Manuale blu di matematica – Modulo O
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Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi A VVOL U FL EN Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi Manuale blu di matematica Modulo O+Q A che cosa serve la matematica? Il presente volume del Manuale blu di matematica si apre con un’intervista su questo tema. Bergamini Trifone Barozzi I M TA DI IBILE S ES Manuale blu di matematica Robert Ghattas mostra la matematica nascosta nel quotidiano, come la struttura di frattale annidata in un cavolfiore. La matematica non è solo calcolo: allena a ragionare ed è un linguaggio per descrivere e comprendere la realtà. Il Manuale blu di matematica mette in luce questi diversi aspetti: ● Presenta la matematica con spiegazioni rigorose e alla portata degli studenti. ● Accompagna il percorso didattico con numerosi spunti interdisciplinari: interviste a esponenti del mondo scientifico, schede di matematica e cultura, esercizi in lingua inglese. 3 Zanichelli Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA Confezione indivisibile Mod. S+L + Mod. O +Q + Mod. 3 Manuale blu di matematica Gli esercizi sono di vario tipo e introdotti dagli esercizi guida. Al termine di più paragrafi, gli esercizi vari aiutano lo studente a sviluppare autonomia di ragionamento. In ogni unità, fin dal terzo anno, Verso l’esame di stato propone quesiti e problemi per preparare lo studente alla prova scritta. In quinta, Verso l’università presenta esercizi tratti dai compiti di esame di matematica assegnati nelle facoltà scientifiche. OQ OQ + + Zanichelli Modulo O Goniometria Modulo Q Trigonometria A VVOL U FL EN ciascuno dotato di indicazioni di ingresso (prerequisiti e obiettivi) e di uscita (prove di verifica finalizzate alla certificazione delle competenze acquisite). Queste eMI ITAaltre indicazioni (tra cui le informazioni sulla struttura D IBILE S dell’opera), tradizionalmente riservate all’insegnante, sono ES ora presenti nel libro dello studente, in modo da consentire un più corretto e consapevole utilizzo del libro. La formula editoriale VVF (volumi a vendita flessibile) viene incontro a uno dei principali suggerimenti del d.m. 7.12.1999, “Norme e avvertenze per la compilazione del libro di testo da utilizzare nella scuola dell’obbligo”. I contenuti di questo libro sono pertanto offerti, a scelta Nella parte diagili esercizi, la spunta in segnala la possibilità dell’utente, in sezioni e, in alternativa, aggregazioni di (volumi). risolverli scrivendo direttamente nel libro. più ampie L’utente può così scegliere privilegiando la possibilità di ritagliarsi un percorso didattico differenziato, di graduare l’acquisto o L’impegno di contenere la spesa. a mantenere invariato il contenuto di questo volume per ✓ un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo Za- La divisione di questo libro in volumetti non è puramente nichelli, disponibile anche online sul sito www.zanichelli.it, meccanica. In sintonia il 2009, d.m. 7.12.1999 il materiale è stato ai sensi del DM 41 dell’8 con aprile All.1/B. organizzato in modo da configurare moduli didattici autonomi, ciascuno dotato di indicazioni di ingresso (prerequisiti e obiettivi) per diversamente abili e di uscitaFile (prove di verifica finalizzate alla certificazione L’editore mette a disposizione degli studenti non vedenti delle competenze acquisite). ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici Queste e altre indicazioni i(tra cui inlecui informazioni sulla struttura di apprendimento file pdf sono memorizzate dell’opera), riservate all’insegnante, sono le tradizionalmente pagine di questo libro. ora presenti nel libro studente, in modo dadei consentire Il formato deldello file permette l’ingrandimento caratteri un più corretto e consapevole utilizzo del libro. del testo e la lettura mediante software screen reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito www.zanichelli.it/diversamenteabili Suggerimenti e segnalazione degli errori Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L’esperienza è praticamente impossibile Nellasuggerisce parte di che esercizi, la spunta segnalapubblicare la possibilità un libro di privo di errori.scrivendo Saremo quindi grati ai lettori chelibro. vorranno risolverli direttamente nel segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo indicando il nome e il luogo della scuola: L’impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume per Zanichelli editore S.p.A. un Via quinquennio 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo ZaIrnerio, 34(art. - 40126 Bologna nichelli, disponibile anche online sul sito www.zanichelli.it, fax: 051 293322 ai sensi DM 41 dell’8 aprile 2009, All.1/B. e-mail:del [email protected] sito web: www.zanichelli.it ✓ File per diversamente abili metteopera a disposizione degli studenti non vedenti Zanichelli L’editore editore S.p.A. con sistema qualità disabili motori o con disturbi specifici certificatoipovedenti, CertiCarGraf n. 477 di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate secondo la norma UNI EN ISO 9001:2008 le pagine di questo libro. Il formato Litoincisa del file permette l’ingrandimento dei caratteri Fotocomposizione: Paganelli, Bologna del testo e la lettura mediante software screen reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito www.zanichelli.it/diversamenteabili Suggerimenti e segnalazione degli errori Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo indicando il nome e il luogo della scuola: Zanichelli editore S.p.A. Via Irnerio, 34 - 40126 Bologna fax: 051 293322 e-mail: [email protected] sito web: www.zanichelli.it Zanichelli editore S.p.A. opera con sistema qualità certificato CertiCarGraf n. 477 secondo la norma UNI EN ISO 9001:2008 Fotocomposizione: Litoincisa Paganelli, Bologna 20122 Milano e-mail [email protected] e sito web www.aidro.org L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale, consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html. La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%, Copyright 2005 Zanichelli editore S.p.A., Bolognarare [7735] non essendo © concorrenziale all’opera. Non possono considerarsi le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori le opere Io diritti diantologiche. elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di cui all’art. 71 - ter legge diritto d’autore. di riproduzione e di totale o parziale con qualsiasi mezzo Maggiori informazioni sul adattamento nostro sito: www.zanichelli.it/fotocopie/ (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi. 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Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a: Contributi Associazione per i Diritti Rotteglia di Riproduzione – Stesura deiItaliana testi: Antonio (Laboratorio di matematica) delle Opere dell’ingegno (AIDRO) – Revisioni deiRomana, testi: Luisa Corso di Porta n.108 Morini (Numeri complessi), Monica Prandini, Marzia Rivi, Ambra Tinti, Francesco Benvenuti (Laboratorio di 20122 Milano e-mail [email protected] e sito web(Laboratorio www.aidro.org di matematica), matematica), Angela Capucci Elisa Capucci (Laboratorio di matematica) L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo – Stesura di schede: Chiara Manzini (Astri, seni,Lacoseni, tangenti), editoriale, consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html. fotocopia dei soli esemplari Elisanelle Menozzi (Pi digreco, Negativi, immaginari, Ilaria Pellati esistenti biblioteche tali opere è consentita, oltre il limitecomplessi), del 15%, non(Suoni essendoeconcorrenziale all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, moti armonici) nel catalogo dell’editore, una successiva – Revisione di schede: Stefania edizione, Varanole opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. – esercizi: Graziella Barozzi, Mariamusei Bartolucci, NeiStesura contratti didegli cessione è esclusa, per biblioteche, istitutiAnna di istruzione, ed archivi, la facoltà Cristina Bignardi, Maurizio Dieghi, Ilaria Fragni, Lorenzo Ghezzi, di cui all’art. 71 - ter legge Paolo diritto d’autore. Maggiori informazioni nostroLugli, sito: www.zanichelli.it/fotocopie/ Chiara Lucchi, sul Chiara Armando Magnavacca, Luisa Morini, Monica Prandini, Antonio Rotteglia, Alessandro Zagnoli, Alessandro Zago – Risoluzione degli esercizi: Anna Maria Bartolucci, Francesco Benvenuti, Realizzazione Andrea Betti,editoriale: Angela Capucci, Elisa Capucci, Daniela Cipolloni, Civili, Antonella Conte,del Sandra Fermani, Ilaria Fragni, – Ileana Coordinamento redazionale progetto: Marinella Lombardi Giorgi, Erika Giorgi, Roberto Giovagnoli, Fabrizio Longhi, – Daniela Redazione: Giulia Laffi Lucchi, Armando Deborah Magnavacca, Ciro Marziliano, Giuseppe Metere, – Chiara Segreteria di redazione: Lorenzini, Rossella Frezzato Palestini, Prandini, Francesca Anna Riccio, Marzia Rivi, – Arsen Progetto grafico:Monica Editta Gelsomini Salotti,Chia Nadia Scappini, – Riccardo Impaginazione: Lab, BolognaAmbra Tinti – Stesura degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti Intervistae arevisione cura di Giulia Laffi – Revisione linguistica: Alexander Ricerca iconografica: Giulia LaffiSynge – Rilettura dei testi: Erika Giorgi, Chiara Lucchi, Marzia Rivi, Ambra Tinti Disegni: Graffito, Cusano Milanino – Correzione bozze: Il Nove, Bologna Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse inc. Excel è un marchio registrato della Microsoft Corp. Contributi – Stesura dei testi: Antonio Rotteglia (Laboratorio di matematica) Copertina: – Revisioni dei testi: Luisa Morini (Numeri complessi), Monica Prandini, – Realizzazione: Roberto Marzia Rivi, Ambra Tinti,Marchetti Francesco Benvenuti (Laboratorio di – Immagine di copertina: Arata Isozaki, TeamdiDisney Building, matematica), Angela Capucci (Laboratorio matematica), Orlando (1990). Fotografia: di Umberto Tasca Elisa Capucci (Laboratorio matematica) – Immagini Sommario: Simons, 1989; Marctangenti), Chagall, Stesura dipresenti schede:nel Chiara ManziniP.(Astri, seni, coseni, Suonatore di violino, 1912-1913. Museum. SIAE. Elisa Menozzi (Pi greco, Negativi,Amsterdam, immaginari,Stedelijj complessi), Ilaria Pellati (pag. II). Teodolite di Ertel, Germania, XIX secolo. Napoli, Museo degli (Suoni e moti armonici) strumenti storici dell’Osservatorio Astronomico di Capodimonte (pag. III) – Revisione di schede: Stefania Varano – Stesura degli esercizi: Graziella Barozzi, Anna Maria Bartolucci, Prima edizione: febbraio 2005 Cristina Bignardi, Paolo Maurizio Dieghi, Ilaria Fragni, Lorenzo Ghezzi, Chiara Lucchi, Chiara Lugli, Armando Magnavacca, Luisa Morini, Monica Prandini, Antonio Rotteglia, Alessandro Zagnoli, Alessandro Zago – Risoluzione degli esercizi: Anna Maria Bartolucci, Francesco Benvenuti, Andrea Betti, Angela Capucci, Elisa Capucci, Daniela Cipolloni, Ileana Civili, Antonella Conte, Sandra Fermani, Ilaria Fragni, Daniela Giorgi, Erika Giorgi, Roberto Giovagnoli, Fabrizio Longhi, Chiara Lucchi, Armando Magnavacca, Ciro Marziliano, Giuseppe Metere, Arsen Palestini, Monica Prandini, Francesca Anna Riccio, Marzia Rivi, Riccardo Salotti, Nadia Scappini, Ambra Tinti – Stesura e revisione degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti – Revisione linguistica: Alexander Synge – Rilettura dei testi: Erika Giorgi, Chiara Lucchi, Marzia Rivi, Ambra Tinti Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse inc. Excel è un marchio registrato della Microsoft Corp. Copertina: – Realizzazione: Roberto Marchetti – Immagine di copertina: Arata Isozaki, Team Disney Building, Orlando (1990). Fotografia: Umberto Tasca – Immagini presenti nel Sommario: P. Simons, 1989; Marc Chagall, Suonatore di violino, 1912-1913. Amsterdam, Stedelijj Museum. SIAE. (pag. II). Teodolite di Ertel, Germania, XIX secolo. Napoli, Museo degli strumenti storici dell’Osservatorio Astronomico di Capodimonte (pag. III) Prima edizione: febbraio 2005 Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi 3 Manuale blu di matematica Modulo O Goniometria Modulo Q Trigonometria Zanichelli SOMMARIO A CHE COSA SERVE LA MATEMATICA? Matematica e insalate MODULO O GONIOMETRIA Unità 1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 1 2 Le onde si studiano con funzioni sinusoidali. V 3 4 5 6 7 8 La misura degli angoli Le funzioni seno e coseno La funzione tangente Le funzioni secante e cosecante La funzione cotangente Le funzioni goniometriche di angoli particolari Le funzioni goniometriche inverse I grafici delle funzioni goniometriche e le trasformazioni geometriche Laboratorio di matematica Le funzioni goniometriche con Excel TEORIA ESERCIZI 2O 9O 14O 18O 21O 23O 26O 39O 44O 48O 53O 54O 58O 60O 29O 65O 33O Test di fine unità Verso l’Esame di stato 75O 76O Unità 2 LE FORMULE GONIOMETRICHE 1 2 3 4 5 L’interferenza di onde sonore si studia con le formule di prostaferesi. Suoni e moti armonici, pag. 154 O. 6 7 Gli angoli associati Le formule di addizione e sottrazione Le formule di duplicazione Le formule di bisezione Le formule parametriche Le formule di prostaferesi e di Werner Il periodo delle funzioni goniometriche Laboratorio di matematica Gli archi associati con Derive Test di fine unità Verso l’Esame di stato 3, 1415926535897932 384626433832795028 841971693993751058 209749445923078164 062862089986280348 253421170679821480 865132823066470938 44609550582231725... 104O 117O 123O 128O 131O 132O 140O 96O 141O 143O PROVE DI USCITA DAL MODULO Test di fine modulo Verso l’Esame di stato Test your skills Esplorazione. L’inafferrabile pi greco Esplorazione. Suoni e moti armonici Le infinite cifre di . L’inafferrabile pi greco, pag. 152 O. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 80O 82O 87O 89O 91O 92O 94O II 147O 148O 151O 152O 154O SOMMARIO MODULO TRIGONOMETRIA Unità 1 LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE 1 2 3 4 5 6 Le equazioni goniometriche elementari Le equazioni lineari in seno e coseno Le equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno I sistemi di equazioni goniometriche Le disequazioni goniometriche La discussione di un’equazione goniometrica parametrica Laboratorio di matematica Le equazioni goniometriche con Derive TEORIA Q ESERCIZI 2Q 9Q 30Q 45Q 12Q 15Q 16Q 48Q 60Q 63Q 20Q 82Q Trigonometria e astronomia hanno una lunga storia in comune. Astri, seni, coseni e tangenti, pag. 244 Q. 24Q Test di fine unità Verso l’Esame di stato 85Q 87Q Unità 2 LA TRIGONOMETRIA 1 2 3 4 I triangoli rettangoli Applicazione dei teoremi sui triangoli rettangoli I triangoli qualunque Le applicazione della trigonometria Laboratorio di matematica La trigonometria con Derive 92Q 96Q 98Q 103Q 114Q 122Q 124Q 144Q 107Q Test di fine unità Verso l’Esame di stato 152Q 154Q Teodolite di Ertel, Germania, XIX secolo. Esempio, pag. 106 Q. Unità 3 NUMERI COMPLESSI, VETTORI COORDINATE POLARI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 I numeri complessi Il calcolo con i numeri immaginari Il calcolo con i numeri complessi I vettori Le coordinate polari Le coordinate polari e le equazioni delle curve I vettori e i numeri complessi Le operazioni fra numeri complessi in forma trigonometrica Le radici n-esime dell’unità Le radici n-esime di un numero complesso La forma esponenziale di un numero complesso Laboratorio di matematica I numeri complessi con Excel 159Q 165Q 167Q 170Q 172Q 175Q 180Q 200Q 202Q 204Q 209Q 210Q 211Q 214Q Negativi, immaginari, com- plessi, pag. 246 Q. 182Q 186Q 189Q 191Q 216Q 224Q 226Q 231Q 193Q Test di fine unità Verso l’Esame di stato M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 La geometria frattale, nata dai numeri complessi, descrive nuvole, coste e montagne. 234Q 236Q III SOMMARIO TEORIA ESERCIZI PROVE DI USCITA DAL MODULO Test di fine unità Verso l’Esame di stato Test your skills Esplorazione. Astri, seni, coseni e tangenti Esplorazione. Negativi, immaginari, complessi La distanza Terra-Luna si determina con la trigonometria. Esercizio guida, pag. 144 Q. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 IV 239Q 240Q 243Q 244Q 246Q A che cosa serve la matematica? Matematica e insalate Dopo aver studiato per quattro anni matematica ed averne esplorato i campi più diversi, come mai ha deciso di scrivere una tesi che parlasse anche di letteratura? Ero affascinato dagli scritti di Jorge Luis Borges (figura 1) e dai paralleli che potevo intravedere tra le sue opere e le scoperte di matematica che si stavano facendo negli anni in cui scriveva. parecchi con la tecnica dell'autoreferenza, cioè quel micro-paradosso che si ha quando certe affermazioni parlano di se stesse. Per esempio la frase “L'ultima parola di questa frase è ciarlatano” è sempre vera, qualsiasi parola si metta al posto di “ciarlatano”. La strada per arrivare all'infinito è spianata: “Io sono l'autore della frase: “Io sono l'autore della frase: “Io sono l'autore della frase…”…” e così via! L'autoreferenza diventa una strada privilegiata per i paradossi e per l’infinito. Bene, sia i matematici sia Borges la utilizzarono per entrambi gli scopi. Cioè? Alcuni concetti sembrano essere fondamentali sia per la narrativa di Borges sia per i matematici suoi contemporanei. Si stavano studiando le strane proprietà degli insiemi con infiniti elementi, e l'infinito si stava rivelando più affascinante che pauroso o misterioso. Anche Borges parla spesso di infinito. In particolare ne crea Maria Mulas, Miraggi Ma se le piaceva la letteratura perché ha scelto di iscriversi a Matematica? Le assicuro che se avessi studiato lettere la domanda sarebbe stata “Ma se le piaceva la matematica perché ha scelto di iscriversi a Lettere?”. Comunque credo ancora di aver fatto la scelta giusta. Finito il liceo ero affascinato dalla matematica, e dopo anni lo sono ancora, credo sia un buon segno! Figura 1. Jorge Luis Borges (1899-1986), scrittore argentino, è considerato uno dei più geniali autori del secolo scorso. Per saperne di più puoi leggere le raccolte di racconti «Aleph» e «Finzioni». M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 E una volta finita l’Università come ha pensato di continuare la sua formazione? Confesso che ero un po’ stanco di studiare solo matematica, così che, finiti gli studi, ho scelto di non rimanere nell'ambiente universitario. Da Bologna sono quindi approdato a Trieste, dove ho studiato altri due anni per un Master in Comunicazione della Scienza. Credo che parlare di matematica con un pubblico eterogeneo sia più vicino alle mie capacità e ai miei desideri che non rimanere nella cerchia degli accademici. Così oggi faccio matematica più con musei, libri, riviste che con lezioni e convegni. V Robert Ghattas, giovane scrittore italo-canadese, è laureato in matematica e si è specializzato in museologia al Master in Comunicazione Scientifica della Sissa (Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati) di Trieste. Da sempre interessato all’aspetto didattico e ludico-ricreativo della matematica, ha recentemente pubblicato il libro Insalate di matematica: un testo in cui propone algebra, geometria e logica in una versione divertente e alla portata di tutti. Lavora come animatore al Museo del Balì di Saltara, vicino a Urbino, un Science Centre il cui motto è “vietato non toccare!” e dove presenta una scienza da sentire, ascoltare, annusare, guardare… e tutta da scoprire in prima persona. Matematica con le mani Che cosa fa, quindi? Lavoro al Museo del Balì, uno science centre a Saltara (PU), dove sono responsabile di tutto quello che ha a che fare con la matematica: laboratori didattici con le scuole, formazione per gli insegnanti, divulgazione per il pubblico. I musei sono un bel contesto dove divertirsi imparando e imparare divertendosi. È una bella soddisfazione vedere bambini sorpresi da un pezzettino di matematica e pochi istanti dopo accorgersi della medesima espressione sul volto di una signora di novant’anni. 2 3 8 9 4 10 1 7 5 6 9 x 7 = 63 Figura 2. La moltiplicazione del numero 9 con le mani. Proviamo a calcolare 9 7. Numeriamo le dita da 1 a 10 e abbassiamo il settimo dito: avremo da una parte 6 dita (le decine del risultato) e dall’altra 3 (le unità). Allora il prodotto è 63. Ci spieghi meglio in che cosa conMatematica e cavolfiori siste il suo lavoro al museo. Il Museo del Balì è completamente E ha abbandonato la letteratura? interattivo; questo significa che ci Non solo non l’ho abbandonata, sono postazioni in cui il visitatore ma ho anche avuto il coraggio e può vedere – e soprattutto toccare! l’ardire di diventare io stesso scrit– fenomeni scientifici. Se qualcosa tore. Nell’estate 2004 è uscito Innon gli è chiaro o la curiosità lo salate di matematica che porta il spinge a nuove domande, può semmio nome come autore. pre rivolgersi ad una figura di riferiL’idea era quella di raccogliere mento, chiamata pilot. Un buon piin un libro leggero leggero alcune lot deve quindi coniugare bene curiosità di matematica che erano competenze tecniche, fantasia e cariuscite a stupirmi. Alla fine pacità comunicatiscrivere per me è Tutto il libro parla ve, in modo da esstato solo condividi cose legate alla vita sere il lubrificante dere delle cose quotidiana: alla cucina, tra la postazione inbelle, o divertenti, ai viaggi, al corpo terattiva e l’utente. che avevo avuto umano, agli animali… Quando poi a modo di scoprire visitare il museo è una classe, le opnel tempo. Solo che la “matematiportunità di sbizzarrirsi aumentano, ca delle insalate” non è quella dei perché oltre alla visita c’è la possibiquaderni e delle lavagne. Tutto il lità di organizzare veri e propri lalibro parla di cose legate alla vita boratori didattici, in cui si possa viquotidiana: alla cucina, ai viaggi, vere in pieno lo spirito del laboraal corpo umano, agli anitorio: mente e mani in sinergia. mali, e così via. “ ” Vuole farci qualche esempio? Ogni tanto al museo c’è “Diamo i numeri”: un momento in cui organizzo qualcosa di stravagante e divertente legato alla matematica. L’ultima volta ho invitato i presenti a fare le operazioni con le mani (figura 2). M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 Dunque la matematica è sempre lì, in agguato, dietro l’angolo? Proprio così! Pensiamo per esempio al cambio della bicicletta: in matematica il rapporto fra due VI numeri è il risultato della loro divisione, questo concetto è strettamente legato al rapporto ciclistico. Il sistema a ingranaggi (figura 3) serve infatti a modificare il numero di giri che la ruota posteriore compie ad ogni pedalata, questo numero è esattamente il rapporto aritmetico fra il numero di denti dell’ingranaggio anteriore e il numero di denti dell’ingranaggio posteriore. Se il rapporto vale 2, vuol dire che ad ogni pedalata si fanno due giri di ruota, se invece è 1/2, significa che per far compiere un giro alla ruota occorrono due giri di pedale. Se contiamo i denti degli ingranaggi del cambio di una bici, scopriamo che il rapporto più duro vale 48/14 (circa 3,4 giri), e lo impostiamo scegliendo il maggiore degli ingranaggi anteriori e il minore di quelli posteriori; il più agile, invece, vale 28/33 (circa 0,8 giri), e lo impostiamo collegando il minore degli anteriori al maggiore dei posteriori. La matematica è anche dietro la scelta del percorso più furbo: quando si esce per andare in edicola, in biblioteca, dal salumiere e in ferramenta, non sempre è facile capire qual è il percorso più breve da fare. E più è grande il numero dei posti da cui si deve passare, più è difficile scegliere il percorso migliore, perché le combinazioni possibili sono tantissime. Il calcolo combinatorio ci insegna che se Figura 3. Il rapporto ciclistico è un rapporto numerico: numero giri di ruota . numero pedalate A che cosa serve la matematica? vogliamo passare per 10 punti, i modi diversi per raggiungerli tutti uno dopo l’altro sono ben 10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (ovvero 3.628.800). Questo problema è talmente difficile che ancora i matematici non hanno trovato un modo unico per risolverlo; ogni volta bisogna fare dei tentativi e delle misure e accontentarsi di una soluzione che non è la migliore, ma che è accettabile. E dove si nasconde ancora la matematica? Per esempio nella forma di una foca, di una lepre della California (figura 4), di un cubetto di ghiaccio e di una caramella! Stiamo parlando di un problema di massimo e minimo di superficie a parità di volume. La foca, per proteggersi dal freddo, ha una forma tale da lasciare meno superficie possibile a contatto con l’esterno e la Natura, dotandola di una forma quasi sferica, ha sicuramente chiesto aiuto alla matematica. La lepre della California, invece, ha il problema contrario: deve avere a contatto con l’aria più superficie possibile per disperdere una grande quantità di calore per irraggiamento; per questo ha le orecchie molto grandi. Questo è il motivo per cui i cani, quando hanno caldo, tirano fuori la lingua: è il solo modo che record! Ma sarebbe bello continuare a scoprire microscopici cavolfiorini all’infinito! Questa è l’idea di frattale: un oggetto che somiglia ad una sua stessa parte. Il cavolfiore è fatto esattamente come un frattale! Aperitivo matematico Figura 5. Il cavolfiore nasconde la struttura di un frattale. hanno per aumentare la loro superficie corporea. Si pensi anche ai cubetti di ghiaccio: la velocità di raffreddamento di una bevanda dipende dalla superficie del cubetto a contatto col liquido, è quindi un’idea furba che ne esistano alcuni scavati al centro, perché questa forma fa sì che sia molto grande la superficie a contatto con la bibita. Un discorso del tutto analogo vale per l’intensità del sapore di una caramella, questo infatti è direttamente proporzionale non tanto al volume, ma alla superficie che viene a contatto con le nostre papille gustative. Ricordate le caramelle col buco? Un’ altra cosa divertente è la matematica che si nasconde in un cavolfiore: se lo guardiamo bene possiamo osservare che ogni infiorescenza è fatta come un cavolfiore di cui ogni infiorescenza è fatta come un cavolfiore di cui… (figura 5) Io sono riuscito a sezionarlo fino ad arrivare all’ottavo livello: prendo il cavolfiore e ne stacco un rametto, un cavolfiorino, a questo stacco un rametto, un cavolfiorino, e Figura 4. La lepre della California vive così via. Le cose iniziano negli ambienti desertici di molti distretti a complicarsi al settimo lidegli Stati Uniti, ha padiglioni auricolari vello, raggiungere l’ottamolto grandi e ben vascolarizzati. vo è stato veramente un M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 VII Sentirla parlare fa davvero pensare che la matematica sia divertente. Ha mai organizzato un evento per comunicarlo? Mi è capitato di dover organizzare un intrattenimento matematico per festeggiare l’anniversario del museo scientifico di Trieste; era l’ora dell’aperitivo e ho pensato di partire da lì. All’inizio il mio pubblico era costituito prevalentemente da bambini e genitori, poi però, dato che lì vicino c’era un workshop di fisici teorici, sono arrivati anche tutti questi ricercatori. È stata una grossa sfida riuscire a parlare a vari livelli ed incuriosire bimbi e fisici insieme! Con le olive e gli stuzzicadenti ho costruito solidi e verificato la formula di Eulero (numero facce + numero vertici = numero di spigoli + 2); i vertici erano le olive, Figura 6. La Natura sceglie i numeri di Fibonacci nella disposizione delle scaglie dell’ananas. A che cosa serve la matematica? Figura 7. Robert Ghattas, durante un laboratorio didattico al Museo, cerca i numeri di Fibonacci nella frutta. All’interno di una mela scopre una stella a 5 punte! La successione di Fibonacci consiste in una sequenza di numeri nella quale ognuno di essi è la somma dei due precedenti: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... matica e spero di riuscire ad espriA che cosa serve? A rendere la vita gli spigoli erano gli stuzzicadenti, mere il mio entusiasmo incuriosenmigliore! le facce si potevano immaginare, do chi mi ascolta e incoraggiandolo La matematica, a millenni di dio fare con le sottilette! a non arenarsi alle prime difficoltà. stanza dalla sua nascita, è ancora Inclinando un bicchiere conico Credo sia molto importante infatti florida, mentre l’alchimia non è pieno di aperitivo mostravo paratrasmettere passione ed entusiasopravvissuta. bole (pensate alle sezioni conismo; io non amavo Bach, durante Ci sono cose che vanno e vengoche!), con un bicchiere cilindrico no, la matematica no, la poepieno di succo di frutta in…si campa anche senza sapere che sia no. E a che serve la poesia? vece ottenevo ellissi... cos’è un logaritmo, senza sapere suonare A me la matematica serve per Osservando la distribuuno strumento musicale, senza conoscere lavorare e per divertirmi. Dozione delle scaglie dell’anail nome del vento che ti soffia in faccia vesse smettere di divertirmi e nas in due serie di spirali o del fiore che regali a qualcuno. di darmi il pane, per me di(figura 6), una in senso oraMa di sicuro ci si perde qualcosa. venterebbe davvero inutile. rio e l'altra in senso antiorario, osservavo che erano 8 in gli anni dell’università ho abitato E a chi a sentir parlare di mateun senso e 13 nell’altro. E questo con un amico che invece lo adoramatica storce ancora il naso, che non è un caso: 8 e 13 sono due va, si svegliava al mattino e si metcosa dice? numeri successivi nella sequenza teva al piano così ho imparato a coChe si campa anche senza sapere di Fibonacci. gliere la bellezza di quella musica. che cos’è un logaritmo, senza saper E così un aperitivo si è trasforCredo che con la matematica debsuonare uno strumento musicale, mato in una serie di curiosità maba accadere lo stesso, c’è bisogno senza conoscere il nome del vento tematiche. di essere presi per mano e di trovache ti soffia in faccia o del fiore che re stimoli che incoraggino a scoregali a qualcuno. Ma di sicuro ci si A che cosa serve la matematica? prirne la bellezza. perde qualcosa. Io affronto la matematica con lo stesso spirito con cui leggo un bel romanzo, col desiderio di assapoPER SAPERNE DI PIÙ rare una cosa che mette insieme la realtà e il genio umano che interNel suo libro, R.Ghattas propone sette buffet mepreta la realtà. E questa non è solo taforici che solleticano l’appetito di curiosità e che la matematica, questa è anche la si possono assaggiare senza un ordine preciso. Tutpoesia, la tassonomia nella bioloto ha a che fare con la matematica! E questa sciengia, la geografia, la chimica. C’è za, tutt’altro che noiosa e incomprensibile, riesce a una realtà e c’è l’uomo che ragiona divertire e affascinare… sulla realtà e cerca di farsela proVisita la sezione Scienza & gita nel sito pria, di dare i nomi alle cose, di cahttp://ulisse.sissa.it/OrganizationSearch.jsp pire come riconoscerle. Tutto quelper scoprire quanti e quali sono i musei scientifici presenti nelle varie regioni lo che combina realtà e uomo è italiane. meraviglioso, io ho scelto la mate- “ ” E non dimenticare di dare un’occhiata ahttp://www.museodelbali.org M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 VIII Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi O Moduli blu di Goniometria Matematica OBIETTIVI CONOSCENZE COMPETENZE • La misura degli angoli in radianti • Le funzioni seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente • Le funzioni goniometriche inverse • Le formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione e prostaferesi • Le formule parametriche • Semplificare espressioni contenenti funzioni goniometriche • Verificare identità goniometriche SOMMARIO TEORIA ESERCIZI Unità 1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 1 2 3 4 5 6 La misura degli angoli Le funzioni seno e coseno La funzione tangente Le funzioni secante e cosecante La funzione cotangente Le funzioni goniometriche di angoli particolari 7 Le funzioni goniometriche inverse 8 I grafici delle funzioni goniometriche e le trasformazioni geometriche Laboratorio di matematica Le funzioni goniometriche con Excel Test di fine unità Verso l’Esame di stato TEORIA Unità 2 LE FORMULE GONIOMETRICHE 2O 9O 14O 18O 21O 39O 44O 48O 53O 54O 23O 26O 58O 60O 29O 65O 1 Gli angoli associati 2 Le formule di addizione 80O 104O e sottrazione Le formule di duplicazione Le formule di bisezione Le formule parametriche Le formule di prostaferesi e di Werner 7 Il periodo delle funzioni goniometriche Laboratorio di matematica Gli archi associati con Derive 82O 87O 89O 91O 117O 123O 128O 131O 92O 132O 94O 140O 3 4 5 6 96O Test di fine unità Verso l’Esame di stato 33O 75O 76O 141O 143O PROVE DI USCITA DAL MODULO Test di fine modulo Verso l’Esame di stato Test your skills Esplorazione. Pi greco Esplorazione. Suoni e moti armonici M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 ESERCIZI 147O 148O 151O 152O 154O TEORIA 1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 1 LA MISURA DEGLI ANGOLI ■ ■ Trigonometria deriva dal greco: trigonos che significa triangolo e metron ossia misura. ■ La topografia studia la rappresentazione in scala dei terreni. GLI ANGOLI E LA LORO AMPIEZZA La trigonometria ha lo scopo di studiare i procedimenti di calcolo che permettono di determinare, con l’approssimazione che si vuole, la misura degli elementi di un triangolo (lati e angoli), noti alcuni di essi. Trova applicazione, in particolare, in astronomia, meccanica, navigazione aerea e marittima, topografia. Lo studio della trigonometria è preceduto da quello della goniometria, ossia di quella parte della matematica che si occupa della misura degli angoli e delle relative funzioni. Richiamiamo la definizione di angolo. DEFINIZIONE ■ Un angolo si dice convesso quando non contiene il prolungamento dei suoi lati, concavo quando lo contiene. In genere, quando si parla ^ dell’angolo aV b, senza altra indicazione, ci si riferisce all’angolo convesso. Angolo Un angolo è la parte di piano individuata da due semirette a e b che hanno origine comune V. angolo concavo b angolo convesso V a angolo giro V angolo nullo angolo piatto V angolo retto Il punto V si chiama vertice dell’angolo e le semirette a e b si chiamano lati. Quando i lati di un angolo sono coincidenti, l’angolo è nullo se è formato dalla sola semiretta dei lati, è giro se è formato da tutti i punti del piano. Se i lati di un angolo sono uno il prolungamento dell’altro, l’angolo è piatto. Se due rette incontrandosi formano quattro angoli congruenti, ognuno degli angoli è un angolo retto. V M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 O 2 UNITÀ 1 1. LA MISURA DEGLI ANGOLI MODULO Due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza, che si può misurare rispetto a una unità di misura assegnata. È usuale indicare con le lettere greche minuscole , , … sia gli angoli sia la misura della loro ampiezza. Le unità di misura più usate sono: O • il grado sessagesimale; • il radiante. ■ LA MISURA IN GRADI Nel sistema sessagesimale, l’unità di misura degli angoli è il grado sessagesimale, definito come la 360 a parte dell’angolo giro. Il grado sessagesimale viene indicato con un piccolo cerchio in alto a destra della misura: 1 1° dell’angolo giro. 360 Nel sistema sessagesimale, il grado viene suddiviso a sua volta in 60 primi, che vengono indicati con un apice (′): 1° 60′. Ogni primo viene suddiviso a sua volta in 60 secondi, indicati con due apici (″ ): ■ Un angolo di 32 gradi, 10 primi e 47 secondi viene scritto così: 32° 10′ 47″. 1′ 60″. Queste suddivisioni in 60 parti danno il nome al sistema di misura. Osservazione. Se si suddivide l’angolo retto in cento parti, si ottiene il sistema centesimale, detto anche sistema degli ingegneri, perché viene utilizzato da questi in topografia. L’unità di misura di questo sistema è dunque il grado centesimale, definito come la centesima parte dell’angolo retto. PERCHÉ LA SUDDIVISIONE IN 360 PARTI? Pare che la suddivisione del cerchio in 360 parti risalga ai Babilonesi (II seco lo a.C.), i quali contavano il ciclo delle stagioni, ossia l’anno solare, in 360 giorni. Nel secolo precedente non c’era an cora un uso sistematico della misura degli angoli in gradi e comunque solo nel II secolo d.C. Tolomeo d’Ales sandria ne fece un uso regolare, introducendo i sottomultipli del grado «partes minutae primae» e «partes minutae secundae», che noi oggi chiamiamo «primi» e «secondi». ESEMPIO Il sistema di misura degli angoli con gradi, primi e secondi è il più antico, ma presenta il problema di non utilizzare un sistema decimale e di avere quindi procedimenti di calcolo complicati. Anche soltanto il calcolo della somma delle misure di due angoli non è immediato. Per ottenere: 30° 20′ 54″ 2° 45′ 24″ dobbiamo prima sommare i secondi: 54″ 24″ 78″, M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 3 O ■ La scelta di dividere in 60 parti può essere giustificata dal fatto che il numero 60 ha molti divisori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. UNITÀ 1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE trasformare il risultato in primi e secondi: 78″ 1′ 18″, sommare i primi: 20′ 45′ 1′ 66′, trasformare il risultato in gradi e primi: 66′ 1° 6′, sommare i gradi: 30° 2° 1° 33° e ottenere così il risultato finale: 33° 6′ 18″. ■ Le calcolatrici scientifiche usano anche il sistema sessadecimale di cui vedremo esempi negli esercizi. ■ LA MISURA IN RADIANTI Per semplificare i calcoli si usa il sistema che ha per unità di misura il radiante. Per definirla, consideriamo due circonferenze di raggi r e r ′ e i due archi l e l ′ sottesi da angoli della stessa ampiezza sulle due circonferenze (figura 1). Figura 1. In due cir- conferenze con raggi diversi, gli archi sottesi da angoli della stessa ampiezza sono proporzionali ai raggi. r O r' α O' α ' Dalla proporzionalità fra archi e angoli al centro si ricava: l ° 2r 360° e l ′ ° 2r ′ 360° ° l r 180° e ° l ′ r ′ 180° da cui, dividendo membro a membro, si ottiene: ll′rr′ ovvero: lrl′r′ → l l′ r r′ l cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto non varia r al variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro . Se ogni volta che si misura un arco l si usa come unità di misura il raggio della circonferenza cui appartiene, si ottiene un numero che non dipende dalla circonferenza considerata, ma solo dall’angolo che sottende l’arco. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 O 4 UNITÀ 1 1. LA MISURA DEGLI ANGOLI MODULO l Il rapporto viene quindi assunto come misura, in radianti, dell’angolo : r l , r ossia, come definizione di radiante si può dare la seguente. O DEFINIZIONE Radiante Data una circonferenza, si chiama radiante la misura dell’angolo al centro che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio. r r 1 radiante L’unità di misura viene indicata con 1 rad, ma di solito se si esprime un angolo in radianti si è soliti trascurare l’indicazione dell’unità di misura. 2r Poiché sottende l’intera circonferenza, l’angolo giro misura 2. r L’angolo piatto, che corrisponde a metà circonferenza, misura , l’angolo retto misura , ecc. 2 l Osservazione 1. Dalla relazione , ricaviamo che, se è misurato in r radianti, la lunghezza di un arco è: l r. Osservazione 2. Esprimiamo anche l’area di un settore circolare. Dalla proporzione: α r Asettore Acerchio 2 ricaviamo: Asettore Acerchio 2 ed essendo Acerchio r 2, otteniamo: 1 Asettore r 2 r 2 2 2 l o, tenendo conto che : r 1 l 2 1 Asettore r lr. 2 r 2 M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 5 O settore circolare UNITÀ 1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE ■ DAI GRADI AI RADIANTI E VICEVERSA Date le misure di un angolo in gradi sessagesimali e in radianti, vale la proporzione: ° rad 360° 2, da cui ricaviamo le due formule che convertono la misura di un angolo da radianti a gradi e viceversa: 180° ° rad ■ In particolare 1 radiante corrisponde a circa 57°. Infatti: 180° 180° 1 57°. 3,1415… y rad ° . 180° 1 radiante Figura 2. • 57°… O π 180 x GRADI RADIANTI ESEMPIO • 180 π 2 1. A quanti gradi corrisponde un angolo di radianti? 3 Applichiamo la prima formula: 60° 180° 2 2 ° 180° 120°. 3 /3 1 2. A quanti radianti corrisponde un angolo di 60°? Applichiamo la seconda formula: 1 rad 60° . 3 180°3 Riportiamo in una tabella le misure in radianti e in gradi di alcuni angoli. MISURE DEGLI ANGOLI M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 gradi 0° radianti 0 O 6 30° 6 45° 4 60° 3 90° 2 120° 2 3 135° 3 4 150° 5 6 180° UNITÀ 1. LA MISURA DEGLI ANGOLI ■ 1 MODULO GLI ANGOLI ORIENTATI La definizione di angolo che abbiamo dato non è adatta per descrivere tutte le situazioni. Per esempio, nell’avvitare o svitare una vite si descrive un angolo che può essere maggiore di un angolo giro. È più utile quindi collegare il concetto di angolo a quello di rotazione cioè al movimento che porta uno dei lati dell’angolo a sovrapporsi all’altro. La rotazione è univoca solo quando ne viene specificato il verso, orario o antiorario. Figura 3. La semiretta OA genera ^ l’angolo AO B ruotando intorno al vertice O in senso antiorario, fino a sovrapporsi alla semiretta OB. B α O A Consideriamo la semiretta OA che ruota in senso antiorario intorno al verti^ ce O, fino a sovrapporsi alla semiretta OB, generando l’angolo AOB. La semiretta OA si chiama lato origine dell’angolo , la semiretta OB si chiama lato termine. DEFINIZIONE Angolo orientato Un angolo si dice orientato quando è stato scelto uno dei due lati come lato origine e un senso di rotazione. Un angolo orientato si dice positivo quando è descritto mediante una rotazione in senso antiorario; si dice negativo quando la rotazione è in senso orario. O α β angolo positivo A lato origine angolo negativo Un angolo orientato può anche essere maggiore di un angolo giro. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 7 O O UNITÀ 1 ■ 750 30 360 2 ESEMPIO LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 1. Poiché 750° 30° 2 360°, l’angolo di 750° si ottiene con la rotazione della semiretta OA di due giri completi e di 30°. Figura 4. L’angolo di 750° si ottiene 30° + 2 • 360° con una rotazione di OA di 30° e 2 angoli giro. B O La forma sintetica È possibile scrivere in forma sintetica un qualunque angolo , minore di un angolo giro e tutti gli infiniti angoli orientati che da differiscono di un multiplo dell’angolo giro nel seguente modo: in gradi: k360°, con k Z; in radianti: 2k , con k Z. Quando k 0, otteniamo l’angolo . ESEMPIO ■ In seguito, se non daremo altre indicazioni, sarà sempre vero che k Z. Inoltre, per brevità, utilizzeremo il termine angolo anche per indicare un angolo maggiore di un angolo giro. A La scrittura 2k indica gli angoli: 4 , 2, 4, 6… 4 4 4 4 ■ LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Nel piano cartesiano, per circonferenza goniometrica intendiamo la circonferenza di centro l’origine O degli assi e raggio di lunghezza 1, ossia la circonferenza di equazione x 2 y 2 1. Figura 5. La circonferenza goniometrica. y B α O E (1; 0) x Il punto E(1; 0) si dice origine degli archi. Utilizzando la circonferenza goniometrica si possono rappresentare gli angoli orientati, prendendo come lato origine l’asse x. In questo modo a ogni angolo corrisponde un punto B intersezione fra la circonferenza e il lato termine. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 O 8 UNITÀ 1 2. LE FUNZIONI SENO E COSENO ESEMPIO MODULO O 5 Rappresentiamo gli angoli 1 , 2 , 3 . 6 4 3 Figura 6. Essi individuano sulla circonferenza i punti B 1, B 2 e B3 della figura 6. y y y B1 π α1=– 6 O E O x 5 α2=–π 4 a E O x B2 b c E B3 x α3= – π – 3 Osservazione. Poiché il raggio della circonferenza è 1, se l’angolo è misu è uguale alla misura dell’angolo rato in radianti, la lunghezza dell’arco EB ^ EOB. 2 LE FUNZIONI SENO E COSENO Introduciamo alcune funzioni goniometriche che alla misura dell’ampiezza di ogni angolo associano un numero reale. DEFINIZIONE Seno e coseno Consideriamo la circonferenza goniometrica e un angolo orientato e sia B il punto della circonferenza associato ad . Definiamo coseno e seno dell’angolo , e indichiamo con cos e sen , le funzioni che ad associano rispettivamente il valore dell’ascissa e dell’ordinata del punto B: cos xB sen yB B(cos ; sen ). y yB B ■ Seno deriva dal latino xB E sinus che significa insenatura, golfo. Nel linguaggio scientifico internazionale il seno di si indica anche con sin . α O x r=1 cos α = xB sen α = yB Seno e coseno di un angolo sono funzioni che hanno come campo di esistenza R, perché per ogni valore di R esiste uno e un solo punto sulla circonferenza. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 9 O UNITÀ 1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Osservazione. Consideriamo una circonferenza di raggio qualsiasi r ′ 1. Figura 7. Consideriamo la circonferenza goniometrica e una circonferenza ′ di raggio r ′ 1 e il punto B′ corrispondente su ′ all’angolo . y B' B 1 α O r' A x A' ' Prendiamo, per semplicità, un angolo appartenente al primo quadrante. Dette (x ′; y ′) le coordinate di B′, dalla similitudine dei triangoli OBA e OB′A′ deduciamo: ■ sen e cos sono numeri puri, perché rapporti di grandezze omogenee, quindi non hanno alcuna unità di misura. x′ A O ′ A O cos , r′ B O ′ B O y′ ′A B ′ A B sen . r′ B O ′ B O I due rapporti non dipendono dalla particolare circonferenza considerata, ma esclusivamente dall’angolo . Consideriamo ora un triangolo rettangolo OAB. Possiamo pensare all’ipotenusa OB come al raggio di una circonferenza di centro O, quindi il seno di è uguale al rapporto fra il cateto opposto all’angolo e l’ipotenusa, il coseno è uguale al rapporto fra il cateto adiacente ad e l’ipotenusa. cateto opposto sen α = ——————— ipotenusa ipotenusa cateto adiacente cos α = ———————— ipotenusa B ipotenusa cateto opposto α α a Figura 8. ■ A O B b O cateto adiacente A LE VARIAZIONI DELLE FUNZIONI SENO E COSENO Supponiamo che un punto B percorra l’intera circonferenza goniometrica, a partire da E, in verso antiorario. ^ Se EOB, come variano sen e cos al variare della posizione di B ? Basta osservare che cosa succede all’ascissa di B (ossia il coseno) e alla sua ordinata (ossia il seno). M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 O 10 UNITÀ 1 2. LE FUNZIONI SENO E COSENO MODULO y y F (+; +) (–; +) B B yB yB G xB O xB E x α E x O yB B O yB (–; –) H a. Finché B percorre il primo quarto di circonferenza, la sua ascissa xB e la sua ordinata yB sono positive. Man mano B si avvicina al punto F, l’ascissa diminuisce e l’ordinata aumenta. In F, xF = 0, yF = 1. b. Quando B percorre la circonferenza nel secondo quadrante, la sua ordinata è ancora positiva, mentre l’ascissa diventa negativa. Quando B si avvicina a G, sia l’ascissa sia l’ordinata diminuiscono. In G, xG=–1, yG=0. O y α α α xB E x O y c. Se B si trova nel terzo quadrante, la sua ordinata e la sua ascissa sono negative. Man mano B si avvicina ad H, l’ascissa aumenta e l’ordinata diminuisce. In H, xH = 0, yH = –1. xB E x B (+; –) d. Quando B percorre l’ultimo quarto di circonferenza, la sua ordinata è ancora negativa, mentre l’ascissa è positiva. Avvicinandosi a E, sia l’ascissa sia l’ordinata di B aumentano. In E, xE = 1, yE =0. Figura 9. Qualunque sia la posizione di B sulla circonferenza, la sua ordinata e la sua ascissa assumono sempre valori compresi fra 1 e 1, quindi: 1 sen 1 e 1 cos 1. Il codominio delle funzioni seno e coseno è quindi [ 1; 1]. Osserviamo che, poiché cos cos( ) (figura 10a) allora il coseno è una funzione pari, mentre, essendo sen( ) sen (figura 10b), il seno è una funzione dispari. Figura 10. y y α O –α α O x –α sen α x sen (–α) cos α = cos (–α) a ■ sen (–α) = –sen α b I GRAFICI DELLE FUNZIONI y sen x, y cos x Possiamo costruire il grafico della funzione y sen x in [0; 2] riportando sull’asse x i valori degli angoli e, in corrispondenza, sull’asse y le ordinate dei punti che stanno sulla circonferenza goniometrica (figura 11a nella pagina seguente). Analogamente, per ottenere il grafico della funzione coseno, riportiamo sulle ordinate di un piano cartesiano le ascisse dei punti della circonferenza goniometrica in corrispondenza degli angoli (figura 11b). M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 11 O ■ Studiando il grafico della funzione nel riferimento cartesiano Oxy, indichiamo l’angolo con x. UNITÀ 1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE y y = sen x π — 2 2π — 3 3π — 4 5π — 6 π 1 3π — 2 0 O π — π — π — 6 4 3 π — 2 2π — 3π — 5π — 3 4 6 2π π x –1 3π — 2 a. Grafico di y = sen x in [0; 2π]. y y = cos x π — 3 π π — 6 — 4 2π 11π —— 6 7π — 4 5π — 3 π — 2 1 2π — 3π — 5π — 3 4 6 3 π — 2 O π — π — π — 6 4 3 π 7π — 5π — 4π — 6 4 3 π — 2 11π 2π 3π — 7π — —— — 5π 2 3 4 6 x –1 π b. Grafico di y = cos x in [0; 2π]. Per ottenere sull’asse y del grafico le ascisse dei punti della circonferenza π goniometrica, la ruotiamo di – in senso antiorario. 2 Figura 11. Grafici delle funzioni seno e coseno. Sull’asse x rappresentiamo i valori degli angoli, sull’asse y quelli delle due funzioni. ■ Dopo aver percorso un giro completo, il punto B può ripetere lo stesso movimento quante volte si vuole. Le funzioni sen e cos assumono di nuovo gli stessi valori ottenuti al “primo giro”, ossia: sen sen ( 2) sen ( 2 2) … y cos cos ( 2) cos ( 2 2) … B α O IL PERIODO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO E +α 2π+ Le funzioni seno e coseno sono quindi periodiche di periodo 2. Possiamo scrivere, in modo sintetico: x sen ( 2k) sen , cos ( 2k) cos , con k Z. ■ In generale, una fun- zione y f (x) è detta periodica di periodo p (con p 0) se per ogni x e per qualsiasi numero k intero si ha f (x) f (x kp). ■ M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 LA SINUSOIDE E LA COSINUSOIDE Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide (figura 12a), quello della funzione coseno cosinusoide (figura 12b). O 12 UNITÀ 1 2. LE FUNZIONI SENO E COSENO MODULO y 1 –3π –2π –π π O –1 y O –π π –1 2π O π – 2 π x LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE Poiché B (cos ; sen ) appartiene alla circonferenza goniometrica le sue coordinate soddisfano l’equazione x 2 y 2 1: cos2 sen2 1 prima relazione fondamentale della goniometria. Figura 14. cos2 sen2 1. La relazione esprime il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo OAB. B 1 O α cosα A senα x Da questa relazione è possibile ricavare sen conoscendo cos e viceverc s2. Viceversa, se si cosa. Infatti, se è noto cos , si ha sen 1o 2 nosce sen , cos 1en s. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 3π 4π x completi di y sen x e y cos x. Le funzioni sono periodiche di periodo 2, quindi i grafici si ottengono ripetendo ogni 2 i grafici dell’intervallo [0; 2]. y = sen x Figura 13. y x Figura 12. Grafici y y = cos x ■ 4π periodo 2π b. Grafico di y = cos x. I grafici delle due funzioni sono sovrapponibili con una traslazione di vettore parallelo all’asse x e di modulo . 2 3π y = cos x 1 –2π 2π periodo 2π a. Grafico di y = sen x. –3π O y = sen x 13 O UNITÀ 1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 3 LA FUNZIONE TANGENTE ■ LA TANGENTE DI UN ANGOLO DEFINIZIONE Tangente di un angolo Consideriamo un angolo orientato e chiamiamo B l’intersezione fra il lato termine e la circonferenza goniometrica di centro O. Definiamo tangente di la funzione che ad associa il rapporto, quando esiste, fra l’ordinata e l’ascissa dal punto B: y B yB O α xB A yB tg . xB ■ Nel linguaggio scientifico internazionale la tangente di si indica con tan . x yB tg α = —– x B Indichiamo con tg la tangente dell’angolo . Consideriamo ancora la circonferenza goniometrica, un suo punto B(xB ; yB), ^ la sua proiezione A sull’asse x e l’angolo orientato AO B . B A Anche in questo caso si può dimostrare che il rapporto , e di conseA O yB guenza , non varia se cambiamo il raggio della circonferenza. xB DIMOSTRAZIONE Figura 15. Disegniamo una seconda circonferenza con lo stesso centro O e raggio diverso. Consideriamo, per semplicità, un angolo del primo quadrante. ■ La tangente di un angolo non esiste quando il punto B si trova sull’asse y, ossia quando l’angolo è 3 uguale a o a o a 2 2 tutti gli angoli derivanti da questi per multipli interi dell’angolo giro. tg esiste solo quando 2k 2 3 2k . 2 Queste scritture si riassumono con: k . 2 Figura 16. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 Il prolungamento del raggio OB interseca la seconda circonferenza nel punto B ′, la cui proiezione sull’asse x è il punto A′. I triangoli OAB e OA′B′ sono simili, quindi vale la seguente proporzione: y B' B O α A A' x B OA A ′B ′ OA ′, A ossia: B A ′ A B ′ tg . A O A O ′ Pertanto il rapporto considerato non dipende dalla particolare circonferenza scelta, bensì solo dall’angolo. Osserviamo che tale rapporto non esiste quando x B 0, ossia quando: k. cateto opposto tg α = ———————— 2 cateto adiacente Nel triangolo rettangolo OAB possiamo pensare l’ipotenusa OB come raggio di una circonferenza di centro O. Pertanto la tangente di è uguale al rapporto fra il cateto opposto all’angolo e il cateto adiacente. O 14 B cateto opposto α O cateto adiacente A UNITÀ 1 3. LA FUNZIONE TANGENTE ■ MODULO UN ALTRO MODO DI DEFINIRE LA TANGENTE ■ Tangente deriva dal la- Consideriamo la circonferenza goniometrica e la retta tangente a essa nel punto E, origine degli archi. Il prolungamento del lato termine OB interseca la retta tangente nel punto T (figura a lato). La tangente dell’angolo può anche essere definita come il valore dell’ordinata del punto T, ossia: tino tangere che significa toccare. y yT tg y T . α O T B tg α E x Dimostriamo che le due definizioni date sono equivalenti. DIMOSTRAZIONE Consideriamo i due triangoli rettangoli OAB e OET. Essi sono simili quindi: T E BA OE O A → T y yT yB 1 xB B da cui yB 1 y T , ossia xB O yB y T . xB E x A Pertanto: yB tg y T . xB ■ LE VARIAZIONI DELLA FUNZIONE TANGENTE Studiamo come varia y T al variare dell’angolo , legato alla posizione del punto B sulla circonferenza. y y + y + B F B T O y Figura 17. α E x α G O T α E x E x O α B T a. Finché B percorre il primo quarto di circonferenza, l’ordinata di T è positiva e aumenta man mano B si avvicina al punto F. Quando B ≡ F, la tangente non esiste. – b. Quando B percorre la circonferenza nel secondo quadrante, l’ordinata T è negativa, e aumenta fino a quando B ≡ G, in cui yT = 0. Ex O B T H c. Se B si trova nel terzo quadrante, l’ordinata di T è di nuovo positiva e va aumentando fino a quando B ≡ H e T non esiste più. La tangente di 3π — non esiste. 2 – d. Quando B percorre l’ultimo quarto di circonferenza, l’ordinata di T ritorna negativa e aumenta fino allo 0. y Osservazione. A differenza delle funzioni seno e coseno, la funzione tangente può assumere qualunque valore reale. Il suo codominio è quindi R, mentre il suo campo di esistenza è: k. 2 Essendo tg( ) tg (figura a lato) la tangente è una funzione dispari. tgα α O –α tg (–α) tg (–α) = –tgα M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 15 O x O UNITÀ 1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE ■ IL GRAFICO DELLA FUNZIONE y tg x Tracciamo il grafico della funzione y tg x nell’intervallo [0; ] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y le ordinate dei punti corrispondenti sulla retta tangente. Figura 18. y T' 2 –π 3 3 –π 4 5 –π 6 π – 2 π – 3 π – 4 T 2 –π –π 3 –π 5 3 4 6 π – 6 O ■ π x IL PERIODO DELLA FUNZIONE y tg x La tangente è una funzione periodica di periodo , cioè qualunque sia l’angolo , è: y F G π – 2 Notiamo che man mano x si avvicina a : 2 • con valori minori di , il valore della funzione tende a diventare sem2 pre più grande; diremo che tende a ; • con valori maggiori di , il valore della funzione tende a diventare 2 sempre più grande in valore assoluto, in quanto è negativo; diremo che tende a . Il grafico della tangente, per valori di x che si avvicinano a , si avvicina 2 sempre più alla retta di equazione x , che viene detta asintoto verti2 cale del grafico. ■ Asintoto deriva dal greco asýmptōtos, composto di a («non») e dell’aggettivo verbale di sympíptō («io coincido»). π – π – π – 6 4 3 α+π α O tg tg( k ), con k Z. B' T E x B H M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 Questo si può vedere usando la definizione di tangente (figura a lato). Il grafico completo della tangente si chiama tangentoide. Ha infiniti asinto ti: le rette di equazioni x k. 2 O 16 UNITÀ 1 3. LA FUNZIONE TANGENTE MODULO y O y = tg x periodo −2π ■ −3 π 2 −π −π 2 O π 2 π 3π 2 2π x Figura 19. Rappresen- IL SIGNIFICATO GONIOMETRICO DEL COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA tazione della tangentoide. y Tracciamo la circonferenza goniometrica e la retta di equazione y mx (figura a lato), da cui: y = mx y m . x tgα α 1 O x In particolare, se x 1, y tg e tg m tg . 1 Il coefficiente angolare della retta è uguale alla tangente dell’angolo fra la retta e l’asse x. Dalla geometria analitica sappiamo che due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare e che esse formano angoli congruenti con l’asse x. Ciò permette di estendere il risultato ottenuto anche a rette che non passano per l’origine (figura a lato). ■ ■ L’angolo fra una retta e l’asse x è l’angolo che ha per vertice il loro punto di intersezione e come lati la semiretta dei punti di ordinata positiva e la semiretta sull’asse x di verso positivo. y r // r' LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE α' Consideriamo la circonferenza goniometrica. Per definizione: r x α = α' => tg α = tg α' => m = m' Sostituiamo sen e cos nell’espressione della tangente: y sen tg . cos yB Questa è la seconda relazione fondamentale della goniometria: la tangente di un angolo è data dal rapporto, quando esiste, fra il seno e il coseno dello stesso angolo. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 α O yB tg , xB yB sen e xB cos . r' 17 O O B 1 α xB x UNITÀ 1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 4 LE FUNZIONI SECANTE E COSECANTE DEFINIZIONE Secante e cosecante di un angolo Dato un angolo , si chiama: • secante di la funzione che associa ad il reciproco del valore di cos , purché cos sia diverso da zero. Si indica con sec : 1 sec , con k ; cos 2 • cosecante di la funzione che associa ad il reciproco del valore di sen , purché sen sia diverso da zero. Si indica con cosec : ■ Secante e cosecante, come seno e coseno, sono funzioni periodiche di periodo 2. 1 cosec , con 0 k . sen ■ UN ALTRO MODO DI DEFINIRE LA SECANTE E LA COSECANTE Consideriamo la circonferenza goniometrica, l’angolo e la tangente in B che intersechi gli assi x e y rispettivamente in S e S′ (figura 20). S' Figura 20. y α B α O A Sx Essendo simili i triangoli OBA e OBS, si ha: O A OB OB OS → cos 1 1 OS da cui: 1 OS sec . cos Analogamente, essendo simili i triangoli OAB e OBS′, si ha: OB OB O S ′, BA sen 1 1 OS ′, da cui: 1 OS ′ cosec . sen La secante di è quindi l’ascissa del punto S, intersezione della retta tangente nel punto B, associato di sulla circonferenza goniometrica, con l’asse x. Analogamente la cosecante di è l’ordinata del punto S′, intersezione della retta tangente in B con l’asse y. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 O 18 UNITÀ 1 4. LE FUNZIONI SECANTE E COSECANTE ■ MODULO I GRAFICI DELLA SECANTE E DELLA COSECANTE O IL GRAFICO DEL RECIPROCO DI UNA FUNZIONE Dal grafico di una funzione y f(x) è possibile ricavare l’andamento della fun1 zione y g(x) . f(x) 1. Se il grafico di f(x) interseca l’asse x in x0, ossia se f(x0) 0, per valori di x che tendono a x0, il valore del reciproco è: • positivo e con valori sempre più grandi, man mano ci si avvicina a x0, se f(x) 0; diremo che g(x) tende a ; • negativo e con valori sempre più grandi in valore assoluto, se f(x) 0; diremo che g(x) tende a . Avvicinandosi al punto x0 il grafico della funzione g(x) si avvicina a quello del la retta x x0, che viene detta asintoto verticale del grafico di g(x). Data la funzione y x 1, f(x0) 0 se x0 1. 1 Il suo reciproco y tende a quando x tende a 1 e x 1, cioè x è x1 «a destra» di 1, perché f(x) assume valori sempre più grandi. Analogamente, il reciproco tende a per x che tende a 1 «da sinistra». La retta x 1 è asintoto verticale. y y y=x+1 y x = –1 1 y = –––– x+1 y=x+1 1 y=x+1 1 x –1 O –1 1 x O –1 1 y = –––– x+1 x = –1 1 b. Tendenza a + di y = –––––, x+1 quando x tende a –1 da destra. a. Grafico di y = x + 1 x O 1 c. Tendenza a – di y = –––––, x+1 quando x tende a –1 da sinistra. 2. Quando f(x) tende a o a , il suo reciproco g(x) si avvicina sempre più a 0, cioè g(x) tende a 0. y y 1 –1 O 1 a. Tendenza a 0 di y = –––––, x+1 quando y = x + 1 tende a + . 1 y = –––– x+1 1 x –1 1 y = –––– x+1 1 b. Tendenza a 0 di y = –––––, x+1 quando y = x + 1 tende a – . 1 1 3. Se f(a) 1, è vero anche che g(a) 1. a è allora ascissa di un f(a) 1 punto di intersezione dei grafici della funzione e del suo reciproco. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 O 19 O x UNITÀ 1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 1 1 Analogamente, se f(b) 1, g(b) 1, cioè b è ascissa di un f(b) 1 punto di intersezione. y y y=x+1 y=x+1 1 -2 –1 1 1 y = –––– x+1 –2 x O -1 –1 1 y = –––– x+1 x O –1 a. La funzione e il suo reciproco hanno in comune i punti (0; 1) e (–2; –1). b. Le informazioni raccolte permettono di tracciare 1 il grafico “probabile” di y = –––––. x+1 I grafici delle funzioni secante e cosecante sono rappresentati in figura 21. Figura 21. L’andamento del grafico della secante si può ricavare tenendo conto che è il reciproco del coseno. Analogamente dal grafico del seno si ricava l’andamento di quello della cosecante. y y = sec x 1 π ––– 2 O y = cos x π –– 2 π 3π –– 2 x 3π –– 2 2π x –1 a. Grafico della secante. y y = cosec x 1 O –1 b. Grafico della cosecante. M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010 Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0 O 20 y = sen x π –– 2 π
