1 I Numeri Complessi L’esigenza di introdurre i numeri complessi è dovuta al fatto che diverse operazioni sui numeri reali R non sempre sono possibili. • x2 + 1 = 0 ? • log(−10) ? • log−2 3 ? • √ −1? Allo scopo di ovviare a questa carenza si introducono i numeri complessi. I numeri complessi C sono coppie ordinate di numeri reali C = {(a, b), a, b ∈ R} In particolare i numeri del tipo (a, 0) vengono considerati identici al numero reale a. Il numero complesso (0, 1) si denota con i e si chiama unità immaginaria dei numeri complessi, Il numero i è tale che i2 = −1. Con l’introduzione dell’unità immaginaria i numeri complessi si possono allora rappresentare anche nella forma a + ib, dove a rappresenta la parte reale del numero complesso: a = <(z) e b la sua parte immaginaria, b = =(z). Due numeri complessi a + ib , c + id coincidono se e solo se a = c, b = d. Potenze di i: i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i i4 = 1 i5 = i i6 = −1 i7 = −i ... 4n i 1.1 4n+1 =1 i = i i4n+2 = −1 i4n+3 = −i Operazioni fondamentali con i numeri complessi addizione: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), sottrazione: (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d), moltiplicazione: (a + ib) · (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc), 1 reciproco: se w = c + id 6= 0 allora 1 c d = 2 −i 2 , 2 w c +d c + d2 a + ib ac + bd bc − ad = 2 +i 2 con c2 + d2 > 0, 2 c + id c +d c + d2 √ valore assoluto: |a + ib| = a2 + b2 , divisione: complesso coniugato: se z = a + ib allora z = a − ib, opposto: se z = a + ib allora −z = −a − ib. Se z = a + ib allora risulta z + z = 2a ∈ R, z − z = 0, z + (−z) = 2ib ∈ C \ R. É possibile eseguire le operazioni sui numeri complessi con le regole del calcolo dei numeri reali trattando i come un numero reale, con l’accortezza di sostituire i2 con -1. Ad esempio z · w = (a + ib) · (c + id) = ac + iad + ibc + i2 bd = (ac − bd) + i(bc + ad). 1.2 Rappresentazione geometrica dei numeri complessi L’addizione dei numeri complessi corrisponde alla regola del parallelogramma per la somma di vettori: 2 1.3 La forma trigonometrica dei numeri complessi Introducendo nel piano complesso le coordinate polari al posto delle coordinate cartesiane si ottiene una nuova rappresentazione dei numeri complessi: x = r cos t, y = r sin t il numero complesso z = x + iy = r(cos t + i sin t) dove p r = x2 + y 2 ( r è il modulo di z) e t (detto argomento o anomalia) è l’angolo formato tra la direzione positiva dell’asse delle x e la semiretta che congiunge l’origine con il punto z. L’argomento è definito a meno di multipli dell’angolo giro. Dato un numero complesso a + ib, il suo modulo è dato da r = p x2 + y 2 e, se esso è diverso da zero, il suo argomento t è determinato da sin t = p a cos t = p 2 x + y2 b x2 + y2 Utilizzando questa rappresentazione il prodotto di due numeri complessi diventa particolarmente semplice: z = r(cos t + i sin t), w = s(cos u + i sin u), zw = rs(cos(t + u) + i sin(t + u)) dunque, per moltiplicare due numeri complessi si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti. La formula (cos t + i sin t)(cos u + i sin u) = cos(t + u) + i sin(t + u) 3 è detta formula di De Moivre e permette di calcolare la potenza n-esima di un numero complesso z: z n = [r(cos t + i sin t)]n = rn (cos nt + i sin nt), n ∈ N. Chiamiamo radice n-esima di z ogni numero complesso w tale che wn = z. Tale equazione ammette esattamente n soluzioni; se z = r(cos t + i sin t) allora w = r1/n (cos(t + 2kp)/n + i sin(t + 2kp)/n), k = 0, 1, ..., n − 1. I valori di w1 , . . . , wn sono regolarmente distribuiti lungo la circonferenza avente centro nell’origine raggio pari a r1/n . Le radici sono dunque rappresentate dai vertici di un poligono regolare. Determiniamo ad esempio le radici del numero complesso z = (−1+i)1/3 . Risulta −1 + i = 21/2 [cos(3π/4 + 2kp) + i sin(3π/4 + 2kp)] (−1 + i)1/3 = 21/6 [cos(3π/4 + 2kp)/3 + i sin(3π/4 + 2kp)/3]. Dunque • per k = 0, z1 = 21/6 [cos π/4 + i sin π/4] • per k = 1, z2 = 21/6 [cos 11π/12 + i sin 11π/12] • per k = 2, z3 = 21/6 [cos 19π/12 + i sin 19π/12]. 4 1.4 Definizione di ex nel campo complesso1 Vogliamo ora estendere la definizione di ex in modo che abbia significato anche nel campo complesso e che conservi la legge degli esponenti: ea · eb = ea+b . Se poniamo z = x + iy, per la legge degli esponenti deve risultare: ez = ex+iy = ex · eiy . Dobbiamo quindi capire che valore assegnare al numero complesso eiy . Supponiamo che, al variare di y, eiy = a(y) + ib(y), con a, b funzioni derivabili almeno due volte. Se deriviamo due volte otteniamo: eiy = a(y) + ib(y) ieiy = a0 (y) + ib0 (y) −eiy = a00 (y) + ib00 (y) Inoltre, poiché e0 = 1, risulta a(0) = 1, a0 (0) = 0, b(0) = 0, b0 (0) = 1. Dalla prima e dalla terza equazione, si ottiene a00 (y) = −a(y), b00 (y) = −b(y) e da queste due equazioni, unitamente ai valori di a e b prima trovati si ottiene a(y) = cos(y), b(y) = sin(y) e dunque eiz = ex (cos(y) + i sin(y)). Da tale formula possiamo ottenere: eit = cos t + i sin t e−it = cos t − i sin t e dunque sommando o sottraendo membro a membro otteniamo: sin t = eit − e−it eit + e−it , cos t = , 2i 2 e, per t 7→ nt, sin nt = 1 eint − e−int eint + e−int , cos nt = . 2i 2 la soluzione delle equazioni che compaiono in questa nota verranno studiate nel corso di Analisi Matematica II. 5 Infine, se z = a + ib, |ez | = ea |eb | = ea 1.5 p cos2 b + sin2 b = ea . La funzione logaritmo Se z 6= 0 il ln z indica un qualunque numero w ∈ C per cui risulta ew = z. (1) Scrivendo z nella forma esponenziale: z = reit = eln r+it ne segue che una soluzione di (1) è ln r + it. Ricordando poi che la funzione esponenziale nel campo complesso è periodica di periodo 2πi, si ha che tutte le soluzioni di (1) sono date da: w = ln r + i(t + 2kπ), k ∈ Z. Il logaritmo di un numero complesso z 6= 0 nella base complessa w 6= 0 è dato da: logw z = 6 ln z . ln w