Numero dei divisori. Somma dei divisori di un

esercizi
capitolo
2
L’insieme dei numeri naturali e l’insieme degli interi Numero dei divisori. Somma dei divisori di un numero naturale
Determinare il numero dei divisori e la somma dei divisori dei seguenti numeri.
esercizio risolto
3920
Se il numero n è scomposto in fattori primi nella forma:
n = p1r ⋅ p2s ⋅…⋅ pmt
allora il numero dei divisori è uguale a:
d(n) = (1 + r) ⋅ (1 + s) ⋅ … ⋅ (1 + t)
e la somma dei divisori è uguale a:
s(n ) = (1 + p1 + p12 + ... + p1r ) ⋅ (1 + p2 + p22 + ... + p2s ) ⋅ (1 + pm + pm2 + ... + pmt )
Scomposto, perciò, in fattori primi il numero dato:
3920 = 24 ⋅ 5 ⋅ 72
si ha:
d(n) = (1 + 4) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 2) = 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = 30
s(n) = (1 + 2 + 22 + 23 + 24) ⋅ (1 + 5) ⋅ (1 + 7 + 72) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) ⋅ 6 ⋅ (1 + 7 + 49) = 10602
1
18;
50;
2
188;
81;
210;
120;
300;
150
320;
400
6, 39; 6, 93; 5, 121; 16, 360; 12, 372
6, 336; 16, 576; 18, 868; 14, 760; 15, 961
Per i numeri seguenti determinare:
a) la scomposizione in fattori primi;
b) il numero dei divisori;
c) la somma dei divisori.
a) 24 ⋅ 32 ⋅ 7 • b) 30; c) 3224;
a) 25 ⋅ 34 • b) 30 • c) 184
3
1008;
2592
4
968;
82 134
5
Numeri amicabili
Due numeri naturali m e n si dicono amicabili se la somma dei divisori di m, escluso m stesso, è
uguale a n e, reciprocamente, la somma dei divisori di n, escluso n, è uguale a m.
Per esempio sono amicabili i numeri 220 e 284; infatti:
a) 23 ⋅ 112 • b) 12; c) 1995;
a) 2 ⋅ 35 ⋅ 132 • b) 36 • c) 199 836
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142
somma dei divisori di 284 (escluso 284)
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 somma dei divisori di 220 (escluso 220)
Il problema della determinazione di numeri amicabili è indeterminato; si conoscono alcune
coppie di numeri amicabili, per esempio:
17 296 e 18 416
9 363 584 e 9 437 056
1
è detta coppia di Fermat;
è detta coppia di Cartesio.
Verificare che sono amicabili i numeri 1184 e 1210.
© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista