Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell’ intervallo (a, b) se f (x1) ≤ f (x2) quando x1 < x2 per ogni x1 , x2 di (a, b) Una funzione f é decrescente nell’ intervallo (a, b) se f (x1) ≥ f (x2) se x1 < x2 per ogni x1 , x2 di (a, b) Crescente Decrescente Crescente Teorema sulla crescenza e decrescenza di una funzione Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso [a, d] e differenziabile sull’ intervallo aperto (a, d). 1. Se f’(x)>0 per ogni x in (b, c), allora f é crescente in [b, c]. 2. Se f’(x)<0 per ogni x in (a, b), allora f é decrescente in [a, b]. 3. Se f’(x)=0 per ogni x in (c, d), allora f é costante in [c, d]. a b c d Estremi di una funzione: massimi e minimi Una funzione f definita in un insieme A⊆R ha un massimo in x=c, appartenente ad A, chiamato max f, se f ( x) f (c) per ogni x in A. Una funzione f definita in un insieme A⊆R ha un minimo in x=d, appartenente ad A , chiamato min f, se f ( x) f (d ) per ogni x in A. b a c d Estremi di una funzione: massimi e minimi relativi Una funzione f definita in un insieme A⊆R ha un massimo relativo in x=c appartenente ad A, se esiste un intorno di c, I(c): f ( x) f (c) per ogni x in I(c)⋂A. Una funzione f definita in un insieme A⊆R ha un minimo in x=d appartenente ad A, se esiste un intorno di d, I’(d) f ( x) f (d ) per ogni x in I’(d)⋂A. Max rel b a min rel c d Esempio max rel min rel né max né min Grafico qualitativo max max min max rel min rel rel Teorema (Test della derivata prima) Sia c un punto critico della funzione f continua su un intervallo aperto I che contiene c, cioé f’(c)=0. Se f é differenziabile sull’ intervallo I, allora f(c) può essere classificato come segue: • Se f’(x) cambia segno da negativo a positivo in c, allora f(c) é un punto di minimo relativo di f. • Se f’(x) cambia segno da positivo a negativo in c, allora f(c) é un punto di massimo relativo di f. • Se f’(x) non cambia di segno in c, allora f(c) non é né un punto di minimo né un punto di massimo. Estremi di una funzione max f f’(x)<0 f’(x)>0 f’(x)>0 a min f b rel min f c d f’(x)>0 f’(x)=0 f’(x)>0 Passi per trovare intervalli su cui la funzione é crescente e decrescente – Test dei segni Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo (a, b) 1. Localizzare i punti critici di f in (a, b), e usare questi numeri per determinare gli intervalli test. 2. Determinare il segno di f’(x) in un punto test per ciascun intervallo test. 3. Usare il Teorema precedente per determinare se f è crescente o decrescente su ogni intervallo. Osservazione • Se la funzione è continua su un’ unione di intevalli il test dei segni va applicato a ciascuno di essi. • Se la funzione o la sua derivata presentano dei punti singolari essi vanno inclusi nel test dei segni. Passi per trovare intervalli su cui la funzione é crescente e decrescente: secondo metodo – Studio del segno della derivata Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo (a, b) 1. Localizzare i punti critici di f in (a, b). 2. Studiare il segno di f’(x)>0. 3. Usare il Teorema precedente per determinare gli intervalli dove f è crescente o decrescente e localizzare gli eventuali punti di massimo e di minimo. Esempio Esempio 1 Trovare i punti di massimo e di minimo della funzione x 5 5x f ( x) 5 Soluzione Notiamo che f(x) é differenziabile su tutto l’ asse reale. Ponendo f’(x) = 0 si trovano i punti critici. f ' ( x) x 4 1 ( x 1)( x 1)( x 2 1) 0 Quindi gli zeri di f’(x) sono x = –1 e x = 1 ⇒ dal test dei segni si ha che il punto x = –1 é un punto di massimo relativo, il punto x = 1 é un punto di minimo rel. Intervalli – < x <–1 –1< x < 1 1 < x < + Valori test x = –2 x=0 x=2 Segno di f’(x) f’(–2)=15> 0 f’(0)= –1 < 0 f’(2)=15> 0 Crescente decrescente crescente Conclusione Esempio: secondo metodo • Invece di fare il test dei segni si studia il segno della derivata: f ' ( x) x 4 1 ( x 1)( x 1)( x 2 1) 0 • • • • 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 > −1 𝑥−1>0⇒𝑥 >1 𝑥 2 + 1 > 0 sempre Discussione dei segni: --1 1 𝑥+1 -- 0 + + + 𝑥−1 -- -- -- 0 + Prodotto + 0 -- 0 + Max min Esempio • Studiare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 • Svolgimento: la funzione data è derivabile su R (dominio): 𝑓′ 𝑥 = 𝑒 𝑥 (1 + 𝑥) • Per trovare i punti critici si pone 𝑓′ 𝑥 = 0: 𝑒 𝑥 1 + 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = −1 Test dei segni • Il punto 𝑥 = −1 è un punto di minimo relativo Intervalli – < x <–1 –1< x <+ Valori test x = –2 x=0 Segno di f’(x) f’(–2)< 0 f’(0)= 1 > 0 decrescente crescente Conclusione Grafico Secondo metodo • • • • Segno della derivata prima: 𝑓 ′ (𝑥) > 0 ⇒ 𝑒𝑥 1 + 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 > −1 Il punto 𝑥 = −1 è un punto di minimo perché a destra di esso la funzione cresce, mentre a sinistra la funzione decresce. Esempio • Trovare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: 1 4 2 f ( x) ( x 8 x 1) 4 ′ • Punti critici: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 4𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑥 2 − 4) = 0 ⇒ 𝑥 = 0, 𝑥 = ±2 • La funzione è pari. Potrebbe essere studiata solo per 𝑥 > 0. Test dei segni Intervalli – < x <–2 –2< x < 0 0<x<2 2 < x < + Valori test x = –3 x = -1 x=1 x=3 Segno di f’(x) f’(–3)=-15< 0 f’(-1)= 3 > 0 f’(1)=-3< 0 f’(3)=15> 0 Conclusio ne Decrescente Crescente Decrescente Crescente min. rel. Max rel. min. rel. Esempio Studio di una funzione • Trovare il dominio • Trovare le intersezioni con gli assi, se è possibile. • Trovare gli asintoti verticali (punti singolari) e orizzontali. • Trovare i punti di massimo e di minimo attraverso la derivata. • Disegnare il grafico. Esempio 4 x Studiare la funzione f(x) e tracciare il grafico: f ( x) 2 1 x 1) Il dominio é R-{0} . Osservazione: E’ una funzione pari perché 𝒇 𝒙 = 𝒇(−𝒙) per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x>0. Il grafico per x<0 si ottiene simmetricamente rispetto all’ asse delle y. 2) Intersezioni con gli assi: per 𝒙 = 𝟎, la funzione non é definita, per 𝒚 = 𝟎 l’ equazione x 4 1 0 non ha soluzione. 3)Asintoti verticali: 𝒙 = 𝟎 𝒙𝟒 + 𝟏 𝟏 lim = + = +∞ 𝒙→𝟎+ 𝒙𝟐 𝟎 Non ci sono asintoti orizzontali perché 𝒙𝟒 + 𝟏 lim = +∞ 𝟐 𝒙→∞ 𝒙 4. Massimi e minimi. Si pone f’(x) = 0 per trovare i punti critici. 4 x 3 x 2 ( x 4 1)2 x 4 x 5 2 x 5 2 x f ' ( x) 4 4 x x 2 x 5 2 x 2 x( x 4 1) x4 1 2 3 0 4 4 x x x Quindi f ’(x)=0 per x = 1 e f ’(x) non esiste per x = 0. Il punto x = 1 é di minimo, f (1)=2 . Intervallo 0<x<1 Valori Test x = 1/2 x=2 Segno f ’(x) f’(1/2) < 0 f ’(2) > 0 Conclusione Decrescente Crescente 1 < x < + Derivata seconda e concavità di una funzione • Definizione: Data una funzione 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅, derivabile in 𝑎, 𝑏 , si dice convessa in 𝑎, 𝑏 se per ogni 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) il grafico della funzione sta al di sopra della retta tangente nel punto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )). Derivata seconda e concavità di una funzione • Definizione: Data una funzione 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅, derivabile in 𝑎, 𝑏 , si dice concava in 𝑎, 𝑏 se per ogni 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) il grafico della funzione sta al di sotto della retta tangente nel punto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )). Punto di flesso • Definizione: Data una funzione 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅, derivabile in 𝑎, 𝑏 , il punto 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) si dice punto di flesso se esiste 𝛿 > 0: la funzione 𝑓 é concava in (𝑥0 − δ, 𝑥0 ) e convessa in (𝑥0 , 𝑥0 + δ)) (o viceversa). Teorema • Data una funzione 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅, tale che esista la derivata seconda 𝑓′′ in 𝑎, 𝑏 . • Se 𝑓 ′′ 𝑥 > 0 per ogni 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , allora la funzione é convessa in 𝑎, 𝑏 . • Se 𝑓 ′′ 𝑥 < 0 per ogni 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , allora la funzione é concava in 𝑎, 𝑏 . • Se 𝑓 ′′ 𝑥 = 0 per un certo 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 , allora la funzione ha un punto di flesso in 𝑥0 . + + – – Procedimento per trovare i punti di massimo e di minimo: terzo metodo – Segno della derivata seconda. Sia f(x) una funzione continua e derivabile n (n > 1) volte su un intervallo (a, b). • Localizzare i punti critici della funzione f in (a, b), cioé le soluzioni dell’ equazione f ’(x)=0. • Determinare il segno di f’’(x) (derivata seconda) nei punti critici: a) se f ’’(x)<0 il punto critico e un massimo relativo b) se f ’’(x)>0 il punto critico é un minimo relativo, c) se f ’’(x)=0 si dovrebbe calcolare la derivata terza f ’’’ o quelle successive finché la derivata nel punto é diversa da zero. Se la prima derivata diversa da zero ha ordine pari si ha un punto di massimo relativo se é negativa e di minimo relativo se é positiva, se ha ordine dispari allora si ha né un punto di flesso. Esempio • Trovare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: 1 4 2 f ( x) ( x 8 x 1) 4 ′ • Punti critici: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 4𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑥 2 − 4) = 0 ⇒ 𝑥 = 0, 𝑥 = ±2 • Derivata seconda: 𝑓 ′′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 4 Esempio • 𝑓 ′′ 0 = −4 < 0 ⇒ punto di massimo relativo • 𝑓 ′′ ±2 = 12 − 4 = 8 > 0 ⇒ punti di minimo. Esercizi 1. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: • • 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 6𝑥 2 𝑓 𝑥 = 2𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1 • 𝑓 𝑥 = • 𝑓 𝑥 = • 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 + 𝑥 𝑥−1 𝑥+2 2 1+3𝑥 4 𝑥3 Esercizi 2. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: • • 𝑓 𝑥 = 3−𝑥 2 (𝑥−2)2 𝑓 𝑥 = 1+𝑥 2 1−𝑥 2 3. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: • 𝑓 𝑥 = • 𝑓 𝑥 = 4+𝑥 2 2𝑥 2𝑥 𝑥+5 Esercizi • • • • • • 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3 𝑓 𝑥 = −𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 9𝑥 + 3 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 + 2 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥 2 −4 𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 −1 𝑥 2 +1 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +1 𝑥 2 −𝑥 4. Calcolare la derivata di ciascuna funzione: a) 𝑦 = b) c) d) e) 𝑦= 𝑦= 1 𝑥 1 1 + 2+ 3 𝑥 𝑥 2) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 𝑒 𝑥 ln 𝑥 𝑦 = cos3 (2𝑥) 1+𝑥 𝑦 = ln f) 𝑦 = 1−𝑥 4𝑥 2 − 1 − 𝑥 2 +2𝑥+3 𝑥4 2𝑥 2) 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥 cos 𝑥 𝑒 ln 𝑥 −1 ln2 𝑥 −6 cos2 2𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2 1−𝑥 (1+𝑥) 4𝑥 [ 4𝑥 2 −1 ] 5. Calcolare i massimi ed i minimi relativi delle seguenti funzioni: 1 3 2 y x 2 x 3 x [max rel in x=1 e min rel a) in x=3] 3 2 x 3 b) y [Nessun max o min rel] x 1 c) yx e 2 x 1 d) y 2 x 2x [max rel in x=-2 e min rel in x=0] [max rel in x=-1]