64376-tutorato_3_risolti - Liceo Classico Scientifico XXV Aprile

Fisica generale II, a.a. 2013/2014
TUTORATO 3: PARTICELLE CARICHE IN E
MASSE PUNTIFORMI CARICHE IN E
3.1. Una sorgente di protoni a una altezza PA = 10 m dal suolo
emette un protone (mp = 1.67(1027)kg, qp=1.6(1019) C) con
velocità orizzontale v0 = 6(106) m/s. A che distanza x dal punto
A il protone raggiungerà il suolo se il campo elettrico terrestre ET
ha modulo pari a 100 V/m ed è diretto verso la Terra?
(A) 91 m
(B) 137 m
(C) 183 m
(D) 274 m
v0
P
A
(E) 457 m
SOLUZIONE. Sul protone agiscono la forza elettrica Fel = qP∙ET e la forza peso P = mP∙g,
entrambe verticali e dirette verso il basso. Osserviamo che
| |
| |
Possiamo quindi trascurare la forza di gravità (9 ordini di grandezza minore della forza elettrica) e
applicare le leggi del moto uniformemente accelerato al protone, la cui traiettoria sarà una parabola.
Il tempo di caduta del protone è dato da
|
|
√
|
|
√
e il tratto orizzontale percorso in questo tempo è pari a
3.2. Tra gli schermi metallici della figura, distanti d = 1 cm, vi è un campo
elettrico uniforme |E| = 20(105) N/C. All’istante t = 0 un protone
(mp = 1.67(1027) kg) lascia l’armatura positiva e contemporaneamente un
elettrone (me = 9.11(1031) kg) lascia quella negativa. Le due particelle si
incontreranno a una distanza dall’armatura positiva pari a circa
(A) 0.5 cm
(B) 0.25 cm
(C) 0.5 mm
(D) 0.05 mm
(E) 5 m
p
e
+
+
+
+




E
1 cm
SOLUZIONE. Su protone ed elettrone agiscono forze orizzontali uguali in modulo (F = e∙|E|, dove
e = 1.6∙1019 C) e opposte in verso; a causa della differenza di massa delle particelle, tuttavia,
l’accelerazione dell’elettrone sarà >> di quella del protone. Indicati con t l’istante della collisione e
con dp, de le distanze percorse da protone ed elettrone si ha
1
1
2d
d  d p  d e  apt 2  aet 2 t 
2
2
ap  ae
dp 
ap
F / mp
1 2
m
apt  d
d
 d e  5 μm
2
ap  ae
F / mp  F / me
mp
3.3. All’equatore una pallina di massa m = 102 g con una
carica q = + 2C appesa a un filo leggero lungo L = 9.8 m è
posta in un campo elettrico uniforme diretto verso nord di
intensità |E| = 3 kV/cm. Il periodo di oscillazione della
pallina è di
(A) 9.93 s
(B) 6.28 s
(C) 5.82 s(D) 4.97 s
(E) _______
SOLUZIONE. La pallina è soggetta alle forze costanti
Nord
qE
R
mg
Equatore

Sud
1
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TUTORATO 3: PARTICELLE CARICHE IN E
P = mg e Fe = Eq e si dispone in una posizione di equilibrio in corrispondenza dell’angolo  0 tale
per cui la forza risultante R = P+Fe è diretta come il filo:
m
R
Nord
R
mg
(
)
(
)
Spostando la pallina dalla posizione di equilibrio di un
piccolo angolo d , R mantiene modulo, direzione e
d
Equatore
verso ma la componente R∙sin(d)  R∙d (diretta
lungo la retta n o lungo la retta m a seconda del segno
n
di d) è una forza di richiamo di tipo elastico che
spinge nuovamente la pallina verso la posizione di
Sud
equilibrio. Esattamente come nel caso del pendolo
sottoposto al solo campo gravitazionale, la pallina oscillerà di moto armonico intorno alla posizione
di equilibrio corrispondente a 0. La pulsazione del moto armonico sarà, analogamente al caso
a
gravitazionale già trattato:  
dove l’accelerazione a rappresenta l’accelerazione totale cui la
l
pallina è sottoposta e vale
d
R
a 
m
qE 2  mg 2
m
2
 qE 
2
 
 g
 m
Dunque
2

1  Eq 
2

 g
l m
e il periodo di oscillazione della pallina è pertanto
T
2
 2
l
 5.82 s
2
 Eq 
2

 g
m


In modo sintetico, per il pendolo nel campo terrestre si può scrivere
l
ml
T  2
 2
g
m g
Il denominatore nella radice si interpreta come il modulo del campo di forza uniforme agente su m.
In presenza di un campo elettrico orizzontale uniforme e di una massa con carica elettrica, il
modulo della forza diventa

m g 
m  g 2  q  E 2
Si arriva così allo stesso risultato.
3.4. Un protone (mp = 1.67(1027) kg) con velocità iniziale v0 = 3(106) m/s penetra per un tratto
d = 0.2 m in una regione dove è presente un campo elettrico uniforme e poi si ferma. L’intensità
media del campo elettrico che lo frena è
(A) 75 kV/m
(B) 150 kV/m
(C) 235 kV/m
(D) 470 kV/m
(E) _______
SOLUZIONE. L’energia cinetica iniziale del protone viene utilizzata per compiere lavoro contro il
campo elettrico che frena la particella e si trasforma in energia potenziale elettrica:
2
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⟨ ⟩
⟨ ⟩
TUTORATO 3: PARTICELLE CARICHE IN E
⟨ ⟩
3.5. Un cannoncino elettronico emette elettroni (m = 9.11031 kg) con velocità
iniziale v0 = 2.996106 m/s diretta verso una grande parete metallica a distanza
d = 20 cm sulla quale vi è una densità di carica  = 1.13 nC/m2. La velocità vf con cui
l’elettrone urta la parete è pari a circa
(A) 0.0 106 m/s (B) 6.9106 m/s
(C) 0.1106 m/s
(D) 3.7106 m/s (E) 13.2106 m/s
v0

SOLUZIONE. La variazione di energia cinetica dell’elettrone è uguale al lavoro L compiuto su di
esso dal campo elettrico:
Il campo elettrico prodotto da una parete conduttrice carica sufficientemente estesa è perpendicolare
alla parete e ha modulo
| |
Pertanto
√
√
(
)
3.6. Una particella di massa m e carica q viene immessa con velocità iniziale v0 in una regione in
cui è presente un campo elettrico E uniforme e diretto perpendicolarmente a v0. La particella, per
effetto della forza elettrica, compie un moto parabolico nel quale lo spostamento nella direzione
parallela a v0 è x = 10 cm e nella direzione perpendicolare a v0 è y = 0.98 cm. Se E = 104 V/m e
v0 = 3·107 m/s, il rapporto q/m vale in C/kg:
(A) 0.88·1011
(B) 1.76·1011
(C) 0.59·1011
(D) 0.88·1010
(E) ______
SOLUZIONE. Il “tempo di volo” della particella è
q
mentre lo spazio percorso nella direzione parallela al campo
elettrico è
( )
E
v0
( )
Dall’ultima relazione ricaviamo
( )
(
)
3.7. Un protone (massa 1.67∙1027 kg) si muove in un piano
(x,y) in un campo elettrico uniforme parallelo al piano. Nel
punto O(0,0) le componenti della sua velocità sono
vx(O) = 3(106) m/s e vy(O) = 2(106) m/s. Quando il protone si
trova in A(3.71m, 3.56m) le componenti della velocità sono
vx(A) = 4.42(106) m/s e vy(A) = 5.12(106) m/s. La
componente Ex del campo elettrico vale
E
y
O
x
v0
A
vA
3
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(A) 10 kV/m
(B) 15 kV/m
TUTORATO 3: PARTICELLE CARICHE IN E
(C) 20 kV/m
(D) 33 kV/m
(E) 36.2 kV/m
SOLUZIONE. Scomponiamo il moto del protone nelle componenti dirette lungo l’asse x e lungo
l’asse y. Il lavoro compiuto dalla componente Ex del campo è uguale alla variazione di energia
cinetica del moto del protone lungo l’asse x:
(
)
(
)
((
)
(
) )
3.8. Con riferimento al problema precedente il lavoro compiuto dal campo sul protone per portarlo
dal punto O al punto A vale
(A) 1.66(1014)J (B) 2.02(1014)J (C) 2.22(1014)J (D) 2.73(1014)J (E) 3.87(1014)J
SOLUZIONE. Il lavoro compiuto dal campo elettrico è uguale alla variazione di energia cinetica
del protone:
(
)
(
)
3.9. Una particella carica (m = 3(108) kg, q = 2(106) C) si muove liberamente nel piano xy per
effetto di un campo elettrico. Inizialmente si trova in un punto A dove possiede la velocità v(A) di
componenti vx(A) = 0 e vy(A) = 100 m/s. Successivamente si trova in B dove le componenti della
velocità valgono vx(B) =200 m/s e vy(B) = 50 m/s. La differenza di potenziale V(A)V(B) tra i punti
A e B vale
(A) 0 V
(B) 12 V
(C) 19 V
(D) 244 V
(E) 363 V
SOLUZIONE. La variazione di energia cinetica della particella è uguale al lavoro compiuto su di
essa dal campo elettrico:
(
)
(
)
3.10. Un protone (mp = 1.67(1027) kg, q = 1.6(1019) C) si trova inizialmente fermo sull’armatura
positiva di un condensatore nel vuoto fra le cui armature vi è una differenza di potenziale
V = 100 V. La velocità vf con cui il protone raggiunge l’armatura negativa del condensatore è di
circa
(A) 36000 km/h (B) 138 km/s
(C) 99 km/s
(D) 199 km/s
(E) 3(105) km/s
SOLUZIONE. L’ energia cinetica acquistata dal protone è uguale al lavoro compiuto su di esso dal
campo elettrico:
√
3.11. La differenza di potenziale V che aumenta di 4.3(1015) J l’energia cinetica di un protone
(m = 1.67(1027) kg, q = 1.6(1019) C) vale
(A) 0.27 MV
(B) 0.13 MV
(C) 13 kV
(D) _______
(E) 27 kV
SOLUZIONE. Una carica q sottoposta a una differenza di potenziale V acquista un’energia
cinetica pari a Ecin = q∙V. Pertanto
4
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TUTORATO 3: PARTICELLE CARICHE IN E
3.12. Un elettrone (me = 9.1(1031) kg, q = 1.6(1019) C) è sparato
orizzontalmente tra i piatti del condensatore della figura, a livello
dell’armatura negativa, con una velocità v0 = 2.965(106) m/s. Se la
distanza tra le armature è d = 5 mm e la differenza di potenziale tra
queste è V = 20 V, quale distanza orizzontale x percorrerà
l’elettrone prima di raggiungere l’armatura positiva?
(A) 0.79 cm
(B) 1.12 cm
(C) 1.79 cm
(D)3.16 cm
x
v0 d
e
(E) 8.94 cm
SOLUZIONE. Il moto dell’elettrone nella direzione perpendicolare alle armature è uniformemente
accelerato. La forza che agisce sull’elettrone è la forza elettrica
e dalla legge del moto uniformemente accelerato ricaviamo il tempo di impatto t tra l’elettrone e
l’armatura positiva:
√
Il moto dell’elettrone nella direzione parallela alle armature è invece rettilineo uniforme con
velocità v0, dunque
√
√
3.13. Un protone (mp = 1.67(1027) kg, q = 1.6(1019) C) viene accelerato da una differenza di
potenziale V = 150 kV e urta frontalmente un atomo di carbonio (massa  12 mp) che è in moto
verso il protone con energia cinetica pari a quella del protone stesso. Se dopo l’urto i due corpi
procedono assieme, la loro velocità comune sarà di circa
(A) 0.4 m/s
(B) 1.0 m/s
(C) 1.5 m/s
(D) 1.8 m/s
(E) 5.4 m/s
SOLUZIONE. Il protone e l’atomo di carbonio hanno entrambi energia cinetica pari a
(
vp
)
mp
Dalle precedenti relazioni si ricava che la quantità di moto iniziale del protone è
√
vC
12 mp
√
mentre la quantità di moto iniziale dell’atomo di carbonio è
√
√
Dopo l’urto, per la conservazione della quantità di moto, una paricella di massa totale pari a
mtot = mp+mC = 13 mp si muoverà con velocità vf pari a
5
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TUTORATO 3: PARTICELLE CARICHE IN E
√
√
(
√
√
√
√
(
)
)
Come indicato dal segno, la velocità finale della particella ha lo stesso verso di quella iniziale
dell’atomo di carbonio.
3.14. Nell’esperimento di Millikan una goccia di olio di raggio r = 2 m di e densità relativa
all’acqua d = 0.85 è tenuta sospesa tra i piatti orizzontali di un condensatore quando è applicato un
campo elettrico discendente E pari a 8.72 kV/cm. Quante cariche di un elettrone contiene la goccia?
(A) 2
(B) 5
(C) 7
(D) 10
(E) _________
SOLUZIONE. La goccia d’olio è in equilibrio sotto l’azione della
forza peso mg e della forza di Coulomb FC dirette come in figura. La
forza elettrica è proporzionale alla carica della goccia; detto N il
numero di cariche elementari e = 1.6∙1019 C portate dalla goccia si ha:
(
E
+ + + + +
FC
mg
─ ─ ── ─
)
Uguagliando le due forze si ottiene
(
(
)
)
3.15. La velocità massima di un elettrone in un tubo da televisore operante a 20000 V è di circa in
m/s (me = 9.1(1031) kg) (si trascurino gli effetti relativistici)
(A) 2.4(106)
(B) 5.9(107)
(C) 6.2(107)
(D) 8.4(107)
(E)_________
SOLUZIONE. L’elettrone, sottoposto a una differenza di potenziale V = 2∙104 V, acquista
un’energia cinetica
che corrisponde a una velocità pari a
√
√
3.16. Un protone (m = 1.671027 kg, q = 1.61019 C) si trova
m, q
inizialmente al centro O di un anello di raggio r = 1 cm su cui è
0
uniformemente distribuita una carica Q = 3 C. Se in O il protone
x
r
ha una velocità v0 = 5102 m/s diretta come l’asse dell’anello
(direzione positiva dell’asse x), nel punto di ascissa x = 20 cm il
protone avrà velocità vx pari a circa
(A) 5.3106 m/s (B) 7.4106 m/s (C) 9.2106 m/s (D) 2.3107 m/s (E) _____m/s
SOLUZIONE. L’anello, uniformemente carico, produce per
considerazioni di simmetria un campo elettrico nella direzione
positiva dell’asse x; pertanto il protone si muoverà di moto rettilineo
accelerato senza spostarsi dall’asse dell’anello. A una generica
distanza d dal punto O, sull’asse dell’anello il campo E(d) vale
E(d)
0
r
d

x
6
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( )
TUTORATO 3: PARTICELLE CARICHE IN E
( )
(
⁄
)
√
Il lavoro compiuto dalla forza elettrica che agisce sul protone dal punto O al punto di ascissa
x = 20 cm vale pertanto
∫
( )
(
∫
⁄
)
)
[(
⁄
]
(
)
)
(
)
√(
Uguagliando L alla variazione di energia cinetica del protone si ottiene
√
√
3.17. Un protone nel vuoto (m = 1.671027 kg, q = 1.61019 C) si trova
inizialmente in P0, a distanza d0 = 1 m dall’asse di un lungo cilindro, con
velocità v0 = 106 m/s diretta verso l’asse del cilindro. Il cilindro è carico e
costituito da rete metallica penetrabile dal protone, ha raggio R = 10 cm e la
carica è di +3 C per ogni metro di altezza del cilindro. La distanza minima
dall’asse a cui giunge il protone è di circa
(A) 0.00 cm
(B) 10.1 cm
(C) 46.6 cm
(D) 67.9 cm
(E) 90.8 cm
R
v0 P 0
d0
SOLUZIONE. Il lungo cilindro con densità lineare di carica pari a  = 3∙106 C/m produce, a
distanza r dal suo asse, un campo elettrico E(r) perpendicolare all’asse stesso e pari in modulo a

( )
che frena il protone dalla distanza iniziale d0 a una generica distanza d compiendo contro di esso un
lavoro elettrico L pari a

( )
∫
∫

(
)
Il protone si muoverà di moto decelerato fino a fermarsi. La distanza minima dall’asse del cilindro
che il protone può raggiungere si trova uguagliando la variazione di energia cinetica della particella
al lavoro compiuto contro di essa dal campo elettrico:

(
)

Qualora dmin fosse risultato minore o uguale al raggio del cilindro di 10 cm, allora il protone
avrebbe penetrato la rete metallica passando attraverso questa con velocità diretta verso l’asse in
quanto all’interno del cilindro non vi sono forze elettriche; il protone avrebbe raggiunto l’asse,
sarebbe uscito dalla parte opposta e si sarebbe allontanato indefinitamente. Nel caso dmin>R, il
protone rimbalza sul campo elettrico del cilindro; raggiunto dmin, inizia ad allontanarsi e in P0 ha
velocità uguale in modulo a quella iniziale ma diretta in senso opposto.
3.18. Secondo il modello atomico di Bohr, l’elettrone dell’atomo d’idrogeno (con massa
me  9.11  1031 kg, carica q = e  1.6  1019 C) percorre un’orbita circolare di raggio
r  5.3  1011 m attorno al suo nucleo con frequenza (determinata dall’attrazione elettrica)
(A) 107 Hz
(B) 13.5(1012)Hz (C) 6.6(1015)Hz (D) 3.0(108)Hz
(E) 9.0(1016)Hz
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TUTORATO 3: PARTICELLE CARICHE IN E
SOLUZIONE. Secondo il modello di Bohr, l’elettrone ruota attorno al nucleo su un’orbita di
raggio tale che la forza attrattiva coulombiana uguagli in modulo la forza centrifuga repulsiva:
√
√
(
)
(
)
Questa è la frequenza della radiazione nell'ultravioletto assorbita dall'atomo di idrogeno quando
viene ionizzato. La frequenza moltiplicata per la costante di Planck (h) dà l'energia di ionizzazione.
Una discussione "classica" dell'atomo di idrogeno si presta a illustrare intuitivamente la
quantizzazione di orbite e di campo elettromagnetico.
3.19. Secondo il modello di Bohr, se la massa m dell’elettrone raddoppiasse, la sua velocità orbitale
v attorno a un nucleo di idrogeno sarebbe:
(A) uguale
(B) il doppio
(C) la metà
(D) un quarto
(E) quattro volte
SOLUZIONE. Per l’elettrone nel modello di Bohr valgono le relazioni:
{
Dividendo membro a membro la seconda equazione per la prima si trova:
3.20. Secondo il modello di Bohr, se la massa m dell’elettrone raddoppiasse, il raggio r della sua
orbita attorno a un nucleo di idrogeno sarebbe:
(A) uguale
(B) il doppio
(C) la metà
(D) un quarto
(E) quattro volte
SOLUZIONE. La prima equazione del sistema (vedi soluzione esercizio 3.19) mostra che, essendo
v costante, il raggio dell’orbita è inversamente proporzionale alla massa dell’elettrone. Sostituendo
in tale equazione l’espressione della velocità ricavata nell’esercizio 3.19 si ottiene in particolare:
( )
3.21. Secondo il modello di Bohr, se la massa m dell’elettrone raddoppiasse, la sua energia di
legame Ebond con un nucleo di idrogeno sarebbe:
(A) uguale
(B) il doppio
(C) la metà
(D) un quarto
(E) quattro volte
SOLUZIONE. L’energia potenziale e cinetica dell’elettrone sono
L’energia di legame è pertanto
ed essendo il raggio dell’orbita inversamente proporzionale alla massa dell’elettrone (vedi esercizi
3.19 e 3.20) Ebond è direttamente proporzionale a m. Sostituendo nell’espressione precedente
l’espressione del raggio ricavata nell’esercizio 3.20 si ottiene in particolare:
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TUTORATO 3: PARTICELLE CARICHE IN E
( )
( )
3.22. Secondo il modello di Bohr, se la massa m dell’elettrone raddoppiasse, il suo periodo di
rotazione T attorno a un nucleo di idrogeno sarebbe:
(A) uguale
(B) il doppio
(C) la metà
(D) un quarto
(E) quattro volte
SOLUZIONE. Il periodo di rotazione dell’elettrone vale
Essendo v costante e r inversamente proporzionale a m (vedi esercizi 3.19 e 3.20), anche il periodo
di rotazione è inversamente proporzionale alla massa dell’elettrone. In particolare, utilizzando le
espressioni precedentemente ricavate per r e per v si ha
( )
9