esercizi capitolo 2 L’insieme dei numeri naturali e l’insieme degli interi Numero dei divisori. Somma dei divisori di un numero naturale Determinare il numero dei divisori e la somma dei divisori dei seguenti numeri. esercizio risolto 3920 Se il numero n è scomposto in fattori primi nella forma: n = p1r ⋅ p2s ⋅…⋅ pmt allora il numero dei divisori è uguale a: d(n) = (1 + r) ⋅ (1 + s) ⋅ … ⋅ (1 + t) e la somma dei divisori è uguale a: s(n ) = (1 + p1 + p12 + ... + p1r ) ⋅ (1 + p2 + p22 + ... + p2s ) ⋅ (1 + pm + pm2 + ... + pmt ) Scomposto, perciò, in fattori primi il numero dato: 3920 = 24 ⋅ 5 ⋅ 72 si ha: d(n) = (1 + 4) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 2) = 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = 30 s(n) = (1 + 2 + 22 + 23 + 24) ⋅ (1 + 5) ⋅ (1 + 7 + 72) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) ⋅ 6 ⋅ (1 + 7 + 49) = 10602 1 18; 50; 2 188; 81; 210; 120; 300; 150 320; 400 6, 39; 6, 93; 5, 121; 16, 360; 12, 372 6, 336; 16, 576; 18, 868; 14, 760; 15, 961 Per i numeri seguenti determinare: a) la scomposizione in fattori primi; b) il numero dei divisori; c) la somma dei divisori. a) 24 ⋅ 32 ⋅ 7 • b) 30; c) 3224; a) 25 ⋅ 34 • b) 30 • c) 184 3 1008; 2592 4 968; 82 134 5 Numeri amicabili Due numeri naturali m e n si dicono amicabili se la somma dei divisori di m, escluso m stesso, è uguale a n e, reciprocamente, la somma dei divisori di n, escluso n, è uguale a m. Per esempio sono amicabili i numeri 220 e 284; infatti: a) 23 ⋅ 112 • b) 12; c) 1995; a) 2 ⋅ 35 ⋅ 132 • b) 36 • c) 199 836 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 somma dei divisori di 284 (escluso 284) 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 somma dei divisori di 220 (escluso 220) Il problema della determinazione di numeri amicabili è indeterminato; si conoscono alcune coppie di numeri amicabili, per esempio: 17 296 e 18 416 9 363 584 e 9 437 056 1 è detta coppia di Fermat; è detta coppia di Cartesio. Verificare che sono amicabili i numeri 1184 e 1210. © 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista