒ AC(Y ).
AC può essere riformulato come ∀X AC(X).
Teorema
X bene ordinabile ⇒ AC(X)
Dimostrazione.
Fissiamo un buon-ordine C di X. Allora F : P(X) \ {∅} → X, F (A) = il
C-minimo di A, è una funzione di scelta.
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AC
Teorema
AC(X) implica che X è in biezione con un ordinale.
Dimostrazione.
Possiamo supporre X 6= ∅ e fissiamo una funzione di scelta C per X.
Diamo un’idea informale della dimostrazione: sia x0 un elemento di X, per
esempio x0 = C(X) e supponiamo di aver costruito x0 , x1 , . . . , xβ , . . .
elementi distinti di X, con β < α. Se X = {xβ | β < α} allora α → X,
β 7→ xβ è la biezione cercata. Altrimenti scegliamo un nuovo elemento
xα ∈ X distinto dai precedenti, per esempio xα = C(X \ {xβ | β < α}).
Se la funzione α 7→ xα fosse definita per tutti gli α < Hrtg(X), allora
avremmo un’iniezione Hrtg(X) X, contro la definizione di numero di
Hartogs. Quindi esiste un ᾱ < Hrtg(X) tale che X = {xβ | β < ᾱ}.
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Zorn e i suoi amici
Zorn(X)
Se ≤ è un ordinamento su X tale che ogni catena ha un maggiorante,
allora ∃x ⊆ X (x massimale)
Il Lemma di Zorn dice che ∀X Zorn(X).
MaxHaus(X)
Se ≤ è un ordinamento su X, allora ∃C ⊆ X (C catena massimale)
Il principio di massimalità di Hausdorff dice che ∀X MaxHaus(X).
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Zorn e i suoi amici
Proposizione
Fissiamo un insieme non vuoto X.
1
X bene ordinabile ⇒ MaxHaus(X).
2
MaxHaus(X) ⇒ Zorn(X).
Dimostrazione di 1.
Per assurdo, sia ≤ un ordine su X privo di catene massimali. Se C ⊆ X è
una catena, l’insieme K(C) = {x ∈ X \ C | C ∪ {x} è una catena} è non
vuoto. Fissiamo una funzione di scelta F : P(X) \ {∅} → X. La funzione
g : Hrtg(X) → X definita da
g(α) = F (K ({g(β) | β < α})) .
è iniettiva: contraddizione.
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Zorn e i suoi amici
Dimostrazione di 2.
Sia ≤ un ordine parziale su X in cui ogni catena ha un maggiorante. Se
C ⊆ X è una catena massimale, allora il maggiorante di C deve
appartenere a C e quindi è un elemento massimale di X.
Sia ≤ un ordine su X tale che ogni catena ha un maggiorante e
supponiamo, per assurdo che non abbia elementi massimali. Costruiamo
per ricorsione xα ∈ X cosı̀:
poiché xα non è massimale, scelgo xα+1 ∈ X tale che xα < xα+1
se λ è limite considero la catena {xα | α < λ} e sia xλ ∈ X un
maggiorante di questa catena.
(Non serve AC perché X è bene ordinabile.) Quindi avremmo una
funzione iniettiva Ord X: assurdo.
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Zorn e i suoi amici
Teorema
Sono equivalenti:
AC
ogni insieme è bene ordinabile.
il Lemma di Zorn
Dimostrazione.
Se X 6= ∅ sia
F = {f | dom(f ) ⊆ P(X) \ {∅} ∧ ∀A ∈ dom(f ) (f (A) ∈ A)}
ordinato per ⊆. Per Zorn c’è una F ∈ F massimale, e
F : P(X) \ {∅} → X è una funzione di scelta.
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Aritmetica cardinale
Ricordiamo che
max(κ, λ) ≤ κ + λ ≤ κ · λ ≤ max(κ, λ) · max(κ, λ).
Il buon ordine di Gödel su Ord × Ord è definito da
(α, β) <G (γ, δ) ⇔
h
i
max(α, β) < max(γ, δ)∨ max(α, β) = max(γ, δ)∧(α, β) <lex (γ, δ) .
Verificare che <G è un buon-ordine su Ord × Ord e che se α < β allora
α × α è un segmento iniziale di β × β.
Teorema
Sia κ un cardinale infinito. Allora ot(κ × κ, <G ) = κ e |κ × κ| = κ.
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Aritmetica cardinale
Dimostrazione.
La funzione hκ, <i → hκ × κ, <G i, α 7→ (α, 0) è strettamente crescente da
cui κ ≤ ot(κ × κ, <G ). È quindi sufficiente dimostrare per induzione su
κ ≥ ω che ot(κ × κ, <G ) ≤ κ, e quindi |κ × κ| = κ.
Sia α < κ. Se α < ω, allora |α × α| = α · α < ω. Se invece ω ≤ α, allora
ω ≤ |α| < κ e quindi, per ipotesi induttiva, |α| × |α| è di cardinalità |α|.
Poiché |α| × |α| è in biezione con α × α, otteniamo che |α × α| < κ.
Abbiamo quindi verificato che ∀α < κ (|α × α| < κ).
Fissiamo α, β < κ. L’insieme dei <G -predecessori di (α, β)
pred(α, β) = pred((α, β); <G ) = {(α0 , β 0 ) ∈ κ × κ | (α0 , β 0 ) <G (α, β)}
è contenuto in ν × ν, dove ν = max{α, β} + 1, quindi
|pred(α, β)| ≤ |ν × ν| < κ. Abbiamo quindi dimostrato che
∀α, β < κ (ot(pred(α, β), <G ) < κ) e quindi ot(κ × κ, <G ) ≤ κ.
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Aritmetica cardinale
Corollario
Se κ e λ sono cardinali diversi da 0 e almeno uno tra κ e λ è infinito, allora
max(κ, λ) = κ + λ = κ · λ.
In altre parole: la somma ed il prodotto di cardinali sono operazioni banali.
Proposizione
Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ è un cardinale infinito, allora λ 2 ≈ λ κ ≈ λ λ.
Dimostrazione.
Poiché λ 2 ⊆ λ κ ⊆ λ λ, per il teorema di Shröder-Bernstein è sufficiente
dare un’iniezione λ λ λ 2.
P(λ × λ) ≈ P(λ), quindi il risultato discende da λ λ ⊆ P(λ × λ).
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Aritmetica cardinale
Definizione
Se X è un insieme e κ un cardinale
Pκ (X) = {Y ⊆ X | |Y | < κ}
è la famiglia dei sottoinsiemi di X che sono bene ordinabili e di cardinalità
minore di κ.
La definizione è particolarmente importante quando X è un insieme bene
ordinabile, per esempio un cardinale λ. La Proposizione precedente può
essere generalizzata cosı̀:
Proposizione
Se κ ≤ λ sono cardinali,
Pκ (λ) ≈ {f ∈ κ λ | f è strettamente crescente} ≈ κ λ.
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Aritmetica cardinale
Definizione
Assumiamo AC cosı̀ che ogni insieme è bene ordinabile. Se κ e λ sono
cardinali, l’esponenziazione cardinale
κλ
è definita come il numero cardinale |λ κ| dell’insieme delle funzioni
f : λ → κ.
Quindi se 2 ≤ κ ≤ λ e ω ≤ λ allora
|λ 2| = |λ κ| = |λ λ|.
Per il Teorema di Cantor, κ < 2κ e quindi κ+ ≤ 2κ per ogni cardinale κ.
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CH e GCH
L’affermazione
∀κ κ ∈ Card \ ω ⇒ 2κ = κ+
(GCH)
è nota come Ipotesi Generalizzata del Continuo. Poiché ogni cardinale
infinito è della forma ℵα per qualche α, spesso GCH viene formulata come
∀α 2ℵα = ℵα+1 .
Il caso specifico quando κ = ℵ0 si dice Ipotesi del Continuo
2ℵ0 = ℵ1
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(CH)
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n
κ è bene ordinabile
Senza l’Assioma di Scelta non è possibile dimostrare la bene-ordinabilità di
λ κ quando λ ≥ ω — per esempio se non vale AC non è detto che esista un
ordinale in biezione con ω 2.
Mostreremo ora (senza usare AC) che n κ è bene ordinabile per n < ω.
Sia κ è un cardinale infinito e sia f : hκ × κ, <G i → hκ, <i l’isomorfismo.
Definiamo per ricorsione su n ≥ 1 delle biezioni jn : n κ → κ come segue:
poniamo j1 (hαi) = α e poiché la funzione n+1 κ → n κ × κ,
s 7→ (s n, s(n)), è una biezione, possiamo definire la biezione jn+1
s 7→ (s n, s(n)) 7→ (jn (s n), s(n)) 7→ f (jn (s n), s(n)).
Quindi, se κ è un cardinale infinito, allora |n κ| = κ.
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n
κ è bene ordinabile
La funzione jω :
<ω κ
→ω×κ
(
(0, 0)
se s = ∅,
jω (s) =
(n, jn (s)) se lh(s) = n > 0,
è iniettiva e quindi |<ω κ| = κ.
Riassumendo. . .
Teorema
Se X è bene ordinabile e infinito, allora |<ω X| = |X|.
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[κ]n
Definizione
L’insieme dei sottoinsiemi finiti di κ di cardinalità n è
def
[κ]n = {x ⊆ κ | |x| = n} .
Gli insiemi [κ]<n e [κ]≤n dei sottoinsiemi finiti di κ di cardinalità
rispettivamente < n e ≤ n sono definiti similmente. Infine
[
def
[κ]<ω = [κ]n
n
è l’insieme dei sottoinsiemi finiti di κ.
Quindi [κ]0 = {∅} e [κ]1 è l’insieme dei singoletti di κ.
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[κ]n
Ogni x ∈ [κ]n può essere scritto come x = {α0 , . . . , αn−1 } con
α0 < · · · < αn−1 < κ e quindi può essere identificato con la successione
hα0 , . . . , αn−1 i ∈ n κ. Questa identificazione S
definisce un’iniezione
[κ]n n κ che si estende a [κ]<ω <ω κ = n n κ. Quindi per n > 0
κ ≤ |[κ]n | ≤ [κ]<ω ≤ <ω κ = κ
cioè κ = |[κ]n | = |[κ]<ω |.
Quindi
Corollario
Se X è infinito e bene ordinabile, allora anche [X]n e [X]<ω sono bene
ordinabili e se n > 0
|[X]n | = [X]<ω = |X| .
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