07 luglio 2008 (testo e soluzione)

PROVA DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA’
07 luglio 2008
NOME:
COGNOME:
Esercizio 1: Per dieci paesi dell’Unione Europea si è osservato il prezzo in euro di un litro di benzina (X) e il numero di veicoli
procapite circolanti (Y). Si sa che fra le due variabili esiste una relazione lineare inversa. Si conoscono inoltre i seguenti
risultati:
x
i
i
 8.79
y
i
 8.63
x
i
2
i
i
n
 0.77385
y
i
n
2
i
 0.7695
inoltre è noto che la devianza residua è pari a 0.01157.
a)
Calcolare l’indice di determinazione lineare: __________________________________________________
Prima determiniamo la devianza di y attraverso la formula calcolatoria della devianza secondo cui
dev y= 0.7695*10 – 10*(0.863^2)=0.24731
da cui dev reg=0.24731-0.01157=0.23574
Rquadro è quindi pari a 0.23574 / 0.24731= 0.953217
b) Determinare l’indice di correlazione: _________________________________________________________
L’indice di correlazione è la radice quadrata dell’indice di determinazione lineare ed inoltre si sa che la relazione
che sussiste fra le due variabili è inversa pertanto occorre considerare il segno negativo:
r = - 0.976328
c)
Di quanto varia in media il numero di veicoli pro-capite circolanti al variare del prezzo di un litro di benzina?
Occorre determinare la codevianza fra X e Y che si può ottenere ricordando che è il numeratore del coefficiente
di correlazione. Inoltre si può facilmente determinare la devianza di X. Quindi
dev x= 0.77385*10-10*(0.879^2)= 0.01209
da cui
codev(x.y)= - 0.976328 * 0.109955 * 0.497 = - 0.053386
b= codev(x,y)/dev(x) = - 0.053386 / 0.04744 = -4.41
Al crescere di una unità del prezzo di un litro di benzina in media il numero di veicoli diminuisce di 4.41.
Esercizio 2: La variabile aleatoria discreta X si distribuisce secondo la seguente funzione di probabilità:
a)
X
1
2
3
4
p(X)
0.5
0.5-
/2
/2
Quali valori può assumere  affinché p(X) sia effettivamente una funzione di probabilità? _______________________
Affinché sia una funzione di probabilità le probabilità devono essere positive (da cui <0.5 altrimenti p(X=2) è
negativa e  > 0 ) e sommare a uno. Per quanto riguarda questa ultima condizione la somma delle probabilità è
0.5+0.5- + /2 +/2 = 1 -  +  = 1
da cui si vede che la somma è uno e non dipende da  per cui per qualsiasi valore del parametro la somma
resta uno. Quindi l’intersezione delle due condizioni da 0<<0.5.
b) Calcolare la media della variabile aleatoria X: __________________________________________________________
E(X)=0.5*1 + 2*(0.5-)+ 3*/2 + 4*/2 = 1.5 + 1.5 
si osservi che il valore atteso dipende da  quindi varia al variare del valore di 
c)
Quali valori può assumere  affinché la proprietà di internalità della media sia soddisfatta? ______________________
La proprietà di internalità semplicemente afferma che la media è sempre compresa fra il valore minimo e il
valore massimo dei valori che la variabile aleatoria può assumere. Il valore atteso deve quindi essere compreso
fra 1 e 4. Essendo essa pari 1.5 + 1.5  la condizione di minimo si ha per
1.5 + 1.5  =1 da cui = - 1/3
1.5 + 1.5  =4 da cui = 5/3
Quindi il parametro nell’intervallo  = [-1/3, 5/3] rispetta la proprietà di internalità della media.
Esercizio 3: Le serie storiche dei prezzi (in euro) del caffè e della benzina verde in Italia dal 2000 al 2008 sono contenute nella
seguente tabella:
a)
anni
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
caffè
0.4
0.44
0.7
0.8
0.82
0.85
0.9
0.9
1
benzina
0.9
0.96
1
1.1
1.2
1.22
1.28
1.4
1.5
Rispetto al 2000 è aumentato maggiormente il prezzo del caffè o della benzina? Motivare la risposta.
La serie dei numeri indici a base fissa con base anno 2000 è
caffè
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
1
1.1
1.75
2
2.05
2.125
2.25
2.25
2.5
benzina 1
1.066667 1.111111 1.222222 1.333333 1.355556 1.422222 1.555556 1.666667
da cui è immediato osservare che è aumentato maggiormente il prezzo del caffè in quanto 2.5>1.666
b) Calcolare le due serie di indici a base mobile. Quale è stato l’incremento relativo del prezzo della benzina nel 2002
rispetto all’anno precedente?
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
caffè
1.00
1.10
1.59
1.14
1.03
1.04
1.06
1.00
1.11
benzina
1.00
1.07
1.04
1.10
1.09
1.02
1.05
1.09
1.07
___________________________________________________________________________
c)
Calcolare la media degli incrementi relativi per il caffè e per la benzina. Che tipo di media è più corretto utilizzare?
la media più appropriata è quella geometrica che va applicata alla serie delle medie mobili. L’accrescimento
medio annuale del prezzo del caffè è stato 1.121 quello della benzina 1.066. Quindi in media il prezzo del caffè
è aumentato ogni anno del 12% quello della benzina del 6,6%.