1. Compattezza in spazi metrici

MATERIALE DIDATTICO AGGIUNTIVO - ANALISI MATEMATICA II
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COMPATTEZZA
In questi appunti studieremo la compattezza negli spazi metrici. Nel primo paragrafo otteremo delle caratterizzazioni di questo importante concetto, per mezzo dei
concetti di completezza e di totale limitatezza e per mezzo della proprieta di BolzanoWeierstrass.
La denizione di compattezza attraverso la proprieta di Heine-Pincherle-Borel
mette in luce lo scopo della compattezza essa e, in un certo senso, uno strumento
per trattare insiemi inniti alla stregua di insiemi niti.
Per quanto riguarda la caratterizzazione per mezzo della completezza e della totale
limitatezza, essa, per quanto fondamentale dal punto di vista teorico, non risulta
di molta utilita dal punto di vista pratico. La completezza potra essere sostituita
dalla chiusura nel caso che lo spazio metrico sia completo in tale contesto, infatti,
i due concetti coincidono e coincidono pure la totale limitatezza e la proprieta di
Bolzano-Weierstrass. Nel caso particolare degli spazi euclidei, la cui dimensione nita
comporta la completezza e la coincidenza tra totale limitatezza e limitatezza, la
caratterizzazione mediante la completezza e la totale limitatezza potra essere letta
come una caratterizzazione attraverso la chiusura e la limitatezza, facendone emergere
in questo particolare ma importante contesto il ne che essa si pone: rendere semplice
la verica pratica della compattezza.
La caratterizzazione per mezzo della proprieta di Bolzano-Weierstrass, valida in
ogni spazio metrico, consente di utilizzare la compattezza attraverso la potenza e
semplicita delle successioni.
In breve: la denizione ci dice a cosa serve la compattezza, la caratterizzazione per
mezzo della chiusura e limitatezza ci permette una facile verica della compattezza (in
spazi euclidei), la caratterizzazione per mezzo della proprieta di Bolzano-Weierstrass
ci da la possibilita di usare la potenza della compattezza in modo semplice per mezzo
delle successioni.
1. Compattezza in spazi metrici
Sia (X d) uno spazio metrico.
Denizione 1. Un sottoinsieme E di X si dice COMPATTO (o che ha la proprieta
di HEINE-PINCHERLE-BOREL) se da ogni copertura aperta di E si puo estrarre
un sottocopertura nita.
Denizione 2. Un sottoinsieme E di X si dice COMPLETO se ogni successione di
Cauchy in E converge ad un punto di E .
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Denizione 3. Un sottoinsieme E di X si dice TOTALMENTE LIMITATO se per
ogni " > 0 esiste una "-rete per E , cioe un sottoinsieme nito fx1 : : : xn g di X tale
che E ni=1 B (xi ").
Lemma 1. Sia (xn) una successione di Cauchy in E tale che xn 6! x.
Allora 9 "(x) > 0 9 n(x) 2 IN : xn 62 B (x "(x)) 8 n > n(x).
Dim. Poiche xn 6! x, esiste "(x) > 0 e una sottosuccesione (xn ) di (xn) tale che
d(xn x) "(x). Poniamo "(x) := 12 "(x) e siano n(x) 2 IN tale che d(xn xm) < "(x)
per ogni n m > n(x) e k > n(x). Per ogni n > n(x) risulta d(xn x) d(x xn ) ;
d(xn xn) > "(x) ; "(x) = "(x).
Teorema 1. E compatto ) E completo.
Dim. Sia (xn) una successione di Cauchy in E . Se essa non converge a nessun
punto di E , allora, per il lemma precedente, 8 x 2 E 9 "(x) > 0 9 n(x) 2 IN : xn 62
B (x "(x)) 8 n > n(x). La famiglia fB (x "(x)) : x 2 E g e una copertura aperta di
k
k
k
k
E dalla quale non si puo estrarre alcuna sottocopertura nita di E .
Denizione 4. Un sottoinsieme chiuso E di X ha la PROPRIETA' DEI CHIUSI
INCAPSULATI se ogni successione (Cn ) decrescente di sottoinsiemi chiusi non vuoti
di E tale che diam(Cn ) ! 0 ha come intersezione un insieme costituito da un solo
elemento.
Teorema 2. E completo , E chiuso e ha la proprieta dei chiusi incapsulati.
Dim. ()): Proviamo che E e chiuso. Sia x0 2 D(E ). Allora esiste una successione
(xn ) in E tale che x0 = lim xn. La successione (xn), essendo convergente, e di Cauchy.
Per la completezza di E e l'unicita del limite, x0 = lim xn 2 E .
Proviamo che E ha la proprieta dei chiusi incapsulati. Sia (Cn) una successione
decrescente di sottoinsiemi chiusi non vuoti di E tali che diam(Cn ) ! 0. Per ogni
n 2 IN sia xn 2 Cn . La successione (xn) e di Cauchy pertanto, per la completezza di
E , x := lim xn 2 E . Si verica facilmente che \nCn = fxg.
((): Sia (xn) una successione di Cauchy in E . Poniamo Cn := fxm : m ng E .
La successione di chiusi non vuoti Cn e decrescente e diam(Cn ) ! 0. Allora \nCn =
fxg. Si verica facilmente che x = lim xn.
Teorema 3. E compatto ) E totalmente limitato.
Dim. Fissato arbitrariamente " > 0, fB (x ") : x 2 E g e una copertura aperta di
E . Da essa si puo dunque estrarre una sottocopertura nita di E .
Teorema 4. E totalmente limitato ) E limitato.
Dim. Per esercizio.
Teorema 5. Ogni 21 "-rete per E e una "-rete per E .
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Dim. Per esercizio.
Corollario 1. E totalmente limitato , E totalmemte limitato.
Teorema 6. E completo e totalmente limitato ) E compatto.
Dim. Per assurdo, sia A una copertura aperta di E dalla quale non e possibile
estrarre una sottocopertura nita di E .
Detta fx1 : : : xpg una 1=2-rete per E , risulta:
E = pi=1(B (xi 1=2) \ E ):
Almeno uno tra gli insiemi B (xi 12 )\E non puo essere ricoperto da una sottocopertura
nita estratta da A. Chiamiamo questo insieme C1. Risulta C1 chiuso (poiche E e
chiuso per il Teorema 2), non vuoto, totalmemte limitato e diam(C1) 1.
Detta fx1 : : : xq g una 1=22 -rete per C1, risulta:
C1 = qi=1 (B (xi 1=22 ) \ C1):
Almeno uno tra gli insiemi B (xi 21 ) \ C1 non puo essere ricoperto da una sottocopertura nita estratta da A. Chiamiamo questo insieme C2. Risulta C2 chiuso (poiche
C1 e chiuso), non vuoto, totalmemte limitato e diam(C2) 12 .
Procedendo cos, per induzione si costruisce una successione decrescente (Cn) di
sottoinsiemi chiusi, non vuoti di E tali che diam(Cn ) ! 0.
E , essendo completo, ha la proprieta dei chiusi incapsulati (Teorema 2). Quindi
\n Cn = fxg.
Se x 2 A 2 A, da diam(Cn ) ! 0 si ottiene Cn A per n sucientemente grande,
in contrasto col fatto che nessuno dei Cn puo essere ricoperto con un numero nito
di insiemi di A.
Teorema 7. E totalmente limitato ) ogni successione in E ha un'estratta di Cauchy.
Dim. Sia (xn) una successione in E . Detta fy1 : : : ypg una 1-rete per E , risulta:
E pi=1B (yi 1):
Almeno uno tra gli insiemi B (yi 12 ) \ E deve contenere valori di (xn) per inniti n.
Chiamiamo questo insieme E1 e sia n1 := minfn : xn 2 E1g. Risulta E1 non vuoto,
totalmemte limitato e diam(E1) 1.
Detta fy1 : : : yq g una 1=2-rete per E1, risulta:
E1 pi=1 B (yi 1):
Almeno uno tra gli insiemi B (yi 12 ) \ E deve contenere valori di (xn) per inniti n.
Chiamiamo questo insieme E2 e sia n2 := minfn : xn 2 E2g. Risulta E2 non vuoto,
totalmente limitato e diam(E1) 1=2.
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Procedendo cos, per induzione si costruisce una successione (xnk ), estratta da (xn),
che e di Cauchy.
Denizione 5. Un sottoinsieme E di X ha la PROPRIETA' di BOLZANOWEIERSTRASS se ogni successione in E ha una sottosuccessione convergente ad
un punto di X .
Teorema 8. Un sottoinsieme E di X ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass ed e
chiuso , ogni successione in E ha una sottosuccessione convergente ad un punto di
E.
Dim. Per esercizio.
Teorema 9. Sia E un sottoinsieme di X avente la proprieta di Bolzano-Weierstrass.
Allora:
1) E ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.
2) E e totalmente limitato.
3) E e completo.
Dim. Proviamo 1). Sia (xn) una successione in E per ogni n 2 IN sia yn 2
B (xn 1=n) \ E . La successione (yn) ha una estratta (ynk ) convergente ad un punto
y 2 X . Da d(xnk y) d(xnk ynk ) + d(ynk y) e dal Teorema dei carabinieri segue che
xnk ! y (poiche E e chiuso, y 2 E ).
Proviamo 2). Se E non e totalmente limitato, esiste " > 0 tale che nessun insieme
nito x1 : : : xn E puo essere una "-rete per E . Cio consente di costruire per
induzione una successione (xn) in E tale che d(xn xm) " per ogni n 6= m. Tale
successione non ha estratte convergenti.
Proviamo 3). Sia (xn) una successione di Cauchy in E . In virtu di 1), da essa
si puo estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di E . La successione
originaria, essendo di Cauchy, converge allo stesso punto.
Teorema 10. E compatto , E ha la proprieta di Bolzano-Weierstass.
Dim. ()): Per assurdo, sia (xn) una successione in E priva di estratte convergenti.
Allora per ogni x 2 E esiste un intorno aperto I (x) di x in cui possono stare valori
di (xn) solo per un numero nito di n. La famiglia fI (x) : x 2 E g e una copertura
aperta di E dalla quale non si puo estrarre una sottocopertura nita di E .
((): Se E ha la Proprieta di Bolzano-Weierstrass, per le 2) e 3) del Teorema precedente E e completo e totalmente limitato, dunque compatto per il Teorema 6.
Riassumendo i risultati conseguiti di ha:
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Teorema 11. (Caratterizzazione dei compatti negli spazi metrici)
Per un sottoinsieme E di uno spazio metrico X le seguenti condizioni sono equivalenti:
1) E e compatto.
2) E e completo e totalmente limitato.
3) E e chiuso ed ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.
2. Compattezza in spazi metrici completi
Teorema 12. Per un sottoinsieme E di uno spazio metrico completo le seguenti
condizioni sono equivalenti:
1) E e completo.
2) E e chiuso.
Dim. Per esercizio.
Teorema 13. Per un sottoinsieme E di uno spazio metrico completo le seguenti
condizioni sono equivalenti:
1) E e totalmente limitato.
2) E ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.
Dim. Per esercizio.
Corollario 2. (Caratterizzazione dei compatti negli spazi metrici completi)
Per un sottoinsieme E di uno spazio metrico completo X le seguenti condizioni
sono equivalenti:
1) E e compatto.
2) E e chiuso e totalmente limitato.
3) E e chiuso ed ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.
3. Compattezza in spazi euclidei
Lemma 2. IRk e completo.
Dim. Vedi libro di testo.
Corollario 3. Per un sottoinsieme E di IRk le seguenti condizioni sono equivalenti:
1) E e completo.
2) E e chiuso.
Teorema 14. Per un sottoinsieme E di uno spazio euclideo le seguenti condizioni
sono equivalenti:
1) E e limitato.
2) E e totalmente limitato.
3) E ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.
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Dim. 3) ) per la 2) di Teorema 9] 2) ) 1) ) per il teorema di BolzanoWeierstrass in IRk ) 3).
Corollario 4. (Caratterizzazione
dei compatti negli spazi euclidei)
k
Per un sottoinsieme E di IR le seguenti condizioni sono equivalenti:
1) E e compatto.
2) E e chiuso e limitato.
3) E e chiuso ed ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.