"la distribuzione" probabilità

FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Laurea Specialistica in Ingegneria Civile N.O.
Giuseppe T. Aronica
CORSO DI IDROLOGIA TECNICA
PARTE II
Analisi e previsione statistica delle
variabili idrologiche
Lezione VIII: Funzioni di distribuzione di probabilità (1)
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Probabilità
Funzioni di probabilità
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
La funzione p(x), che associa a ogni valore della variabile casuale
x la probabilità corrispondente, si chiama funzione (o
distribuzione) di probabilità di x.
p(x) = Pr[ X = x ]
Proprietà
∑ p(x) = 1
0 ≤ p(x) ≤ 1
pmf (variabili discrete)
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Probabilità
Funzioni di probabilità
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Nel caso di variabili continue si introduce la funzione P(x)
funzione di probabilità di non superamento di x, che associa a
ogni valore della variabile casuale x la probabilità che la variabile
venga raggiunta e non superata.
P(x) = Pr[ X ≤ x ]
P(x) = ∑ p(X)
X≤ x
cdf (variabili continue)
cdf (variabili discrete)
Probabilità di superamento di x
1 − P(x) = Pr[ X > x ]
0 ≤ P(x) ≤ 1
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Probabilità
Densità di probabilità
Nel caso di variabile continua si osserva che
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p( x ) ≥ 0
x2
Pr[x1 ≤ X ≤ x 2 ] = ∫ p( x ) ⋅ dx
x1
misura la probabilità che la variabile assuma
un valore compreso tra (x1, x2).
La funzione p(x) prende il nome di densità di probabilità (pdf)
Dalla definizione di probabilità
+∞
∫ p( x ) = 1
−∞
l’area sottesa dalla pdf è sempre uguale a uno
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Probabilità
Densità di probabilità
P(x) = Pr[ X ≤ x ]
cdf (variabili continue)
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Dalla definizione di pdf
x
P(x) = ∫ p( z) ⋅ dz
−∞
misura la probabilità che la variabile sia minore
uguale a x
Ne consegue:
dP(x)
p(x) =
dx
La densità di probabilità (pdf) è la derivata della
funzione di probabilità di non superamento (cdf)
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
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Grandezze caratteristiche delle PDF
Momento di ordine r rispetto al valore x0
N
N
µr ( x ) = ∑ ( xi − x 0 )r ⋅ p( xi )
σ ( x ) = ∑ ( xi − µ( x ))2 ⋅ p( xi )
µr ( x ) = ∫ ( x − x 0 )r ⋅ p( xi ) ⋅ dx
σ2 ( x ) = ∫ ( x − µ( x ))2 ⋅ p( xi ) ⋅ dx
i=1
+∞
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Varianza
−∞
Media o valore atteso della variabile
N
µ( x ) = E[x ] = ∑ xi ⋅ p( xi )
i=1
+∞
µ( x ) = E[x ] ∫ x ⋅ p( xi ) ⋅ dx
−∞
2
i=1
+∞
−∞
Moda
(
x = max [p( x )]
Mediana
~
x = P( x )x =0.5
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
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Grandezze caratteristiche delle PDF
Coefficiente di variazione
CV =
σ
µ
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Coefficiente di asimmetria γ1
γ1 =
µ3
µ
= 3
3
µ32 σ
Coefficiente di kurtosi γ2
γ2 =
µ4
µ2
2
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Il tempo di ritorno
Nelle applicazioni pratiche delle elaborazioni statistiche è opportuno
esprimere il grado di rarità di un evento in termini che presentino una
maggiore comprensione rispetto alla probabilità di non superamento.
P(x) probabilità di non superamento
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1-P(x) probabilità di superamento
Il superamento della grandezza x in N anni sarà pari a:
N[1-P(x)]
Si definisce tempo di ritorno T di una variabile idrologica x il numero
medio di anni in cui la variabile viene raggiunta o superata mediamente
una sola volta
T[1-P(x)]= 1
T=
1
1 − P( x )
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Il quantile
Probabilità
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Si definisce quantile (o frattile) il valore della
variabile x di fissata probabilità
valore probabile = f(valori passati)
Inferenza statistica su un campione della variabile
Analisi statistica della grandezza x
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
L’inferenza statistica
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Il problema dell’inferenza statistica si traduce
nella ricerca della distribuzione di probabilità
(CDF) più adatta a descrive le statistiche
della variabile in esame
Distribuzioni di probabilità di interesse idrologico (di variabili
continue, illimitate superiormente)
1. Esponenziale
2. Normale (Gaussiana)
3. Log-normale 2 parametri (LN2)
4. Distribuzioni asintotiche del massimo valore (Gumbel, GEV,
TCEV)
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni di probabilità
La distribuzione esponenziale
Distribuzione continua a 1 parametro λ, limitata inferiormente ed
illimitata superiormente
0.2
PDF
Statistici della distribuzione
µ( x ) = E[ x ] =
σ( x ) =
1
λ2
1
λ
0.8
0.12
0.5
0.08
0.3
0.04
0
0.0
0
5
10
15
x
20
25
P(x)
p( x ) = λ ⋅ e − λx
0.16
p(x)
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P(x) = 1 − e − λx CDF
1.0
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idrologiche
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Le distribuzioni di probabilità
La distribuzione Normale o Gaussiana
Distribuzione continua a 2 parametro µ e σ, illimitata inferiormente
ed superiormente
 1  x − µ 2 
1
P(x) = ∫
⋅ exp− 
  dx CDF
2
2
σ
π
σ

 

−∞
PDF
0.2
 1  x − µ 2 
1
p(x) =
exp − 
 
2
σ 2π
σ

 

1
µ = 10
σ = 2.5
0.16
µ = 10
σ = 2.5
0.75
P(x)
0.12
p(x)
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x
0.08
0.5
0.25
0.04
0
0
0
5
10
x
15
20
0
5
10
15
x
La distribuzione è simmetrica, media, moda e mediana coincidono
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni di probabilità
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La distribuzione Normale o Gaussiana
µ(x) parametro di posizione
σ(x) parametro di forma
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idrologiche
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Le distribuzioni di probabilità
La distribuzione Normale o Gaussiana
In forma ridotta o standardizzata
Viene introdotta per sganciarsi dalla media e dallo scarto
Variabile ridotta
p(u) = p(x)σ(x)
 u2 
1
p(u) =
exp − 


2π
 2
 u2 
1
P(u) = ∫
⋅ exp − du


− ∞ 2π
 2
1
0.4
µ=0
σ=1
µ=0
σ=1
0.32
P(u) = P(x)
Si dimostra facilmente che:
u
P(x)
0.24
p(x)
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 x − µ
u=

 σ 
0.75
0.5
0.16
0.25
0.08
0
-5
-3
0
-1
1
x
3
5
-5
-3
-1
1
x
3
5
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni di probabilità
Il teorema del limite centrale
Se xi, i=1,2,..N, sono variabili aleatorie indipendenti e distribuite con
qualsivoglia distribuzione di probabilità, allora la variabile:
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N
z = ∑ xi
i=1
tende a essere distribuita con legge normale quando N tende a infinito
Proprietà della distribuzione normale
Una trasformazione lineare y = a+bx di una variabile x distribuita
normalmente con media µ e scarto σ è anch’essa distribuita normalmente
con media a+bµ e bσ