Statistica Inferenziale
Prof. Raffaella Folgieri
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aa 2009/2010
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
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Dispense Prof. Mira, più appunti lezioni
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INTRODUZIONE
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Una nota battuta recita che:
La statistica è quella scienza per cui se io ho mangiato
un pollo ed un mio amico non ne ha mangiato, avremo
mangiato mezzo pollo a testa…
In reatà spesso si confondono concetti come statistica
e probabilità e non si conosce la differenza tra la
statistica descrittiva e la statistica inferenziale
.
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Statistica
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Statistica: scienza che si occupa della raccolta,
trattamento, analisi e interpretazione di dati
numerici
Secondo le statistiche l'uomo mangia una prugna ogni
venti secondi. Non so chi sia 'sto tizio, ma so dove
trovarlo. (Morey Amsterdam).
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Probabilità
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Probabilità: condizione propria di ciò che è probabile
– (matematica) (interpretazione classica) rapporto tra
gli esiti favorevoli e gli esiti possibili (riferito a un
evento che può avere un numero di esiti
ugualmente possibili)
– (matematica) (interpretazione frequentista) rapporto
tra il numero di volte che un evento è accaduto e il
numero degli esperimenti fatti
– (matematica) (interpretazione soggettiva) grado di
fiducia rispetto al verificarsi di un evento
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Statistica Inferenziale
z
Il concetto di probabilità, utilizzato a partire dal '600, è
diventato con il passare del tempo la base di diverse
discipline scientifiche. In particolare su di esso si basa
una branca della statistica (la statistica inferenziale),
cui fanno ricorso numerose scienze sia naturali che
sociali.
z
Nel corso partiremo con lo studio delle probabilità, per
arrivare alla statistica inferenziale
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INTRODUZIONE
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Nel gioco dei dati alcuni giocatori notano che la
somma 10 compare più spesso della somma 9
Verificano che il numero di triplette la cui somma è 10:
è uguale al
numero di triplette
la cui somma è 9:
Qual è l’errore?
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SPIEGAZIONE
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Come spiegò Galileo, i giocatori avevano contato male
i casi “favorevoli" per valutare la probabilita dei due
eventi di interesse (“somma 10" e “somma 9")
dimenticandosi del fatto che la giocata 1, 2, 6
è diversa (per la posizione
dei dadi) dalle giocate:
e ha quindi un peso pari a 6 nel conteggio dei casi
favorevoli, mentre la tripletta 3, 3, 3 ha effettivamente
peso 1.
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OSSERVAZIONI
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Il numero di triplette la cui
somma è 10 è pari a 27
quindi, effettivamente,
è maggiore del numero
di triplette la cui somma
è 9 (che è pari a 25)
Nel gioco dei 3 dadi, ottenere
somma 10 è più probabile di
ottenere somma 9.
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CONCLUSIONI
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z
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la simulazione empirica, ottenuta con ripetute giocate,
ha fornito la risposta esatta ad una domanda
complicata (per quel tempo) a cui il ragionamento
teorico aveva fornito risposta errata (Cardano, De
Ludo Aleae, 1525)
Gioco dei 3 dadi o gioco della Zara: scommessa sulla
somma di 3 dadi
Quando si parte il giuoco della zara
Colui che perde si riman dolente,
Ripetendo le volte tristo impara
Con l'altro se ne va tutta la gente;
......... Dante, Purgatorio Canto VI
Casanova ('700) ne parla nelle sue memorie
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Impariamo a contare…
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z
TESTO:
Cichitelli: Probabilità e Statistica. Cap. 1 e 2.
Esempio. Ho cinque carte numerate da 1 a 5. Le
mischio e le giro a faccia in su. In quanti modi diversi
possono risultare ordinate? Qual è la probabilita che le
ritrovi nell'ordine crescente da 1 a 5?
(per semplicità, provate con 3 carte)
z
Risposta: Ho 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5! = 120 modi diversi di
ordinarle. Fra questi uno solo è quello in cui le carte
compaiono in ordine crescente. Quindi se dovessi
pagare 1 Euro per giocare ad un gioco in cui vinco se
le carte, dopo averle mescolate, le ritrovo ordinate
dalla piu piccola alla piu grande, sarebbe equo che
vincessi 120 Euro.
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Regola 1 delle permutazioni
z Il
numero di modi in cui posso
ordinare n oggetti è
Pn = n ⋅ (n - 1) ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
z Questo
è il numero di permutazioni di
n oggetti.
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Regola 1 delle permutazioni
z
Esempio. In una gara con 10 cavalli scommetto che
il cavallo A arrivi primo ed il cavallo B arrivi secondo.
Qual è la probabilita di vincere la scommessa
assumendo che i cavalli abbiano tutti la stessa
probabilita di arrivare primi o secondi?
(fate la prova con 3 cavalli in lizza per il primo posto, per semplicità!)
z
Risposta: notiamo innanzitutto che mi interessa solo
chi arriva primo e secondo. Il numero di modi per
scegliere il primo ed il secondo cavallo su 10 é 10 * 9
= 90. La probabilita quindi che la mia scelta sia
quella vincente e di 1 su 90. Quindi se pago 1 Euro
per scommettere mi aspetto di riceverne 90 Euro nel
caso di vittoria altrimenti il gioco non sarebbe equo.
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Regola 2 delle permutazioni
z
Il numero di modi per scegliere e ordinare m
oggetti da un gruppo di n oggetti è
z
Questo è noto come il numero di
permutazioni di n oggetti preso m alla volta
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Regola 2 delle permutazioni
z
Esempio. Ho un mazzo di 10 carte con 2 assi.
Prendo a caso 2 carte. Qual è la probabilita che
siano entrambi assi?
z
Risposta: il numero di modi possibili per scegliere 2
carte da un mazzo di 10 e 10 * 9/2 = 45. Nota:
dividiamo per 2 perchè ogni coppia di carte può
essere ordinata in modo diverso. Poi procediamo
come nell'esempio precedente
Per semplicità, fate la prova con un mazzo di 5
carte…
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Regola delle combinazioni
z
Il numero di modi per scegliere m oggetti
(indipendentemente dall'ordinamento) da un insieme
di n è
z
Questo è noto come il numero di combinazioni di n
oggetti presi m alla volta
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Osservazioni
z
1.7 Osservazione. Per convenzione abbiamo che 0! = 1.
Notiamo che
z
Questo numero non è altro che il numero di modi possibili di
partizionare un insieme di n oggetti in due gruppi, uno di m
elementi e l'altro di n - m elementi.
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Coefficienti binomiali
sono detti coefficienti Binomiali e li
z
ritroviamo nella famosa formula detta di Newton:
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Notiamo che un caso particolare della formula di Newton
quando a = b = 1 ci dice che:
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Osservazioni
z
Notiamo inoltre che se a = 1 e b = -1 abbiamo che:
Triangolo di Pascal (Tartaglia)
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Lancio di una moneta
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…continua alla slide successiva
z
Lancio una moneta 10 volte. Qual è la probabilità di osservare
esattamente 5 teste e 5 croci?
z
Soluzione: Il risultato di 10 lanci di una moneta si può
registrare come una sequenza di C e T per esempio:
CTTCCTC…T, di lunghezza 10. Quante sequenze abbiamo di
questo tipo? Ce ne sono 210 poiché ogni lettera può essere o
C o T (due possibilità ).
z
Quante di queste sequenze contengono esattamente 5C e
5T? Posso pensare di scegliere a caso 5 fra le 10 posizioni e
di metterci una C e riempire le rimanenti con T quindi ho C10;5
modi diversi per farlo.
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Lancio di una moneta
z
z
In conclusione la probabilità di osservare esattamente 5
testa è C10,5/210
Più in generale se lancio una moneta n volte la
probabilità di osservare m volte testa è Cn,m/2n
Cn,m è il numero di combinazioni di m oggetti presi
m alla volta
(slide 16)
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Esempio
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z
Esempio. Una piccola impresa ha 10 impiegati
uomini e 10 donne. Per uno speciale progetto
l'amministratore delegato vuole una squadra di 3
impiegati scelti a caso. Quale è la probabilità che la
squadra sia di tutte donne?
Soluzione: posso pensare che ogni membro della
squadra può essere donna con probabilità pari ad
1/2. Quindi la probabilità che siano tutte donne è
(1/2)3 = 1/8. Giusto?
Esempio
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…continua alla slide successiva
z
No, sbagliato! Ci sono esattamente C20;3 modi
diversi di scegliere 3 impiegati da un gruppo di 20 e
di sono C10;3 modi diversi di segliere 3 donne da un
gruppo di 10 disponibili quindi la probabilita che la
squadra sia tutta femminile è
questo è piu o meno 1/8 ma un po’ piu piccolo.
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Esempio
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z
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Lancio due dadi. Qual è la probabilita che la somma sia 9?
Soluzione: Ci sono 6 x 6 = 36 possibili coppie di valori:
Solo 4 di queste coppie danno somma 9 quindi la probabilità è
di 4/36=1/9.
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Riepilogo
Abbiamo visto:
z Definizioni di statistica, statistica inferenziale, probabilità
(interpretazione classica, frequentistica e soggettiva)
z Il numero di permutazioni di n ogggetti: n!
z Il numero di modi per scegliere e ordinare m oggetti da un
gruppo di n oggetti (regola 1 delle permutazioni):
z
Il numero di combinazioni di n oggetti presi m alla volta
(Regola 2 delle permutazioni):
z
La formula di Newton (coefficiente binomiale) e il triangolo di
Pascal (Tartaglia)
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