parametro probabilità

FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Laurea Specialistica in Ingegneria Civile N.O.
Giuseppe T. Aronica
CORSO DI IDROLOGIA TECNICA
PARTE II
Analisi e previsione statistica delle
variabili idrologiche
Lezione IX: Distribuzione degli estremi idrologici
2
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni del massimo valore
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Per l’interpretazione statistica di certe grandezze idrologiche di
interesse tecnico (portate di piena, precipitazione intense) per le
quali sono disponibili i valori massimi in un fissato intervallo
temporale (anno, mese, giorno, ecc.) è necessario ricorrere a
leggi di distribuzione specifiche per i massimi valori
Leggi asintotiche del massimo valore
3
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni del massimo valore
Se si considera un campione di dimensione N e P(x) è la
distribuzione di probabilità della variabile x la distribuzione di
probabilità del massimo del campione di dimensione N si
ricava:
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
N variabili x1, x2,..., xN
xmax= max[x1, x2,..., xN]
se le N variabili sono indipendenti
PX max (x ) =
n
n
k =1
k =1
∏ Pr [Xk ≤ x ] = ∏ PXk (x ) = [PX (x )]N
Le distribuzioni di probabilità del massimo valore sono
distribuzioni asintotiche che dipendono soltanto delle
distribuzioni di probabilità della variabili aleatoria di partenza
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni del massimo valore
‰ Distribuzioni asintotiche del primo tipo (EV1)
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
d  1 − P( x ) 
lim
=0


x → +∞ dx  p(x ) 
Esponenziale
Gumbel
GEV
‰ Distribuzioni asintotiche del secondo tipo (EV2)
lim x
x → +∞
p(x )
= cos t > 0
1 −P(x )
‰ Distribuzioni asintotiche del terzo tipo (EV3)
lim (ω − x )
x → ω−
p (x )
=γ
1 − P( x )
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
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Le distribuzioni del massimo valore
La distribuzione di Gumbel o del massimo valore del I tipo (EV1)
Distribuzione continua a 2 parametri α e u, limitata inferiormente
ed illimitata superiormente – limite di una distr. esponenziale
CDF
[
]
0.8
PDF
[
p(x) = α ⋅ exp − α (x − u ) − e
Statistici della distribuzione
µ( x ) = E[ x ] =
σ( x ) =
1.283
α
0.5772
+u
α
− α (x −u )
]
0.5
0.01
0.3
0
0.0
0
20
40
60
x
La distribuzione è asimmetrica
P(x)
0.02
p(x)
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
P(x) = exp − e − α (x −u )
1.0
0.03
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
6
Le distribuzioni del massimo valore
La distribuzione di Gumbel o del massimo valore del I tipo (EV1)
0.03
0.02
0.02
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
p(x)
p(x)
0.03
0.01
0.01
0
0
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
α parametro di scala
40
x
x
α = 0.06; u = 22.1
α = 0.07; u = 22.1
30
α = 0.07; u = 22.1
α = 0.07; u = 30.0
u parametro di posizione
moda della distribuzione
50
60
7
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni del massimo valore
La distribuzione di Gumbel o del massimo valore del I tipo (EV1)
Per svincolarsi dai parametri si introduce la variabile ridotta y
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
y = α( x − u )
Variabile ridotta
P(y) = exp( −e − y )
(
CDF
p(y) = α ⋅ exp − y − e − y
y = − ln ln[P( y )]
)
PDF
8
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni del massimo valore
La distribuzione di Gumbel o del massimo valore del I tipo (EV1)
Espressione del quantile:
0
1000
500
250
100
50
25
10
5
1
2
3
4
5
6
7
.998
.999
.996
.98
.99
Nonexcession
q P
Probabilità
di nonProbability,
superamento
.96
-1
.9
1

y = − ln ln 1 − 
T

Reduced
Variabile Variate,
ridotta y y
.8
1
1 

xT = u − ln ln1 −  
α
 T 
.5
o in funzione del tempo di
ritorno T:
2
1
{ln ln[P(x)]}
α
Quantile
xT
Predicted
Quantile,
ξ
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
x=u−
ReturndiPeriod,
[years]
Tempo
ritorno TT (anni)
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni del massimo valore
La distribuzione GEV (General Extreme Value)
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Distribuzione continua a 3 parametri α, u e κ, limitata inferiormente
ed illimitata superiormente
 
α ⋅ ( x − u ) κ 
P ( x ) = exp  − 1 −
 
κ
 

(Jenkinson, 1969)
Statistici della distribuzione
µ = E[x ] = u +
 κ
σ( x ) =  
α
[ (
κ
1− 1+ 1
κ
α
α parametro di scala
u parametro di posizione
κ parametro di forma
)]
[(1 + 2 κ)2 − (1 + 1 κ)]
Per κ = ∞ la GEV si riduce a una Gumbel
per 1/κ >-1
per 1/κ >-0.5
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni del massimo valore
La distribuzione GEV (General Extreme Value)
Per svincolarsi dai parametri si introduce la variabile ridotta y
[
κ
P(y ) = exp − (1 − y κ )κ
Variabile ridotta
]
Gumbel
GEV (k=-1.6)
50
GEV (k=1.6)
Espressione del quantile:
x =u+
{
κ
1 − (− ln[P( x )])1 κ
α
1 
κ  

x = u + 1 −  − ln 1 −  
T 
α 


y = − ln ln[P( y )]
60
CDF
}
x
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
 α ( x − u )
y = − ln1 −

κ

40
30
1 κ



20
0
0.5
1
y
1.5
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni del massimo valore
La distribuzione TCEV (Two Component Extreme Value)
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Si basa sull’assunzione che gli eventi estremi di un campione (piogge
intense, piene, ecc.) appartenga a due insiemi diversi (es. due diversi
fenomeni meteorologici) distribuiti in modo simile (eventi di base + eventi
straordinari)
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni del massimo valore
La distribuzione TCEV (Two Component Extreme Value)
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Distribuzione continua a 4 parametri limitata inferiormente ed
illimitata superiormente

− x
 − x 
 − λ 2 exp
 
P(x ) = exp  − λ1 exp
 ϑ1 
 ϑ2  

(Rossi et al., 1984)
Parametri della distribuzione
λ1 λ2 numero medio di eventi delle due componenti, di
straordinaria, λ1 >> λ2
base e
θ1 θ2 medie degli eventi appartenenti a ciascuna componente (θ1 << θ2)
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Le distribuzioni del massimo valore
La distribuzione TCEV (Two Component Extreme Value)
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
La legge di probabilità TCEV corrisponde al prodotto di due leggi
di distribuzione di Gumbel relative alla componente base e a
quella straordinaria della variabile
yi =
x − εi
ϑi
εi = ϑi lnλi
P(x ) = exp[− exp( − y1) − exp( − y2 )]
P(x ) = exp[− exp( − y1)] exp[ − exp( − y2 )]
P(x ) = P( y1)P( y2 )
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
Adattamento delle distribuzioni
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Per determinare la funzione di probabilità che
potrebbe descrivere la variabile il primo
passo consiste nella stima dei parametri
della distribuzione che si sta utilizzando
Metodi di stima dei parametri
‰ Metodo dei momenti
‰ Metodo della massima verosimiglianza
‰ Metodo dei momenti pesati in probabilità
‰ Metodo degli L-momenti
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
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La stima dei parametri
Il metodo dei momenti
Si ipotizza che i momenti della distribuzione uguaglino in momenti del
campione
Gumbel
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
αˆ =
1 . 283
s(x )
GEV
û = m ( x ) −
0 . 5772
αˆ
[
]
 κˆ 
2 − (1 + 1 κ )
κˆ
(
)
s
(
x
)
=
1
+
2
κ
ˆ
ˆ
1


m( x ) = û + 1 − 1 +
κˆ
 αˆ 
αˆ
− (1 + 3 / κˆ ) + 3(1 + 1/ κˆ )(1 + 2 / κˆ ) − 23 (1 + 1/ κˆ )
g1 = sign (1 κˆ )
−1
3
2
(1 + 2 / κˆ )2 − (1 + 1/ κˆ )
[ (
)]
[
]
Problemi:
‰ procedura computazionalmente semplice
‰ stima distorta se il campione è di numerosità ridotta (N>30 se si deve
stimare il momento del 3° ordine
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
La stima dei parametri
Il metodo della massima verosimiglianza (ML)
I parametri si ricavano massimizzando
verosimiglianza) nella forma:
un
funzionale
(detto
di
n
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Gumbel
L = ∑ p( x )
L(θ ) = ∏ p(xi | θ )
i =1
ln L = - ∑ α (xi − u) − ∑ exp[− α (xi − u)] − n ⋅ ln(α )
xi − b
 ∂ ln L
2 (x − u) exp[− α (x − u)] − α n = 0
+
α
=
∑
∑
i
i
 ∂α
α2

Problemi:
 ∂ ln L = αn − ∑ α exp[− α (x − u)] = 0
i
‰ procedura
 ∂b
computazionalmente pesante
‰ stima indistorta (metodo più
efficiente)
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
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La stima dei parametri
Il metodo dei momenti pesati in probabilità (PWM)
Si ipotizza che i momenti pesati in probabilità della distribuzione
uguaglino in momenti pesati in probabilità del campione
N
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
∑ x i ⋅ F ( x i )r Momento pesato in probabilità di ordine r del
M r = i =1
Mr =
N
campione
+∞
Momento pesato in probabilità di ordine r della
r
∫ x ⋅ P ( x ) p ( x )dx distribuzione
−∞
Problemi:
‰ procedura computazionalmente semplice
‰ ridotta influenza della dimensione campionaria sulla stima
Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
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La stima dei parametri
Il metodo dei momenti pesati in probabilità (PWM)
Gumbel
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
αˆ =
ln 2
2 ⋅ M1 − M 0
uˆ = M 0 −
0 . 5772
αˆ
GEV
1
= 7 . 859
κˆ
 2 ⋅ M 1 − M 0 ln 2 
 + 2 . 955
⋅ 
−
 3 ⋅ M 2 − M 0 ln 3 
uˆ = M 0 + κ ⋅ [Γ (1 + 1 κ ) − 1]
αˆ =
 2 ⋅ M 1 − M 0 ln 2 

⋅ 
−
 3 ⋅ M 2 − M 0 ln 3 
2M1 − M 0
(
2
κ ⋅ Γ (1 + 1 κ ) ⋅ 1 − 2 − 1 κ
)
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Analisi e previsione statistica delle variabili
idrologiche
La stima dei parametri
Il metodo degli L-momenti
Gli L-momenti sono stimatori lineari dei momenti di un campione
L1 = E[ x ]
L2 =
[
E x (2|2 ) − x (1|2 )
2
]
L3 =
[
E x (3|3 ) − 2x (2|3 ) + x (1|3 )
]
3
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
dove x(i|n) è l’i-esimo valore più grande in campione di dimensione n
Per qualunque distribuzione gli L-momenti possono essere espressi in
funzione dei momenti pesati in probabilità di un campione
L1=M0
L2=2M1-M0
L3=6M2-6M1+M0