File - Raffaele Santoro

GRAVITAZIONE UNIVERSALE E APPLICAZIONI
Per la classe settima della licenza liceale europea
A cura di Raffaele SANTORO
INTRODUZIONE .................................................................................................. 2
1 LE LEGGI DI KEPLERO .................................................................................. 3
2 LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE DI NEWTON .................... 3
VERIFICHE:........................................................................................................... 4
LA MASSA DELLA TERRA ....................................................................................... 5
VARIAZIONE DELL’ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ DELLA TERRA ............................... 5
3 SATELLITI ARTIFICIALI DELLA TERRA.................................................... 6
IMPONDERABILITÀ APPARENTE .............................................................................. 7
4 ENERGIA GRAVITAZIONALE E POTENZIALE GRAVITAZIONALE...... 7
VELOCITÀ DI FUGA ................................................................................................ 8
5 PROBLEMI (RISOLTI O CON RISPOSTA) .................................................... 9
Scuola Europea di Lussemburgo - A.S. 1995-96
Introduzione
Questi appunti, corrispondenti al capitolo V del programma di Fisica previsto per le classi 6-7 delle Scuole
Europee, non hanno alcuna pretesa di sostituirsi ad uno dei tanti ottimi libri di testo in circolazione.
Il taglio particolare della trattazione e la scelta dei problemi proposti e/o risolti danno un’idea del loro scopo
principale: guidare gli studenti della classe settima a sostenere l’esame scritto o l’esame orale di Fisica della
licenza liceale europea.
Inoltre, i problemi proposti non hanno alcuna pretesa di originalità e provengono in larga parte dall’archivio
delle prove preliminari o di licenza liceale europea degli ultimi anni. Altri problemi prendono spunto da alcuni
problemi proposti nell’ottimo libro di R. WOLFSON e J. M. PASACHOFF, PHYSICS with Modern Physics
for Scientists and Engineers, Harper Collins, Second Edition, 1994.
Proprio per aiutare gli studenti a ripetere la materia, tutti i problemi presentati sono o risolti o hanno un breve
suggerimento per la risoluzione o hanno la risposta, numerica o simbolica.
Luxembourg, Novembre 1995
2
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
1 Le leggi di Keplero
Keplero, verso la fine del Cinquecento, ha potuto disporre dei risultati delle osservazioni astronomiche di
Ticho Brahe circa i diversi pianeti del sistema solare. Dopo un’analisi dettagliata di detti risultati, Keplero
enunciò, nel 1619, le seguenti leggi:
I
I pianeti ruotano attorno al sole lungo orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi.
Il punto P, dell’orbita del pianeta, si chiama perielio, ed è il punto di minima
A
S
P distanza del pianeta dal Sole.
Il punto A, dell’orbita del pianeta si chiama afelio, ed è il punto di massima
distanza del pianeta dal Sole.
II
Le aree descritte dalle linee (immaginarie) che uniscono i pianeti al Sole sono proporzionali ai
tempi impiegati a descriverle; in particolare, in tempi uguali descrivono aree uguali.
In base a questa legge, avendo le due aree colorate in
figura la stessa area (perché descritte in tempi
uguali), ma essendo manifestamente (arco A’B’) >
(arco AB), allora il pianeta ha una velocità maggiore
quando percorre l’arco A’B’; in particolare un dato
pianeta ha:
velocità massima al perielio,
velocità minima all’afelio.
III Il quadrato del periodo di rivoluzione (T) di un pianeta attorno al sole é proporzionale al cubo della
sua distanza media (R) dal sole: T 2 = kR 3 .
La costante k ha lo stesso valore per tutti i pianeti orbitanti attorno al Sole. In base a questa legge, i
pianeti più lontani dal Sole hanno un periodo di rivoluzione attorno al Sole più grande.
2 La legge di gravitazione universale di Newton
Keplero si era limitato a fornire la geometria del moto dei pianeti attorno al
Sole. Circa 50 anni dopo, Isaac Newton enunciò la legge dinamica che
costringe i pianeti a muoversi attorno al Sole, ritrovando non solo i risultati di
Keplero come casi particolari, ma generalizzando anche la dinamica di un
qualunque sistema di corpi forniti di massa, sia che si tratti di corpi posti sulla
Terra, sia che si tratti di corpi posti ovunque nell’Universo, unificando in tal
modo la meccanica terrestre con la meccanica celeste.
In particolare, Newton mostrò che:
• ogni corpo in moto attorno al Sole con le modalità della seconda legge di
Keplero, deve essere sottoposto ad una forza diretta verso il Sole;
• se questa forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza del
corpo dal sole, allora la sua orbita è una conica (circonferenza, ellisse, parabola o iperbole);
• infine, se l’orbita è chiusa (circonferenza o ellisse), allora il suo periodo si calcola con la terza legge di
Keplero.
Dunque una forza centrale (cioè diretta verso un corpo ‘fisso’) inversamente proporzionale al quadrato della
distanza dal centro di attrazione é consistente con tutte e tre le leggi di Keplero, e, quindi, con i dati
sperimentali di Ticho Brahe.
Inoltre Newton propose che lo stesso tipo di forza obbliga:
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
3
• i corpi a cadere sulla Terra e la Luna a muoversi attorno alla Terra;
• i satelliti di Giove a muoversi attorno a Giove.
Infine, a causa della terza legge della dinamica di Newton, la forza tra il Sole ed i pianeti, o tra una qualunque
coppia di corpi è reciproca: così, anche la Terra esercita una forza sul Sole che é uguale ed opposta alla forza
che il Sole esercita sulla Terra, solo che, conformemente alla seconda legge della dinamica di Newton, avendo
una massa molto più grande della massa della Terra, il Sole subisce un’accelerazione molto più piccola
dell’accelera-zione che subisce la Terra.
Concludendo, si può enunciare la legge di gravitazione universale di Newton: la forza agente fra due corpi
aventi masse rispettive m1 e m2, posti a distanza r, è inversamente proporzionale al quadrato di r e direttamente
propor-zionale al prodotto dello loro masse:
F =G
m1m2
r2 ,
(1)
dove la costante di proporzionalità G è una costante universale, il cui valore è lo stesso in tutto l’universo:
G = 6.67×10-11 N m2 kg-2 .
Verifiche:
a) la legge di Newton è compatibile con la terza legge di Keplero
Si supponga un pianeta, di massa mP che orbita lungo una traiettoria circolare di raggio r (per semplificare
i calcoli) con un periodo di rivoluzione attorno al sole uguale a T. Allora la sua forza centripeta, diretta
verso il Sole, é proprio data dalla forza di attrazione gravitazionale tra il pianeta e il Sole (la cui massa è
mS):
4π 2 3
m m
4π 2
2
R ,
mP 2 R = G P 2 S ⇒ T =
GmS
T
R
4π 2
é la costante di proporzionalità della terza legge di Keplero. Detta costante
GmS
dipende, oltre che da G, solo dalla massa del Sole; per questo il valore di k é lo stesso per tutti i corpi
orbitanti attorno al Sole.
dove la costante k =
b) la legge di Newton é la stessa anche se il centro di attrazione non è il Sole
In base alla (1), l’accelerazione di gravità g0 che ha una qualunque corpo di massa m sulla Terra, è tale
che:
mM
mg 0 = G 2 ⇒
R
M
g0 = G 2
(2)
R
⇒ g 0 R 2 = GM ,
dove M é la massa della Terra e R é il raggio terrestre medio.
Ancora dalla (2) si ha che
g0 R 2
G=
(3)
M
Si considera ora la Luna (massa: mL) orbitante attorno alla Terra con un periodo uguale a T ad una
distanza rL dalla Terra. La forza centripeta che obbliga la Luna ad orbitare attorno alla Terra é fornita
dalla forza gravitazionale Terra-Luna:
4
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
4π 2 rL3
mL M
4π 2 3 g 0 R 2
4π 2
m L 2 rL = G 2 ⇒ [sostituendo la (3)]
r =
M ⇒ g0 = 2 2 ,
M
T
rL
T2 L
T R
e sostituendo alle diverse grandezze fisiche i valori conosciuti alla sua epoca, Newton ha trovato per g0 un
valore compatibile con quello allora conosciuto, il che gli permise di concludere che la forza che obbliga la
Luna ad orbitare attorno alla Terra é della stessa natura della forza che obbliga i pianeti ad orbitare attorno
al Sole.
La massa della Terra
Nel 1798 Cavendish costruì la bilancia di torsione e, con questa, poté determinare il valore esatto di G
misurando la forza agente fra due masse conosciute. A partire dal valore di G, mediante la (3) si può calcolare
il valore esatto della massa della Terra (5.98×1024 kg) e, mediante la (1), della Luna e degli altri pianeti del
sistema solare.
Variazione dell’accelerazione di gravità della Terra
Sulla superficie della Terra il valore dell’accelerazione di gravità non é costante, ma assume valori diversi dai
poli (9.83 m/s2) all’equatore (9.78 m/s2), per due ragioni fondamentali:
• c’è una differenza di circa 21 km tra il raggio equatoriale e quello polare della Terra (responsabile di una
variazione di 0.02 m/s2 nel valore di g);
• a causa della rotazione della Terra attorno al proprio asse, i corpi posti all’equatore sono sottoposti ad
un’accelerazione centrifuga, diretta esternamente alla Terra, di 0.03 m/s2.
In prima approssimazione si considera costante il valore di g sulla superficie della Terra e si pone g0 = 9.8 m/s2.
Esternamente alla Terra, il suo valore è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro della
Terra. Infatti un corpo di massa m, posto a distanza r dal centro della Terra, ha, rispetto alla Terra un peso mg
dato da:
mM
M
mg = G 2 ⇒ g = G 2 ,
r
r
da cui si vede che il valore di g é nullo solo quando la distanza del corpo dal centro della Terra diventa infinito
(raggio d’azione infinito del campo gravitazionale). In realtà si considera nullo, quando il suo valore diventa
trascurabile e difficilmente misurabile.
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
5
Internamente alla Terra, il valore di g aumenta linearmente con la distanza r dal centro della Terra (si omette la
dimostrazione), fino ad assumere il suo valore massimo g0, sulla superficie della Terra.
La figura di sotto illustra la dipendenza di g, accelerazione di gravità terrestre, in funzione della distanza r dal
centro della Terra.
g
g0
r
R
3 Satelliti artificiali della Terra
Come aveva previsto Newton, lanciando un corpo dalla cima della più alta montagna sulla
Terra, il corpo, man mano che la sua velocità orizzontale di lancio aumenta, percorrerà una
distanza via via maggiore prima di cadere a Terra. Aumentando sufficientemente questa
velocità, il corpo lanciato non toccherà mai Terra e si metterà in orbita attorno ad essa. In
realtà il corpo continua a ‘cadere’, in quanto si muove più vicino alla Terra, a causa della
gravità, di quanto farebbe se, in assenza di questa, si muovesse in linea retta.
L’accelerazione centripeta, presente a causa del cambiamento continuo della direzione della velocità, viene
causata proprio dalla forza di gravità, esattamente come si é già visto per il moto dei pianeti intorno al Sole e
della Luna intorno alla Terra.
Oggi si mettono in continuazione dei satelliti in orbita attorno alla Terra, per scopi diversi: telecomunicazioni,
prospezioni idrogeologiche, militari.
Indicando con m la massa del satellite e con r la sua distanza dal centro Centripeta o centrifuga?
della Terra, la sua velocità costante v è tale che la forza centripeta del
Per evitare la confusione che spesso si fa
a proposito della forza centripeta e/o
satellite é uguale alla forza gravitazionale Terra-satellite, dunque:
v2
mM
m =G 2 ⇒ v=
r
r
(1)
GM
,
r
da cui risulta che la velocità del satellite é inversamente proporzionale
alla radice quadrata della sua distanza dal centro della Terra: più
lontano é il satellite dal centro della Terra, più piccola sarà la sua
velocità tangenziale.
L’ultima espressione della velocità consente anche di calcolare il
periodo T del satellite in funzione di r. Si ha:
della forza centrifuga, bisogna precisare
che:
• per un osservatore in un sistema
inerziale e non solidale con il corpo
in rotazione, quest’ultimo é
sottoposto a forza centripeta
• per un osservatore solidale con il
corpo in rotazione, quest’ultimo e
l’osservatore stesso sono sottoposti a
forza centrifuga
• le due forze non sono mai presenti
contemporaneamente per uno stesso
osservatore.
2πr
r
= 2πr
v
GM
e, com’era da aspettarsi, il periodo T aumenta con r.
T=
6
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
La tabella a lato (h é l’altezza del satellite rispetto alla superficie
della Terra) mostra alcuni valori tipici per la velocità e per il
periodo dei satelliti artificiali della Terra, al variare della loro
distanza dal centro della Terra.
h (km)
100
600
1100
1600
10000
20000
30000
40000
r (km)
6470
6970
7470
7970
16370
26370
36370
46370
v (km/s)
7,85
7,56
7,31
7,07
4,94
3,89
3,31
2,93
T (ore)
1,44
1,61
1,78
1,97
5,79
11,83
19,17
27,59
I satelliti della Terra con orbita equatoriale e con periodo T = 24
ore si dicono satelliti geostazionari, e vengono utilizzati innanzitutto per le telecomunicazioni. Come si vede dalla tabella l’altezza di questi satelliti deve essere compresa tra 30000 e 40000 km
al disopra della superficie terrestre.
In effetti, risolvendo l’ultima equazione (con T = 24×3600 s = 86400 s) rispetto ad r, si ottiene il raggio di
rivoluzione per un satellite geostazionario:
6.67 × 10 −11 × 5.98 × 10 24 × (8.64 × 10 4 )
GMT 2
r=
=
m ≈ 4.22 × 10 7 m ,
4π 2
4π 2
che corrisponde ad un’altezza di circa 36000 km sopra l’equatore.
2
3
Un insieme di satelliti geostazionari, opportunamente distanziati, riesce a coprire, per le telecomunicazioni,
tutta la superficie della Terra.
Imponderabilità apparente
Spesso si vede, in televisione, che uomini ed oggetti presenti in un satellite artificiale della Terra siano
‘volanti’ e si ha l’impressione che siano privi di peso. In realtà, il satellite e tutti i corpi in essi contenuti,
‘cadono’ continuamente verso la Terra e sono sottoposti alla forza centripeta fornita dall’attrazione terrestre
che, comunque, subiscono. Questa attrazione, però, per via della legge dell’inverso del quadrato della distanza,
é molto più piccola che sulla Terra. Inoltre, se si provasse a pesare una persona, in orbita con la stazione
orbitante, mediante una bilancia pesa-persone, il responso della bilancia sarebbe un peso nullo, in quanto sia la
bilancia che la persona sono sottoposti alla stessa accelerazione centripeta diretta verso il centro della Terra. In
realtà sia la persona, che la bilancia, che l’intera astronave hanno un peso rispetto alla Terra.
L’unico punto in cui è nullo il peso reale di un’astronave e di tutti i corpi ivi contenuti é un punto che si trova
sulla congiungente Terra-Luna, tale che il peso di un dato oggetto rispetto alla Terra é uguale al peso
dell’oggetto rispetto alla Luna: solo che, vettorialmente, la loro somma è nulla!
4 Energia gravitazionale e potenziale gravitazionale
Per allontanare un corpo di massa m dalla superficie terrestre bisogna eseguire un lavoro per vincere la forza
attrattiva tra il corpo e la Terra. Se inizialmente il corpo si trova in P1, ad una distanza r1 dal centro della Terra
ed alla fine in P2, ad una distanza é r2, il lavoro richiesto é dato da:
r2
 1 1
mM
 1
L = ∫ Fdr = ∫ G 2 dr = GmM −  = GmM  −  ;
r
 r1 r2 
 r  r1
r1
r1
r2
r2
se r1 < r2 , il lavoro L é positivo ed aumenta l’energia potenziale del corpo rispetto alla Terra.
Da notare che il lavoro calcolato sopra è indipendente dal cammino percorso ed è lo stesso anche se i due
punti considerati non sono allineati con il centro della Terra: basta dividere il cammino da P1 a P2 in tratti che
sono allineati con il centro della Terra e paralleli alla superficie della Terra. Per questi ultimi tratti il lavoro è
sempre nullo in quanto la forza peso é perpendicolare allo spostamento; resta non nullo solo il lavoro per i
tratti allineati con il centro della Terra e dunque il calcolo precedente conserva la sua generalità. I campi di
forza per cui il lavoro compiuto non dipende dal cammino percorso si chiamano campi conservativi.
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
7
Se si introduce la funzione:
W (r ) = −G
mM
,
r
che esprime l’energia potenziale gravitazionale, rispetto alla Terra, di un corpo di massa m posta ad una
distanza r dal centro della Terra, l’espressione precedente del lavoro si scrive:
L = W (r2 ) − W (r1 ) ,
in modo che si può calcolare il lavoro da eseguire come differenza tra energia potenziale finale ed energia
potenziale iniziale del corpo.
Dall’espressione di W (r ) risulta che l’energia potenziale di un corpo aumenta all’aumentare di r e diventa
nulla quando r diventa infinito: W(∞) = 0 . Questo é anche il valore massimo di W; quindi, per distanze finite,
l’energia potenziale gravitazionale di un corpo é sempre negativa.
L’energia totale di un corpo (ad esempio il satellite del paragrafo precedente) é uguale alla somma della sua
energia cinetica e della sua energia potenziale:
E tot = E c + W =
1 mM
1
1 2
mM 1 mM
mM
mv − G
= G
−G
=− G
=− W
2
r
2
r
r
2
r
2
Dalla (1) del paragrafo precedente si ha:
1 2 1 mM
mv = G
2
2
r
Il risultato precedente é molto importante ed estremamente semplice: l’energia totale di un corpo orbitante nel
campo gravitazionale della Terra (o di qualunque altro corpo celeste) é uguale alla metà della sua energia
potenziale cambiata di segno!
Spesso si introduce, in analogia con quanto si fa per il campo elettrostatico (formalmente simile a quello
gravitazionale), una nuova grandezza fisica che corrisponde all’energia potenziale riferita all’unità di massa:
W ( r)
M
U (r ) =
= −G
m
r
Questa nuova grandezza si chiama potenziale gravitazionale, indipendente, come si vede, dalla massa m del
corpo che si pone in un determinato punto dello spazio che circonda la Terra (o di qualunque altro corpo dotato di massa): infatti IL POTENZIALE GRAVITAZIANALE DELLA TERRA IN UN DETERMINATO
PUNTO DIPENDE SOLO DALLA MASSA DELLA TERRA E DALLA DISTANZA DEL PUNTO DAL
CENTRO DELLA TERRA. L’espressione del lavoro, vista prima, si può così esprimere in funzione del
potenziale gravitazionale:
[
]
L = m U (r2 ) − U (r1 ) .
Velocità di fuga
Si sa per esperienza che, lanciando un corpo verso l’alto con una determinata velocità, il corpo salirà per una
certa altezza prima di ricadere a Terra. Questa altezza sarà tanto più grande quanto più grande sarà la sua
velocità di lancio. Esiste una velocità di non ritorno del corpo? Cioè tale che il corpo, una volta lanciato dalla
Terra riesca a fuggire dal campo gravitazionale terrestre fino a distanza infinita. La risposta alla domanda é
affermativa e la velocità minima per cui la circostanza si verifica si chiama velocità di fuga.
8
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
In effetti, perché il corpo possa arrivare all’infinito, deve avere un’energia cinetica tale che la sua energia totale
sia uguale a zero (energia minima per arrivare all’infinito con energia cinetica residua nulla e con energia
potenziale nulla). Dunque, indicando con vf la velocità di fuga del corpo, deve essere:
2GM
1 2 
mM 
mv f +  − G
 = 0 ⇒ vf =
.

R
2
R 
Sostituendo i valori di G e di M, si trova vf ≈ 11.2 km/s. Su altri pianeti o corpi celesti la velocità di fuga ha
valori diversi in quanto cambiano M e R.
Se il corpo é già in orbita attorno alla Terra ad una distanza r dal suo centro, ancora la sua energia totale deve
essere almeno uguale a zero; dunque:
1 '2 
mM 
'
mv f +  − G
 = 0 ⇒ vf =

2
r 
2GM
.
r
5 Problemi (risolti o con risposta)
1
Un astronauta a passeggio sulla Luna é sottoposto contemporaneamente alla forza gravitazionale della
Terra ed alla forza gravitazionale della Luna. Confrontare le due forze a partire dai seguenti dati:
Massa della Terra:
M = 5.98×1024 kg
Massa della Luna:
ML = 7.35×1022 kg
8
Distanza Terra-Luna:
d = 3.85×10 m
Raggio lunare:
RL = 1.74×106 m
Soluzione:
Si calcola direttamente il rapporto tra le due forze:
mM
2
G 2L
2
d − rL ) M L (385 − 174
(
FL
rL
. ) ⋅ 1012 7.35 ⋅ 10 22
=
=
=
⋅
≈ 596 ,
mM
FT
M
5.98 ⋅ 10 24
rL 2
174
. ⋅ 1012 )
(
G
(d − rL ) 2
il che autorizza, praticamente, a trascurare la forza gravitazionale della Terra sull’astronauta.
2
Con i dati del problema precedente determinare a quale distanza dal centro della Terra un corpo di massa
m, posto sulla congiungente Terra-Luna, non é sottoposto ad alcuna forza.
[Suggerimento: Indicare con x la distanza richiesta, allora d - x é la distanza del punto richiesto dal
centro della Luna ... . Si trova x = 0.9 d ≈ 3.45×108 m]
3
Durante la missione Apollo, un’astronauta restò sul modulo di comando in orbita attorno alla Luna ad
un’altezza h = 130 km, mentre gli altri astronauti della missione esploravano la superficie della Luna. Il
modulo passava metà del suo tempo dietro la faccia nascosta della Luna e, durante questo tempo,
interrom-peva completamente le comunicazioni con la base a Terra e con gli altri astronauti sulla Luna.
Calcolare la durata di questo intervallo di tempo.
Soluzione:
Il tempo richiesto é uguale alla metà del periodo di rivoluzione T del modulo attorno alla Luna.
Indicando con m la massa del modulo, prendendo i dati mancanti dal problema precedente e ponendo r =
RL + h = (1.74+0.13)×106 m = 1.87×106 m, si ha:
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
9
. × 10 6 )
187
(
mM L
4π 2
r3
= 2π
s = 7257 s ≈ 2 ore
m 2 r = G 2 ⇒ T = 2π
GM L
T
r
6.67 × 10 −11 × 7.35 × 10 22
Dunque il modulo orbitante attorno alla Luna resta dietro la faccia nascosta della Luna per circa 1 ora.
3
4
Determinare il periodo del telescopio spaziale Hubble, orbitante attorno alla Terra ad un’altezza di 610
Km. Risposta: T = 5801 s ≈1 ora 37 minuti.
5
Determinare la distanza dal centro del Sole di un satellite eliostazionario. Sono dati:
Massa del Sole:
MS = 1.99×1030 kg
Raggio medio solare:
RS = 6.96×108 m
Periodo di rotazione del Sole (all’equatore) attorno al proprio asse:
T = 27 giorni
Risposta: 2.62×1010 m (1≈7% della distanza Terra-Sole)
6
Dimostrare che l’energia potenziale di un corpo vicino alla superficie terrestre é dato da mg0h, dove m é
la massa del corpo ed h la sua altezza rispetto alla superficie terrestre.
Soluzione:
Sia r2 = r1 + h e sia anche r1 ≈ r2 ≈ R (raggio terrestre). Si ha:
 1 1
r −r
mM 
mM 
 M
 = GmM  −  = GmM 2 1 ≈ m G 2  h = mg 0 h.
− − G
E p = U (r2 ) − U (r1 ) = − G
 R 
r1r2
r2
r1 

 r1 r2 
7
La velocità del pianeta Mercurio varia, sulla sua orbita ellittica, da 38.8 km/s all’afelio a 59.0 km/s al
perielio. Se, all’afelio, il pianeta si trova a 6.99×1010 m dal Sole, quale sarà la sua distanza dal Sole al
perielio?
[Suggerimento: imporre l’uguaglianza dell’energia meccanica totale di Mercurio rispetto al Sole, nelle
due posizioni ...; si troverà una distanza al perielio uguale a 4.60×1010 m]
8
Un satellite di massa mS = 8500 kg descrive un’orbita circolare attorno alla Terra ad un’altezza h = 1200
km.
a) Calcolare il periodo di rivoluzione del satellite.
b) Calcolare l’energia necessaria a portare il satellite sulla sua orbita.
c) Calcolare l’altezza che deve avere il satellite perché il suo periodo raddoppi.
d) Calcolare la forza che la Terra esercita su una biglia di massa m = 100 g ad un’altezza h = 1200 km
sulla sua superficie.
e) Se un’astronauta lascia la biglia libera, questa sembra non muoversi. L’astronauta conclude che la
biglia non ha né peso né accelerazione. Cosa si può dire a questo proposito?
Dati numerici:
Costante gravitazionale G = 6.67⋅10-11 Nm2kg-2
Massa della Terra
mT = 5.98⋅1024 kg
Raggio della Terra
RT = 6.37⋅106 m
Soluzione:
a) Con un’orbita circolare, la forza centripeta necessaria è fornita dalla forza di attrazione gravitazionale
tra il satellite e la Terra. Se M e R sono rispettivamente la massa e il raggio della Terra, m la massa del
satellite, h la sua altezza sulla superficie della Terra e T il suo periodo, si ha:
10
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
4π 2
mM
m 2 ( R + h) = G
⇒ T = 2π
T
( R + h) 2
e, numericamente:
T ≈ 6.28
( R + h) 3
,
GM
3
( 6.37 ⋅ 10 6 + 12
. ⋅ 10 6 )
s ≈ 5552 s ≈ 1h 49 m12 s .
6.67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5.98 ⋅ 10 24
b) L’energia da fornire al satellite è uguale all’energia totale del satellite nella sua orbita meno l’energia
totale del satellite sulla Terra (trascurando gli attriti con l’atmosfera e il calore disperso dai motori):
Mm 1 2
Mm 1
Mm
Mm
E orb = − G
+ mv = − G
+ G
= −G
R+h 2
R+h 2 R+h
2( R + h)
Mm

Mm 1 2 
Mm
Mm
∆E = Eorb − Eterra = − G
− −G
+ mvst  ≈ − G
+G
=


R
R
2( R + h)
2
2( R + h)
1

R + 2h
1
 = GMm
= GMm −
2 R ( R + h)
 R 2( R + h) 
Numericamente:
8.77 ⋅ 10 6
−11
2
3
∆E ≈ 6.67 ⋅ 10 ⋅ 5.98 ⋅ 10 4 ⋅ 8.5 ⋅ 10
2 ⋅ 6.37 ⋅ 10 6 ⋅ 7.57 ⋅ 10 6
( R + h1 ) 3
( R + h) 3
e T1 = 2π
, quindi:
c) T = 2π
GM
GM
Si trascura l’energia
cinetica del satellite
a Terra!
J ≈ 3.083 ⋅ 10 11 J .
( R + h1 )
T1
2=
=
⇒ h1 = 3 4 ( R + h) − R .
T
( R + h) 3
Numericamente: h1 ≈ 5647 km .
0.1 ⋅ 5.98 ⋅ 10 24
d) Si ha: F ≈ 6.67 ⋅ 10 −11
N ≈ 0.696 N .
( 7.57 ⋅ 10 6 ) 2
e) La biglia ha certamente un peso, uguale alla forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla Terra e
calcolata in precedenza. La forza peso è la forza che obbliga la biglia a seguire una traiettoria
circolare attorno alla Terra, cosa che fa pure l’astronauta. Quindi la biglia sembra ferma rispetto
all’astronauta.
3
9
Il telescopio spaziale Hubble ha una massa di 11 tonnellate ed ha bisogno di essere manovrato da
un’astronauta. La navicella si trova nella sua orbita a 584 km sopra la superficie della Terra, ed il
telescopio è a circa 10 metri da essa. Si può supporre che la metà del combustibile della navicella sia
stata consumata e che la sua massa, in queste condizioni, sia di 50 tonnellate.
a) Calcolare l’attrazione gravitazionale tra telescopio e navicella spaziale (per il calcolo si può supporre
che siano entrambe delle sfere uniformi).
b) Calcolare il periodo di rotazione della navicella e la sua velocità orbitale, supponendo che l’orbita sia
circolare.
c) Calcolare la forza costante necessaria per riportare il telescopio sulla navicella, facendogli percorrere
la distanza di 10 metri in un tempo di 3 minuti (supporre che la navicella resti ferma).
d) Se si applica semplicemente una forza attrattiva tra la navicella e il telescopio come quella calcolata
sopra, cosa dovrebbe succedere in effetti durante i tre minuti? Si richiede una descrizione qualitativa,
senza calcoli dettagliati.
e) Discutere le affermazioni che seguono, dicendo se si è d’accordo, o se si hanno delle riserve e perché:
i) L’energia totale della navicella in orbita é maggiore della sua energia totale nella base di lancio
prima della partenza da Terra.
ii) La navicella non dovrebbe conservare metà del suo combustibile per il viaggio di ritorno, dovrebbe
bastarne molto meno.
iii) Gli astronauti sono veramente senza peso quando sono in orbita?
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
11
Soluzione:
5 ⋅ 10 4 ⋅ 11
. ⋅ 10 4
a) Si ha: F = 6.67 ⋅ 10
N ≈ 3.7 × 10 −4 N.
2
10
b) Con un’orbita circolare, la forza centripeta necessaria è fornita dalla forza di attrazione gravitazionale
tra la navicella e la Terra. Se M e R sono rispettivamente la massa e il raggio della Terra, m la massa
della navicella, h la sua altezza sulla superficie della Terra e T il suo periodo, si ha:
4π 2
mM
( R + h) 3
m 2 ( R + h) = G
⇒ T = 2π
,
GM
T
( R + h) 2
e, numericamente:
− 11
T ≈ 6.28
(6.37 ⋅ 10
6
+ 0.584 ⋅ 10 6
−11
)
3
s ≈ 5769 s ≈ 1h 36 m 9 s .
6.67 ⋅ 10 ⋅ 5.98 ⋅ 10
2π
6.28
Inoltre: v =
( R + h) ⇒ v ≈
6.37 ⋅ 10 6 + 0.584 ⋅ 10 6 m / s ≈ 7.57 km / s .
T
5769
c) Trattandosi di un moto uniformemente accelerato, la cui accelerazione é data da (d indica la distanza
del telescopio dalla navicella): a = 2d/t2, per la forza necessaria a portare il telescopio sulla navicella
nel tempo t, si ha:
2 md
F = ma = 2 , da cui, numericamente:
t
20 ⋅ 11
. ⋅ 10 4
F≈
N ≈ 6.8 N.
( 18. ⋅ 10 2 ) 2
d) Sarebbe catastrofico per il telescopio (e per la navicella) in quanto il telescopio arriverebbe con una
velocità notevole (circa 0.22 m/s) per la massa del telescopio che danneggerebbe le apparecchiature
elettroniche delicatissime. Dunque l’operazione, in realtà, dovrebbe durare molto di più (con una
forza minore) per ridurre la velocità finale del telescopio ed il rischio dell’operazione.
e) i) Certamente l’energia meccanica (cinetica + potenziale) totale della navicella in orbita è maggiore
della sola energia potenziale meccanica della navicella prima della partenza da Terra. Ma questa
energia supplementare è stata fornita al satellite dal consumo di una certa quantità di combustibile,
la cui combustione non solo ha fornito energia meccanica supplementare al satellite in orbita ma é
anche servita a scaldare i motori e a produrre calore nell’atmosfera. Dunque l’energia totale
(meccanica + chimica) della navicella è maggiore a Terra che in orbita.
ii) Si! In effetti è sufficiente meno combustibile, perché, durante la fase di ritorno, da una parte c’è la
forza gravitazionale attrattiva che serve a far scendere la navicella senza consumare combustibile,
dall’altra l’atmosfera serve anche a frenare la stessa navicella. In compenso, la variazione, di segno
opposto, della energia meccanica totale è la stessa che durante la fase di salita.
iii) No! La forza peso esiste ancora, anche se molto ridotta rispetto a quella esistente sulla superficie
terrestre, ed è quella necessaria a fornire la forza centripeta all’orbita circolare del sistema navicella
+ astronauti. D’altra parte, se il sistema fosse senza peso il suo moto sarebbe rettilineo e uniforme!
24
(
10
12
)
Un pianeta senza atmosfera, di forma sferica e diametro uguale a 20 000 km, ruota su se stesso con un
periodo di rotazione uguale a 20 ore. Se si getta un oggetto verso l’alto con una velocità verticale uguale
a 30 m/s, l’oggetto impiega 5 secondi per ritornare al punto di partenza.
a) Calcolare la massa totale e la densità dl pianeta.
b) Calcolare la forza d’attrazione del pianeta su una massa di 1 kg.
c) Quali sono le caratteristiche delle orbite pianeto-stazionarie? Quale utilità hanno dette orbite?
d) Calcolare la distanza tra la superficie del pianeta e l’orbita pianeto-stazionaria.
e) Calcolare l’energia che bisogna fornire ad un satellite per metterlo su un’orbita pianeto-stazionaria, a
partire dalla superficie del pianeta considerata a riposo, se la massa del satellite é uguale a 2 000 kg.
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
f) Calcolare la velocità di fuga dal pianeta.[Si ricorda che la velocità di fuga é la velocità iniziale minima
che bisogna fornire ad un corpo, a partire dalla superficie del pianeta, considerato fermo, per sottrarlo
alla attrazione gravitazionale del pianeta stesso.]
Soluzione:
M
la gravità sulla superficie del pianeta (dove R è il raggio del pianeta ed M la sua
R2
massa). Si può supporre che g sia costante in prossimità della superficie del pianeta (come vicino alla
superficie della Terra).Essendo il tempo di salita dell’oggetto uguale al suo tempo di discesa (dunque
entrambi uguale a 2.5 s), si ha:
M ∆v
∆vR 2
G 2 =
⇒ M=
,
R
G∆t
∆t
a) Sia g = G
Numericamente: M =
( )
30 × 10 7
−11
2
kg ≈ 1.8 × 10 25 kg (e g = 12 m/s2).
6.67 × 10 × 2.5
essendo ∆v =(30 - 0) m/s = 30 m/s la variazione di velocità dell’oggetto lanciato e ∆t = 2.5 s l’intervallo di tempo durante il quale avviene tale variazione di velocità.
La densità d del pianeta è data da:
. × 10 25
M
18
kg / m 3 ≈ 4.30 × 10 3 kg / m 3 .
d=
≈
4 3 4
πR
π × 10 21
3
3
b) F = mg = 12 N
c) Le orbite geostazionarie devono essere delle orbite equatoriali tali che il periodo di rotazione di
satelliti orbitanti su queste orbite sia uguale al periodo di rotazione del pianeta attorno al proprio asse:
in tal modo, i satelliti sono apparentemente immobili rispetto al pianeta.
Il vantaggio principale dei satelliti orbitanti su queste orbite è quello di consentire la trasmissione di
onde elettromagnetiche (in particolare: segnali radio, TV, ecc.) tra due punti del pianeta abbastanza
distanti tra di loro.
d) Imponendo che la forza centripeta del satellite è uguale alla forza gravitazionale tra pianeta e satellite,
si ha:
6.67 × 10 −11 × 18
. × 10 25 × (20 × 3600)
Mm
4π 2
GMT 2
⇒
=
≈ 2.51 × 10 8 m
r
G 2 s = ms 2 r ⇒ r = 3
2
2
r
T
4π
4π
,
dove r è la distanza richiesta, T il periodo di rotazione del pianeta (e del satellite pianeto-stazionario)
e ms è la massa del pianeta.
e) L’energia da fornire al satellite é uguale alla differenza tra l’energia totale del satellite sulla sua orbita
e l’energia potenziale del satellite sul pianeta (si trascura l’energia cinetica del satellite sul pianeta,
energia dovuta alla rotazione del pianeta attorno al proprio asse):
Mms 
Mms 
1 1
∆E = − G
− − G
 = GMms  −  ⇒
 R 2r 

2r
R 
2
1
 1

11
∆E ≈ 6.67 × 10 −11 × 18
. × 10 25 × 2 × 10 3  7 −
8  J ≈ 2.35 × 10 J
 10

2 × 2.51 × 10
f) La velocità di fuga vf del satellite dal pianeta è tale che l’energia totale del satellite sul pianeta è
almeno uguale all’energia totale del satellite all’infinito (tale energia all’infinito è uguale a zero):
Mms 
1
2GM

ms v f2 +  − G
⇒
 ≥ 0 ⇒ vf ≥

2
R 
R
vf ≥
2 × 6.67 × 10 −11 × 18
. × 10 7
m / s ≈ 15.5km / s .
10 7
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
13
11
Nel luglio 1993, il pianeta Giove é stato urtato dalla cometa SHOEMAKER-LEVY 9. La massa della
cometa é stata stimata uguale a 5×107 kg.
All’apogeo, il 14 luglio 1993, la distanza della cometa dalla superficie di Giove era uguale a 5×1010 m.
Giove
Orbita di
Scoperta della
cometa
Urto con Giove
16-22 Luglio
1993
Orbita della cometa
SHOEMAKER Apogeo - 14 Luglio
1993
a) Mostrare che la velocità della cometa, per restare in un’orbita circolare attorno a Giove ad una
distanza di 5×107 km dalla sua superficie, avrebbe dovuto essere uguale a 1.59 km/s.
b) Siccome la cometa non era in un’orbita circolare, la sua velocità non era uguale a 1.59 km/s. Spiegare
se la velocità era minore o maggiore di 1.59 km/s.
c) Calcolare l’energia potenziale della cometa il 14 luglio 1993.
d) Calcolare la velocità con cui la cometa ha urtato Giove (prendere uguale a 0 la velocità della cometa il
14 luglio 1993).
e) Volendo sapere se l’orbita di Giove attorno al Sole dopo l’urto é cambiata, si dovrebbe calcolare la
velocità di Giove sulla sua orbita prima dell’urto.
i) Calcolare questa velocità.
ii) Quale legge fisica bisognerebbe usare per calcolare la variazione della velocità di Giove a causa
dell’urto?
iii) Mostrare, senza calcoli, che la variazione di velocità é praticamente nulla (supporre che l’urto sia
centrale e totalmente anelastico e che le velocità della cometa e di Giove abbiano la stessa
direzione).
Sono dati:
Costante di gravitazione universale: G = 6.67×10-11 Nm2kg-2
Massa di Giove:
M = 1.9×1027 kg
Raggio di Giove:
R = 7.14×107 m
Distanza Terra-Sole:
d1 = 1.496×1011 m
Soluzione:
a) Imponendo l’uguaglianza della forza centripeta della cometa e della forza gravitazionale che Giove
esercita sulla cometa, si ha:
MmC
v2
GM
mC
=G
⇒
2 ⇒ v =
R+h
R+h
( R + h)
6.67 × 10 −11 × 19
. × 10 27
v=
m / s ≈ 1.59 km / s
7.14 × 10 7 + 5 × 1010
b) All’apogeo, in base alla seconda legge di Keplero (quella delle aree), la velocità è minima e, quindi,
inferiore alla velocità calcolata in a), che può essere considerata come se fosse la velocità media della
cometa attorno a Giove.
MmC
19
. × 10 27 × 5 × 10 7
−11
c) E p = − G
⇒ E p = −6.67 × 10 ×
J ≈ −1.26 × 1014 J
7
10
R+h
7.14 × 10 + 5 × 10
d) Con l’approssimazione suggerita nel testo del problema, l’energia cinetica della cometa su Giove é
uguale alla variazione dell’energia potenziale della cometa che passa dalla sua orbita alla superficie di
14
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
Giove:
1
1
1 
1
 1
mC v ' 2 = − GMmC 
−  ⇒ v ' = 2GM  −
 ⇒
 R R + h
 R + h R
2
1
1 

−
v ' = 2 × 6.67 × 10 −11 × 19
. × 10 27 × 
 m / s ≈ 59.5 km / s
7
 7.14 × 10
5 × 1010 
e) i) Per la terza legge di Keplero (quella dei periodi), indicando con T’, il periodo di rotazione di giove
attorno al Sole, si ha:
2πd 2
d 23
T '2 T 2
= 3 ⇒ T' = T
⇒ vG =
=
3
3
T'
d2
d1
d1
2πd 2
T
d2
d1
d2
d1
=
2πd1
T
d1
⇒
d2
2π × 1496
1496
× 1011
× 1011
.
.
m / s ≈ 13 km / s
×
365.25 × 24 × 3600
7.783 × 1011
ii) Il principio della conservazione della quantità di moto, supponendo che sia isolato il sistema
Giove-cometa.
iii) La variazione della velocità di Giove dipende dal rapporto tra la massa della cometa e la massa di
Giove. Orbene tale rapporto é estremamente piccolo (circa 2.5×10-20!) e la velocità di Giove
praticamente non cambia:
m
vG − C v'
Mv G − mC v '
M ≈v .
Mv G − mC v ' = ( M + mC )v ' G ⇒ v ' G =
=
G
mC
M + mC
1+
M
vG =
12
Un buco nero é un corpo celeste talmente denso che la velocità di fuga ad esso relativa supera la
velocità della luce (c = 3.00×108 m/s): in tal modo, neanche la luce riesce a sfuggirvi. Sebbene una
trattazione teorica completa dei buchi neri richieda la teoria della relatività generale, l’ordine di
grandezza del raggio di un buco nero avente una data massa può essere calcolato usando la meccanica
classica di Newton.
2GM
a) Mostrare che il raggio R di un buco nero di massa M è uguale a
.
c2
b) Utilizzando la formula precedente, calcolare il raggio di un buco nero la cui massa é uguale alla massa
i) della Terra (M = 5.98×1024 kg);
ii) del Sole (M = 1.99×1030 kg)
c) Se la massa di un neutrone è 1.67×10-27 kg ed il suo raggio é 1.2×10-15 m, confrontare la densità dei
neutroni con quella del Sole-buco nero.
Risposta:
13
b) i) 8.8 mm; ii) 2.9 km.
c) Il Sole-buco nero ha una densità circa 78 maggiore del neutrone! In effetti, si può
dimostrare che il Sole, come stella di neutroni, avrebbe un raggio di circa 13 km.
Licenza liceale europea 1986 (Problema I)
A. Si considera un satellite di comunicazioni geostazionario.
a) Caratterizzare, rispetto alla Terra supposta sferica e omogenea, il piano dell’orbita circolare del
satellite.
b) A quale altezza h1 si muove il satellite?
c) Qual é la sua velocità lineare v1?
B. Si effettua una correzione di traiettoria: il satellite risulta allora collocato su un’orbita circolare,
all’altezza h2, inferiore alla precedente. Su questa traiettoria il satellite si sposta più rapidamente.
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
15
a) Spiegare l’aumento di velocità lineare.
b) Il satellite passa dall’orbita circolare di raggio R1 = 4.2248×104 km a quella di raggio R2 =
4.2235×104 km. La massa del satellite é di 200 kg.
i) Calcolare la variazione di energia totale del satellite, nel campo gravitazionale terrestre,
conseguente al cambiamento di orbita.
ii) Calcolare la variazione ∆v della velocità del satellite.
Dati:
Costante di gravitazione:
G = 6.6720×10-11 m3 kg-1 s-2
Massa della Terra:
M = 5.9770×1024 kg
Raggio della Terra:
R = 6.3780×103 km
Giornata siderale:
86164 s
Risposta:
14
A. a) Moto nel piano equatoriale. b) h1 = 35794 km. c) 3.075 km/s
B. b) i) - 2.9039×106 J ; ii) 0.5 km/s.
Licenza liceale europea 1987 (Problema I)
a) All’istante t0 = 0 e con velocità iniziale v0 = 4.00 m/s, un corpo viene lanciato in direzione verticale
verso l’alto, a partire dalla superficie di un certo pianeta. Questo pianeta si suppone sferico e
omogeneo, di raggio R e di massa M. Il corpo ricade al punto di partenza all’istante t1 = 5.00 s.
Supponendo che il campo gravitazionale sia costante nella regione del moto considerato, calcolare
l’intensità g0 del campo gravitazionale alla superficie del pianeta.
b) Dalla superficie del pianeta predetto, un corpo viene lanciato in modo da farne un satellite in moto su
un’orbita circolare di raggio r.
i) Mediante la legge di gravitazione universale mostrare che l’intensità del campo gravitazionale g in
un punto generico dell’orbita del satellite è data dalla formula
R2
g = g0 2 .
r
ii) Stabilire, in funzione di R, r e g0, l’espressione del valore v della velocità del satellite e quella del
valore T del periodo.
T2
Dedurre la costanza del rapporto 3 .
r
iii) Nell’ipotesi costituita da T = 7.73×103 s, r = 1.95×103 km e dal risultato del quesito a),
determinare il raggio R e la massa M del pianeta.
c) Determinare, infine, la velocità minima con la quale il corpo deve essere lanciato perché possa
sfuggire all’attrazione del pianeta considerato.
Si dà: costante di gravitazione universale: G = 6.67×10-11 N m2 kg-2
Risposta:
15
16
a) g0 = 1.6 m/s.
b) iii) R = 1.75×106 m, M = 7.35×1022 kg (il ‘pianeta’ é la Luna).
c) v0 = 2365 m/s
Licenza liceale europea 1991 (Problema I)
Nella risoluzione di questo problema ai potrà assimilare la Terra ad una sfera omogenea di raggio rT e di
massa mT e si potrà inoltre trascurare la resistenza dell’aria.
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
a. Un corpo di massa m deve essere spostato nel campo di
gravitazione terrestre da un punto P1 a un punto P2 situati
rispettivamente a distanza r1 e r2 dal centro della Terra.
P2
r2
P1
r1
i) Mostrare che il lavoro effettuato durante questo spostamento è
 1 1
W = GmmT  −  .
 r1 r2 
ii) Un satellite di massa m = 1000 kg deve essere spostato dalla superficie della Terra fino all’infinito.
Calcolare il lavoro necessario per questo spostamento.
b. A partire dalla superficie della Terra, un corpo C é lanciato verticalmente verso l’alto con una velocità
iniziale di modulo v0.
rT v 02
i) Mostrare che la massima altezza raggiunta hmax é data da hmax =
, dove g0 é l’intensità
2 g 0 rT − v 02
della gravità sulla superficie della Terra.
ii) Il corpo C é lanciato con v0 = 6.00 km/s. Calcolare l’altezza massima raggiunta dal corpo C.
c. Un satellite si muove su una traiettoria circolare intorno alla Terra., all’altezza h = 1.00×104 km.
Calcolare:
i) la sua velocità v;
ii) il suo periodo T.
Sono dati:
Costante di Gravitazione:
Massa della Terra:
Raggio della Terra:
Intensità della gravità:
Risposta:
16
G = 6.67×10-11 m3 kg-1 s-2
mT = 5.98×1024 kg
rT = 6.37×103 km
g0 = 9.81 m s-2
a. ii) 6.26×1010 J;
b. ii) hmax = 2.58×103 km;
c. i) v = 6.94×103 m/s, ii) T = 5h 47 min.
Licenza liceale europea 1992 (Problema I)
a) Alcuni pianeti gravitano intorno ad un corpo celeste C di massa MC. Si considerano due di questi
pianeti, P1 e P2 di masse rispettive m1 e m2; essi descrivono intorno al corpo C orbite circolari di raggi
rispettivi r1 e r2, con periodi rispettivi T1 e T2.
Mostrare, a partire dalla legge di gravitazione universale o legge di Newton, che:
r13
r23
=
.
T12 T22
b) Un veicolo spaziale, la cui massa è m = 5.00×103 kg e la cui velocità iniziale può considerarsi nulla, si
dirige verso il corpo C di massa MC = 12.0×1025 kg e di raggio RC = 5.00×107 m. Si suppone che
questo veicolo, che percorre una distanza molto grande, sia soggetto solo alla gravitazione del corpo
C.
Calcolare:
i) l’intensità g0 del campo gravitazionale alla superficie di C;
ii) il modulo della velocità del veicolo spaziale quando questo arriva sulla superficie di C; confrontarlo
con il modulo della velocità di fuga
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
17
c) Ci si propone di realizzare, sulla superficie di uno dei pianeti dove l’intensità del campo gravitazionale
é g0’ = 2.30 m/s2, la seguente esperienza.
Un estremo di un filo inestensibile, di massa trascurabile, é fissato ad un punto P, mentre all’altro
estremo é agganciata una sfera di piombo S, di massa mS = 5.00 kg e di centro O. Inizialmente il filo é
teso, PO = 1.00 m, la sfera S si trova sulla verticale al di sopra di P e viene lanciata con una velocità
iniziale orizzontale di modulo vS = 5.00 m/s. S descrive allora una semicirconferenza e viene ad urtare
frontalmente una sfera S’ a riposo, di centro di massa Q e di massa mS’ = 10.0 kg.
Se l’urto é perfettamente anelastico, a quale altezza h al di sopra di Q risale l’insieme delle due masse
appaiate?
Data: costante di gravitazione universale G = 6.67×10-11 m3 kg-1 s-2.
Risposta:
17
b) i) 3.20 m/s2, ii) 1.79×104 m/s (é la velocità di fuga);
c) 82.6 cm.
Licenza liceale europea 1995 (Problema I)
Nella trattazione di questo problema, si consideri Giove come una sfera omogenea e si trascuri ogni
attrazione diversa da quella di Giove stesso.
Due sonde spaziali, S1 e S2, di centri rispettivi C1 e C2, di massa m = 100 kg ciascuna, sono lanciate dalla
Terra verso Giove, la cui massa é M. S1 deve essere collocata su un’orbita circolare intorno a Giove,
mentre S2 deve essere deviata verso Saturno (il pianeta successivo) dall’attrazione gravitazionale di
Giove.
In un certo istante del loro percorso, C1 e C2 occupano le posizioni indicate dalla figura.
r
v2
C2
r
v1
C1
.O
Giove
∆
r
r
Rispetto a Giove, C1 e C2 possiedono la stessa velocità v1 = v 2 , direzione perpendicolare alla retta ∆
passante per C1, C2 e per il centro O di Giove.
Le distanze di C1 e C2 da O sono rispettivamente d1 = 8,52×107 m e d2 = 2,50× 108 m.
Le sonde non utilizzano più alcun mezzo di propulsione.
a. S1 descrive una traiettoria circolare di raggio d1. Mostrare che:
r
i) il modulo della velocità v1 é v1 = 3,86×104 m.s-1;
d 13
ii) il suo periodo di rivoluzione T1 é dato da: T1 = 2π
.
G⋅ M
b. Determinare l’espressione letterale dell’energia meccanica totale del sistema “Giove-sonda S1”.
Dedurne l’energia supplementare che si dovrebbe fornire a S1 affinché la sua orbita sia stazionaria
(periodo di rivoluzione di S1 uguale al periodo di rotazione di Giove intorno al proprio asse).
c. i) Mostrare che S2 non é catturata da Giove.
ii) In un altro istante, C2 si trova alla distanza d 2' = 5,00×108 m dal centro O di Giove. Calcolare il
r
valore del modulo v 2' della sua velocità v 2' .
18
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
Sono dati:
Massa di Giove:
M = 1,90×1027 kg;
Periodo di rotazione di Giove :
T = 3,54×104 s;
Costante di gravitazione universale: G = 6,67×10-11 N.m2.kg-2.
Risposta:
18
a. i) 3.86×104 m/s;
b. 3.45×1010 J;
c. ii) 3.13×104 m/s
Nella trattazione di questo problema il Sole ed i pianeti potranno essere considerati come sfere
omogenee. Si ricorda che due corpi, di masse rispettive m1 e m2, i cui centri di massa hanno distanza d,
esercitano l’uno sull’altro una forza attrattiva, diretta secondo la congiungente i centri, la cui intensità é:
mm
F =G 122
d
dove G é la costante di gravitazione universale.
a. Si considera il sistema Sole-Terra e si trascura l’influenza di tutti gli altri pianeti.
i) Sulla superficie della Terra, di massa M e di raggio R, il peso di un oggetto di massa m é
praticamente dovuto solo all’attrazione newtoniana della Terra.
Scrivere l’espressione letterale dell’intensità del campo gravitazionale sulla superficie della Terra in
funzione di G, M e R.
ii) La Terra descrive intorno al Sole, di massa k.M con k = costante, un’orbita praticamente circolare
di raggio r.
1. Scrivere, in funzione di r, k, R e g0, l’espressione letterale della velocità angolare ω del moto di
rivoluzione della Terra intorno al Sole.
2. Calcolare il periodo T di questo moto di rivoluzione.
iii) Il punto di equigravità E del sistema Sole Terra si trova sulla retta definita dai due centri, ad una
distanza x dal centro della Terra. Si ricorda che E é il punto in cui i campi gravitazionali del Sole e
della Terra si annullano.
1. Scrivere l’espressione letterale di x in funzione di r e di k.
2. Calcolare il valore di x.
b. Anche il pianeta Nettuno descrive intorno alla Terra un’orbita praticamente circolare, di raggio rN e
con un periodo TN.
i) Scrivere l’equazione che lega il periodo di rivoluzione T della Terra, il periodo di rivoluzione TN di
Nettuno e le distanze r e rN.
ii) Calcolare il valore di rN, sapendo che TN = 6.02×104 giorni terrestri.
Sono dati:
Raggio della Terra:
R = 6.40×104 km
Intensità del campo gravitazionale alla superficie della Terra: g0 = 9.80×104 m.s-2
k:
k = 3.33×104
Distanza della Terra dal Sole:
r = 1.50×108 km.
Risposta:
a.
M
,
R2
R kg 0
ii) 1. ω =
,
r
r
i)
g0 = G
iii) 1. x =
r
k −1
=
r
k −1
k +1
2. T = 3.16×107 s = 365 giorni,.
2. x = 2.59×105 km.
Gravitazione universale ed applicazioni - A cura di Raffaele Santoro
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b.
TN2 rN3
i)
=
(terza legge di Keplero)
T2 r3
ii) rN = 4.51×109 km.
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Dimostrare che la velocità di fuga dal Sole per un corpo che si trova ad una distanza uguale alla distanza
Sole-Terra é uguale a 2 volte la velocità orbitale della Terra attorno al Sole, supponendo l’orbita della
Terra circolare.
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Due satelliti della Terra, A e B, aventi la stessa massa m, ruotano su un’orbita circolare di raggio r, con
versi di rotazione opposti. I due satemmiti sono, quindi in rotta di collisione.
a) Calcolare in funzione di G, M (massa della Terra), m e r l’energia meccanica totale del sistema
satelliti-Terra prima dell’urto.
b) Si suppone un urto completamente anelastico fra i due satelliti: dopo l’urto, i due satelliti formano un
unico corpo di massa 2m. Calcolare l’energia meccanica totale subito dopo l’urto.
c) Descrivere il moto di quello che resta dei due satelliti dopo l’urto.
Risposta: ... c) il relitto cade verticalmente sulla Terra.
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Si vuole che un satellite si muova nel piano equatoriale della Terra, nelle immediate vicinanze della sua
superficie. Trascurando la resistenza dell’aria, calcolare il rapporto tra l’energia spesa per mettere il
satellite in rotazione nello stesso verso di rotazione della Terra e l’energia spesa nel caso in cui il verso di
rotazione del satellite sia opposto a quello della Terra.
Risposta: 0.787 circa.
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