Funzioni reali di variabile reale
Una reale di variabile reale è una funzione nella quale il dominio d è un sottoinsieme di r e il
condominio c è anch’esso un sottoinsieme di r.
F:r→r
Definizione classica.
Si definisce funzione reale di variabile reale una legge di natura qualsiasi che associa ad ogni
elemento di un insieme d ⊆ r uno e uno solo uno e uno solo elemento di un insieme c⊆r.
L’insieme d si chiamo dominio e l’insieme c codominio.
Funzioni razionali
Funzioni razionali intere
Dicesi funzione razionale intera una funzione del tipo:
Il dominio d della funzione è l'insieme degli elementi
Es.
La funzione è definita ∀x∈r
Funzioni razionali fratte
Dicesi funzione razionale fratta una funzione del tipo:
y
N ( x)
P ( x)
n
n−1
+
........
+ an
m
m−1
+
........
+ bm
a0 ⋅ x + a1 ⋅ x
b0 ⋅ x + b1 ⋅ x
Il dominio d della funzione è l'insieme degli elementi x∈r : p(x)≠0 tali che
Ossia, il dominio si ottiene purché sia:
m
b0 ⋅ x + b1 ⋅ x
m −1
+ ........ + bm ≠ 0
Es.
La funzione è definita per:
Cioè per
Funzioni irrazionali
Le funzioni irrazionali sono quelle per cui, fissato il valore della variabile indipendente , è
possibile determinare il rispettivo valore della variabile dipendente y applicando per un numero
finito di volte le quattro operazioni dell'aritmetica e l'operazione di estrazione di radice.
Il dominio d della funzione dipende dall'indice n della radice.
Se n è pari allora
Anche per le funzioni irrazionali distinguiamo tra intere e fratte.
Funzioni trascendenti
Una funzione trascendente è una funzione che non è una radice di una equazione polinomiale.
Funzioni di questo tipo si trovano frequentemente nella matematica e nelle scienze. Una
funzione che sia radice di un'equazione polinomiale è una funzione algebrica; tutte le altre
funzioni sono dette trascendenti. L'importanza delle funzioni trascendenti consiste nel fatto che
la maggior parte delle funzioni che descrivono fenomeni naturali sono trascendenti. Le sei
funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente, secante, cosecante e cotangente, per
esempio, sono funzioni trascendenti, come pure sono trascendenti la funzione logaritmica, la
funzione esponenziale e le funzioni iperboliche.
Funzioni trigonometriche
La funzione seno
La funzione coseno
Il dominio della funzione è
∀x∈r
Il dominio della funzione è
∀x∈r
La funzione tangente
Il dominio è l’insieme
x∈r :
approfondisci
K∈ z
Funzioni esponenziali
Funzioni logaritmiche
Dicesi funzione esponenziale una funzione di
Dicesi funzione logaritmica una funzione di
in
in
,
, del tipo:
,
, del tipo:
il dominio della funzione è l'insieme degli
elementi
con
dove
è il dominio della funzione
e è il
il dominio della funzione è l'insieme degli
elementi
con
dove
è il dominio della funzione
e è il
dominio della funzione
, inoltre gli
elementi devono soddisfare la condizione
dominio della funzione
, inoltre gli
elementi devono soddisfare la condizione
.
;
;
.
Funzione pari
Funzione dispari
Sia f(x) una funzione a valori reali di variabile
reale. Allora f(x) è pari se per ogni x∈r vale
l'equazione:
Sia f(x) una funzione a valori reali di variabile
reale. Allora f(x) è dispari se per ogni x∈r
vale l'equazione:
Es.
Es.
Le funzioni pari sono simmetriche rispetto
all’asse delle x.
Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto
all’origine degli assi.
Funzioni monotone
Funzioni crescenti
Una funzione si dice crescente in un intervallo quando al crescere della variabile indipendente x
cresce contemporaneamente la f(x) o y.
Dal punto di vista formale diciamo:
Sia data una funzione y=f(x) definita in un intervallo (ab). f(x) si dice crescente in (a,b) se
∀ x1, x2 ε (a, b) tali che x1 < x2 ⇒ f( x1)<f( x2)
Funzioni decrescenti
Una funzione si dice decrescente in un intervallo quando al crescere della variabile indipendente x
decresce contemporaneamente la f(x) o y.
Dal punto di vista formale diciamo:
Sia data una funzione y=f(x) definita in un intervallo (ab). f(x) si dice decrescente in (a,b) se
∀ x1, x2 ε (a, b) tali che x1 < x2 ⇒ f( x1)>f( x2)
Funzioni non decrescenti e non crescenti.
“Di minore importanza “ alcune funzioni si dicono non decrescenti
Queste funzioni oltre a verificare le condizioni delle funzioni crescenti per alcune coppie di punti
vale l’uguaglianza dei corrispondenti.
Sia data una funzione y=f(x) definita in un intervallo (ab). f(x) si dice non decrescente in (a,b) se
∀ x1, x2 ε (a, b) tali che x1 < x2 ⇒ f( x1)≤ f( x2)
In modo del tutto analogo alcune funzioni di dicono non crescenti.
Sia data una funzione y=f(x) definita in un intervallo (ab). f(x) si dice non crescente in (a,b) se
∀ x1, x2 ε (a, b) tali che x1 < x2 ⇒ f( x1) ≥ f( x2)
Importanza delle funzioni monotone in senso stretto
Le funzioni monotone in senso stretto, cioè quelle crescenti e quelle decrescenti, sono funzioni
biiettive e quindi invertibili.
La dimostrazione è immediata.
x1 < x2 ⇒ f( x1)<f( x2)
x1 < x2 ⇒ f( x1)>f( x2)
esclude che a elementi distinti corrispondano elementi uguali.
Es.
y = x2
è invertibile nell’intervallo da 0 a∝, infatti:
In tutto R non è monotona. Considerata da R+ in R+ diventa monotona.
La funzione invera risulta essere:
y
x
Es.
y=sen(x)
Non è monotona in R.
Se restringiamo l’intervallo di definizione da -π/2 a π/2.
la funzione diventa monotona. In questo intervallo la sua funzione inversa è:
x = arse(y)
