Compito di Fisica 2
5 Febbraio 2015
1. In una sfera di raggio R1 = 1cm è presente la densità di carica volumetrica costante: =
- 5x10-5 C/m3. All’interno del guscio sferico concentrico di raggi interno R1 ed esterno R2 =
3cm è uniformemente distribuita una carica Q uguale ed opposta all’intera carica elettrica
presente nella regione r < R1. Determinare e mostrare in grafico in funzione di r le
espressioni di : (a) campo elettrostatico, (b) potenziale elettrostatico.
+ + +
+ - - - R2
- + -R1- - +
+
+
2. Tra due armature metalliche di area A = 1.2cm2 , poste a distanza h = 6mm è presente un materiale
caratterizzato da una costante dielettrica relativa εr = 7 e una conducibilità elettrica σ dipendente da x, distanza
da una delle due armature, data dalla legge:
=
1+2
con σ0 = 10-3 1/(Ωcm). La lastra posta in x =
0 sia mantenuta al potenziale V=150V, la lastra in x = h sia posta a terra. In regime stazionario si calcolino: (a) la
densità di corrente che scorre nel sistema e la resistenza elettrica del materiale; (b) la densità di carica libera
sulle due armature e all’interno del volume del materiale.
3. In una spira circolare di raggio R1 = 2cm scorre corrente elettrica di intensità I1 = 1A in senso antiorario. Sia x
l’asse (uscente per I1 antioraria) della spira, il centro della spira sia posto in x = 0. Una seconda spira di raggio
R2 = 6cm coassiale alla prima e con centro in x = 8cm è percorsa dalla corrente I2 = 0.5A con verso orario.
Calcolare il campo magnetico B prodotto dal sistema delle due spire sull’asse x. Determinare modulo direzione
e verso della forza agente sulla carica q = 10-8C che si trova in x = 4cm con velocità v = 106 m/s uy.
4. Un campo magnetico uniforme, diretto come l’asse z e confinato in una regione cilindrica (z asse del
cilindro), è caratterizzato da un modulo che diminuisce nel tempo con variazione costante pari a 1mT/s. Un
elettrone si trova inizialmente fermo in un punto distante 1cm dall’asse del cilindro. Determinare la sua
accelerazione istantanea, in modulo direzione e verso.
5a. Il momento magnetico di un atomo di ferro in una sbarra di ferro lunga 8cm e di sezione pari a 1.5cm2 è
pari a 1.8x10-23 Am2. Facendo l’ipotesi che i momenti di dipolo nella sbarra siano tutti allineati determinare: (a)
Il momento di dipolo della sbarra; (b) il momento delle forze necessario per mantenere la sbarra in direzione
normale ad un campo esterno pari a 0.5 T (densità del ferro : 7.9g/cm3, peso atomico del ferro 55.85).
5b. Sia M1 una macchina termica, caratterizzata dal rendimento η1 = 0.35, che lavora tra le due sorgenti a
temperatura T2 =600K e T1 = 300k cedendo il calore Qc =1.6KJ alla sorgente alla temperatura minore. (a)
Determinare la variazione di entropia dell’universo per un ciclo di funzionamento della macchina. (b)
Supponiamo di accoppiare alla M1 una seconda macchina termica M2, con rendimento pari a η2 = 0.2, che
utilizzi come calore in ingresso proprio il calore Qc rilasciato dalla M1. Determinare il rendimento della
macchina così formata, cioè dal dispositivo costituito dalla M2 posta in serie alla M1.
Soluzioni
1. Nella regione 0 ≤ r < R1 in cui è presente la densità volumetrica di carica ρ1 = ρ applicando il teorema di Gauss
=
abbiamo:
=−
. Nella regione R1 < r ≤ R2 è presente la carica totale:
!
Essa corrisponde alla densità volumetrica di carica costante
teorema di Gauss in tale regione abbiamo: 4
=
!
4
+
=#
$
"
%&'($ ' $ )
4
(
= +2.1 10
= 1.9 10
−
. Applicando il
+
=
→
.
(
'$ - ( . $
.(
Nella regione r >R2 , sempre applicando il teorema di Gauss, abbiamo E = 0. Il grafico del campo elettrostatico
in funzione di r è riportato in figura.
0.0E+00
-2.0E+03 0
(b) Poniamo V(∞)=0 . Nella regione
2
= 0.
Nella regione
(/ ! = 0 :
=
'$
(
.
−
&'
+
.( )
0.03
0.035
-8.0E+03
-1.0E+04
-1.2E+04
-1.4E+04
abbiamo
$
$
( ' - (.
1
.(
'(
+
(
( &'(
→ /
+
-1.8E+04
.( )
=
/
-2.0E+04
→ /
−/
=/
+
&'
=
(
'
(
+
.( )
= 0.
.
'$
'
−
+
'(
(
( &'(
+
'()
= −101.4/.
1 =
0
.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
-50
0.03
r [m]
-100
-150
2. Nello spazio compreso tra le armature è
-200
presente la densità di corrente J = σE . In
condizioni stazionarie abbiamo: ∇4 = 0 e quindi
-250
56
0.025
-6.0E+03
Il grafico del campo elettrostatico in funzione di r è
riportato in figura.
5
0.02
-1.6E+04
Nella regione r < R1
(
0.015
r [m]
V [Volt]
/
'
0. (
1 = 0 poiché E = 0 .
R1 < r ≤ R2
0.01
-4.0E+03
E [V/m]
r > R2 : /
0.005
= 0 → J = costante. Poiché la conducibilità elettrica dipende da x e J è costante il campo E dipende
=7
da x con legge:
armature:
6
. Il valore di J si calcola a partire dalla differenza di potenziale tra le due
/ 0 −/ ℎ =0
1 =0
7
6
A/m2. Il campo elettrico ha quindi espressione:
1 =
6
!7
=
9:3. Otteniamo : 4 =
!<
-!
=>
!7 <
=>
. (a) La densità di cariche libere
presenti nel volume del dielettrico è: = ∇? con D(x) = ε0εrE(x). Abbiamo quindi :
@ @.
AB
A
=−
!
-!
C<
( =>
= 4.55x103
= ∇? =
. (b) le densità di cariche elettriche libere superficiali sulle due armature sono:
D 0 =? 0 =−
!
C<
( =>
e E 1 = −? 1 =
!
(c) la resistenza R del sistema si calcola come: = 0
3. (a) B =
con
asse
C<
.
=>
A
=0
7
A
0
=
1+2
ℎ
=>
!
= 274.6 Ω
µ0
ds x u r
. Campo magnetico prodotto dalla spira di raggio R1 ed in cui scorre la corrente I1,
I∫
4π
r2
sull’asse
x
e
centro
in
x
=
0:
Rds
µ 0 2 πR
B =
I ∫
ux →
2
4π
(R + x 2 )3 / 2
0
I1
IR 2
B =
u x . Nel caso siano presenti le
2 ( R 2 + x 2 )3 / 2
µ0
R1
B2
due spire in esame: B = B1 + B 2 , tenendo conto che la
B1
I2
O
.
B1 q
corrente I1 scorre nel verso antiorario mentre la I2 in quello
orario abbiamo e che la spira 2 è centrata in x= x0
otteniamo:
B =
0F
µ0
I 1 R 12
I 2 R 22
−
2
2 ( R 12 + x 2 ) 3 / 2
( R 22 + ( x − x P ) ) 3 / 2
R2
B2
u x
(b) in P (x = 4cm) abbiamo: B(P) = -2.06x10-7 ux T quindi la forza di Lorentz sulla carica q è:
F = q v x B = qvB uy x ux = = - qvB uz = + 2.1x10-9 N uz.
4. La legge di Faraday Neumann Lenz si scrive : ∇
forma integrale: ∮
∙ 19 = −
AK G
5G
= − 5H , in
AH
Considero un circuito di calcolo per E pari ad una circonferenza
di raggio r nel piano perpendicolare a z e centrata sull’asse z
→ per la simmetria del problema E è risulta in ogni punto
tangente a tale circonferenza e costante in modulo per cui :
L
∙ 19 = 2
Il flusso di B attraverso una superficie che ha come contorno la
linea di calcolo è M N = N ! . Risulta:
z
r
B(t)
x0
B2
x
B1
2
=−
AG
AH
!
→
=−
AG .
.
AH !
Poiché dB/dt è minore di 0 il verso di E(r) risulta antiorario. Sulla carica
AG .
S AG .
inizialmente ferma agisce la forza O = −P = P AH ! = QR → l’accelerazione istantanea è quindi R = T AH ! =
8.78 10W Q/D ! con direzione di E ma verso orario.
5a. Il volume della sbarra è V = L S = 12 cm3. La massa della sbarra è quindi: m = ρV = 94.8 g. Il numero di moli
della sbarra è n = m/A = 94.80/55.85 = 1.697. Il numero di atomi nella sbarra è quindi Natomi = n NAv =
1.022x1024. (a) Il momento di dipolo magnetico della sbarra, supponendo che tutti i dipoli atomici siano
allineati, è µ = µFe Natomi = 18.40 Am2. (b) Il momento torcente è dato da: M = mxB . Se m è ortogonale a B
abbiamo: M = mB = 9.2 Nm.
5b.
Il rendimento della macchina 1 è dato da Y = 1 −
|"[ |
"\
con QA calore assorbito dalla sorgente a
temperatura maggiore T2. Dato che sia Y che Qc sono noti ricaviamo: QA = 2461.5 J. (a) La variazione di
entropia dell’universo è data dal solo contributo dell’ambiente perché la variazione di entropia del ciclo è nulla:
∆E^ = ∆E_`_=a + ∆EbTc = ∆EbTc = −
(b) Y! = 1 −
|"f[ |
;
"g
Y
-!
=1−
|"f[ |
"\
"\
d(
+
= 1 −
"[
d
|"h [|
"\
= 1.234/e.
1−Y
= 1 − 1 − Y! 1 − Y
= Y + Y! − Y Y! = 0.48
