numeri Naturali

L’insieme dei numeri Naturali
ITIS Feltrinelli – anno scolastico 2007-2008
R. Folgieri 2007-2008
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L’insieme dei numeri Naturali
I numeri naturali sono quelli che “incontriamo in natura”… infatti per
terra, in strada, non possiamo trovare -5 euro, oppure 0,3 centesimi…
troviamo numeri interi!
I numeri naturali sono tutti gli interi positivi, compreso lo 0.
L’insieme dei numeri naturali, che si indica con N, è limitato
inferiormente (dallo 0) ma non ha un limite superiore (i numeri naturali
sono infiniti).
N è anche un insieme ordinato, infatti i numeri sono posti in ordine
crescente (crescono man mano).
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,………., }
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Le operazioni nell’insieme N
Le operazioni definite nell’insieme N sono:
Addizione
Sottrazione
Moltiplicazione
Divisione
Elevamento a potenza
Un’operazione si dice INTERNA ad un insieme se il risultato
dell’operazione è ancora un valore dell’insieme.
Ciascuna operazione gode di alcune proprietà.
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Proprietà dell’addizione
Addizione: si dice somma di due numeri naturali quel numero che si
ottiene contando di seguito ad un numero tante unità quante l’altro
numero. I due numeri si dicono addendi e l’addizione si indica con +
Proprietà dell’addizione:
Commutativa: invertendo l’ordine degli addendi, il risultato non cambia
es. 3 + 2 = 2 + 3 = 5
Associativa: se raggruppo gli addendi in modi diversi, il risultato non
cambia
es. (3 + 2) + 5 = 3 + (2 + 5) = 10
Esistenza dell’elemento neutro (lo zero): aggiungendo lo zero ad un
numero, il numero resta invariato. Es. 3 + 0 = 0 + 3 = 3
L’addizione è un’operazione interna all’insieme N.
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Proprietà della sottrazione
Sottrazione: si dice differenza tra due numeri naturali, il primo detto
minuendo e il secondo sottraendo, quel numero che si ottiene
togliendo dal minuendo il sottraendo. La sottrazione si indica con il
simbolo Proprietà della sottrazione:
Invariantiva: sottraendo o aggiungendo ad entrambi i termini la stessa
quantità, il risultato non cambia:
es. 3 - 2 = 5 - 4 = 2 - 1
aggiungo 2 ad entrambi
sottraggo 1 ad entrambi
La sottrazione non ha altre proprietà (provate e vedrete che le proprietà
valide per l’addizione non sono applicabili alla sottrazione).
La sottrazione NON è un’operazione interna all’insieme N. Infatti se
il minuendo è più piccolo del sottraendo, il risultato è negativo ed i
numeri negativi non appartengono all’insieme N.
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Proprietà della moltiplicazione
Moltiplicazione: si dice prodotto tra due numeri naturali quel numero che si
ottiene addizionando tanti addendi uguali al primo numero quante sono le unità
del secondo. La indicheremo con il simbolo * per non confonderla con il prodotto
cartesiano tra due insiemi. Es. 2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6
Proprietà della moltiplicazione:
commutativa: come per l’addizione 3 * 2 = 2 * 3 = 6
associativa: come per l’addizione (3 * 2) * 5 = 3 * (2 * 5) = 30
esistenza dell’elemento neutro (il numero 1): 1 * 3 = 3 * 1 = 3
distributiva rispetto alla somma e alla sottrazione, infatti:
3 * (2 + 5) = (3 * 2) + (3 * 5) = 21
3 * (5 - 2) = (3 * 5) - (3 * 2) = 9
esistenza di un elemento detto assorbente (lo zero), perché “assorbe”
qualunque altro numero, infatti: 0 * 3 = 3 * 0 = 0 (il risultato della moltiplicazione
di qualunque numero per 0 ha sempre 0 come risultato)
(legge di annullamento del prodotto: se uno dei due fattori è 0, il risultato è 0)
La moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N.
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Proprietà della divisione
Divisione: si dice quoziente tra due numeri naturali detti il primo dividendo e il
secondo divisore, quel numero che moltiplicato per il divisore, fornisce come
risultato il dividendo, cioè dividendo : divisore = quoziente. Si indica con il
simbolo :
Nell’insieme dei naturali la divisione non è possibile in due casi:
Quando il divisore è 0: si dice impossibile
Quando non esiste un numero intero come risultato: 9 : 2 non dà un
numero intero, allora si dice che 9: 2 = 4 col resto di 1
La divisione 0:0 si dice indeterminata.
Proprietà della divisione:
invariantiva: come per la sottrazione 4 : 2 = 6 : 3 = 2 : 1 = 2
distributiva rispetto alla somma e alla sottrazione (solo a destra),
infatti: (2 + 10) : 2 = (2 : 2) + (10 : 2) = 6
(10 - 2) : 2 = (10 : 2) - (2 : 2) = 4
Con i limiti scritti sopra, la divisione è un’operazione interna all’insieme N.
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Proprietà dell’elevamento a potenza
Elevamento a potenza: dati due numeri naturali, si dice potenza di base a ed
esponente n, e si indica con an, il prodotto successivo di a per se stesso n volte:
an = a*a*a….n volte. Es. 23 = 2*2*2=8
La potenza di esponente 2 si dice quadrato. La potenza di esponente 3 si dice cubo.
Tutti i numeri elevati a uno danno come risultato il numero stesso: 31 = 3 e 11241=1124
Per convenzione, tutti i numeri elevati a zero danno 1: 30 = 1 e 11240= 1
La potenza 00 si considera senza significato.
Proprietà della divisione:
prodotto di potenze con la stessa base: am · an = am+n
quoziente fra potenze con la stessa base: am : an = am-n
prodotto di potenze con lo stesso esponente: an · bn = (a · b)n
quoziente fra potenze con lo stesso esponente: an : bn = (a : b)n
potenza di una potenza (am)n = am+n
distributiva rispetto alla somma e alla sottrazione (solo a destra), infatti:
(2 + 10) : 2 = (2 : 2) + (10 : 2) = 6
(10 - 2) : 2 = (10 : 2) - (2 : 2) = 4
Folgieri
2007-2008
Con R.
i limiti
scritti
sopra, la divisione è un’operazione interna all’insieme N.
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