Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione

Calcolo differenziale 2:
Massimi e minimi.
Studio di una funzione.
(M.S.Bernabei & H. Thaler)
Studio di una funzione
Funzioni crescenti e decrescenti
Una funzione f é crescente nell’ intervallo (a, b) se
f (x1) ≤ f (x2) quando x1 < x2 per ogni x1 , x2 di (a, b)
Una funzione f é decrescente nell’ intervallo (a, b) se
f (x1) ≥ f (x2) se x1 < x2 per ogni x1 , x2 di (a, b)
Crescente
Decrescente
Crescente
Teorema sulla crescenza e decrescenza di
una funzione
Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso
[a, d] e differenziabile sull’ intervallo aperto (a, d).
1. Se f’(x)>0 per ogni x in (b, c),
allora f é crescente in [b, c].
2. Se f’(x)<0 per ogni x in (a, b),
allora f é decrescente in [a, b].
3. Se f’(x)=0 per ogni x in (c, d),
allora f é costante in [c, d].
a
b
c
d
Estremi di una funzione: massimi e
minimi
Una funzione f definita in un insieme A⊆R ha un
massimo in x=c, appartenente ad A, chiamato max f,
se
f ( x)  f (c) per ogni x in A.
Una funzione f definita in un insieme A⊆R ha un
minimo in x=d, appartenente ad A , chiamato min f,
se
f ( x)  f (d ) per ogni x in A.
b
a
c
d
Estremi di una funzione: massimi e
minimi relativi
Una funzione f definita in un insieme A⊆R ha un
massimo relativo in x=c appartenente ad A, se esiste
un intorno di c, I(c):
f ( x)  f (c) per ogni x in I(c)⋂A.
Una funzione f definita in un insieme A⊆R ha un
minimo in x=d appartenente ad A, se esiste un
intorno di d, I’(d)
f ( x)  f (d ) per ogni x in I’(d)⋂A.
Max rel
b
a
min rel
c
d
Esempio
max rel
min rel
né max né min
Grafico qualitativo
max
max min max
rel
min rel rel
Teorema
(Test della derivata prima)
Sia c un punto critico della funzione f continua su
un intervallo aperto I che contiene c, cioé f’(c)=0.
Se f é differenziabile sull’ intervallo I, allora f(c) può
essere classificato come segue:
• Se f’(x) cambia segno da negativo a positivo in
c, allora f(c) é un punto di minimo relativo di f.
• Se f’(x) cambia segno da positivo a negativo in
c, allora f(c) é un punto di massimo relativo di
f.
• Se f’(x) non cambia di segno in c, allora f(c)
non é né un punto di minimo né un punto di
massimo.
Estremi di una funzione
max f
f’(x)<0
f’(x)>0
f’(x)>0
a
min f
b
rel min f
c
d
f’(x)>0
f’(x)=0
f’(x)>0
Passi per trovare intervalli su cui la
funzione é crescente e decrescente – Test
dei segni
Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo
(a, b)
1. Localizzare i punti critici di f in (a, b), e usare questi
numeri per determinare gli intervalli test.
2. Determinare il segno di f’(x) in un punto test per ciascun
intervallo test.
3. Usare il Teorema precedente per determinare se f è
crescente o decrescente su ogni intervallo.
Osservazione
• Se la funzione è continua su un’ unione di
intevalli il test dei segni va applicato a
ciascuno di essi.
• Se la funzione o la sua derivata presentano
dei punti singolari essi vanno inclusi nel test
dei segni.
Passi per trovare intervalli su cui la
funzione é crescente e decrescente:
secondo metodo – Studio del segno della
derivata
Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo
(a, b)
1. Localizzare i punti critici di f in (a, b).
2. Studiare il segno di f’(x)>0.
3. Usare il Teorema precedente per determinare gli
intervalli dove f è crescente o decrescente e localizzare
gli eventuali punti di massimo e di minimo.
Esempio
Esempio 1 Trovare i punti di massimo e di minimo della
funzione
x 5  5x
f ( x) 
5
Soluzione
Notiamo che f(x) é differenziabile su tutto l’ asse
reale. Ponendo f’(x) = 0 si trovano i punti critici.
f ' ( x)  x 4  1  ( x  1)( x  1)( x 2  1)  0
Quindi gli zeri di f’(x) sono x = –1 e x = 1 ⇒
dal test dei segni si ha che il punto x = –1 é un punto di massimo
relativo, il punto x = 1 é un punto di minimo rel.
Intervalli
– < x <–1
–1< x < 1
1 < x < +
Valori test
x = –2
x=0
x=2
Segno di
f’(x)
f’(–2)=15> 0
f’(0)= –1 < 0
f’(2)=15> 0
Crescente
decrescente
crescente
Conclusione
Esempio: secondo metodo
• Invece di fare il test dei segni si studia il
segno della derivata:
f ' ( x)  x 4  1  ( x  1)( x  1)( x 2  1)  0
•
•
•
•
𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 > −1
𝑥−1>0⇒𝑥 >1
𝑥 2 + 1 > 0 sempre
Discussione dei segni:
--1
1
𝑥+1
--
0
+
+
+
𝑥−1
--
--
--
0
+
Prodotto
+
0
--
0
+
Max
min
Esempio
• Studiare i punti di massimo e di minimo della
seguente funzione:
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥
• Svolgimento: la funzione data è derivabile su
R (dominio):
𝑓′ 𝑥 = 𝑒 𝑥 (1 + 𝑥)
• Per trovare i punti critici si pone 𝑓′ 𝑥 = 0:
𝑒 𝑥 1 + 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = −1
Test dei segni
• Il punto 𝑥 = −1 è un punto di minimo relativo
Intervalli
– < x <–1
–1< x <+
Valori test
x = –2
x=0
Segno di
f’(x)
f’(–2)< 0
f’(0)= 1 > 0
decrescente
crescente
Conclusione
Grafico
Secondo metodo
•
•
•
•
Segno della derivata prima:
𝑓 ′ (𝑥) > 0
⇒ 𝑒𝑥 1 + 𝑥 > 0
⇒ 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 > −1
Il punto 𝑥 = −1 è un punto di minimo
perché a destra di esso la funzione cresce,
mentre a sinistra la funzione decresce.
Esempio
• Trovare i punti di massimo e di minimo
della seguente funzione:
1 4
2
f ( x)  ( x  8 x  1)
4
′
• Punti critici: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 4𝑥 = 0 ⇒
𝑥(𝑥 2 − 4) = 0 ⇒ 𝑥 = 0, 𝑥 = ±2
• La funzione è pari. Potrebbe essere studiata
solo per 𝑥 > 0.
Test dei segni
Intervalli
– < x <–2
–2< x < 0
0<x<2
2 < x < +
Valori test
x = –3
x = -1
x=1
x=3
Segno di
f’(x)
f’(–3)=-15< 0
f’(-1)= 3 > 0
f’(1)=-3< 0
f’(3)=15> 0
Conclusio
ne
Decrescente
Crescente
Decrescente
Crescente
min.
rel.
Max
rel.
min.
rel.
Esempio
Studio di una funzione
• Trovare il dominio
• Trovare le intersezioni con gli assi, se è
possibile.
• Trovare gli asintoti verticali (punti singolari) e
orizzontali.
• Trovare i punti di massimo e di minimo
attraverso la derivata.
• Disegnare il grafico.
Esempio
4
x
Studiare la funzione f(x) e tracciare il grafico: f ( x)  2 1
x
1) Il dominio é R-{0} .
Osservazione: E’ una funzione pari perché 𝒇 𝒙 = 𝒇(−𝒙)
per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x>0. Il
grafico per x<0 si ottiene simmetricamente rispetto all’ asse
delle y.
2) Intersezioni con gli assi: per 𝒙 = 𝟎, la funzione non é
definita, per 𝒚 = 𝟎 l’ equazione x 4  1  0
non ha soluzione.
3)Asintoti verticali: 𝒙 = 𝟎
𝒙𝟒 + 𝟏
𝟏
lim
= + = +∞
𝒙→𝟎+ 𝒙𝟐
𝟎
Non ci sono asintoti orizzontali perché
𝒙𝟒 + 𝟏
lim
= +∞
𝟐
𝒙→∞ 𝒙
4. Massimi e minimi. Si pone f’(x) = 0 per trovare i punti
critici.
4 x 3 x 2  ( x 4  1)2 x 4 x 5  2 x 5  2 x
f ' ( x) 


4
4
x
x
2 x 5  2 x 2 x( x 4  1)
x4 1


2 3 0
4
4
x
x
x
Quindi f ’(x)=0 per x = 1 e f ’(x) non esiste per x = 0.
Il punto x = 1 é di minimo, f (1)=2 .
Intervallo
0<x<1
Valori Test
x = 1/2
x=2
Segno f ’(x)
f’(1/2) < 0
f ’(2) > 0
Conclusione
Decrescente
Crescente
1 < x < +
Derivata seconda e concavità di
una funzione
• Definizione: Data una funzione 𝑓: 𝑎, 𝑏 →
𝑅, derivabile in 𝑎, 𝑏 , si dice convessa in
𝑎, 𝑏 se per ogni 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) il grafico della
funzione sta al di sopra della retta tangente
nel punto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )).
Derivata seconda e concavità di
una funzione
• Definizione: Data una funzione 𝑓: 𝑎, 𝑏 →
𝑅, derivabile in 𝑎, 𝑏 , si dice concava in
𝑎, 𝑏 se per ogni 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) il grafico della
funzione sta al di sotto della retta tangente
nel punto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )).
Punto di flesso
• Definizione: Data una funzione 𝑓: 𝑎, 𝑏 →
𝑅, derivabile in 𝑎, 𝑏 , il punto 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏)
si dice punto di flesso se esiste 𝛿 > 0: la
funzione 𝑓 é concava in (𝑥0 − δ, 𝑥0 ) e
convessa in (𝑥0 , 𝑥0 + δ)) (o viceversa).
Teorema
• Data una funzione 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅, tale che esista la
derivata seconda 𝑓′′ in 𝑎, 𝑏 .
• Se 𝑓 ′′ 𝑥 > 0 per ogni 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , allora la
funzione é convessa in 𝑎, 𝑏 .
• Se 𝑓 ′′ 𝑥 < 0 per ogni 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , allora la
funzione é concava in 𝑎, 𝑏 .
• Se 𝑓 ′′ 𝑥 = 0 per un certo 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 , allora la
funzione ha un punto di flesso in 𝑥0 .
+ +
–
–
Procedimento per trovare i punti di
massimo e di minimo: terzo metodo –
Segno della derivata seconda.
Sia f(x) una funzione continua e derivabile n (n > 1) volte su
un intervallo (a, b).
• Localizzare i punti critici della funzione f in (a, b), cioé le
soluzioni dell’ equazione f ’(x)=0.
• Determinare il segno di f’’(x) (derivata seconda) nei punti
critici:
a) se f ’’(x)<0 il punto critico e un massimo relativo
b) se f ’’(x)>0 il punto critico é un minimo relativo,
c) se f ’’(x)=0 si dovrebbe calcolare la derivata terza f ’’’ o
quelle successive finché la derivata nel punto é diversa da
zero. Se la prima derivata diversa da zero ha ordine pari si
ha un punto di massimo relativo se é negativa e di minimo
relativo se é positiva, se ha ordine dispari allora si ha né un
punto di flesso.
Esempio
• Trovare i punti di massimo e di minimo
della seguente funzione:
1 4
2
f ( x)  ( x  8 x  1)
4
′
• Punti critici: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 4𝑥 = 0 ⇒
𝑥(𝑥 2 − 4) = 0 ⇒ 𝑥 = 0, 𝑥 = ±2
• Derivata seconda: 𝑓 ′′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 4
Esempio
• 𝑓 ′′ 0 = −4 < 0 ⇒ punto di massimo
relativo
• 𝑓 ′′ ±2 = 12 − 4 = 8 > 0 ⇒ punti di
minimo.
Esercizi
1. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il
corrispondente grafico:
•
•
𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 6𝑥 2
𝑓 𝑥 = 2𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1
•
𝑓 𝑥 =
•
𝑓 𝑥 =
•
𝑓 𝑥 =
2
𝑥 +
𝑥
𝑥−1
𝑥+2
2
1+3𝑥 4
𝑥3
Esercizi
2. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il
corrispondente grafico:
•
•
𝑓 𝑥 =
3−𝑥 2
(𝑥−2)2
𝑓 𝑥 =
1+𝑥 2
1−𝑥 2
3. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il
corrispondente grafico:
•
𝑓 𝑥 =
•
𝑓 𝑥 =
4+𝑥 2
2𝑥
2𝑥
𝑥+5
Esercizi
•
•
•
•
•
•
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3
𝑓 𝑥 = −𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 9𝑥 + 3
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 + 2
𝑓 𝑥 =
𝑥2
𝑥 2 −4
𝑓 𝑥 =
2𝑥 2 −1
𝑥 2 +1
𝑓 𝑥 =
𝑥 2 +1
𝑥 2 −𝑥
4. Calcolare la derivata di ciascuna funzione:
a) 𝑦 =
b)
c)
d)
e)
𝑦=
𝑦=
1
𝑥
1
1
+ 2+ 3
𝑥
𝑥
2)
𝑠𝑒𝑛(𝑥
𝑒
𝑥
ln 𝑥
𝑦 = cos3 (2𝑥)
1+𝑥
𝑦 = ln
f) 𝑦 =
1−𝑥
4𝑥 2 −
1
−
𝑥 2 +2𝑥+3
𝑥4
2𝑥
2)
2
𝑠𝑒𝑛(𝑥
cos 𝑥 𝑒
ln 𝑥 −1
ln2 𝑥
−6 cos2 2𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
2
1−𝑥 (1+𝑥)
4𝑥
[
4𝑥 2 −1
]
5. Calcolare i massimi ed i minimi relativi
delle seguenti funzioni:
1 3
2
y

x

2
x
 3 x [max rel in x=1 e min rel
a)
in x=3]
3
2
x

3
b) y 
[Nessun max o min rel]
x 1
c)
yx e
2 x
1
d) y  2
x  2x
[max rel in x=-2 e
min rel in x=0]
[max rel in x=-1]