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Indice:
0.
Premessa: Citazioni matematiche
1.
Cenni sulle proprietà dei numeri
1.1 Le quattro operazioni e le loro proprietà
1.2 Le frazioni e i numeri decimali (proprietà)
2.
I numeri primi e le loro proprietà
3.
Il problema di Gauss
3.1 Esplorazioni sui numeri
4.
Prodotti notevoli
5.
La matematica applicata alla fisica: il moto
6.
Il problema della lepre e della tartaruga
7. Terne pitagoriche (accenno al teorema di Pitagora)
8.
Schede di approfondimento
9.
Bibliografia
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0. Premessa: Citazioni matematiche
La matematica si può considerare come ciò che unisce e si interpone fra l'Uomo e la
Natura, fra il mondo esterno e quello interno, fra il pensiero e la percezione.
Friedrich Wilhelm August Froebel (Fröbel)
La matematica è una forma di poesia che trascende la poesia nel momento in cui
proclama una verità; una forma di ragionamento che trascende il ragionamento nel
momento in cui vuole estrarre la verità che ha proclamato; una forma di azione, di
comportamento rituale, che non trova pienezza nell'atto ma deve proclamare ed
elaborare una forma poetica di verità.
Bochner The Role of Mathematics in the Rise of Science
La scienza della matematica offre il più brillante esempio di come la pura ragione
possa con successo allargare il suo campo senza l'aiuto dell'esperienza.
Immanuel Kant (1724-1804)
E' comunque un grande piacere, dopo aver girato a lungo attorno a una verità,
trovare il modo più semplice e diretto di dimostrarla.
Karl Friedrich Gauss (1777-1855)
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1 Cenni sulle proprietà dei numeri
Riferimenti: lezioni del 20/03/06, 10/05/06, 15/05/06, 17/05/06
Per meglio affrontare il secondo modulo del corso di Fondamenti di Matematica,
abbiamo introdotto nuovamente alcune proprietà relative ai numeri.
Parliamo di numeri naturali, interi,relativi, razionali…grazie a queste definizioni
riusciamo a comprendere meglio la semantica delle quattro operazioni.
Numeri naturali: L’insieme dei numeri naturali viene indicato con la lettera N ; è a
partire dai numeri naturali e dai loro rapporti che si è sviluppata la matematica, e per
questo vale la pena di cominciare questa riflessione analizzando quale concetto di
infinito è connesso con questi enti matematici. La successione crescente dei numeri
naturali non ha fine, è infinita perché fissato comunque un numero naturale è sempre
possibile trovare un numero maggiore di esso.
Si tratta di una infinità inesauribile che si ottiene aggiungendo sempre “uno”
all’ultimo numero determinato.
Se immaginiamo di rappresentare graficamente la successione dei numeri naturali,
dovremmo raffigurare una serie di punti separati ( ed equidistanti ) che si susseguono
senza fine perché sarà sempre possibile aggiungerne ancora uno. Si tratta di una
successione infinita: fatto un passo è ben chiaro quale deve essere il successivo.
Numeri interi/relativi: I numeri interi sono formati dall’unione dei numeri naturali ( 0
, 1, 2,...) e dei numeri negativi ( -1, -2…) ; - 0 è uguale a 0 e quindi è già incluso nei
numeri naturali. L’insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con la
lettera Z , cioè l’iniziale di “Zahl” che in tedesco significa numero.
I numeri interi, possono essere sommati, sottratti e moltiplicati, e il risultato è sempre
un numero intero. Qualsiasi coppia di interi può essere confrontata.
I numeri relativi, sono quei numeri preceduti da un segno: + /- , quelli preceduti dal
segno + si chiamano numeri positivi, quelli preceduti dal segno – si dicono numeri
negativi.
La loro introduzione si è resa indispensabile in quanto, per eseguire alcune
operazioni aritmetiche non bastavano più i soli numeri naturali; infatti, se dobbiamo
operare una sottrazione ad esempio 2 – 5 , il risultato non poteva essere un numero
naturale. In campo finanziario pensiamo alla necessità di dover differenziare i debiti
e i crediti. I numeri relativi si adoperano anche per caratterizzare delle grandezze,
che siano suscettibili di avere due sensi diversi, per esempio le temperature, le
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altitudini a partire dal livello del mare, la profondità dei fondali marini o le
longitudini orientali e occidentali a partire dal meridiano prefissato ( meridiano 0=
meridiano di Greenwich) . La geometria sostiene, che i punti di una retta possono
essere pensati come ordinati in due versi, l’uno opposto all’altro, in corrispondenza ai
due versi secondo cui, la retta può essere percorsa: uno dei due versi viene detto
positivo e l’altro negativo. Se pensiamo ad una retta disposta orizzontalmente, si è
convenuto di chiamare positivo il verso da sinistra a destra , e negativo quello
contrario.
Due numeri aventi lo stesso segno si dicono concordi; se hanno segno diverso si
dicono discordi.
Lo zero è minore di ogni numero positivo, e maggiore di ogni numero negativo.
Come per i numeri dell’aritmetica, anche i numeri relativi possono essere
rappresentati con le lettere dell’alfabeto. Quando si dice “ numero a” non si intende
che a sia un numero positivo perché non preceduto da un segno, si potrà decidere se a
è positivo o negativo solo dopo che, per qualche motivazione, venga assegnato ad a
un valore numerico ed un segno.
L’opposto di a è -a
Numeri razionali: L’insieme dei numeri razionali si indica con la lettera Q. In
matematica, si dice numero razionale ogni numero ottenibile come rapporto tra due
numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0. Ogni numero razionale quindi si può
esprimere mediante con una frazione, cioè con una espressione della forma a/b con a
intero qualsiasi e b diverso da 0.
Il numero razionale espresso da a/b viene definito come il numero che, moltiplicato
per b fornisce a. Un numero razionale può essere individuato da infinite frazioni ( 3/6
=2/4 =1/2 ) .Perché i razionali possano effettivamente dirsi numeri, occorre che tra di
essi siano definite le quattro operazioni razionali. La scrittura decimale di un numero
razionale, implica una sequenza di cifre decimali ( successive alla virgola che
conclude la parte intera ) che è o limitata o finitamente periodica, e questa proprietà
caratterizza i numeri razionali.
Ai numeri razionali , manca però un’altra caratteristica importante : la capacità di
“descrivere la realtà”, cioè di misurare le grandezze fisiche.
Abbiamo riportato di seguito una tabella per avere un’ immagine globale delle
diverse tipologie dei numeri …
Non ci siamo soffermate a descrivere tali numeri perché il nostro scopo era soltanto
definire le particolarità di quei numeri che andremo a studiare nelle quattro
operazioni.
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1.1 Le quattro operazioni e le loro proprietà
Riferimenti: lezioni del 20/03/06, 22/03/06, 27/03/06, 08/05/06, 10/05/06, 15/05/06,
17/05/06
Il concetto di numero è l'ovvia distinzione fra la bestia e l'uomo. Grazie al numero,
il grido diventa una musica, il rumore acquista ritmo, il salto viene trasformato in
una danza, la forza diventa dinamica, e si profilano le cifre.
Joseph Marie de Maistre (1753-1821)
Breve premessa
Le quattro operazioni corrispondono al risultato che si può realizzare operando con
delle quantità. Il bambino possiede istintivamente la nozione di operazione, ciò è
dimostrato dal fatto che riesce a dividere le figurine dei calciatori o magari delle
macchinine.
Per poter infondere nei bambini la meta acquisizione del numero, che è ritenuto
pilastro fondamentale della formazione matematica, si parte dalla realtà concreta
delle cose che circondano il bambino, cose che si possono osservare, raggruppare
secondo delle caratteristiche. Il criterio di classificazione diventa una scoperta che si
realizza guardando, toccando e spostando gli oggetti. Tante cose diverse, possono
essere raggruppate ad esempio in base al colore, alla forma e via di seguito.
Ogni volta che si opera una classificazione secondo un criterio , si distinguono
oggetti che possiedono una caratteristica da altri che non la possiedono, attuando la
negazione di detta caratteristica. Questo passaggio introduce al pensiero razionale,
in quanto trasferisce sul piano astratto le conoscenze di tipo percettivo.
Le successioni preludono alla serie numerica; l’operazione del contare trasferisce le
attività di ordinamento sul piano dei numeri. Successivamente si possono confrontare
sulla retta dei numeri le quantità , realizzando così percorsi e calcoli. Occorre tener
sempre presente il concetto di concreto cioè punto di partenza , come prima fase di
tipo esperienziale, affinché la comprensione dei concetti avvenga attraverso una presa
di coscienza, e le risoluzioni ai problemi siano possibili attraverso il metodo
matematico attuato dagli alunni di attenzione, riflessione, confronto, previsione,
correzione e valutazione. Gli allievi si abituano a ragionare sulle cose, mettendo in
gioco le loro capacità ed operando sulle scelte . Fondamentale è quindi, anche la
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manipolazione di materiale concreto, strutturato, come ad esempio i regoli di
Gattegno.
L’utilizzo di oggetti, avvia l’allievo alla sperimentazione di soluzioni, agire per
tentativi ed errori, ed intuire soluzioni senza averle prima elaborate. Nell’affrontare
situazioni concrete tratte dalla vita reale, i bambini riscontrano facilmente situazioni
del microcosmo, nel quale agiscono solitamente.
Introdotto il concetto dei numeri, affermiamo che per i numeri Naturali, valgono
sempre le operazioni di addizione e di moltiplicazione; mentre per le operazioni di
sottrazione e divisione( operazioni inverse rispetto alle precedenti) non si possono
fare sempre. Difatti nella sottrazione , se il minuendo è minore del sottraendo,
dobbiamo introdurre i numeri interi relativi, mentre per una divisione il cui risultato
non è il quoziente di due interi, introduciamo il concetto di numeri razionali.
Per l’ introduzione dei numeri relativi, adoperiamo come mediatori culturali, le
operazioni sui passi, che permettono, tenendo presente la retta dei numeri, gli
spostamenti e di comprendere la valenza dei numeri interi relativi, nella loro
eccezione di negatività e positività.
La differenza tra la somma e la moltiplicazione, è che mentre per nella somma unisco
la stessa tipologia di cose ( ad esempio mele), nella moltiplicazione ho a che fare con
cose diverse ( ad esempio mele per cestini),pertanto è molto importante cogliere
questa differenza.
Addizione
L’addizione o somma è un’operazione in matematica che semanticamente mette
insieme delle quantità. Bisogna effettuare una differenza, a seconda se adoperiamo i
numeri naturali o razionali : per quelli naturali consideriamo il termine sommare,
ovvero contare; per i numeri razionali l’addizione consiste nell’accostare due
grandezze significa mettere insieme più spostamenti e ricavarne uno nuovo.
Numeri relativi = si può associare il concetto di somma, inteso come l’unione di più
oggetti insieme ; l’unione è collegata col contare. La somma coi numeri relativi è
addizione di spostamenti, è la posizione in cui mi vengo a trovare quando effettuo
due movimenti, l’uno dopo l’altro.
Per esempio, se faccio prima 3 passi in avanti, e poi 2 passi all’indietro, arrivo a
trovarmi in posizione 1 passo.
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Sottrazione
Il suo significato è da ricondurre a quello di operazione inversa all’addizione, cioè
sottrarre da un numero, un secondo numero che addizionato al secondo dia come
risultato il primo numero, in termini algebrici abbiamo:
7 – 3 = 4 perché 4 + 3 = 7
a – b = c perché c + b = a
Moltiplicazione
Innanzitutto affermiamo che la moltiplicazione semanticamente è un’operazione che
consiste nell’effettuare un’addizione ripetuta, e nel prendere tante volte delle quantità
solo se uno dei due fattori è un numero naturale ( esempio in aula: 5 bicchieri di latte
di mucca presi per 3 volte; in questo caso il 3 denota “il numero delle volte” , dove le
volte hanno un corrispettivo di gesto). Ma, se intendo effettuare una moltiplicazione
tra i numeri 3,4 x 1,2 tale operazione non può essere considerata come addizione
ripetuta. A partire dalla quarta classe della scuola Primaria, i bambini impareranno i
numeri razionali e relativi; essi non devono possedere la nozione di moltiplicazione
come addizione ripetuta, altrimenti questa semantica impedirebbe di comprendere
bene il significato della moltiplicazione effettuata con questi altri tipi di numeri.
A tal proposito, è bene ricordare che i bambini già a partire dalla prima classe hanno
dimestichezza con i numeri decimali, poiché concepiscono il frazionamento degli
oggetti più comuni che li circondano.
Consideriamo Vygotskjj , poiché vediamo che la conoscenza del bambino viene
organizzata e risistemata sulla scorta dell’esperienza. Il bambino, possedendo il
processo di metacognizione incorporata nella cognizione, attua l’attivazione di
strategie apprendendo il nuovo ed agganciandosi alle conoscenze preesistenti.
Quando il bambino introduce nella sua struttura cognitiva la nozione di numero
razionale, la moltiplicazione di due interi è un’operazione matematica, non riguarda
gli spostamenti.
5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
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a x b = a + a + a + a (ripetuto b volte) = c
Divisione
Il suo significato è da ricondurre a quello di operazione inversa alla moltiplicazione:
15 : 3 = 5 perché 5 x 3 = 15
a : b = c perché c x b = a
Se però facciamo, 13 : 4 non si possiamo fare lo stesso ragionamento, perché non c’è
nessun numero che moltiplicato per 4 dà 13. Pertanto, abbiamo un’altra divisione,
quella con il resto, 13:4 con il resto di 1 che non è l’operazione inversa della
moltiplicazione, ma divisione euclidea.
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Proprietà delle quattro operazioni
Vogliamo precisare che, non adoperiamo numeri specifici per fare gli esempi, in
quanto essi si adatterebbero a delle situazioni specifiche, mentre per indicare il
concetto di numeri universalmente attribuibile, utilizziamo le lettere.
L’approccio linguistico tra l’uso dei numeri e delle lettere cambia.
Proprietà Commutativa: Invertendo l’ordine degli addendi o dei fattori, il risultato
non cambia:
a+b=b+a
2+3=5
3+2=5
axb=bxa
3x2=6
2x3=6
Dal momento che la semantica dell’addizione e della moltiplicazione è prevalente
nella prima conoscenza della matematica, occorre che la proprietà commutativa sia
esplorata e non imparata.
Proprietà associativa: Due o più addendi possono essere sostituiti dalla loro somma:
a + b + c = (a + b) + c
2 + 3 + 4 =9
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
a x b x c = (a x b) x c
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2 x 3 x 4 = 24
(2 x 3) x 4 = 6 x 4 = 24
Per i bambini, che ragionano in maniera reversibile, il segno = è un qualcosa che
mette in relazione due quantità, e va letto in entrambe le direzioni.
Se gli addendi sono più di due, e devo sommarli, ottengo sempre lo stesso risultato
indipendentemente da quale sommo prima, per cui è superfluo l’uso delle parentesi,
anzi la proprietà associativa ci autorizza a non adoperarle.
Proprietà distributiva:
a (b + c) = (a x b) + (a x c)
2 (5 + 11) = 32
(2 x 5) + (2 x 11) = 32
La proprietà distributiva ci consente di cambiare le moltiplicazioni in addizioni.
Proprietà invariantiva: appartiene alla divisione ed alla sottrazione, ma è meno utile
delle proprietà commutativa, associativa e distributiva.
Secondo la proprietà invariantiva “ se dobbiamo effettuare un quoziente tra due
numeri, se moltiplichiamo o dividiamo il dividendo e il divisore per uno stesso
numero, il quoziente non cambia”.
12/4 = 3 12 x 2 = 24 e 4 x 2 = 8 24/8 = 3
Nella sottrazione: Se aggiungiamo o sottraiamo al minuendo e al sottraendo uno
stesso numero, il risultato( la differenza) non cambia.
13 – 8 = 5 (13 + 2) - (8 + 2) = 15 – 10 = 5
Considerazioni:
Con i numeri interi abbiamo scoperto alcune proprietà:
• Che lo zero è neutro rispetto all’addizione;
• C’è la presenza dell’opposto, non presente nei numeri naturali.
Ogni numero ha un suo opposto. Precisamente i numeri opposti si annullano l’uno
con l’altro. Non bisogna mai affermare che l’opposto è lo stesso numero con il segno
cambiato. I numeri interi ci mostrano ciò che succede se ci troviamo su di una linea.
La matematica emerge dalla realtà e dalla necessità di raccontare la realtà stessa.
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I numeri razionali risolvono l’impossibilità che abbiamo di operare con i numeri
naturali. I numeri interi relativi ci consentono di effettuare la divisione tra un numero
più piccolo ed uno più grande.
Il segno – davanti al numero negativo è una convenzione.
-a non è un numero necessariamente negativo, poiché è semplicemente l’opposto di a.
A è un numero che può essere positivo e negativo; nel caso in cui :
a è positivo, dire: - (+a) = - * +=- quindi a è negativo;
a è negativo, dire: -(- a) = - * -=+ quindi a è positivo;
Inoltre se a = 0, il suo opposto sarà sempre a = 0, perché lo 0 non ha segno. L’opposto
di un numero è il numero che si trova in posizione simmetrica rispetto al numero che
stiamo considerando.
1.2. Le Frazioni e i numeri decimali
Riferimenti: lezioni del 22/03/06, 29/03/06, 10/04/06, 08/05/06, 15/05/06
Come puntualizzato in aula, la frazione ed il numero decimale non sono altro che la
stessa rappresentazione di un numero razionale: difatti, se consideriamo la frazione
4/5, essa ha il corrispondente decimale in 0,8.
Un numero razionale può essere individuato da infinite frazioni.
La scrittura decimale di un numero razionale implica una sequenza di cifre decimali
(successive alla virgola che conclude la parte intera), che è o limitata o finitamente
periodica e questa proprietà caratterizza i numeri razionali. La frazione è una
rappresentazione che si può esprimere anche con i numeri decimali. La differenza
percettiva è che con la rappresentazione frazionaria il concetto della quantità espressa
è reso maggiormente visibile.
Si rende più visibile cioè in quante parti bisogna dividere le unità, e quante parti
dobbiamo prendere. Invece nei numeri decimali la quantità è resa visibile
dall’incolonnamento. E’ da considerare spesso che non sempre la rappresentazione
frazionaria di un numero ha il suo immediato riscontro decimale: se consideriamo la
frazione 1/3, il suo corrispettivo decimale è 0,3 periodico. Ciò indica che una frazione
è convertibile in un numero decimale solo se si tratta di un numero decimale finito, o
altrimenti parliamo di un’approssimazione ( come per il 3,14 affrontato nel I°
modulo).
Operazioni con le frazioni:
Quando ragioniamo con le frazioni, dobbiamo pensare a misure. Con i numeri
frazionari il concetto è quello di mettere insieme, di aggiungere; mentre con i numeri
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naturali il concetto adoperato è quello di contare: se devo sommare degli oggetti,
metto insieme delle unità.
La somma tra due numeri razionali espressi in forma frazionaria, come ¾+2/4, quindi
aventi lo stesso denominatore, si effettua con la normale addizione. Invece con
frazioni come ¾+2/5, aventi cioè denominatori diversi, si effettua calcolando il
minimo comune multiplo. Esso individua il più piccolo multiplo comune.
La riduzione al m.c.m. consiste nel trasformare due o più frazioni in altre equivalenti
aventi tutte lo stesso denominatore, e il più piccolo possibile. All’occorrenza, bisogna
poi ridurre ai minimi termini le frazioni.
Addizione di frazioni
1) Addizione di frazioni con stesso denominatore:
Si sommano i numeratori e si conservano i denominatori.
Esempio:
. . .
2) Addizione di frazioni con denominatori diversi:
Si effettua calcolando il m. c. m. , trasformando due o più frazioni in altre
equivalenti, avendo tutte lo stesso denominatore, che sia il più piccolo possibile, e
all’occorrenza ridurle ai minimi termini.
Esempio:
. . .
3) Addizione di un numero intero con una frazione:
Si deve moltiplicare il numero intero per il denominatore della frazione; poi bisogna
sommare il risultato ottenuto con numeratore nella frazione, ottenendo così il nuovo
numeratore; il nuovo denominatore sarà invece quello della frazione. Esempio:
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2+
5
3
si svolge moltiplicando 3 x 2, ottenendo 6, che sommato a 5 della frazione darà 11.
Quindi → 2 +
5
11
=
3
3
Sottrazione di frazioni
1) Sottrazione di frazioni con stesso denominatore:
Esempio:
2) Sottrazione di frazioni con denominatori diversi:
Si effettua calcolando il m. c. m. , trasformando due o più frazioni in altre
equivalenti, avendo tutte lo stesso denominatore, che sia il più piccolo possibile, e
all’occorrenza ridurle ai minimi termini.
Esempio:
5 1
10 3
7
- =
- =
3 2
6
6
6
3) Sottrazione di un numero intero con una frazione:
Si deve moltiplicare il numero intero per il denominatore della frazione; poi bisogna
sottrarre al risultato ottenuto il numeratore nella frazione, ottenendo così il nuovo
numeratore; il nuovo denominatore sarà invece quello della frazione.
Esempio:
2-
5
3
si svolge moltiplicando 3 x 2, ottenendo 6,e sottraendo il 5 della frazione, darà 1.
Quindi → 2 -
5
1
=
3
3
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Moltiplicazione di frazioni
Per moltiplicare due o più frazioni si moltiplicano tra loro i numeratori e i
denominatori.
Esempio:
Se è possibile, si possono semplificare le frazioni a croce prima di eseguire la
moltiplicazione.
Esempio:
semplifichiamo 3 con 6 e 10 con 15, ottenendo così:
Divisione di frazioni
Per dividere due frazioni, si moltiplica la prima per l’inversa della seconda.
Esempio:
dopo aver invertito, si può semplificare come nella moltiplicazione ottenendo:
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Consegna
Spiegare la semantica della moltiplicazione con le frazioni attraverso l’esempio
concreto, ovvero i tranci di pizze. Quindi spiegare il significato dell’operazione
1
1
1
x
=
4
2
8
In un primo momento, quando ci vengono proposte le consegne dai nostri professori,
pensiamo di poterle risolverle in modo semplice, ma in realtà non è proprio così
quando pensiamo che in effetti dobbiamo trovare un modo semplice e chiaro per
spiegarlo ai bambini. Pertanto si cerca di vagliare tutte le possibili soluzioni , anche
attraverso l’utilizzo di oggetti quotidiani, perché la matematica è una realtà
quotidiana, e quante volte i bambini operano proprio con le frazioni attraverso il
taglio di una torta o magari di una pizza. Attraverso figure geometriche di varie
forme( quadrato, cerchio ecc.) divise in parti uguali, spieghiamo le frazioni.
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1
2
x
1
4
=
1
8
1
= 1 parte su due
2
1
= 1 parte su quattro
4
1
= 1 parte su 8 che è il risultato di questa operazione.
8
La divisione è un operatore di frazionamento sull’unità.
L’operazione
1
1
x significa prima suddividere la pizza in due parti, e poi un’altra
2
4
metà. Dunque moltiplicare due frazioni significa operare due volte successive
un’operazione di frazionamento.
Moltiplicare
1
1
1
x significa dividere per 2.
2
4
4
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Osservazioni
Dal corso è emerso che in matematica:
• La semantica esprime il significato di un numero che compie delle operazioni;
• La sintassi indica le operazioni che si possono effettuare con i numeri;
• La semiotica indica i segni che si adoperano per rappresentare il numero ( si
occupa delle rappresentazioni)
Il problema della Scuola Primaria è quello di approcciare l’alunno con gli oggetti
concreti per farlo giungere all’astrazione . Non bisogna passare al simbolico
troppo presto, e non bisogna incanalare le conoscenze del bambino in strutture
eccessivamente tassonomizzate.
2. I numeri primi e le loro proprietà
Riferimenti: lezioni del 22/03/06, 27/03/06
I numeri primi sono particolari numeri naturali (ovvero interi positivi come 1,2,3,
12468, escludendo lo 0) divisibili solo per uno e per se stessi. Sono cioè primi 2, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19,... ma non il 9 o il 4. Come si vede l'unico numero primo pari è il 2.
La prima proprietà interessante dei numeri primi, è sapere quanti ce ne sono. E'
intuitivo (e si può dimostrare rigorosamente) che mano a mano che nella successione
degli interi i numeri diventano più grandi, si trovano meno numeri primi tra di essi, in
quanto è più facile che un numero molto grande possa essere diviso senza resto da un
numero più piccolo. In linea di principio, sarebbe potuto accadere che oltre un certo
punto non ci fossero più numeri primi, ma che tutti i numeri fossero divisibili per altri
più piccoli. Invece le cose non stanno in questo modo: comunque si scelga un
numero, esiste un numero primo più grande, ossia esistono infiniti numeri primi. E
(sebbene sia una cosa facile da dimostrare e nota sin dall'antichità) si tratta di una
proprietà "non banale", perchè vuol dire che esistono dei numeri grandi quanto si
vuole, che non possono essere divisi per nessun intero più piccolo!
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Ma il numero 1 è primo o no?
Dalle nostre ricerche è emerso che il numero 1 non viene considerato primo per vari
motivi che elenchiamo:
1) Il numero 1 ha un solo divisore, mentre tutti i numeri primi ne hanno due.
2) Nel crivello di Eratostene, se il numero 1 fosse considerato primo si
cancellerebbero tutti i numeri tranne lo stesso 1 al primo passo.
3) Molti teoremi, per esempio il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica, dovrebbero
essere enunciati in un modo molto più complicato per tener conto delle proprietà
speciali di 1.
4) Nell'Algebra, gli elementi invertibili degli anelli (cioè quegli elementi a per i quali
si può risolvere l'equazione ax=1) hanno uno status speciale. In N l'unico elemento
invertibile è proprio 1; esso va quindi trattato a parte.
Possiamo riassumere l’argomentazione così: se decidessimo di considerare primo
anche 1, dovremmo rassegnarci a fare continue eccezioni perfino nelle definizioni o
nei teoremi più semplici. Per economia, dunque, preferiamo dare una definizione che
a prima vista può sembrare meno naturale, ma con la quale non c'è questa necessità.
In effetti si tratta di un principio generale della Matematica: l'utilità e la versatilità
delle definizioni sono decidibili solo “a posteriori”, cioè solo dopo averle viste
all'opera e confrontate con possibili definizioni alternative.
Risolta la questione del numero 1 e appurato che ci sono infiniti numeri primi,
sarebbe interessante anche trovare una "formula" utile a calcolare qual e' un generico
numero primo oppure a sapere come sono distribuiti i numeri primi tra gli interi.
Il sistema più semplice per ricercare i numeri primi minori di un certo numero N è
stato ideato da Eratostene di Cirene, matematico e filosofo greco vissuto nel II secolo
a.c., ed è noto con il nome di CRIVELLO DI ERATOSTENE.
Il crivello è una specie di setaccio che scartando i numeri composti ( ricordiamo che un
numero composto è un numero intero che ha almeno un altro divisore oltre a 1 e sé stesso. I primi
numeri composti sono: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20) permette di determinare i numeri
primi.
Supponiamo, ad esempio, di voler trovare i numeri primi minori di 100.
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Scriviamo tutti i numeri compresi tra 2 e 100 in una tabella.
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Ora cancelliamo tutti i multipli di 2
2 3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
21
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Ora cancelliamo tutti i multipli di 3 (nota che alcuni, quelli pari, sono già scomparsi):
2 3
5
23
7
25
29
41
43
47
61
63
67
83
11
85
31
49
17
35
53
71
89
13
91
37
55
73
59
77
95
19
79
97
Ora cancelliamo tutti i multipli di 5 (quelli rimasti, almeno):
2 3
5
7
23
29
41
43
47
61
63
67
83
11
31
49
17
91
19
37
53
71
89
13
73
59
77
79
97
22
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Ora cancelliamo tutti i multipli di 7 (quelli rimasti, cioè 49, 63, 77, 91):
2 3
5
7
23
41
43
61
11
29
83
31
47
67
13
71
17
19
37
53
59
73
79
89
97
Questi sono tutti i primi compresi tra 2 e 100.
Questo procedimento ci fornisce solo dati sui numeri primi, ma non sul fatto che essi
siano in numero finito o infinito!
L’infinità dei numeri primi Euclide la enuncia così:
‘Esistono [sempre] numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi si
voglia proporre [cioè la serie dei numeri primi è illimitata]’.
Nella traduzione di Fraiese-Maccioni degli Elementi si trova la seguente
considerazione:
«Euclide non introduce direttamente l’infinità dei numeri primi. Si tratta soltanto
dell’infinità intesa in senso potenziale: qualunque insieme di numeri primi ci piaccia
fissare esiste sempre almeno un altro numero primo non compreso nell’insieme: cioè
i numeri primi sono sempre di più di qualunque quantità prefissata di numeri primi.
23
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La classica dimostrazione è la seguente:
Siano dati i numeri primi a,b,c. Dico che esiste almeno un quarto numero primo.
Per raggiungere lo scopo si moltiplicano tra loro i tre numeri dati e si aggiunge una
unità: si ottiene così il numero: d = abc + 1.
Se d è primo è stata dimostrata l’esistenza di un quarto numero primo. Se d non è
primo, esso ammette un divisore primo ( VII,31 ) : sia questo il numero h. Dico che h
è diverso da a, b , c, e quindi che esso è il quarto numero primo del quale si voleva
appunto dimostrare l’esistenza.
Se, infatti, il numero h fosse uguale ad uno dei tre numeri a, b, c, esso dividerebbe il
prodotto abc. Ma s’è supposto che h divida anche d = abc +1, quindi h dividerebbe
pure la differerenza tra (abc + 1) e abc, ossia l’unità: cosa assurda.»
Proviamo a mettere in pratica questo ragionamento…
Si parte da alcuni numeri primi, 2, 3, 5, 7 e si moltiplicano tra di loro, avremo:
2 x 3 x 5 x 7= 210
Questo significa che 210 è un numero divisibile per 2, 3, 5, 7. Secondo il crivello di
Eratostene, questo numero dovremmo toglierlo perché è multiplo di 2, 3, 5, 7! Se a
questo numero aggiungiamo 1 (210+1), avremo 211. Tale numero non è multiplo di
nessuno dei numeri primi moltiplicati precedentemente!
Quindi, se moltiplichiamo 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13…x pn (ossia fino all’ennesimo
numero primo) e a questo numero aggiungiamo 1, otteremo un numero che non può
essere divisibile per nessuno dei numeri primi presenti nel prodotto fino a pn . O si
tratta di un numero primo o ci deve essere qualche altro numero primo per cui è
divisibile.
Deduciamo che: per quanti numeri primi riusciamo a conoscere, ce ne sarà sempre un
altro nuovo. Con questo metodo non riuscirò a stabilire quale sia l’ultimo numero
primo, ma avrò la conferma che si tratti di numeri infiniti.
24
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3. Il problema di Gauss
Riferimenti: lezione del 05/04/06, 10/04/06
QUAL è LA SOMMA DEI PRIMI 100 NUMERI NATURALI?
25
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..chiese il maestro elementare ai suoi alunni nel 1782..(pensando di tenerli impegnati
per qualche oretta a sommare):
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+......+90+91+92+93+94+95+96+97+98+99+100
mentre lui poteva rilassarsi un po'.....ma dopo pochi minuti ecco arrivare alla cattedra
l'alunno GEORGE GAUSS con la risposta pronta!!!
Guardiamo la somma della serie dei numeri scritta sopra e proviamo a trovare il
...trucco! Osserviamo che:
1+100 = 101 ,
2+99=101,
3+98=101,
.......,
50+51=101
e così via.....quindi ci sono 50 coppie di numeri in posizione simmetrica la cui somma
è 101, pertanto 101 * 50 =5050 !!!
ed ecco la risposta: 5050
Da un punto di vista matematico si tratta di calcolare la somma di 100 termini di una
progressione aritmetica e la formula è la seguente:
(primo termine + ultimo termine)*(numero dei termini)/2
Ora riportiamo solo la formula che consente il calcolo della somma dei primi n
numeri naturali;
S(n)=n(n+1)/2
Mettendo n=100 si trova che la somma dei primi 100 numeri naturali vale quindi
1+2+3+4+....+100=100*101 / 2=5050.
Questo risultato può essere ottenuto anche con un’altra procedura…
Immaginiamo di disporre in orizzontale 100 numeri, tolto il 100 avremo che:
99 + 1 = 100
98 + 2= 100
26
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97 + 3 = 100
….
Alla fine avremo 50 coppie che ci danno sempre 100, mi resta soltanto il 50 da solo.
50 x 100 = 5000 + 50 = 5050
Proviamo a spiegarlo in termini geometrici:
Consideriamo i numeri da 1 a 55 e rappresentiamoli con righe di quadratini
sovrapposte.
Immaginiamo ora di duplicare l'intero gruppo di quadratini, e di ruotare la copia
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Accostiamo ora i due gruppi fino a costituire un rettangolo
L'altezza del rettangolo è 10, mentre la base è 11.
L'area del rettangolo è 110 =10 x 11 , e rappresenta il doppio della somma cercata,
che sarà dunque 55. Si può cioè scrivere:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =
55 =
110
2
→
10x11
2
55
Con questo esempio abbiamo voluto dimostrare che il principio di Gauss è
applicabile.
La formula generale sarà quindi:
28
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1+2+...+n=
n(n + 1)
2
3.1. Esplorazioni sui numeri
Riferimenti: lezione del 03/04/06, 05/04/06, 10/04/06, 03/05/06, 08/05/06, 17/05/06
29
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Nel corso del secondo modulo abbiamo esplorato i numeri ed i loro rapporti per
trovare delle regolarità. Trovatele, siamo stati incoraggiati a trovare delle formule
algebriche da applicare universalmente alle situazioni numeriche che andavamo ad
esplorare.
Abbiamo cominciato con questa consegna:
Dati 4 numeri consecutivi, e moltiplicando i numeri mediani tra di loro e poi quelli
estremi, osservare se si verifica una regolarità.
Prendiamo come esempio i numeri 2 3 4 5 …
Ora applichiamo quanto detto, avremo:
2 3 4 5 = 2 x 5(estremi) e 3 x 4(medi) → 10 e 12
Notiamo subito che il prodotto dei medi è sempre maggiore di 2 rispetto al prodotto
degli estremi.
Proviamo con numeri più grandi…
97 98 99 100 = 97 x 100 (estremi) e 98 x 99(medi) → 9700 e 9702
Anche in questo caso vi è una differenza di 2 .
Abbiamo quindi dimostrato che se prendiamo quattro numeri consecutivi( vi è un’
unità di differenza tra il primo e il secondo, tra il secondo e il terzo e cosi via), e
moltiplichiamo tra di loro i due estremi ed i due medi,avremo sempre lo stesso
fenomeno, cioè una differenza di 2.
Proviamo a spiegare questo fenomeno algebricamente.
Prendiamo nuovamente quattro numeri consecutivi: 2 3 4 5… ora a questi numeri
attribuiamo le lettere a b c d…avremo:
2=a 3=b 4=c 5=d
30
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Possiamo scrivere che (b x c) – (a x d) = 2 → (3 x 4) – (2 x 5) = 12 – 10 = 2
Proviamo con altri numeri… 5 6 7 8
5=a 6=b 7=c 8=d
Avremo: (b x c) – (a x d) = 2 → (6 x 7) – (5 x 8) = 42 – 40 = 2
Altro esempio algebrico
Associamo ai numeri 2 3 4 5 i seguenti valori:
2=a 3=a+1 4=a+2 5=a+3
Possiamo scrivere che (a+1) (a+2) > a (a+3) → 3 x 4 > 2 x 5 = 12 > 10
Ancora (a+1) (a+2) – a (a+3) = 2 → 12 – 10 = 2
31
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Consegna 2
Prendi tre numeri pari consecutivi e sommali. Cosa noti sul totale?
Consideriamo i seguenti numeri pari consecutivi: 4 6 8 …
Ora applichiamo quanto detto, avremo:
4 + 6 + 8 = 18
Notiamo subito che il risultato è un numero pari.
Proviamo con altri numeri:
10 12 14 → 10 + 12 + 14 = 36 (pari)
Abbiamo scoperto, quindi, che sommando numeri pari consecutivi avremo come
risultato sempre un numero pari. Inoltre abbiamo notato che il risultato ottenuto dalla
somma di 3 numeri pari consecutivi è sempre un multiplo di 3!!!
Come puoi dimostrare che è sempre vero quello che hai appena ipotizzato?
Attraverso la formula 3n+6…
Moltiplico il 3(in quanto il risultato è sempre multiplo di tre) per il primo numero pari
e aggiungo 6 (in quanto se prendiamo 3 numeri pari consecutivi, abbiamo che essi
sono uguali a 2+2+2=6).
Proviamo a metterlo in pratica:
6 8 10 → 6 + 8 + 10 = 24
Ora applichiamo la formula 3n+6 … 3 (6) + 6 = 18 + 6 = 24
32
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Proviamo con numeri grandi: 90 92 94 …
3n+6 → 3 (90) + 6 = 270 + 6 = 276 difatti → 90 + 92 + 94 = 276
Questo principio vale anche per i numeri dispari… proviamo…
Consideriamo 3 numeri dispari consecutivi… 3 5 7 …
3 + 5 + 7 = 15 → multiplo di 3
Applichiamo ora la formula… 3n+6 → 3 (3) + 6 = 9 + 6 = 15
Considerazioni:
Se consideriamo 3 numeri consecutivi pari o dispari e li sommiamo, avremo come
risultato un numero che sarà multiplo di 3. Inoltre il risultato ottenuto sarà un numero
pari o dispari a seconda dei numeri che adoperiamo..
Risultato pari → se consideriamo 3 numeri consecutivi pari
Risultato dispari → se consideriamo 3 numeri consecutivi dispari
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Consegna 3
Rifletti e decidi se sono vere le seguenti affermazioni
1) il prodotto di due numeri pari consecutivi è sempre multiplo di 4
2) il prodotto di tre numeri pari consecutivi è sempre multiplo di 8
3) il prodotto di due numeri dispari è sempre dispari
4) la somma di due numeri consecutivi è dispari
1) Mettiamo in pratica quanto si evince…
Consideriamo due numeri pari consecutivi… 8 10
Moltiplichiamo i numeri… 8 x 10 = 80 → 80 : 4 = 20
Proviamo con un altro esempio… 96 98
96 x 98 = 9408 → 9408 : 4 = 2352
Possiamo dire dunque che l’affermazione è VERA!!!
2)Mettiamo in pratica quanto si evince…
Consideriamo tre numeri pari consecutivi… 6 8 10
Moltiplichiamo i numeri… 6 x 8 x 10 = 480 → 480 : 8 = 60
Ancora… 24 26 28 → 24 x 26 x 28 = 17472 → 17472 : 8 = 2184
34
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Possiamo dire dunque che l’affermazione è VERA!!!
3) Mettiamo in pratica quanto si evince…
Consideriamo due numeri dispari… 7 21
Moltiplichiamo i numeri… 7 x 21 = 147 (dispari)
Ancora…
41 x 17 = 697
3 x 97 = 291
33 x 15 = 495
65 x 19 = 1235
Possiamo dire dunque che l’affermazione è VERA!!!
4)Mettiamo in pratica quanto si evince
Consideriamo due numeri consecutivi… 1 2
Addizioniamoli… 1 + 2 = 3 (dispari)
Ancora…
4 +5 = 9
13 + 14 =27
19 + 20 = 39
45 + 46 = 91
7 + 8 = 15
31 + 32 = 63
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L’affermazione è dunque VERA!!!
Ciò avviene anche con numeri non consecutivi…alternando cioè un numero pari con
uno dispari e viceversa… ad esempio:
4 + 9 = 13; 19 + 22 = 41; 97 + 2 =99; 17 + 8 = 25 il risultato sarà sempre dispari!!
Inoltre se partiamo da 1, notiamo che:
1+2=3
2+3=5
3+4=7
4+5=9
Sommando i numeri consecutivi partendo da 1, notiamo che la somma è sempre
dispari e che tra ogni somma vi è una differenza di 2 unità!!!
Un altro caso…
1+2=3
3+4=7
5 + 6 = 11
7 + 8 = 15
Se sommo due numeri consecutivi alla volta partendo da 1, notiamo che vi è una
differenza fra i numeri ottenuti di 4 unità!!!
Anche partendo da 2 vi è una differenza di 4 unità…
2+3=5
4+5=9
6 + 7 = 13
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8 + 9 = 17
10 + 11 = 21
Alcune riflessioni sui numeri dispari!!!
Somma di numeri dispari consecutivi
La somma di numeri dispari in progressione sarà uguale al quadrato di un numero
esso stesso in progressione numerica!!!
Vediamo…
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 72
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +13 + 15 = 64 = 82
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 = 92
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 = 102
Tutto questo può essere spiegato attraverso lo “Gnomone”…
Ai pitagorici si attribuisce la distinzione dei numeri in pari e dispari, questi ultimi
detti gnomonici perché ottenuti per mezzo dello gnomone, termine con cui i
pitagorici indicavano una striscia ad angolo retto contenente numeri. Essi infatti
rappresentavano i numeri con dei pallini che disponevano riempiendo un quadrato
o in generale una figura geometrica. Se consideriamo un quadrato di lato 5 (vedi
37
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fig. 1), uno gnomone è dato per esempio dalla striscia di numeri compresi tra le
due linee ad angolo retto disegnate.
Fig. 1
I numeri dispari sono compresi all’ interno di gnomoni consecutivi (vedi fig. 2).
Mediante questa rappresentazione grafica, si può facilmente calcolare, per
esempio, la somma dei numeri dispari consecutivi!
1 + 3 = 4 = 22 → quadrato perfetto
1 + 3 + 5 = 9 = 32 → quadrato perfetto
..................
1 + 3 + 5 +...+ (2n-1) = n²
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4. Prodotti notevoli
Riferimenti: lezione del 08/05/06
Prodotti notevoli = nel prodotto tra polinomi si presentano spesso prodotti sotto
forma particolare, spesso sotto forma di potenza, detti prodotti notevoli, che è bene
memorizzare, non tanto perché consentono di snellire notevolmente i calcoli, ma
soprattutto perché saranno poi indispensabili per le successive operazioni di
scomposizione in fattori di polinomi.
In altre parole, esistono prodotti tra polinomi che si possono risolvere in modo rapido,
utilizzando regole abbreviate della moltiplicazione, che prendono il nome di
“PRODOTTI NOTEVOLI”.
Abbiamo affrontato la rappresentazione grafica di due prodotti notevoli, ovvero del
quadrato e del cubo di un binomio: l’esercizio si è ricollegato alla rappresentazione
dello “gnomone”, e si è rivelato utile in quanto la conversione in forma grafica di una
regola algebrica permette, mediante la veicolazione spaziale, di percepire
immediatamente quanto conosciuto. E’ assicurato che un alunno, una volta
visualizzati spazialmente i prodotti notevoli, non si dimenticherà più di loro, in
quanto non li concepisce solamente come mere regole algebriche da tenere a
memoria.
Quadrato di un binomio
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Il quadrato di un binomio è un trinomio formato dal quadrato del primo termine,
doppio prodotto del primo e secondo termine, quadrato del secondo termine.
(a + b)2 =
Quadrato del
Binomio
a2 +
quadrato
del 1°termine
2ab
b2
+
doppio
quadrato
prodotto del
del 2° termine
1° per il 2°
Della regola per calcolare il quadrato di un binomio è
possibile dare anche una interpretazione geometrica.
Dati infatti due segmenti a, b si può osservare che il
quadrato costruito sulla somma dei due segmenti è
formato dai quadrati costruiti su ciascuno dei due
segmenti più la somma di due rettangoli congruenti di
dimensioni a, b cioè:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Esempio:
(2a – b)2=
quadrato del primo termine = (2a)2 = 4a2
doppio prodotto = 2 (2a) (-b) = -4ab
quadrato del secondo termine = (-b)2 = b2
Quindi il risultato sarà = 4a2 – 4ab + b2
Esempi
40
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Quadrato
del primo
Quadrato
del secondo
Doppio
prodotto
Risultato
9a²
4b²
-12ab
9a²-12ab+4b²
1
Cubo di un binomio:
Il cubo di un binomio è un quadrinomio formato dal cubo del primo termine, dal
triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, dal triplo prodotto
primo termine per il quadrato del secondo, dal cubo del secondo termine.
(a + b)3 =
a3
+
3a2b
+
Cubo del
cubo del
triplo del quadrato
Binomio
1°termine
del primo per il secondo
3ab2
+
b3
triplo del primo
cubo del
per il quadrato del secondo
2°termine
Se il segno di uno dei due monomi è negativo si applicano le regole dei segni
ottenendo:
(a – b)3 =
cubo del primo termine = (a)3 = a3
triplo del quadrato del primo per il secondo = 3 (a2) (-b) = - 3a2b
triplo del primo per il quadrato del secondo = 3 (a) (-b)2 = + 3ab2
cubo del secondo termine = (-b)2 = - b3
41
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Quindi il risultato sarà = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
5. La matematica applicata alla fisica: il moto
Riferimenti: lezioni del 10/04/06, 22/04/06, 26/04/06, 03/05/06, 10/05/06
Il Moto
In fisica, il moto indica il cambiamento di posizione di un corpo in relazione al
tempo, misurato da uno specifico osservatore da un determinato sistema di
riferimento. Fino al XIX secolo, le leggi di Newton della cinematica, che egli incluse
tra gli assiomi e i postulati del famoso Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
stavano alla base della così nota fisica classica.
Il calcolo delle traiettorie e delle forze esercitate dai corpi in moto che si basavano
sulle leggi newtoniane e delle fisica classica si dimostrò efficace fintanto che i fisici
non si occuparono di fenomeni fisici molto rapidi, tipici della fisica atomica.
Vari tipi di moto:
Moto Rettilineo Uniforme
In generale si dice che un moto è uniforme quando il corpo percorre distanze uguali
in intervalli di tempo uguali, comunque siano piccoli questi intervalli di tempo. In
modo equivalente si può anche dire che un moto è uniforme quando le distanze che il
42
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corpo percorre sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo che esso
impiega a percorrerle.
Un moto uniforme che avviene su una traiettoria rettilinea si chiama moto rettilineo
uniforme.
Si parla di moto rettilineo quando la traiettoria del punto è una linea retta. Che
percorre spazi uguali in tempi uguali. In questo tipo di moto la velocità è cotante, non
subisce nessuna variazione , né di intensità né di direzione.
Esempio:
Supponiamo che una ragazza stia facendo jogging su una strada diritta. La posizione
zero indica il punto di partenza, e quando la ragazza parte, i cronometristi fanno
scattare il cronometro.
Pertanto all’istante t=0 la ragazza transita nella posizione s=0. Osservando i valori
degli istanti e delle posizioni, balza agli occhi che il moto ha un andamento
estremamente regolare . In ogni intervallo di tempo di 10 s la ragazza percorre
sempre 25 m .
Istante t
0
10
20
30
40
50
Posizione s
0
25
50
75
100
125
Da questa relazione deduciamo che : S=v * t
T= s/v
V= s/t
Tutte e tre le formule, esprimono la legge del moto uniforme, e possiamo affermare
che :
Nel moto uniforme la velocità si ottiene dividendo lo spazio percorso per il
tempo impiegato a percorrerlo; ( V= s/t )
• Lo spazio percorso si ottiene moltiplicando la velocità per il tempo impiegato
a percorrerlo; ( S= v* t)
• Il tempo impiegato a percorrere un certo spazio si ottiene dividendo lo spazio
percorso per la velocità. ( T=s/v ).
•
43
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Visto che, nel moto rettilineo uniforme la velocità è costante, e lo spazio
( distanza ) è proporzionale al tempo, parliamo di proporzionalità diretta.
spazio e tempo sono direttamente proporzionali
Il Moto Vario
Si parla di moto vario se il punto materiale si muove su una traiettoria rettilinea e il
modulo della sua velocità non si mantiene costante nel tempo.
In altre parole: un moto nel quale un punto materiale percorre distanze diverse in
intervalli di tempo uguali, si chiama moto vario.
Nel moto vario la velocità non è costante , (come accade nel moto uniforme) ma
assume valori diversi di istante in istante, perché subisce continue variazioni.
Parliamo di moto vario accelerato, quando la velocità è in continuo aumento e di
moto vario ritardato quando la velocità è in continua diminuzione. Di conseguenza
nel moto vario, non è possibile parlare di un’unica velocità ( come per il moto
uniforme) , ma si parla di velocità istantanea : cioè la velocità posseduta dal corpo in
un determinato istante. Per maggiore semplicità, non si tiene conto delle varie
velocità istantanee e si preferisce un’unica velocità detta media : cioè il rapporto tra
la distanza percorsa e l’intervallo di tempo impiegato a percorrerla ; la quale si
determina dividendo l’intero spazio percorso per il tempo complessivo impiegato a
percorrerlo.
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La velocità varia ma può non esserci alcuna relazione spazio - tempo
In mancanza di una legge matematica si può solo calcolare la velocità media in un
intervallo di tempo o di spazio
La velocità
media è la
pendenza della
retta passante per
i punti A B
Moto
uniformemente
accelerato
Si definisce moto uniformemente accelerato quando la velocità del corpo varia di
quantità eguali in intervalli di tempo eguali, comunque siano piccoli questi intervalli
di tempo. In modo equivalente si può anche dire che un moto è uniformemente
accelerato quando le variazioni di velocità sono direttamente proporzionali agli
intervalli di tempo nei quali esse avvengono.
Esempio:
Supponiamo di stare in un’automobile e di segnare su un taccuino, in diversi istanti di
tempo, i corrispondenti valori della velocità che leggiamo sul tachimetro.
Supponiamo che all’istante iniziale ( t=0 ) l’automobile, ferma fino ad allora, si
metta in movimento. Leggendo sul tachimetro la sua velocità a intervalli di 5 s ,
otteniamo:
Istante t ( s )
0,0
5,0
15,0
Velocità v ( m/s )
0,0
10,0
30,0
45
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20,0
25,0
30,0
40,0
50,0
60,0
Esaminando questi dati, notiamo che la velocità aumenta in modo estremamente
regolare: in intervalli di tempo uguali la velocità aumenta di quantità uguali.
Quando si parla di moto uniformemente accelerato si intende che la velocità varia in
modo regolare con il passare del tempo. Questo non implica che la velocità debba
necessariamente aumentare, ma potrebbe per esempio diminuire in modo uniforme.
In questo caso la formula che esprime la velocità rimane la stessa, ma l’accelerazione
si dice negativa
Si noti come l'accelerazione sia costante mentre la velocità assume la
rappresentazione grafica di una retta.
46
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Quindi il grafico spazio-tempo ha un andamento parabolico perché la legge oraria del
moto ha la rappresentazione grafica di una funzione di secondo grado, la velocità ha
la rappresentazione grafica di una retta passante per l'origine mentre l'accelerazione è
una retta parallela all'asse temporale in quanto è costante.
6. Il problema della lepre e della tartaruga
Riferimenti: lezioni del 20/03/06, 27/03/06, 29/03/06, 24/03/06
La lepre un giorno si vantava con gli altri animali :- Nessuno può battermi in
velocità- diceva- Sfido chiunque a correre con me.
La tartaruga, con la sua solita calma disse:- Accetto la sfida .
_Questa è buona! – esclamò la lepre, e scoppiò a ridere.
47
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_Non vantarti prima di aver vinto replicò la tartaruga. _Vuoi fare questa gara ?
Così fu stabilito un percorso e dato il via.
La lepre partì come un fulmine tanto che dopo cinque minuti quasi non vedeva più la
tartaruga che stava ancora muovendo i primi passi : a 300 metri di distanza, la
tartaruga era poco più che un puntino e per giunta sembrava ferma! Mancavano solo
100 metri al traguardo, decise così di fermarsi per fare due capriole sull’erba, tenendo
comunque d’occhio il percorso.
Ma l’attività fisica le aveva fatto venir fame e, vedendo che nonostante fossero
passati tre minuti, la tartaruga era ancora lontana, con 4 balzi tornò al via perché
aveva adocchiato li vicino un prato di trifoglio.
Sgranocchiando erbetta fresca dimenticò la gara; quando finalmente se ne ricordò era
passata mezz’ora; guardando il percorso, si accorse che la tartaruga procedendo
regolarmente, passo dopo passo, aveva raggiunto i cento metri. Allora, correndo più
veloce di prima arrivò di nuovo a cento metri dal traguardo e, per mostrare il suo
disprezzo verso la tartaruga si sdraiò a fare un sonnellino.
La tartaruga intanto camminava con fatica, un passo dopo l’altro, centimetro dopo
centimetro e finalmente giunse in vista del traguardo. A quel punto la lepre si svegliò,
si stropicciò gli occhi e riprese la corsa, balzando a salti rapidi verso la linea di arrivo.
“Largo che arriva la freccia della foresta!” gridava, sicura di vincere la gara.
La tartaruga raccolse tutte le sue energie e allungò il passo più che potè. La lepre era
in arrivo, ma ….la tartaruga ormai tagliava vittoriosa il traguardo.
Come primo elemento abbiamo il fatto che la lepre arriva in 5’ a quota 300 mt, e si
afferma che mancano 100mt al traguardo, quindi il percorso è lungo 400 mt.
Un altro dato da rilevare è la velocità della tartaruga, conoscendo il tempo e lo spazio
che essa percorre, applichiamo la seguente formula :
V=
100
s
=
= 3,33m/s
t
30
48
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Per sapere il tempo che la tartaruga impiega per percorrere l’intero percorso (cioè
400mt), utilizziamo la seguente formula:
s
400
t = = 3,33 = 120 minuti!!!
V
Per calcolare la velocità della lepre usiamo la stessa formula che abbiamo utilizzato
per ottenere la velocità della tartaruga cioè:
V=
300
s
=
= 60m/s
t
5
Notiamo che non è possibile calcolare la velocità che la lepre impiega per percorrere
l’intero percorso, in quanto il suo andamento non è costante: pariamo in questo caso
di moto uniformemente accelerato. La tartaruga ha una velocità costante quindi
parliamo di moto rettilineo uniforme!!!
La lepre fa trascorrere 5’ in cui percorre 300mt , poi altri 3’ di stasi, poi torna indietro
( presumibilmente in 5’ ? il dato non è chiaro) e poi altri 30’ di stasi al punto di
partenza..
Lepre: 5’ percorre 300mt, + 3’ di stasi= 8’ → tempo che passa. Torna al punto di
partenza in meno di 5’ , quindi: 30-8= 22’ → sono il tempo che la lepre si ferma.
Dopo mezz’ora riparte e raggiunge i 300mt.
Nel frattempo la tartaruga percorre 100mt.
La lepre trovandosi a 100mt dal traguardo, decide di fare un sonnellino.
Al suo risveglio, si accorge che la tartaruga si era avvicinata al traguardo, e pur
correndo il più possibile, era ormai troppo tardi.
Da ciò si evince che: poiché la tartaruga ha un andamento costante, e avendo percorso
i primi 100mt durante la prima mezz’ora, che la lepre ha dormito circa 90’.
In questo arco di tempo la tartaruga ha percorso i restanti 300mt.
Spiegazione grafica!!!
400
Tartaruga
Tempo Spazio
300
49
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200
V=
100
V=
s
t
100
= 3,33m/s
30
Metri
spazio
10
20 30
40
50 60
70 80 90 100 110 120 130
Minuti tempo (sec)
Lepre
Tempo
V=
Spazio
s
300
=
= 60m/s
t
5
s = V● t = 5 ● 60m/s = 300mt
50
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5
10
20
30 40
50
60
70
80
90
100 110 120 130 140 min
7. Terne pitagoriche (accenno al teorema di Pitagora)
Riferimenti: lezione del 15/05/06, 17/05/06, 22/05/06
Consegna per casa:
51
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Considerando tanti sassolini, costruire con essi due quadrati. Cosa si nota?
Abbiamo realizzato due quadrati con delle biglie: il primo è costituito da 9 biglie, il
secondo da 16…
● ● ●
● ● ●
● ● ●
.
●
●
●
●
2
9 biglie = 3
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2
16 biglie = 4
Unendo i due quadrati avremo:
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2
25 biglie = 5
Di conseguenza:
32 + 4 2 = 5 2
→
9 + 16 = 25
Si tratta di una terna pitagorica.
Definizione di terna pitagorica
Se tre numeri interi a, b e c verificano la relazione a2 + b2 = c2, si dice che formano
una terna pitagorica.
Ad esempio (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono due notissime terne pitagoriche, mentre non lo
è (1, 1, radq(2)) perché l'ultimo numero non è intero.
Anche (6, 8, 10) è una terna pitagorica, ottenuta raddoppiando i termini della (3, 4, 5).
52
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Terne primitive e terne derivate
Le terne come la (3, 4, 5) sono dette terne primitive e quelle come la (6, 8, 10) sono
dette derivate.
Infatti, se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (ka, kb, kc), con k numero intero
positivo.
Come si distinguono le terne primitive da quelle derivate?
Semplice: se a e b sono primi fra loro allora la terna è primitiva, altrimenti è
derivata.
Alcune osservazioni
In tutte le terne pitagoriche:
- uno dei tre "lati" a, b, c è divisibile per 3 e un altro per 5
- il prodotto dei due "cateti" a*b è divisibile per 12
- il prodotto dei tre "lati" a*b*c è divisibile per 60
Nelle terne pitagoriche primitive:
- uno dei due "cateti" a oppure b è pari e l'altro dispari, mentre l'"ipotenusa" c è
sempre dispari
- a, b sono primi fra loro
Esempi di terne pitagoriche:
3, 4, 5
verifichiamo
→ 32 x 42 = 52 → 9 + 16 = 25
5, 12, 13
//
→ 52 + 122 = 132 → 25 + 144 = 169
6, 8, 10
//
→ 62 + 82 = 102
7, 24, 25
//
→
→
36 + 64 = 100
72 + 242 = 252 → 49 + 576 = 625
53
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8, 15, 17
//
→ 82 + 152 = 172 → 64 + 225 = 289
9, 12, 15
//
→ 92 + 122 = 152
→ 81 + 144 = 225
9, 40, 41
//
→ 92 + 402 = 412
→ 81 + 1600 = 1681
10, 24, 26
//
→ 102 + 242 = 262 → 100 + 576 = 676
12, 16, 20
//
→ 122 + 162 = 202 → 144 + 256 = 400
12, 35, 37
//
→ 122 + 352 = 372
→ 144 + 1225 = 1369
14, 48, 50
//
→ 142 + 482 = 502
→ 196 + 2304 = 2500
15, 20, 25
//
→ 152 + 202 = 252
→ 225 + 400 = 625
15, 36, 39
//
→ 152 + 362 = 392
→ 225 + 1296 = 1521
16, 30, 34
//
→ 162 + 302 = 342
→ 256 + 900 = 1156
18, 24, 30
//
→ 182 + 242 = 302
→ 324 + 576 = 900
Verifichiamo il teorema di Pitagora…
Enunciato:
54
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In un triangolo rettangolo il quadrato
costruito
sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Il triangolo rettangolo
IPOTENUSA
i
CATETO
MINORE 2
C
1
CATETO
MAGGIORE
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Quadrato costruito
sull’ipotenusa
Quadrato costruito
sul cateto minore
Quadrato costruito
sul cateto maggiore
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i
Costruiamo 3 quadrati
:
c2
c1
G
R
V
i
c1
2
c2
1
1
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Sistemiamo al loro posto i quadrati
G
V
R
Scomponiamo i quadrati per mezzo del quadratino Q
G
Q
V
R
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Riportiamo i quadratini rossi su quelli gialli
G
R
V
Poi i verdi
G
V
R
In questo modo il quadrato giallo è stato riempito totalmente dal rosso e dal verde.
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Pertanto:
GIALLO
VERDE
GIALLO = ROSSO + VERDE
ROSSO
60
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Ma
GIALLO
VERDE
GIALLO = i 2
ROSSO = c 2
1
VERDE = c
2
2
ROSSO
61
Allora
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GIALLO
2 2 2
i =c +c
1 2
VERDE
ROSSO
Da cui…
i=
c
2
1
c1 =
i2 −
c2 =
i2 −
+
c
c
c
2
2
2
2
2
1
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8. Schede di approfondimento
SCHEDA N°1
RIFLETTIAMO SUI CALCOLI
A volte risolviamo delle operazioni senza però capire il perché di certi
algoritmi; cerchiamo di riflettere insieme:
3/4 +1/2= 5/4
5/6 – 2/3 = 1/6
1/2 x 3/4 = 3/8
4/5 :2/15 =6
Certo che visti così non si capisce molto di questi calcoli! Volete cercare
singolarmente o con il gruppo di lavoro di spiegare il vero senso di ciò che
è scritto sopra, argomentando il perché di certi risultati, senza perdere mai
di vista che queste cose potrete insegnarle ai bimbi di scuola elementare.
Tutti i riferimenti teorici necessari per capire queste operazioni possono
essere riportati nella esecuzione della scheda.
Il lavoro svolto ti sarà utile per evidenziare cosa devi approfondire e
recuperare sull’argomento e per partecipare attivamente alle prossime
discussioni in aula .
63
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Risolviamo i calcoli:
3
1
3+ 2 5
+ =
=
4
2
4
4
5 2
5− 4
1
- =
=
6 3
6
6
1
3
3
x =
2
4
8
4
2
4
15
:
= x
= semplificando i
5 15
5
2
termini otteniamo:
2x3=6
Quando i denominatori di due frazioni sono
diversi, per poter eseguire il calcolo bisogna
trovare il m.c.m.. In questo caso: il m.c.m. tra 4
e 2 è 4. Procediamo dividendo il m.c.m. per il
primo denominatore : 4:4 =1 che moltiplicato
per il numeratore abbiamo 3. Allo stesso modo
dividiamo il m.c.m. per l’altro denominatore :
4:2= 2 che moltiplicato per il numeratore
abbiamo : 2 . Alla fine addizioniamo i
numeratori : 3+2 = 5/4 .
Per la sottrazione tra due frazioni con
denominatore diverso, si applica la stessa regola
dell’esercizio esposto precedentemente, cioè si
calcola il m.c.m..
Procediamo: il m.c.m. tra 6 e 3 è 6 .
Dividiamo il m.c.m. per il primo denominatore e
otteniamo 1, che moltiplicato al numeratore
abbiamo 5. Andiamo avanti dividendo il m.c.m.
per l’altro denominatore, otteniamo 2, che
moltiplicato per il numeratore abbiamo 2.
Eseguiamo poi la sottrazione tra i due
denominatori: 5-4 =1/6
Per svolgere la moltiplicazione tra due frazioni
procediamo in questo modo: basta moltiplicare
il primo numeratore per il secondo, in questo
caso : 1 * 3= 3 ; proseguiamo moltiplicando il
primo denominatore per il secondo: 2*4=8 . Il
risultato di tale operazione è 3/8
Per effettuare una divisione tra due frazioni,
procediamo in questo modo: (4/5 * 15/2) .
Invertiamo la seconda frazione e cambiamo il
segno dell’operazione. Semplifichiamo i termini
e otteniamo : 2/1*3/1 svolgiamo la
moltiplicazione tra i numeratori : 2*3 e poi tra
i denominatori 1*1 . Il risultato è 6
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SCHEDA N°2
Nel grafico in basso trovi il moto di un cavallo, di un mulo e di una gazzella.
s
(metri)
t(secondi)
Stabilisci una corrispondenza tra le velocità dei tre animali e le rette del piano
cartesiano motivando le tue risposte.
65
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Abbiamo considerato che la velocità dei tre animali fossero disposte in questo modo:
gazzella > cavallo >mulo
Calcoliamo che:
- la gazzella percorre 300 mt in 1minuto, V = 300 mt/60 sec = 5 mt/sec
- il cavallo percorre 200 mt in 2 minuti, V = 300 mt/120 sec = 1,66 mt/sec
- il mulo percorre 100 mt in 3 minuti, V = 100 mt/180 sec = 0, 55 mt/sec
Posiziona la retta rappresentativa del moto di un ghepardo e quello di una tartaruga
nel grafico sottostante.
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s
(metri)
t(secondi
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Abbiamo considerato intuitivamente che il ghepardo fosse il più veloce degli animali
citati e la tartaruga il più lento. Li abbiamo quindi posizionati rispettivamente come il
più veloce ed il più lento.
Dall’ intersezione degli assi delle ascisse e delle ordinate, nel punti d’ incontro della
retta, ricaviamo la velocità del ghepardo e della tartaruga.
Ovviamente avremo che:
V ghepardo > V gazzella
V tartaruga > V mulo
Il ghepardo percorre 400 mt in 1 minuto, V = 400 mt/60 sec = 6,77 mt/sec
La tartaruga percorre 30 mt in 3 minuti, V 0 30 mt/180 sec = 0,16 mt/sec
- Dalle tue osservazioni sulle velocità degli animali puoi descrivere una relazione tra
il coefficiente angolare della retta y=ax e l’inclinazione della retta nel piano?
Dalle nostre osservazioni si evince che man mano che la retta si avvicina all’ asse y
(ordinate), la sua inclinazione propende per detto asse, ed aumenta anche il
coefficiente angolare, e quindi la velocità.
Il coefficiente angolare indica l’inclinazione della retta. Esso rappresenta la velocità
uniforme. Il coefficiente angolare rappresenta la tangente dell’ angolo α che la retta
forma con l’asse delle x, a = tangente α.
9. Bibliografia
Amaldi U.: Fisica: idee ed esperimenti, Vol. primo, Zanichelli, 2001
Kline M.: Mathematical Thought from ancient to modern times, Oxford University
(ed.), New York, 1972;
Trad. ital.: Storia del pensiero matematico, Vol. I, Einaudi editore, Torino
 Pisano R.: “La novità del rapporto fisica-matematica nelle Réflexions di Sadi
Carnot”, 2001, sottoposto a AIHS

68
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
Valentini A. e Bergna G.: Elementi di Matematica, Vol. 3, Editrice la scuola, 1970
69