POLITECNICO DI BARI - SECONDA FACOLTA' DI INGEGNERIA - TARANTO
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale e in
Ingegneria dei Sistemi Industriali ed Elettronici
Programma del corso di Analisi Matematica I (12 CFU)
A.A. 2010/2011 - Prof. C. Greco
ü Argomenti svolti
Funzioni e loro grafici: concetto di funzione, insieme di partenza, grafico, insieme di definizione. Primi esempi di funzioni: rette,
potenza n -esima e radice n - esima, funzioni definite "a pezzi", funzione valore assoluto e segno. Funzioni pari, dispari e periodiche;
operazioni sui grafici di una funzione: traslazioni, moltiplicazione per una costante, cambiamenti di scala. Relazione d'ordine, composizione di funzioni. Codominio di una funzione; funzioni surgettive ed ingettive, funzioni inverse, funzioni monotone. Successioni,
progressioni aritmetiche e geometriche, successioni monotone.
Funzioni elementari: funzione esponenziale e logaritmo e loro proprietà. Misura degli angoli in radianti; funzioni trigonometriche
seno, coseno e tangente, definizioni, archi notevoli, principali proprietà e formule trigonometriche. Le funzioni inverse arcoseno,
arcocoseno e arcotangente e loro proprietà.
Limiti di successioni. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli*. Definizione di successione. Proprietà verificate definitivamente. Definizione di limite di successione. Successioni convergenti, divergenti ed irregolari. Unicità del limite*. Limitatezza delle
successioni convergenti*. Irregolatirà di H-1Ln *. Successioni monotone. Teorema sul limite di successioni monotone*. Operazioni con i
limiti. Teorema della permanenza del segno: 1a e 2a forma*. Teorema dei due carabinieri*. Relazione tra limite di una successione e
limite del suo valore assoluto.* Limite del prodotto di una successione infinitesima per una limitata*. Studio dettagliato del lim an e di
lim na
nض
al variare di a e di a in R. Aritmetizzazione parziale di ¶. Forme indeterminate. Studio del limite di J1 +
1 n
N *.
n
nض
Confronto tra
infiniti ed infinitesimi. Successioni asintotiche e loro proprietà*. Criterio del rapporto per successioni. Confronto tra na , an , n !, nn *.
Limiti di funzioni e funzioni continue. Definizione sequenziale di limite di funzione. Teorema di unicità del limite*. Asintoto
orizzontale, verticale ed obliquo. Limite sinistro e destro. Esempi di non esistenza di limite. Definizione topologica di limite. Operazioni con i limiti di funzioni. Definizione di funzione continua. Esempi di funzioni continue e non continue. Continuità di sin x ed
xn *. Continuità delle altre funzioni elementari. Teoremi sulla permanenza del segno e dei due carabinieri. Teorema di cambio di
sin x
x Ø0 x
variabile nel limite**. Continuità della funzione composta*. Limiti notevoli: lim
= 1*, lim J1 + x N = ‰*, e limiti correlati.
1 x
x Ø≤¶
Prolungamento per continutà di una funzione. Stime asintotiche. Teorema di esistenza degli zeri*. Teorema di Weierstrass**. Teorema
di esistenza dei valori intermedi*. Continuità dell'inversa di una funzione continua ed invertibile.
Derivate. Definizione di derivata. Interpretazione geometrica e cinematica. Derivate delle funzioni elementari*. Operazioni con le
derivate. Derivate di funzioni composte ed inverse. Punti angolosi, cuspidali e flessi a tangente verticale. Continuità di una funzione
derivabile*. Derivate di funzioni pari e dispari*.
Applicazioni delle derivate. Punto di massimo e minimo relativo per una funzione. Teorema di Fermat*. Teorema di Lagrange*.
Criterio di monotonia*. Funzioni a derivata nulla*. Ricerca di massimi e minimi locali. Successioni monotone. Teorema di de L'Hospital. Gerarchia degli infiniti. Limite della derivata e derivabilità*. Significato geometrico della derivata seconda. Funzioni concave,
convesse e punti di flesso. Criterio di convessità. Studio del grafico di una funzione.
Integrali definiti. Trapezoide, plurirettangoli inscritti e circoscritti, somma inferiore e superiore. Teorema sulle proprietà delle somme
inferiori e superiori. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito. Teorema sulla condizione necessaria e
sufficiente per l'integrabilità. Integrale definito di f @xD = k*, di una funzione nulla salvo un numero finito di punti*, di f @xD = x*, di
f @xD = x2 . Funzioni non integrabili*. Somma di Cauchy*. Uniforme continuità e teoremi collegati*. Teorema sull'integrabilità delle
funzioni continue* e di quelle monotone*. Teorema sulla linearità dell'integrale; indipendenza dell'integrale dal valore della funzione
in un numero finito di punti*. Teorema sull'additività rispetto all'intervallo di integrazione; teorema sulla monotonia dell'integrale.
Teorema della media*. Definizione di primitiva (o antiderivata), teorema sulle funzioni a derivata nulla*, teorema sulla differenza di
due primitive*. Definizione di funzione integrale e teorema sulla funzione integrale*. Teorema fondamentale del calcolo integrale*.
Integrali indefiniti. Concetto di integrale indefinito, tabella degli integrali indefiniti immediati e di quelli immediati generalizzati.
Integrazione per decomposizione e integrazione per parti. Formule di ricorrenza. Integrazione di funzioni razionali fratte del tipo
PHxL
,
QHxL
dove QHxL è un polinomio di primo o secondo grado, e PHxL è un polinomio di grado qualsiasi. Integrali particolari. Integrazione per
sostituzione. Calcolo degli integrali indefiniti. Calcolo per parti e sostituzione. Funzioni non integrabili elementarmente: esempi
notevoli.
Infinitesimi ed infiniti. Generalità su infinitesimi e infiniti; infinitesimi e infiniti campione; ordine di infinitesimo e di infinito;
funzioni infinitesime o infinite di ordine infinitamente grande o piccolo. Calcolo dell'ordine di infinitesimo o di infinito.
Integrali impropri. Integrali impropri in D a, bD; assoluta integrabilità; caso delle funzioni limitate; funzioni non limitate in D a, bD,
Teorema del confronto per gli integrali impropri in D a, bD. Teorema sul criterio dell'infinito. Caso degli intervalli @a, b@ e D a, b@.
Integrali impropri in @a, +¶@; assoluta integrabilità. Teorema del confronto per gli integrali impropri in @a, +¶@. Teorema sul criterio
dell'infinitesimo*. Caso degli intervalli D - ¶, aD e D - ¶, +¶@.
Formula di Taylor. I polinomi di Taylor. Teorema sulla formula di Taylor per i polinomi*. La formula di Taylor. Teorema sul resto
n -esimo della formula di Taylor. Teorema sulla formula di Taylor col resto di Peano*. Applicazioni alla ricerca dei minimi, massimi e
flessi per le funzioni di una variabile: teorema sul test della derivata n -esima*. La formula di Taylor col resto di Lagrange: applicazioni all'approssimazione di costanti numeriche e di funzioni con errore fissato.
Serie numeriche. Definizione di serie numerica, somma parziale, serie convergenti, divergenti e indeterminate. La serie di Mengoli*.
La serie geometrica*. Teorema sulla distributività della moltiplicazione per le serie*. Teorema sulla condizione necessaria per la
convergenza*; serie a termini positivi, teorema sul carattere di una serie a termini positivi*, teorema del confronto per le serie*, la serie
armonica* e la serie ‚
+¶
n=1
1
n2
*. Serie assolutamente convergenti. Teorema sul criterio del rapporto, teorema sul criterio della radice*,
relazioni tra serie e integrali e teorema sulla serie armonica generalizzata*. Teorema sul criterio dell'infinitesimo. Serie alternanti e
teorema sul criterio di Leibnitz. Serie armonica generalizzata a segni alterni.
Serie di funzioni. Convergenza puntuale ed assoluta delle serie di funzioni. Serie di potenze, teorema sull'insieme di convergenza di
una serie di potenze, raggio di convergenza. Teorema del rapporto per le serie di potenze*, teorema della radice per le serie di potenze.
Serie di Taylor, serie di MacLaurin, funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Esempi di funzioni non sviluppabili in serie di Taylor.
Teorema su una condizione sufficiente per la sviluppabilità in serie di Taylor*. Sviluppi in serie di Taylor di alcune funzioni
elementari*.
Equazioni differenziali. Generalità sulle equazioni differenziali, problema di Cauchy. Equazioni differenziali a variabili separabili,
soluzioni banali; equazioni differenziali lineari del primo ordine: integrazione col metodo del fattore integrante.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: equazione omogenea, soluzioni indipendenti, Wronskiano, integrali particolari della
completa e integrale generale della completa. Integrale generale dell'equazione omogenea a coefficienti costanti*. Applicazioni delle
equazioni differenziali: oscillatore armonico*.
ü Testi consigliati
1°)
Bramanti-Pagani-Salsa: Analisi Matematica 1 e Analisi Matematica 2, Zanichelli.
2°)
Marcellini-Sbordone: Esercitazioni di matematica, I° e II° Volume, Liguori.
3°)
Dispense del corso.
* con dimostrazione
** dimostrazione facoltativa
