Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi
A VVOL
U
FL EN
Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi
Manuale blu di matematica
Modulo O+Q
A che cosa serve la matematica? Il presente volume del Manuale blu di matematica si apre
con un’intervista su questo tema.
Bergamini Trifone Barozzi
I
M TA
DI IBILE
S
ES
Manuale blu
di matematica
Robert Ghattas mostra la matematica nascosta nel quotidiano, come la struttura di
frattale annidata in un cavolfiore.
La matematica non è solo calcolo: allena a ragionare ed è un linguaggio per descrivere
e comprendere la realtà. Il Manuale blu di matematica mette in luce questi diversi aspetti:
● Presenta la matematica con spiegazioni rigorose e alla portata degli studenti.
● Accompagna il percorso didattico con numerosi spunti interdisciplinari: interviste
a esponenti del mondo scientifico, schede di matematica e cultura, esercizi in lingua inglese.
3
Zanichelli
Bergamini, Trifone, Barozzi
MANUALE BLU DI MATEMATICA
Confezione indivisibile
Mod. S+L + Mod. O +Q + Mod. 3
Manuale blu di matematica
Gli esercizi sono di vario tipo e introdotti dagli esercizi guida. Al termine di più paragrafi,
gli esercizi vari aiutano lo studente a sviluppare autonomia di ragionamento.
In ogni unità, fin dal terzo anno, Verso l’esame di stato propone quesiti e problemi
per preparare lo studente alla prova scritta. In quinta, Verso l’università presenta
esercizi tratti dai compiti di esame di matematica assegnati nelle facoltà scientifiche.
OQ OQ
+
+
Zanichelli
Modulo O Goniometria
Modulo Q Trigonometria
A VVOL
U
FL EN
ciascuno dotato di indicazioni di ingresso (prerequisiti e obiettivi)
e di uscita (prove di verifica finalizzate alla certificazione
delle competenze acquisite).
Queste eMI ITAaltre indicazioni (tra cui le informazioni sulla struttura
D IBILE
S
dell’opera),
tradizionalmente riservate all’insegnante, sono
ES
ora presenti nel libro dello studente, in modo da consentire
un più corretto e consapevole utilizzo del libro.
La formula editoriale VVF (volumi a vendita flessibile) viene
incontro a uno dei principali suggerimenti del d.m. 7.12.1999,
“Norme e avvertenze per la compilazione del libro di testo
da utilizzare nella scuola dell’obbligo”.
I contenuti di questo libro sono pertanto offerti, a scelta
Nella
parte diagili
esercizi,
la spunta in
segnala
la possibilità
dell’utente,
in sezioni
e, in alternativa,
aggregazioni
di (volumi).
risolverli scrivendo direttamente nel libro.
più ampie
L’utente può così scegliere privilegiando la possibilità di ritagliarsi
un percorso didattico differenziato, di graduare l’acquisto
o L’impegno
di contenere
la spesa.
a mantenere invariato il contenuto di questo volume per
✓
un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo Za-
La
divisione
di questo
libro
in volumetti
non è puramente
nichelli,
disponibile
anche
online
sul sito www.zanichelli.it,
meccanica.
In sintonia
il 2009,
d.m. 7.12.1999
il materiale è stato
ai sensi del DM
41 dell’8 con
aprile
All.1/B.
organizzato in modo da configurare moduli didattici autonomi,
ciascuno dotato di indicazioni di ingresso (prerequisiti e obiettivi)
per diversamente
abili
e di uscitaFile
(prove
di verifica finalizzate
alla certificazione
L’editore mette
a disposizione degli studenti non vedenti
delle competenze
acquisite).
ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici
Queste e altre
indicazioni i(tra
cui inlecui
informazioni
sulla struttura
di apprendimento
file pdf
sono memorizzate
dell’opera),
riservate all’insegnante, sono
le tradizionalmente
pagine di questo libro.
ora presenti
nel libro
studente,
in modo dadei
consentire
Il formato
deldello
file permette
l’ingrandimento
caratteri
un più corretto
e consapevole
utilizzo
del libro.
del testo
e la lettura mediante
software
screen reader.
Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito
www.zanichelli.it/diversamenteabili
Suggerimenti e segnalazione degli errori
Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi
controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono
tra essi.
L’esperienza
è praticamente
impossibile
Nellasuggerisce
parte di che
esercizi,
la spunta
segnalapubblicare
la possibilità
un libro di
privo
di errori.scrivendo
Saremo quindi
grati ai lettori
chelibro.
vorranno
risolverli
direttamente
nel
segnalarceli.
Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere
al seguente indirizzo indicando il nome e il luogo della scuola:
L’impegno
a mantenere
invariato il contenuto di questo volume per
Zanichelli
editore S.p.A.
un Via
quinquennio
5 legge
n. 169/2008) è comunicato nel catalogo ZaIrnerio, 34(art.
- 40126
Bologna
nichelli,
disponibile
anche
online sul sito www.zanichelli.it,
fax: 051 293322
ai sensi
DM 41 dell’8 aprile 2009, All.1/B.
e-mail:del
[email protected]
sito web: www.zanichelli.it
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File per diversamente abili
metteopera
a disposizione
degli
studenti non vedenti
Zanichelli L’editore
editore S.p.A.
con sistema
qualità
disabili
motori o con disturbi specifici
certificatoipovedenti,
CertiCarGraf
n. 477
di
apprendimento
i
file
pdf
in
cui
sono
memorizzate
secondo la norma UNI EN ISO 9001:2008
le pagine di questo libro.
Il formato Litoincisa
del file permette
l’ingrandimento
dei caratteri
Fotocomposizione:
Paganelli,
Bologna
del testo e la lettura mediante software screen reader.
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Suggerimenti e segnalazione degli errori
Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi
controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono
tra essi.
L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare
un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno
segnalarceli.
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al seguente indirizzo indicando il nome e il luogo della scuola:
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Via Irnerio, 34 - 40126 Bologna
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L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo
editoriale, consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html. La fotocopia dei soli esemplari
esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%,
Copyright
2005 Zanichelli
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non essendo ©
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all’opera.
Non possono
considerarsi
le opere di cui esiste,
nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori
le opere
Io diritti
diantologiche.
elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione
Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà
anche
digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici),
di cui all’art. 71 - ter legge diritto d’autore.
di
riproduzione
e di
totale o parziale con qualsiasi mezzo
Maggiori
informazioni
sul adattamento
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(compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito
e di traduzione sono riservati per tutti i paesi.
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dellaeditoriale:
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li esaurisce.
– Coordinamento
redazionale
del progetto: Marinella Lombardi
–
Redazione:
Giulia
Laffi
Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti
– uso
Segreteria
di redazione:
Deborah
Rossella
di
collettivo) possono
essere effettuate,
neiLorenzini,
limiti del 15%
di ciascunFrezzato
volume, dietro
pagamento
allagrafico:
S.I.A.E del
compenso
previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge
– Progetto
Editta
Gelsomini
22
aprile
1941
n.
633.
– Impaginazione: Chia Lab, Bologna
Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E.
–
Intervista a cura di Giulia Laffi
o con altre modalità indicate da S.I.A.E.
– Ricerca iconografica: Giulia Laffi
Per
riproduzioni
ad uso non
personale
(ad esempio: professionale, economico, commerciale, stru– Disegni:
Graffito,
Cusano
Milanino
menti
di studio collettivi,
come
dispense
e simili) l’editore potrà concedere a pagamento
– Correzione
bozze:
Il Nove,
Bologna
l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente
volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a:
Contributi
Associazione
per i Diritti Rotteglia
di Riproduzione
– Stesura
deiItaliana
testi: Antonio
(Laboratorio di matematica)
delle Opere dell’ingegno (AIDRO)
– Revisioni
deiRomana,
testi: Luisa
Corso di Porta
n.108 Morini (Numeri complessi), Monica Prandini,
Marzia
Rivi, Ambra Tinti, Francesco Benvenuti (Laboratorio di
20122 Milano
e-mail [email protected]
e sito web(Laboratorio
www.aidro.org di matematica),
matematica),
Angela Capucci
Elisa Capucci (Laboratorio di matematica)
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– Stesura
di schede:
Chiara
Manzini (Astri, seni,Lacoseni,
tangenti),
editoriale,
consultabile
al sito
www.zanichelli.it/f_catalog.html.
fotocopia
dei soli esemplari
Elisanelle
Menozzi
(Pi digreco,
Negativi,
immaginari,
Ilaria Pellati
esistenti
biblioteche
tali opere
è consentita,
oltre il limitecomplessi),
del 15%,
non(Suoni
essendoeconcorrenziale
all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste,
moti armonici)
nel
catalogo dell’editore,
una successiva
– Revisione
di schede:
Stefania edizione,
Varanole opere presenti in cataloghi di altri editori
o le opere antologiche.
–
esercizi:
Graziella
Barozzi,
Mariamusei
Bartolucci,
NeiStesura
contratti didegli
cessione
è esclusa,
per biblioteche,
istitutiAnna
di istruzione,
ed archivi, la facoltà
Cristina
Bignardi,
Maurizio Dieghi, Ilaria Fragni, Lorenzo Ghezzi,
di cui
all’art. 71
- ter legge Paolo
diritto d’autore.
Maggiori
informazioni
nostroLugli,
sito: www.zanichelli.it/fotocopie/
Chiara
Lucchi, sul
Chiara
Armando Magnavacca, Luisa Morini,
Monica Prandini, Antonio Rotteglia, Alessandro Zagnoli, Alessandro Zago
– Risoluzione degli esercizi: Anna Maria Bartolucci, Francesco Benvenuti,
Realizzazione
Andrea Betti,editoriale:
Angela Capucci, Elisa Capucci, Daniela Cipolloni,
Civili, Antonella
Conte,del
Sandra
Fermani,
Ilaria
Fragni,
– Ileana
Coordinamento
redazionale
progetto:
Marinella
Lombardi
Giorgi,
Erika
Giorgi, Roberto Giovagnoli, Fabrizio Longhi,
– Daniela
Redazione:
Giulia
Laffi
Lucchi,
Armando Deborah
Magnavacca,
Ciro Marziliano,
Giuseppe Metere,
– Chiara
Segreteria
di redazione:
Lorenzini,
Rossella Frezzato
Palestini,
Prandini, Francesca Anna Riccio, Marzia Rivi,
– Arsen
Progetto
grafico:Monica
Editta Gelsomini
Salotti,Chia
Nadia
Scappini,
– Riccardo
Impaginazione:
Lab,
BolognaAmbra Tinti
– Stesura
degli esercizi
in lingua inglese: Andrea Betti
Intervistae arevisione
cura di Giulia
Laffi
– Revisione
linguistica:
Alexander
Ricerca iconografica: Giulia LaffiSynge
– Rilettura
dei
testi:
Erika
Giorgi,
Chiara
Lucchi, Marzia Rivi, Ambra Tinti
Disegni: Graffito, Cusano Milanino
– Correzione bozze: Il Nove, Bologna
Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse inc.
Excel
è un marchio registrato della Microsoft Corp.
Contributi
– Stesura dei testi: Antonio Rotteglia (Laboratorio di matematica)
Copertina:
– Revisioni dei testi: Luisa Morini (Numeri complessi), Monica Prandini,
– Realizzazione:
Roberto
Marzia Rivi, Ambra
Tinti,Marchetti
Francesco Benvenuti (Laboratorio di
– Immagine
di copertina:
Arata Isozaki,
TeamdiDisney
Building,
matematica),
Angela Capucci
(Laboratorio
matematica),
Orlando
(1990).
Fotografia: di
Umberto
Tasca
Elisa Capucci
(Laboratorio
matematica)
– Immagini
Sommario:
Simons,
1989;
Marctangenti),
Chagall,
Stesura dipresenti
schede:nel
Chiara
ManziniP.(Astri,
seni,
coseni,
Suonatore
di violino,
1912-1913.
Museum.
SIAE.
Elisa Menozzi
(Pi greco,
Negativi,Amsterdam,
immaginari,Stedelijj
complessi),
Ilaria Pellati
(pag.
II).
Teodolite
di
Ertel,
Germania,
XIX
secolo.
Napoli,
Museo degli
(Suoni e moti armonici)
strumenti
storici
dell’Osservatorio
Astronomico
di
Capodimonte
(pag.
III)
– Revisione di schede: Stefania Varano
– Stesura degli esercizi: Graziella Barozzi, Anna Maria Bartolucci,
Prima
edizione:
febbraio
2005
Cristina
Bignardi,
Paolo
Maurizio Dieghi, Ilaria Fragni, Lorenzo Ghezzi,
Chiara Lucchi, Chiara Lugli, Armando Magnavacca, Luisa Morini,
Monica Prandini, Antonio Rotteglia, Alessandro Zagnoli, Alessandro Zago
– Risoluzione degli esercizi: Anna Maria Bartolucci, Francesco Benvenuti,
Andrea Betti, Angela Capucci, Elisa Capucci, Daniela Cipolloni,
Ileana Civili, Antonella Conte, Sandra Fermani, Ilaria Fragni,
Daniela Giorgi, Erika Giorgi, Roberto Giovagnoli, Fabrizio Longhi,
Chiara Lucchi, Armando Magnavacca, Ciro Marziliano, Giuseppe Metere,
Arsen Palestini, Monica Prandini, Francesca Anna Riccio, Marzia Rivi,
Riccardo Salotti, Nadia Scappini, Ambra Tinti
– Stesura e revisione degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti
– Revisione linguistica: Alexander Synge
– Rilettura dei testi: Erika Giorgi, Chiara Lucchi, Marzia Rivi, Ambra Tinti
Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse inc.
Excel è un marchio registrato della Microsoft Corp.
Copertina:
– Realizzazione: Roberto Marchetti
– Immagine di copertina: Arata Isozaki, Team Disney Building,
Orlando (1990). Fotografia: Umberto Tasca
– Immagini presenti nel Sommario: P. Simons, 1989; Marc Chagall,
Suonatore di violino, 1912-1913. Amsterdam, Stedelijj Museum. SIAE.
(pag. II). Teodolite di Ertel, Germania, XIX secolo. Napoli, Museo degli
strumenti storici dell’Osservatorio Astronomico di Capodimonte (pag. III)
Prima edizione: febbraio 2005
Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi
3
Manuale blu
di matematica
Modulo O Goniometria
Modulo Q Trigonometria
Zanichelli
SOMMARIO
A CHE COSA SERVE LA MATEMATICA?
Matematica e insalate
MODULO
O
GONIOMETRIA
Unità 1
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
1
2
Le onde si studiano con
funzioni sinusoidali.
V
3
4
5
6
7
8
La misura degli angoli
Le funzioni seno e coseno
La funzione tangente
Le funzioni secante e cosecante
La funzione cotangente
Le funzioni goniometriche di angoli particolari
Le funzioni goniometriche inverse
I grafici delle funzioni goniometriche
e le trasformazioni geometriche
Laboratorio di matematica
Le funzioni goniometriche con Excel
TEORIA
ESERCIZI
2O
9O
14O
18O
21O
23O
26O
39O
44O
48O
53O
54O
58O
60O
29O
65O
33O
Test di fine unità
Verso l’Esame di stato
75O
76O
Unità 2
LE FORMULE GONIOMETRICHE
1
2
3
4
5
L’interferenza di onde
sonore si studia con le
formule di prostaferesi.
Suoni e moti armonici,
pag. 154 O.
6
7
Gli angoli associati
Le formule di addizione e sottrazione
Le formule di duplicazione
Le formule di bisezione
Le formule parametriche
Le formule di prostaferesi e di Werner
Il periodo delle funzioni goniometriche
Laboratorio di matematica
Gli archi associati con Derive
Test di fine unità
Verso l’Esame di stato
3, 1415926535897932
384626433832795028
841971693993751058
209749445923078164
062862089986280348
253421170679821480
865132823066470938
44609550582231725...
104O
117O
123O
128O
131O
132O
140O
96O
141O
143O
PROVE DI USCITA DAL MODULO
Test di fine modulo
Verso l’Esame di stato
Test your skills
Esplorazione. L’inafferrabile pi greco
Esplorazione. Suoni e moti armonici
Le infinite cifre di .
L’inafferrabile pi greco,
pag. 152 O.
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010
Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0
80O
82O
87O
89O
91O
92O
94O
II
147O
148O
151O
152O
154O
SOMMARIO
MODULO
TRIGONOMETRIA
Unità 1
LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI
GONIOMETRICHE
1
2
3
4
5
6
Le equazioni goniometriche elementari
Le equazioni lineari in seno e coseno
Le equazioni omogenee
di secondo grado in seno e coseno
I sistemi di equazioni goniometriche
Le disequazioni goniometriche
La discussione di un’equazione
goniometrica parametrica
Laboratorio di matematica
Le equazioni goniometriche con Derive
TEORIA
Q
ESERCIZI
2Q
9Q
30Q
45Q
12Q
15Q
16Q
48Q
60Q
63Q
20Q
82Q
Trigonometria e astronomia hanno una lunga
storia in comune.
Astri, seni, coseni e tangenti,
pag. 244 Q.
24Q
Test di fine unità
Verso l’Esame di stato
85Q
87Q
Unità 2
LA TRIGONOMETRIA
1
2
3
4
I triangoli rettangoli
Applicazione dei teoremi sui triangoli rettangoli
I triangoli qualunque
Le applicazione della trigonometria
Laboratorio di matematica
La trigonometria con Derive
92Q
96Q
98Q
103Q
114Q
122Q
124Q
144Q
107Q
Test di fine unità
Verso l’Esame di stato
152Q
154Q
Teodolite di Ertel, Germania, XIX secolo.
Esempio, pag. 106 Q.
Unità 3
NUMERI COMPLESSI, VETTORI
COORDINATE POLARI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
I numeri complessi
Il calcolo con i numeri immaginari
Il calcolo con i numeri complessi
I vettori
Le coordinate polari
Le coordinate polari e le equazioni delle curve
I vettori e i numeri complessi
Le operazioni fra numeri complessi
in forma trigonometrica
Le radici n-esime dell’unità
Le radici n-esime di un numero complesso
La forma esponenziale di un numero complesso
Laboratorio di matematica
I numeri complessi con Excel
159Q
165Q
167Q
170Q
172Q
175Q
180Q
200Q
202Q
204Q
209Q
210Q
211Q
214Q
Negativi, immaginari, com-
plessi, pag. 246 Q.
182Q
186Q
189Q
191Q
216Q
224Q
226Q
231Q
193Q
Test di fine unità
Verso l’Esame di stato
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010
Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0
La geometria frattale,
nata dai numeri complessi,
descrive nuvole, coste
e montagne.
234Q
236Q
III
SOMMARIO
TEORIA
ESERCIZI
PROVE DI USCITA DAL MODULO
Test di fine unità
Verso l’Esame di stato
Test your skills
Esplorazione. Astri, seni, coseni e tangenti
Esplorazione. Negativi, immaginari, complessi
La distanza Terra-Luna
si determina con la trigonometria.
Esercizio guida, pag. 144 Q.
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010
Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0
IV
239Q
240Q
243Q
244Q
246Q
A che cosa serve la matematica?
Matematica e insalate
Dopo aver studiato per quattro
anni matematica ed averne
esplorato i campi più diversi, come mai ha deciso di scrivere una
tesi che parlasse anche di letteratura?
Ero affascinato dagli scritti di Jorge Luis Borges (figura 1) e dai paralleli che potevo intravedere tra
le sue opere e le scoperte di matematica che si stavano facendo negli anni in cui scriveva.
parecchi con la tecnica dell'autoreferenza, cioè quel micro-paradosso che si ha quando certe affermazioni parlano di se stesse.
Per esempio la frase “L'ultima parola di questa frase è ciarlatano” è
sempre vera, qualsiasi parola si
metta al posto di “ciarlatano”. La
strada per arrivare all'infinito è
spianata: “Io sono l'autore della
frase: “Io sono l'autore della frase:
“Io sono l'autore della frase…”…”
e così via! L'autoreferenza diventa
una strada privilegiata per i paradossi e per l’infinito. Bene, sia i
matematici sia Borges la utilizzarono per entrambi gli scopi.
Cioè?
Alcuni concetti sembrano essere
fondamentali sia per la narrativa
di Borges sia per i matematici suoi
contemporanei. Si stavano studiando le strane proprietà degli
insiemi con infiniti elementi, e
l'infinito si stava rivelando più affascinante che pauroso o misterioso. Anche Borges parla spesso
di infinito. In particolare ne crea
Maria Mulas, Miraggi
Ma se le piaceva la letteratura
perché ha scelto di iscriversi a
Matematica?
Le assicuro che se avessi studiato
lettere la domanda sarebbe stata
“Ma se le piaceva la matematica
perché ha scelto di iscriversi a Lettere?”. Comunque credo ancora di
aver fatto la scelta giusta. Finito il
liceo ero affascinato dalla matematica, e dopo anni lo sono ancora, credo sia un buon segno!
Figura 1. Jorge Luis Borges
(1899-1986), scrittore argentino,
è considerato uno dei più geniali
autori del secolo scorso. Per saperne di più puoi leggere le raccolte
di racconti «Aleph» e «Finzioni».
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010
Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0
E una volta finita l’Università come ha pensato di continuare la
sua formazione?
Confesso che ero un po’ stanco di
studiare solo matematica, così
che, finiti gli studi, ho scelto di
non rimanere nell'ambiente universitario. Da Bologna sono quindi approdato a Trieste, dove ho
studiato altri due anni per un Master in Comunicazione della
Scienza. Credo che parlare di matematica con un pubblico eterogeneo sia più vicino alle mie capacità e ai miei desideri che non
rimanere nella cerchia degli accademici. Così oggi faccio matematica più con musei, libri, riviste
che con lezioni e convegni.
V
Robert Ghattas, giovane scrittore italo-canadese, è laureato
in matematica e si è specializzato in museologia al Master in
Comunicazione Scientifica della
Sissa (Scuola Internazionale
Superiore di Studi Avanzati) di
Trieste. Da sempre interessato
all’aspetto didattico e ludico-ricreativo della matematica, ha
recentemente pubblicato il libro
Insalate di matematica: un testo
in cui propone algebra, geometria e logica in una versione
divertente e alla portata di tutti.
Lavora come animatore al Museo del Balì di Saltara, vicino a
Urbino, un Science Centre il cui
motto è “vietato non toccare!”
e dove presenta una scienza
da sentire, ascoltare, annusare,
guardare… e tutta da scoprire
in prima persona.
Matematica con le mani
Che cosa fa, quindi?
Lavoro al Museo del Balì, uno
science centre a Saltara (PU), dove sono responsabile di tutto
quello che ha a che fare con la
matematica: laboratori didattici
con le scuole, formazione per gli
insegnanti, divulgazione per il
pubblico. I musei sono un bel
contesto dove divertirsi imparando e imparare divertendosi. È una
bella soddisfazione vedere bambini sorpresi da un pezzettino
di matematica e pochi istanti dopo accorgersi della medesima
espressione sul volto di una signora di novant’anni.
2
3
8
9
4
10
1
7
5
6
9 x 7 = 63
Figura 2. La moltiplicazione del numero 9 con le mani.
Proviamo a calcolare 9 7. Numeriamo le dita da 1 a 10 e abbassiamo
il settimo dito: avremo da una parte 6 dita (le decine del risultato)
e dall’altra 3 (le unità). Allora il prodotto è 63.
Ci spieghi meglio in che cosa conMatematica e cavolfiori
siste il suo lavoro al museo.
Il Museo del Balì è completamente
E ha abbandonato la letteratura?
interattivo; questo significa che ci
Non solo non l’ho abbandonata,
sono postazioni in cui il visitatore
ma ho anche avuto il coraggio e
può vedere – e soprattutto toccare!
l’ardire di diventare io stesso scrit– fenomeni scientifici. Se qualcosa
tore. Nell’estate 2004 è uscito Innon gli è chiaro o la curiosità lo
salate di matematica che porta il
spinge a nuove domande, può semmio nome come autore.
pre rivolgersi ad una figura di riferiL’idea era quella di raccogliere
mento, chiamata pilot. Un buon piin un libro leggero leggero alcune
lot deve quindi coniugare bene
curiosità di matematica che erano
competenze tecniche, fantasia e cariuscite a stupirmi. Alla fine
pacità comunicatiscrivere per me è
Tutto il libro parla
ve, in modo da esstato solo condividi cose legate alla vita
sere il lubrificante
dere delle cose
quotidiana: alla cucina,
tra la postazione inbelle, o divertenti,
ai viaggi, al corpo
terattiva e l’utente.
che avevo avuto
umano, agli animali…
Quando poi a
modo di scoprire
visitare il museo è una classe, le opnel tempo. Solo che la “matematiportunità di sbizzarrirsi aumentano,
ca delle insalate” non è quella dei
perché oltre alla visita c’è la possibiquaderni e delle lavagne. Tutto il
lità di organizzare veri e propri lalibro parla di cose legate alla vita
boratori didattici, in cui si possa viquotidiana: alla cucina, ai viaggi,
vere in pieno lo spirito del laboraal corpo umano, agli anitorio: mente e mani in sinergia.
mali, e così via.
“
”
Vuole farci qualche esempio?
Ogni tanto al museo c’è “Diamo i
numeri”: un momento in cui organizzo qualcosa di stravagante e divertente legato alla matematica. L’ultima volta ho invitato i presenti a fare
le operazioni con le mani (figura 2).
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010
Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0
Dunque la matematica è
sempre lì, in agguato,
dietro l’angolo?
Proprio così! Pensiamo
per esempio al cambio
della bicicletta: in matematica il rapporto fra due
VI
numeri è il risultato della loro divisione, questo concetto è strettamente legato al rapporto ciclistico.
Il sistema a ingranaggi (figura 3)
serve infatti a modificare il numero di giri che la ruota posteriore
compie ad ogni pedalata, questo
numero è esattamente il rapporto
aritmetico fra il numero di denti
dell’ingranaggio anteriore e il numero di denti dell’ingranaggio posteriore. Se il rapporto vale 2, vuol
dire che ad ogni pedalata si fanno
due giri di ruota, se invece è 1/2,
significa che per far compiere un
giro alla ruota occorrono due giri
di pedale. Se contiamo i denti degli ingranaggi del cambio di una
bici, scopriamo che il rapporto
più duro vale 48/14 (circa 3,4 giri), e lo impostiamo scegliendo il
maggiore degli ingranaggi anteriori e il minore di quelli posteriori; il più agile, invece, vale 28/33
(circa 0,8 giri), e lo impostiamo
collegando il minore degli anteriori al maggiore dei posteriori.
La matematica è anche dietro la
scelta del percorso più furbo:
quando si esce per andare in edicola, in biblioteca, dal salumiere e
in ferramenta, non sempre è facile
capire qual è il percorso più breve
da fare. E più è grande il numero
dei posti da cui si deve passare,
più è difficile scegliere il percorso
migliore, perché le combinazioni
possibili sono tantissime. Il calcolo combinatorio ci insegna che se
Figura 3. Il rapporto ciclistico
è un rapporto numerico:
numero giri di ruota
.
numero pedalate
A che cosa serve la matematica?
vogliamo passare per 10 punti, i
modi diversi per raggiungerli tutti
uno dopo l’altro sono ben
10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
(ovvero 3.628.800). Questo problema è talmente difficile che ancora i matematici non hanno trovato un modo unico per risolverlo;
ogni volta bisogna fare dei tentativi e delle misure e accontentarsi di
una soluzione che non è la migliore, ma che è accettabile.
E dove si nasconde ancora la matematica?
Per esempio nella forma di una
foca, di una lepre della California
(figura 4), di un cubetto di ghiaccio e di una caramella! Stiamo
parlando di un problema di massimo e minimo di superficie a parità di volume.
La foca, per proteggersi dal
freddo, ha una forma tale da lasciare meno superficie possibile a
contatto con l’esterno e la Natura,
dotandola di una forma quasi sferica, ha sicuramente chiesto aiuto
alla matematica. La lepre della California, invece, ha il problema
contrario: deve avere a contatto
con l’aria più superficie possibile
per disperdere una grande quantità di calore per irraggiamento;
per questo ha le orecchie molto
grandi. Questo è il motivo per cui i
cani, quando hanno caldo, tirano
fuori la lingua: è il solo modo che
record! Ma sarebbe bello continuare a scoprire microscopici cavolfiorini all’infinito! Questa è
l’idea di frattale: un oggetto che
somiglia ad una sua stessa parte.
Il cavolfiore è fatto esattamente
come un frattale!
Aperitivo matematico
Figura 5.
Il cavolfiore nasconde
la struttura di un frattale.
hanno per aumentare la loro superficie corporea.
Si pensi anche ai cubetti di
ghiaccio: la velocità di raffreddamento di una bevanda dipende
dalla superficie del cubetto a contatto col liquido, è quindi un’idea
furba che ne esistano alcuni scavati
al centro, perché questa forma fa sì
che sia molto grande la superficie a
contatto con la bibita. Un discorso
del tutto analogo vale per l’intensità del sapore di una caramella,
questo infatti è direttamente proporzionale non tanto al volume,
ma alla superficie che viene a contatto con le nostre papille gustative.
Ricordate le caramelle col buco?
Un’ altra cosa divertente è la
matematica che si nasconde in un
cavolfiore: se lo guardiamo bene possiamo osservare che ogni infiorescenza è fatta come un cavolfiore di cui ogni infiorescenza è fatta come un cavolfiore di cui… (figura 5)
Io sono riuscito a sezionarlo fino ad arrivare
all’ottavo livello: prendo
il cavolfiore e ne stacco
un rametto, un cavolfiorino, a questo stacco un rametto, un cavolfiorino, e
Figura 4. La lepre della California vive
così via. Le cose iniziano
negli ambienti desertici di molti distretti
a complicarsi al settimo lidegli Stati Uniti, ha padiglioni auricolari
vello, raggiungere l’ottamolto grandi e ben vascolarizzati.
vo è stato veramente un
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010
Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0
VII
Sentirla parlare fa
davvero pensare che
la matematica sia divertente. Ha mai organizzato un evento per
comunicarlo?
Mi è capitato di dover
organizzare un intrattenimento
matematico per festeggiare l’anniversario del museo scientifico di
Trieste; era l’ora dell’aperitivo e
ho pensato di partire da lì. All’inizio il mio pubblico era costituito
prevalentemente da bambini e genitori, poi però, dato che lì vicino
c’era un workshop di fisici teorici,
sono arrivati anche tutti questi ricercatori. È stata una grossa sfida
riuscire a parlare a vari livelli ed
incuriosire bimbi e fisici insieme!
Con le olive e gli stuzzicadenti
ho costruito solidi e verificato la
formula di Eulero (numero facce
+ numero vertici = numero di spigoli + 2); i vertici erano le olive,
Figura 6. La Natura sceglie i numeri di Fibonacci nella disposizione delle scaglie dell’ananas.
A che cosa serve la matematica?
Figura 7. Robert Ghattas, durante un laboratorio didattico al Museo, cerca i numeri di Fibonacci nella frutta.
All’interno di una mela scopre una stella
a 5 punte!
La successione di Fibonacci consiste in
una sequenza di numeri nella quale
ognuno di essi è la somma dei due precedenti:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
matica e spero di riuscire ad espriA che cosa serve? A rendere la vita
gli spigoli erano gli stuzzicadenti,
mere il mio entusiasmo incuriosenmigliore!
le facce si potevano immaginare,
do chi mi ascolta e incoraggiandolo
La matematica, a millenni di dio fare con le sottilette!
a non arenarsi alle prime difficoltà.
stanza dalla sua nascita, è ancora
Inclinando un bicchiere conico
Credo sia molto importante infatti
florida, mentre l’alchimia non è
pieno di aperitivo mostravo paratrasmettere passione ed entusiasopravvissuta.
bole (pensate alle sezioni conismo; io non amavo Bach, durante
Ci sono cose che vanno e vengoche!), con un bicchiere cilindrico
no, la matematica no, la poepieno di succo di frutta in…si campa anche senza sapere che
sia no. E a che serve la poesia?
vece ottenevo ellissi...
cos’è un logaritmo, senza sapere suonare
A me la matematica serve per
Osservando la distribuuno strumento musicale, senza conoscere
lavorare e per divertirmi. Dozione delle scaglie dell’anail nome del vento che ti soffia in faccia
vesse smettere di divertirmi e
nas in due serie di spirali
o del fiore che regali a qualcuno.
di darmi il pane, per me di(figura 6), una in senso oraMa di sicuro ci si perde qualcosa.
venterebbe davvero inutile.
rio e l'altra in senso antiorario, osservavo che erano 8 in
gli anni dell’università ho abitato
E a chi a sentir parlare di mateun senso e 13 nell’altro. E questo
con un amico che invece lo adoramatica storce ancora il naso, che
non è un caso: 8 e 13 sono due
va, si svegliava al mattino e si metcosa dice?
numeri successivi nella sequenza
teva al piano così ho imparato a coChe si campa anche senza sapere
di Fibonacci.
gliere la bellezza di quella musica.
che cos’è un logaritmo, senza saper
E così un aperitivo si è trasforCredo che con la matematica debsuonare uno strumento musicale,
mato in una serie di curiosità maba accadere lo stesso, c’è bisogno
senza conoscere il nome del vento
tematiche.
di essere presi per mano e di trovache ti soffia in faccia o del fiore che
re stimoli che incoraggino a scoregali a qualcuno. Ma di sicuro ci si
A che cosa serve la matematica?
prirne la bellezza.
perde qualcosa.
Io affronto la matematica con lo
stesso spirito con cui leggo un bel
romanzo, col desiderio di assapoPER SAPERNE DI PIÙ
rare una cosa che mette insieme la
realtà e il genio umano che interNel suo libro, R.Ghattas propone sette buffet mepreta la realtà. E questa non è solo
taforici che solleticano l’appetito di curiosità e che
la matematica, questa è anche la
si possono assaggiare senza un ordine preciso. Tutpoesia, la tassonomia nella bioloto ha a che fare con la matematica! E questa sciengia, la geografia, la chimica. C’è
za, tutt’altro che noiosa e incomprensibile, riesce a
una realtà e c’è l’uomo che ragiona
divertire e affascinare…
sulla realtà e cerca di farsela proVisita la sezione Scienza & gita nel sito
pria, di dare i nomi alle cose, di cahttp://ulisse.sissa.it/OrganizationSearch.jsp
pire come riconoscerle. Tutto quelper scoprire quanti e quali sono i musei scientifici presenti nelle varie regioni
lo che combina realtà e uomo è
italiane.
meraviglioso, io ho scelto la mate-
“
”
E non dimenticare di dare un’occhiata ahttp://www.museodelbali.org
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010
Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0
VIII
Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi
O
Moduli blu di
Goniometria
Matematica
OBIETTIVI
CONOSCENZE
COMPETENZE
• La misura degli angoli in radianti
• Le funzioni seno, coseno, tangente, secante,
cosecante, cotangente
• Le funzioni goniometriche inverse
• Le formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione e prostaferesi
• Le formule parametriche
• Semplificare espressioni contenenti funzioni
goniometriche
• Verificare identità goniometriche
SOMMARIO
TEORIA
ESERCIZI
Unità 1
LE FUNZIONI
GONIOMETRICHE
1
2
3
4
5
6
La misura degli angoli
Le funzioni seno e coseno
La funzione tangente
Le funzioni secante e cosecante
La funzione cotangente
Le funzioni goniometriche
di angoli particolari
7 Le funzioni goniometriche inverse
8 I grafici delle funzioni
goniometriche e le trasformazioni
geometriche
Laboratorio di matematica
Le funzioni goniometriche
con Excel
Test di fine unità
Verso l’Esame di stato
TEORIA
Unità 2
LE FORMULE
GONIOMETRICHE
2O
9O
14O
18O
21O
39O
44O
48O
53O
54O
23O
26O
58O
60O
29O
65O
1 Gli angoli associati
2 Le formule di addizione
80O
104O
e sottrazione
Le formule di duplicazione
Le formule di bisezione
Le formule parametriche
Le formule di prostaferesi
e di Werner
7 Il periodo delle funzioni
goniometriche
Laboratorio di matematica
Gli archi associati con Derive
82O
87O
89O
91O
117O
123O
128O
131O
92O
132O
94O
140O
3
4
5
6
96O
Test di fine unità
Verso l’Esame di stato
33O
75O
76O
141O
143O
PROVE DI USCITA
DAL MODULO
Test di fine modulo
Verso l’Esame di stato
Test your skills
Esplorazione. Pi greco
Esplorazione. Suoni e moti armonici
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ESERCIZI
147O
148O
151O
152O
154O
TEORIA
1
LE FUNZIONI
GONIOMETRICHE
1 LA MISURA DEGLI ANGOLI
■
■ Trigonometria deriva
dal greco: trigonos che significa triangolo e metron
ossia misura.
■ La topografia studia la
rappresentazione in scala
dei terreni.
GLI ANGOLI E LA LORO AMPIEZZA
La trigonometria ha lo scopo di studiare i procedimenti di calcolo che
permettono di determinare, con l’approssimazione che si vuole, la misura
degli elementi di un triangolo (lati e angoli), noti alcuni di essi.
Trova applicazione, in particolare, in astronomia, meccanica, navigazione
aerea e marittima, topografia.
Lo studio della trigonometria è preceduto da quello della goniometria, ossia di quella parte della matematica che si occupa della misura degli angoli
e delle relative funzioni.
Richiamiamo la definizione di angolo.
DEFINIZIONE
■ Un angolo si dice convesso quando non contiene il prolungamento
dei suoi lati, concavo
quando lo contiene. In
genere, quando
si parla
^
dell’angolo aV b, senza altra indicazione, ci si riferisce
all’angolo convesso.
Angolo
Un angolo è la parte di piano individuata da due semirette a e b che
hanno origine comune V.
angolo concavo
b
angolo
convesso
V
a
angolo giro
V
angolo nullo
angolo piatto
V
angolo retto
Il punto V si chiama vertice dell’angolo e le semirette a e b si chiamano lati.
Quando i lati di un angolo sono coincidenti, l’angolo è nullo se è formato
dalla sola semiretta dei lati, è giro se è formato da tutti i punti del piano.
Se i lati di un angolo sono uno il prolungamento dell’altro, l’angolo è piatto.
Se due rette incontrandosi formano quattro angoli congruenti, ognuno degli
angoli è un angolo retto.
V
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010
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O
2
UNITÀ
1
1. LA MISURA DEGLI ANGOLI
MODULO
Due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza, che si può misurare rispetto a una unità di misura assegnata.
È usuale indicare con le lettere greche minuscole , , … sia gli angoli sia
la misura della loro ampiezza.
Le unità di misura più usate sono:
O
• il grado sessagesimale;
• il radiante.
■
LA MISURA IN GRADI
Nel sistema sessagesimale, l’unità di misura degli angoli è il grado sessagesimale, definito come la 360 a parte dell’angolo giro.
Il grado sessagesimale viene indicato con un piccolo cerchio in alto a destra
della misura:
1
1° dell’angolo giro.
360
Nel sistema sessagesimale, il grado viene suddiviso a sua volta in 60 primi,
che vengono indicati con un apice (′):
1° 60′.
Ogni primo viene suddiviso a sua volta in 60 secondi, indicati con due apici (″ ):
■ Un angolo di 32 gradi,
10 primi e 47 secondi viene scritto così:
32° 10′ 47″.
1′ 60″.
Queste suddivisioni in 60 parti danno il nome al sistema di misura.
Osservazione. Se si suddivide l’angolo retto in cento parti, si ottiene il sistema centesimale, detto anche sistema degli ingegneri, perché viene utilizzato da questi in topografia. L’unità di misura di questo sistema è dunque
il grado centesimale, definito come la centesima parte dell’angolo retto.
PERCHÉ LA SUDDIVISIONE IN 360 PARTI?
Pare che la suddivisione del cerchio in
360 parti risalga ai Babilonesi (II seco lo a.C.), i quali contavano il ciclo delle
stagioni, ossia l’anno solare, in 360
giorni.
Nel secolo precedente non c’era an cora un uso sistematico della misura
degli angoli in gradi e comunque
solo nel II secolo d.C. Tolomeo d’Ales sandria ne fece un uso regolare, introducendo i sottomultipli del grado
«partes minutae primae» e «partes
minutae secundae», che noi oggi
chiamiamo «primi» e «secondi».
ESEMPIO
Il sistema di misura degli angoli con gradi, primi e secondi è il più antico,
ma presenta il problema di non utilizzare un sistema decimale e di avere
quindi procedimenti di calcolo complicati.
Anche soltanto il calcolo della somma delle misure di due angoli non è immediato. Per ottenere:
30° 20′ 54″ 2° 45′ 24″
dobbiamo prima sommare i secondi:
54″ 24″ 78″,
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
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3
O
■ La scelta di dividere in
60 parti può essere giustificata dal fatto che il numero 60 ha molti divisori:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15,
20, 30, 60.
UNITÀ
1
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
trasformare il risultato in primi e secondi:
78″ 1′ 18″,
sommare i primi:
20′ 45′ 1′ 66′,
trasformare il risultato in gradi e primi:
66′ 1° 6′,
sommare i gradi:
30° 2° 1° 33°
e ottenere così il risultato finale:
33° 6′ 18″.
■ Le calcolatrici scientifiche usano anche il sistema sessadecimale di cui
vedremo esempi negli
esercizi.
■
LA MISURA IN RADIANTI
Per semplificare i calcoli si usa il sistema che ha per unità di misura il radiante.
Per definirla, consideriamo due circonferenze di raggi r e r ′ e i due archi l e
l ′ sottesi da angoli della stessa ampiezza sulle due circonferenze (figura 1).
Figura 1. In due cir-
conferenze con raggi diversi, gli archi sottesi da
angoli della stessa ampiezza sono proporzionali ai
raggi.
r
O
r'
α O'
α
'
Dalla proporzionalità fra archi e angoli al centro si ricava:
l ° 2r 360°
e
l ′ ° 2r ′ 360°
°
l r
180°
e
°
l ′ r ′
180°
da cui, dividendo membro a membro, si ottiene:
ll′rr′
ovvero:
lrl′r′
→
l
l′
r
r′
l
cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto non varia
r
al variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro .
Se ogni volta che si misura un arco l si usa come unità di misura il raggio
della circonferenza cui appartiene, si ottiene un numero che non dipende
dalla circonferenza considerata, ma solo dall’angolo che sottende l’arco.
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O
4
UNITÀ
1
1. LA MISURA DEGLI ANGOLI
MODULO
l
Il rapporto viene quindi assunto come misura, in radianti, dell’angolo :
r
l
,
r
ossia, come definizione di radiante si può dare la seguente.
O
DEFINIZIONE
Radiante
Data una circonferenza, si chiama
radiante la misura dell’angolo al
centro che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio.
r
r
1 radiante
L’unità di misura viene indicata con 1 rad, ma di solito se si esprime un angolo in radianti si è soliti trascurare l’indicazione dell’unità di misura.
2r
Poiché sottende l’intera circonferenza, l’angolo giro misura 2.
r
L’angolo piatto, che corrisponde a metà circonferenza, misura , l’angolo
retto misura , ecc.
2
l
Osservazione 1. Dalla relazione , ricaviamo che, se è misurato in
r
radianti, la lunghezza di un arco è:
l r.
Osservazione 2. Esprimiamo anche l’area di un settore circolare.
Dalla proporzione:
α
r
Asettore Acerchio 2
ricaviamo:
Asettore Acerchio
2
ed essendo Acerchio r 2, otteniamo:
1
Asettore r 2 r 2
2
2
l
o, tenendo conto che :
r
1 l 2 1
Asettore r lr.
2 r
2
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5
O
settore
circolare
UNITÀ
1
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
■
DAI GRADI AI RADIANTI E VICEVERSA
Date le misure di un angolo in gradi sessagesimali e in radianti, vale la
proporzione:
° rad 360° 2,
da cui ricaviamo le due formule che convertono la misura di un angolo da
radianti a gradi e viceversa:
180°
° rad ■ In particolare 1 radiante corrisponde a circa 57°.
Infatti:
180°
180°
1 57°.
3,1415…
y
rad ° .
180°
1 radiante
Figura 2.
•
57°…
O
π
180
x
GRADI
RADIANTI
ESEMPIO
•
180
π
2
1. A quanti gradi corrisponde un angolo di radianti?
3
Applichiamo la prima formula:
60°
180° 2
2
° 180° 120°.
3
/3
1
2. A quanti radianti corrisponde un angolo di 60°?
Applichiamo la seconda formula:
1
rad 60° .
3
180°3
Riportiamo in una tabella le misure in radianti e in gradi di alcuni angoli.
MISURE DEGLI ANGOLI
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
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gradi
0°
radianti
0
O
6
30°
6
45°
4
60°
3
90°
2
120°
2
3
135°
3
4
150°
5
6
180°
UNITÀ
1. LA MISURA DEGLI ANGOLI
■
1
MODULO
GLI ANGOLI ORIENTATI
La definizione di angolo che abbiamo dato non è adatta per descrivere tutte
le situazioni. Per esempio, nell’avvitare o svitare una vite si descrive un angolo che può essere maggiore di un angolo giro.
È più utile quindi collegare il concetto di angolo a quello di rotazione cioè
al movimento che porta uno dei lati dell’angolo a sovrapporsi all’altro.
La rotazione è univoca solo quando ne viene specificato il verso, orario o
antiorario.
Figura 3. La semiretta OA genera
^
l’angolo AO
B ruotando intorno al vertice O in senso antiorario, fino a sovrapporsi alla semiretta OB.
B
α
O
A
Consideriamo la semiretta OA che ruota in senso antiorario intorno al verti^
ce O, fino a sovrapporsi alla semiretta OB, generando l’angolo AOB. La
semiretta OA si chiama lato origine dell’angolo , la semiretta OB si chiama lato termine.
DEFINIZIONE
Angolo orientato
Un angolo si dice orientato quando
è stato scelto uno dei due lati come
lato origine e un senso di rotazione.
Un angolo orientato si dice positivo
quando è descritto mediante una rotazione in senso antiorario; si dice
negativo quando la rotazione è in
senso orario.
O
α
β
angolo
positivo
A lato origine
angolo
negativo
Un angolo orientato può anche essere maggiore di un angolo giro.
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
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7
O
O
UNITÀ
1
■
750
30
360
2
ESEMPIO
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
1. Poiché 750° 30° 2 360°, l’angolo di 750° si ottiene con la rotazione
della semiretta OA di due giri completi e di 30°.
Figura 4. L’angolo di 750° si ottiene
30° + 2 • 360°
con una rotazione di OA di 30° e 2 angoli giro.
B
O
La forma sintetica
È possibile scrivere in forma sintetica un qualunque angolo , minore di un
angolo giro e tutti gli infiniti angoli orientati che da differiscono di un
multiplo dell’angolo giro nel seguente modo:
in gradi: k360°, con k Z; in radianti: 2k , con k Z.
Quando k 0, otteniamo l’angolo .
ESEMPIO
■ In seguito, se non daremo altre indicazioni, sarà
sempre vero che k Z.
Inoltre, per brevità, utilizzeremo il termine angolo
anche per indicare un angolo maggiore di un angolo giro.
A
La scrittura 2k indica gli angoli:
4
, 2, 4, 6…
4 4
4
4
■
LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
Nel piano cartesiano, per circonferenza goniometrica intendiamo la circonferenza di centro l’origine O degli assi e raggio di lunghezza 1, ossia la
circonferenza di equazione x 2 y 2 1.
Figura 5. La circonferenza goniometrica.
y
B
α
O
E (1; 0)
x
Il punto E(1; 0) si dice origine degli archi.
Utilizzando la circonferenza goniometrica si possono rappresentare gli angoli orientati, prendendo come lato origine l’asse x. In questo modo a ogni
angolo corrisponde un punto B intersezione fra la circonferenza e il lato
termine.
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MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010
Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0
O
8
UNITÀ
1
2. LE FUNZIONI SENO E COSENO
ESEMPIO
MODULO
O
5
Rappresentiamo gli angoli 1 , 2 , 3 .
6
4
3
Figura 6.
Essi individuano sulla circonferenza i punti B 1, B 2 e B3 della figura 6.
y
y
y
B1
π
α1=–
6
O
E
O
x
5
α2=–π
4
a
E
O
x
B2
b
c
E
B3
x
α3= – π
–
3
Osservazione. Poiché il raggio della circonferenza è 1, se l’angolo è misu è uguale alla misura dell’angolo
rato in radianti, la lunghezza dell’arco EB
^
EOB.
2 LE FUNZIONI SENO E COSENO
Introduciamo alcune funzioni goniometriche che alla misura dell’ampiezza di ogni angolo associano un numero reale.
DEFINIZIONE
Seno e coseno
Consideriamo la circonferenza goniometrica e un angolo orientato e sia
B il punto della circonferenza associato ad .
Definiamo coseno e seno dell’angolo
, e indichiamo con cos e sen , le
funzioni che ad associano rispettivamente il valore dell’ascissa e dell’ordinata del punto B:
cos xB
sen yB
B(cos ; sen ).
y
yB
B
■ Seno deriva dal latino
xB E
sinus che significa insenatura, golfo.
Nel linguaggio scientifico
internazionale il seno di si indica anche con sin .
α
O
x
r=1
cos α = xB
sen α = yB
Seno e coseno di un angolo sono funzioni che hanno come campo di
esistenza R, perché per ogni valore di R esiste uno e un solo punto
sulla circonferenza.
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9
O
UNITÀ
1
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
Osservazione. Consideriamo una circonferenza di raggio qualsiasi r ′ 1.
Figura 7. Consideriamo la circonferenza goniometrica e una circonferenza ′ di raggio r ′ 1 e il punto B′ corrispondente su ′ all’angolo .
y
B'
B
1
α
O
r'
A
x
A'
'
Prendiamo, per semplicità, un angolo appartenente al primo quadrante.
Dette (x ′; y ′) le coordinate di B′, dalla similitudine dei triangoli OBA e
OB′A′ deduciamo:
■ sen e cos sono numeri puri, perché rapporti
di grandezze omogenee,
quindi non hanno alcuna
unità di misura.
x′
A
O
′
A
O
cos ,
r′
B
O
′
B
O
y′
′A
B
′
A
B
sen .
r′
B
O
′
B
O
I due rapporti non dipendono dalla particolare circonferenza considerata,
ma esclusivamente dall’angolo .
Consideriamo ora un triangolo rettangolo OAB. Possiamo pensare all’ipotenusa OB come al raggio di una circonferenza di centro O, quindi il seno di
è uguale al rapporto fra il cateto opposto all’angolo e l’ipotenusa, il coseno è uguale al rapporto fra il cateto adiacente ad e l’ipotenusa.
cateto opposto
sen α = ———————
ipotenusa
ipotenusa
cateto adiacente
cos α = ————————
ipotenusa
B
ipotenusa
cateto
opposto
α
α
a
Figura 8.
■
A
O
B
b
O
cateto adiacente
A
LE VARIAZIONI DELLE FUNZIONI SENO E COSENO
Supponiamo che un punto B percorra l’intera circonferenza goniometrica, a
partire da E, in verso antiorario.
^
Se EOB, come variano sen e cos al variare della posizione di B ? Basta osservare che cosa succede all’ascissa di B (ossia il coseno) e alla sua
ordinata (ossia il seno).
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O
10
UNITÀ
1
2. LE FUNZIONI SENO E COSENO
MODULO
y
y
F
(+; +)
(–; +)
B
B
yB
yB
G
xB O
xB
E x
α
E x
O
yB
B
O
yB
(–; –) H
a. Finché B percorre il primo
quarto di circonferenza, la
sua ascissa xB e la sua
ordinata yB sono positive.
Man mano B si avvicina al
punto F, l’ascissa diminuisce
e l’ordinata aumenta.
In F, xF = 0, yF = 1.
b. Quando B percorre la
circonferenza nel secondo
quadrante, la sua ordinata
è ancora positiva, mentre
l’ascissa diventa negativa.
Quando B si avvicina a G,
sia l’ascissa sia l’ordinata
diminuiscono. In G, xG=–1, yG=0.
O
y
α
α
α
xB E x
O
y
c. Se B si trova nel terzo
quadrante, la sua ordinata
e la sua ascissa sono
negative. Man mano B
si avvicina ad H, l’ascissa
aumenta e l’ordinata
diminuisce.
In H, xH = 0, yH = –1.
xB
E x
B
(+; –)
d. Quando B percorre
l’ultimo quarto di
circonferenza, la sua
ordinata è ancora negativa,
mentre l’ascissa è positiva.
Avvicinandosi a E, sia
l’ascissa sia l’ordinata di B
aumentano. In E, xE = 1, yE =0.
Figura 9.
Qualunque sia la posizione di B sulla circonferenza, la sua ordinata e la sua
ascissa assumono sempre valori compresi fra 1 e 1, quindi:
1 sen 1
e
1 cos 1.
Il codominio delle funzioni seno e coseno è quindi [ 1; 1].
Osserviamo che, poiché cos cos( ) (figura 10a) allora il coseno è una
funzione pari, mentre, essendo sen( ) sen (figura 10b), il seno è
una funzione dispari.
Figura 10.
y
y
α
O
–α
α
O
x
–α
sen α
x
sen (–α)
cos α = cos (–α)
a
■
sen (–α) = –sen α
b
I GRAFICI DELLE FUNZIONI y sen x, y cos x
Possiamo costruire il grafico della funzione y sen x in [0; 2] riportando
sull’asse x i valori degli angoli e, in corrispondenza, sull’asse y le ordinate
dei punti che stanno sulla circonferenza goniometrica (figura 11a nella pagina seguente).
Analogamente, per ottenere il grafico della funzione coseno, riportiamo sulle ordinate di un piano cartesiano le ascisse dei punti della circonferenza
goniometrica in corrispondenza degli angoli (figura 11b).
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11
O
■ Studiando il grafico
della funzione nel riferimento cartesiano Oxy, indichiamo l’angolo con x.
UNITÀ
1
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
y
y = sen x
π
—
2
2π
—
3
3π
—
4
5π
—
6
π
1
3π
—
2
0
O
π —
π —
π
—
6 4 3
π
—
2
2π
— 3π
— 5π
—
3 4 6
2π
π
x
–1
3π
—
2
a. Grafico di y = sen x in [0; 2π].
y
y = cos x
π
—
3
π
π —
6
—
4
2π
11π
——
6 7π
—
4
5π
—
3
π
—
2
1
2π
— 3π
— 5π
—
3 4 6
3 π
—
2
O
π —
π —
π
—
6 4 3
π
7π
— 5π
— 4π
—
6 4 3
π
—
2
11π 2π
3π
— 7π
— ——
— 5π
2 3 4 6
x
–1
π
b. Grafico di y = cos x in [0; 2π]. Per ottenere sull’asse y del grafico le ascisse dei punti della circonferenza
π
goniometrica, la ruotiamo di – in senso antiorario.
2
Figura 11. Grafici delle funzioni seno e coseno.
Sull’asse x rappresentiamo i valori degli angoli,
sull’asse y quelli delle due
funzioni.
■
Dopo aver percorso un giro completo, il punto B può ripetere lo stesso
movimento quante volte si vuole.
Le funzioni sen e cos assumono di nuovo gli stessi valori ottenuti al
“primo giro”, ossia:
sen sen ( 2) sen ( 2 2) …
y
cos cos ( 2) cos ( 2 2) …
B
α
O
IL PERIODO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO
E
+α
2π+
Le funzioni seno e coseno sono quindi periodiche di periodo 2. Possiamo
scrivere, in modo sintetico:
x
sen ( 2k) sen ,
cos ( 2k) cos , con k Z.
■ In generale, una fun-
zione y f (x) è detta periodica di periodo p (con
p 0) se per ogni x e per
qualsiasi numero k intero
si ha f (x) f (x kp).
■
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LA SINUSOIDE E LA COSINUSOIDE
Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide (figura 12a),
quello della funzione coseno cosinusoide (figura 12b).
O
12
UNITÀ
1
2. LE FUNZIONI SENO E COSENO
MODULO
y
1
–3π
–2π
–π
π
O
–1
y
O
–π
π
–1
2π
O
π
–
2
π
x
LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE
Poiché B (cos ; sen ) appartiene alla circonferenza goniometrica le sue
coordinate soddisfano l’equazione x 2 y 2 1:
cos2 sen2 1
prima relazione fondamentale della goniometria.
Figura 14.
cos2 sen2 1. La relazione esprime il teorema di Pitagora applicato al
triangolo rettangolo OAB.
B
1
O
α
cosα A
senα
x
Da questa relazione è possibile ricavare sen conoscendo cos e viceverc
s2.
Viceversa, se si cosa. Infatti, se è noto cos , si ha sen 1o
2
nosce sen , cos 1en
s.
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3π
4π
x
completi di y sen x e
y cos x. Le funzioni
sono periodiche di periodo 2, quindi i grafici si
ottengono ripetendo ogni
2 i grafici dell’intervallo
[0; 2].
y = sen x
Figura 13.
y
x
Figura 12. Grafici
y
y = cos x
■
4π
periodo 2π
b. Grafico di y = cos x.
I grafici delle due funzioni sono sovrapponibili con una traslazione di vettore parallelo all’asse x e di modulo
.
2
3π
y = cos x
1
–2π
2π
periodo 2π
a. Grafico di y = sen x.
–3π
O
y = sen x
13
O
UNITÀ
1
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
3 LA FUNZIONE TANGENTE
■
LA TANGENTE DI UN ANGOLO
DEFINIZIONE
Tangente di un angolo
Consideriamo un angolo orientato e chiamiamo B l’intersezione fra il
lato termine e la circonferenza goniometrica di centro O. Definiamo
tangente di la funzione che ad associa il rapporto, quando esiste,
fra l’ordinata e l’ascissa dal punto B:
y
B
yB
O
α
xB A
yB
tg .
xB
■ Nel linguaggio scientifico internazionale la tangente di si indica con
tan .
x
yB
tg α = —–
x
B
Indichiamo con tg la tangente dell’angolo .
Consideriamo ancora la circonferenza goniometrica, un suo punto B(xB ; yB),
^
la sua proiezione A sull’asse x e l’angolo orientato AO B .
B
A
Anche in questo caso si può dimostrare che il rapporto , e di conseA
O
yB
guenza , non varia se cambiamo il raggio della circonferenza.
xB
DIMOSTRAZIONE
Figura 15. Disegniamo
una seconda circonferenza con lo stesso centro O
e raggio diverso. Consideriamo, per semplicità, un
angolo del primo quadrante.
■ La tangente di un angolo non esiste quando il
punto B si trova sull’asse
y, ossia quando l’angolo è
3
uguale a o a o a
2
2
tutti gli angoli derivanti
da questi per multipli interi dell’angolo giro.
tg esiste solo quando
2k 2
3
2k .
2
Queste scritture si riassumono con:
k .
2
Figura 16.
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Il prolungamento del raggio OB interseca la seconda circonferenza nel
punto B ′, la cui proiezione sull’asse
x è il punto A′. I triangoli OAB e
OA′B′ sono simili, quindi vale la seguente proporzione:
y
B'
B
O
α
A A'
x
B
OA
A ′B
′ OA
′,
A
ossia:
B
A
′
A
B ′
tg .
A
O
A
O
′
Pertanto il rapporto considerato non dipende dalla particolare circonferenza
scelta, bensì solo dall’angolo.
Osserviamo che tale rapporto non esiste quando x B 0, ossia quando:
k.
cateto opposto
tg α = ————————
2
cateto adiacente
Nel triangolo rettangolo OAB possiamo pensare l’ipotenusa OB come
raggio di una circonferenza di centro
O. Pertanto la tangente di è uguale
al rapporto fra il cateto opposto all’angolo e il cateto adiacente.
O
14
B
cateto
opposto
α
O cateto adiacente A
UNITÀ
1
3. LA FUNZIONE TANGENTE
■
MODULO
UN ALTRO MODO DI DEFINIRE LA TANGENTE
■ Tangente deriva dal la-
Consideriamo la circonferenza goniometrica e la retta tangente a essa nel
punto E, origine degli archi. Il prolungamento del lato termine OB interseca
la retta tangente nel punto T (figura a lato).
La tangente dell’angolo può anche essere definita come il valore dell’ordinata del punto T, ossia:
tino tangere che significa
toccare.
y
yT
tg y T .
α
O
T
B tg α
E
x
Dimostriamo che le due definizioni date sono equivalenti.
DIMOSTRAZIONE
Consideriamo i due triangoli rettangoli OAB e OET. Essi sono simili quindi:
T
E
BA
OE
O
A
→
T
y
yT yB 1 xB
B
da cui
yB 1
y T , ossia
xB
O
yB
y T .
xB
E x
A
Pertanto:
yB
tg y T .
xB
■
LE VARIAZIONI DELLA FUNZIONE TANGENTE
Studiamo come varia y T al variare dell’angolo , legato alla posizione del
punto B sulla circonferenza.
y
y
+
y
+
B
F
B T
O
y
Figura 17.
α
E x
α
G
O
T
α
E x
E x
O
α
B
T
a. Finché B percorre il primo
quarto di circonferenza,
l’ordinata di T è positiva e
aumenta man mano B si
avvicina al punto F. Quando
B ≡ F, la tangente non esiste.
–
b. Quando B percorre la
circonferenza nel secondo
quadrante, l’ordinata T è
negativa, e aumenta fino a
quando B ≡ G, in cui yT = 0.
Ex
O
B
T
H
c. Se B si trova nel terzo
quadrante, l’ordinata di T
è di nuovo positiva e va
aumentando fino a quando
B ≡ H e T non esiste più.
La tangente di 3π
— non esiste.
2
–
d. Quando B percorre
l’ultimo quarto di
circonferenza, l’ordinata
di T ritorna negativa e
aumenta fino allo 0.
y
Osservazione. A differenza delle funzioni seno e coseno, la funzione tangente può assumere qualunque valore reale. Il suo codominio è quindi R,
mentre il suo campo di esistenza è: k.
2
Essendo tg( ) tg (figura a lato) la tangente è una funzione dispari.
tgα
α
O
–α
tg (–α)
tg (–α) = –tgα
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15
O
x
O
UNITÀ
1
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
■
IL GRAFICO DELLA FUNZIONE y tg x
Tracciamo il grafico della funzione y tg x nell’intervallo [0; ] riportando
sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y le ordinate dei punti corrispondenti sulla retta tangente.
Figura 18.
y
T'
2
–π
3
3
–π
4
5
–π
6
π
–
2
π
–
3 π
–
4
T
2
–π
–π 3
–π 5
3 4 6
π
–
6
O
■
π
x
IL PERIODO DELLA FUNZIONE y tg x
La tangente è una funzione periodica di periodo , cioè qualunque sia l’angolo , è:
y
F
G
π
–
2
Notiamo che man mano x si avvicina a :
2
• con valori minori di , il valore della funzione tende a diventare sem2
pre più grande; diremo che tende a ;
• con valori maggiori di , il valore della funzione tende a diventare
2
sempre più grande in valore assoluto, in quanto è negativo; diremo che
tende a .
Il grafico della tangente, per valori di x che si avvicinano a , si avvicina
2
sempre più alla retta di equazione x , che viene detta asintoto verti2
cale del grafico.
■ Asintoto deriva dal greco asýmptōtos, composto
di a («non») e dell’aggettivo verbale di sympíptō
(«io coincido»).
π
– π
– π
–
6 4 3
α+π
α
O
tg tg( k ), con k Z.
B' T
E
x
B
H
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Questo si può vedere usando la definizione di tangente (figura a lato).
Il grafico completo della tangente si chiama tangentoide. Ha infiniti asinto
ti: le rette di equazioni x k.
2
O
16
UNITÀ
1
3. LA FUNZIONE TANGENTE
MODULO
y
O
y = tg x
periodo
−2π
■
−3 π
2
−π
−π
2
O
π
2
π
3π
2
2π
x
Figura 19. Rappresen-
IL SIGNIFICATO GONIOMETRICO DEL COEFFICIENTE ANGOLARE
DI UNA RETTA
tazione della tangentoide.
y
Tracciamo la circonferenza goniometrica e la retta di equazione y mx (figura a lato), da cui:
y = mx
y
m .
x
tgα
α
1
O
x
In particolare, se x 1, y tg e
tg m tg .
1
Il coefficiente angolare della retta è uguale alla tangente dell’angolo fra la
retta e l’asse x.
Dalla geometria analitica sappiamo che due rette sono parallele quando
hanno lo stesso coefficiente angolare e che esse formano angoli congruenti
con l’asse x.
Ciò permette di estendere il risultato ottenuto anche a rette che non passano per l’origine (figura a lato).
■
■ L’angolo fra una retta e
l’asse x è l’angolo che ha
per vertice il loro punto
di intersezione e come
lati la semiretta dei punti
di ordinata positiva e la
semiretta sull’asse x di
verso positivo.
y
r // r'
LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE
α'
Consideriamo la circonferenza goniometrica. Per definizione:
r
x
α = α' => tg α = tg α' => m = m'
Sostituiamo sen e cos nell’espressione della tangente:
y
sen tg .
cos yB
Questa è la seconda relazione fondamentale della goniometria: la tangente di un angolo è data dal rapporto, quando esiste, fra il seno e il coseno dello stesso angolo.
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α
O
yB
tg ,
xB
yB sen e xB cos .
r'
17
O
O
B
1
α
xB
x
UNITÀ
1
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
4 LE FUNZIONI SECANTE E COSECANTE
DEFINIZIONE
Secante e cosecante di un angolo
Dato un angolo , si chiama:
• secante di la funzione che associa ad il reciproco del valore di cos ,
purché cos sia diverso da zero. Si indica con sec :
1
sec , con k ;
cos 2
• cosecante di la funzione che associa ad il reciproco del valore di
sen , purché sen sia diverso da zero. Si indica con cosec :
■ Secante e cosecante,
come seno e coseno,
sono funzioni periodiche
di periodo 2.
1
cosec , con 0 k .
sen ■
UN ALTRO MODO DI DEFINIRE LA SECANTE E LA COSECANTE
Consideriamo la circonferenza goniometrica, l’angolo e la tangente in B
che intersechi gli assi x e y rispettivamente in S e S′ (figura 20).
S'
Figura 20.
y
α
B
α
O
A
Sx
Essendo simili i triangoli OBA e OBS, si ha:
O
A
OB
OB
OS
→
cos 1 1 OS
da cui:
1
OS sec .
cos Analogamente, essendo simili i triangoli OAB e OBS′, si ha:
OB
OB
O
S ′,
BA
sen 1 1 OS ′,
da cui:
1
OS ′ cosec .
sen La secante di è quindi l’ascissa del punto S, intersezione della retta tangente
nel punto B, associato di sulla circonferenza goniometrica, con l’asse x.
Analogamente la cosecante di è l’ordinata del punto S′, intersezione della
retta tangente in B con l’asse y.
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O
18
UNITÀ
1
4. LE FUNZIONI SECANTE E COSECANTE
■
MODULO
I GRAFICI DELLA SECANTE E DELLA COSECANTE
O
IL GRAFICO DEL RECIPROCO DI UNA FUNZIONE
Dal grafico di una funzione y f(x) è possibile ricavare l’andamento della fun1
zione y g(x) .
f(x)
1. Se il grafico di f(x) interseca l’asse x in x0, ossia se f(x0) 0, per valori di x che
tendono a x0, il valore del reciproco è:
• positivo e con valori sempre più grandi, man mano ci si avvicina a
x0, se
f(x) 0; diremo che g(x) tende a ;
• negativo e con valori sempre più grandi in valore assoluto, se f(x) 0; diremo che g(x) tende a .
Avvicinandosi al punto x0 il grafico della funzione g(x) si avvicina a quello del la retta x x0, che viene detta asintoto verticale del grafico di g(x).
Data la funzione y x 1, f(x0) 0 se x0 1.
1
Il suo reciproco y tende a quando x tende a 1 e x 1, cioè x è
x1
«a destra» di 1, perché f(x) assume valori sempre più grandi. Analogamente,
il reciproco tende a per x che tende a 1 «da sinistra». La retta x 1 è
asintoto verticale.
y
y
y=x+1
y
x = –1
1
y = ––––
x+1
y=x+1
1
y=x+1
1
x
–1 O
–1
1
x
O
–1
1
y = ––––
x+1
x = –1
1
b. Tendenza a + di y = –––––,
x+1
quando x tende a –1 da destra.
a. Grafico di y = x + 1
x
O
1
c. Tendenza a – di y = –––––,
x+1
quando x tende a –1 da sinistra.
2. Quando f(x) tende a o a , il suo reciproco g(x) si avvicina sempre più
a 0, cioè g(x) tende a 0.
y
y
1
–1
O
1
a. Tendenza a 0 di y = –––––,
x+1
quando y = x + 1 tende a + .
1
y = ––––
x+1
1
x
–1
1
y = ––––
x+1
1
b. Tendenza a 0 di y = –––––,
x+1
quando y = x + 1 tende a – .
1
1
3. Se f(a) 1, è vero anche che g(a) 1. a è allora ascissa di un
f(a)
1
punto di intersezione dei grafici della funzione e del suo reciproco.
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010
Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0
O
19
O
x
UNITÀ
1
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
1
1
Analogamente, se f(b) 1, g(b) 1, cioè b è ascissa di un
f(b)
1
punto di intersezione.
y
y
y=x+1
y=x+1
1
-2
–1
1
1
y = ––––
x+1
–2
x
O
-1
–1
1
y = ––––
x+1
x
O
–1
a. La funzione e il suo reciproco hanno in comune
i punti (0; 1) e (–2; –1).
b. Le informazioni raccolte permettono di tracciare
1
il grafico “probabile” di y = –––––.
x+1
I grafici delle funzioni secante e cosecante sono rappresentati in figura 21.
Figura 21. L’andamento del grafico della
secante si può ricavare
tenendo conto che è il
reciproco del coseno.
Analogamente dal grafico del seno si ricava l’andamento di quello della
cosecante.
y y = sec x
1
π
–––
2
O
y = cos x
π
––
2
π
3π
––
2
x
3π
––
2
2π
x
–1
a. Grafico della secante.
y
y = cosec x
1
O
–1
b. Grafico della cosecante.
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
MANUALE BLU DI MATEMATICA © Zanichelli 2010
Confezione 3, Mod. O+Q - ISBN 978.88.08.15417.0
O
20
y = sen x
π
––
2
π
