Fondamenti di Topologia Algebrica
Pagine allegate agli appunti
di supporto alle lezioni
Prof. Sara Dragotti
Fondamenti di Topologia Algebrica
Omotopia
1. Omotopia di funzioni
L’omotopia ha un ruolo importante in topologia. È legata a problemi di estensione di funzioni continue da un ambiente ad uno più grande, a problemi di approssimazione di una funzione con una più ricca di informazioni o più comoda, ed
inoltre molti degli invarianti algebrici di uno spazio topologico sono invarianti per
omotopia.
Siano X e Y spazi topologici, f e g funzioni continue del primo nel secondo.
Essere f e g omotope significa che si può passare con continuità dall’una all’altra.
Questa idea viene formalizzata utilizzando il cilindro sullo spazio dominio e una
funzione F da tale cilindro sullo spazio codominio e richiedendo che le funzioni
sulle sezioni di tale cilindro partendo dalla f di base cambino con dolcezza salendo
fino ad arrivare alla funzione g. È un discorso vago, ma efficace. La formulazione
matematica precisa è contenuta nella seguente
Definizione 1. Siano f e g funzioni continue di X in Y . Diciamo che f è omotopa
a g se esiste una funzione continua F del cilindro X × I in Y tale che
(
F (x, 0) = f (x)
∀x ∈ X
F (x, 1) = g(x)
F si dice omotopia da f a g.
In altre parole un’omotopia F da f a g è un prolungamento comune delle due
funzioni al cilindro. Sulla base inferiore del cilindro F si comporta come f e su
quella superiore come g. Su una sezione del cilindro a livello intermedio t tra 0 e 1,
ponendo Ft (x) = F (x, t), si ottiene una funzione intermedia di X in Y che non è né
f , né g, ma è sempre un’applicazione continua. Pertanto un’omotopia determina
una famiglia {Ft }t∈I di funzioni continue di X in Y . Viceversa una famiglia di
funzioni continue di X in Y non è detto determini un’omotopia. Occorre che tale
famiglia sia continua (si ricordi che una funzione da uno spazio prodotto continua
rispetto alle singole variabili non è detto sia continua nel prodotto).
Fissiamo ora l’attenzione sulla variabile in X della F . Per ogni fissato x, ponendo Fx (t) = F (x, t) si ottiene una funzione continua di I in Y , cioè un cammino
di Y dal punto f (x) al punto g(x). Tale cammino è la traiettoria che segue f (x)
durante la deformazione di f in g. Si ottiene cosı̀ un’altra famiglia di funzioni continue stavolta da I ad Y (cammini) indiciata in X {Fx }x∈X . Anche questa è una
famiglia continua.
Proposizione 1. La relazione di omotopia è una relazione di equivalenza nell’insieme C(X, Y ) delle funzioni continue di X in Y .
Dim. Per ogni funzione continua f di X in Y , l’applicazione F di X × I in Y
definita ponendo F (x, t) = f (x) è un’omotopia da f a f e ciò prova la riflessività.
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Omotopia
Per quanto riguarda la simmetria, se F è un’omotopia da f a g, l’applicazione G
di X × I in Y definita ponendo G(x, t) = F (x, 1 − t) è un’omotopia da g a f .
Infine la transitività si ottiene osservando che, se F è un’omotopia da f a g e G è
un’omotopia da g ad h, la funzione H di X × I in Y definita ponendo
(
F (x, 2t)
se 0 ≤ t ≤ 1/2
H(x, t) =
G(x, 2t − 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1
è un’omotopia da f ad h.
La verifica minuta che le funzioni citate sono continue e soddisfano le condizioni
richieste sulle basi del cilindro su X è lasciata allo studente.
La proposizione che segue si può sintetizzare dicendo che la relazione di omotopia è compatibile con il prodotto di applicazioni, ovvero componendo funzioni
omotope si ottengono funzioni omotope.
Proposizione 2. Siano f e f 0 funzioni continue da uno spazio X a uno spazio
Y e siano g e g 0 funzioni continue di Y in un terzo spazio Z. Se f ed f 0 sono
omotope e g e g 0 sono omotope, allora g ◦ f è omotopa a g 0 ◦ f 0 .
Dim. Dette F un’omotopia da f a f 0 e G un’omotopia da g a g 0 , la funzione H
di X × I in Z definita ponendo H(x, t) = G (F (x, t), t) è un’omotopia da f ◦ g a
f 0 ◦ g 0 . Infatti essa è continua e soddisfa le condizioni previste sulle due basi del
cilindro su X (verificare).
Per talune questioni la relazione di omotopia tra funzioni cosı̀ come è stata
definita risulta insufficiente, perché si banalizza (vedere in seguito ciò che accade
per gli spazi contraibili). Occorre una relazione più forte quale è la seguente
Definizione 2. Siano f e g funzioni continue di X in Y , e sia A un sottospazio
di X su cui f e g coincidono. Diciamo che f è omotopa a g relativamente ad A
se esiste una funzione continua F del cilindro X × I in Y tale che
(
F (x, 0) = f (x)
∀x ∈ X
F (x, 1) = g(x)
ed inoltre per ogni a ∈ A e per ogni t ∈ I si ha F (a, t) = f (a) = g(a). F si dice
omotopia da f a g relativa ad A.
Questa definizione si usa in particolare per definire l’omotopia di cammini con
estremi fissi, essenziale per definire il gruppo fondamentale di uno spazio topologico
puntato.
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Omotopia
2. Omotopia di spazi topologici
La relazione di omotopia tra spazi topologici indebolisce la relazione di omeomorfismo. Spazi omeomorfi sono omotopi, ma non vale il viceversa. Se f è un
omeomorfismo di X in Y il suo inverso f −1 è un omeomorfismo di Y in X e
valgono le relazioni
- f −1 ◦ f = 1X
- f ◦ f −1 = 1Y
Definizione 3. Siano X e Y spazi topologici. Diremo che X è omotopo a Y se
esistono una funzione continua f di X in Y e una funzione continua g di Y in
X tali che g ◦ f è omotopa a 1X e f ◦ g è omotopa a 1Y . f dicesi equivalenza di
omotopia con inversa g.
Banalmente un omeomorfismo f è una equivalenza di omotopia con inversa
l’omeomorfismo inverso. Invece una equivalenza di omotopia non è detto nemmeno
sia biunivoca.
Proposizione 3. La relazione di omotopia tra spazi topologici è una relazione di
equivalenza.
Dim. La riflessività segue dal fatto che l’identità è una equivalenza di omotopia.
La simmetria segue dal fatto che, se f è una equivalenza di omotopia con inversa
g, allora g è una equivalenza di omotopia con inversa f .
La transitività segue dal fatto che la composta di equivalenze di omotopia è una
equivalenza di omotopia (si verifichi con cura).
Definizione 4. Uno spazio topologico X si dice contraibile se l’identità dello spazio
in sé è omotopa alla funzione costante di X a un suo punto x0 .
Una importante classe di spazi contraibili è data dagli spazi euclidei. Tale risultato segue dalla successiva proposizione che riguarda più in generale i sottoinsiemi
X di uno spazio euclideo che siano a stella, ossia tali che ogni loro punto sia congiungibile a un fissato punto x0 con un segmento tutto contenuto in X. x0 si dice
centro della stella e non è detto sia unico.
Proposizione 4. Un sottoinsieme X di uno spazio euclideo che sia “a stella” di
centro x0 è contraibile al punto x0 .
Dim. Una omotopia da 1X a Cx0 è data da F (x, t) = tx0 +(1−t)x. È noto che F è
continua e verifica le condizioni giuste. Osserviamo che in tale omotopia ogni punto
x si muove lungo il segmento che lo congiunge a x0 e che per ipotesi è contenuto
in X.
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Omotopia
Corollario 1. Ogni sottospazio convesso di uno spazio euclideo, in particolare
tutto lo spazio euclideo, è contraibile.
Si osservi che, se uno spazio X è contraibile a un suo punto x0 , l’immersione
di x0 in X è una equivalenza di omotopia con inversa Cx0 . Quindi si può dire che
uno spazio contraibile è omotopo allo spazio costituito da un solo punto. Vale il
viceversa? Riflettere.
Proposizione 5. Ogni spazio contraibile è connesso per cammini.
Dim. Basta pensare all’omotopia F da 1X a Cx0 come una famiglia continua di
cammini da x a x0 .
La proposizione precedente non si inverte. Un esempio semplice è dato dalla
circonferenza o da una sfera di una qualunque dimensione.
Proposizione 6. Due funzioni continue da uno spazio X ad uno spazio contraibile
sono omotope.
Dim. Siano f e g due funzioni continue di X in Y , con Y contraibile (1Y omotopa
a Cy0 ). Si avrà
f = 1Y ◦ f ∼ Cy0 ◦ f = Cy0 0 funzione costante a y0 di dominio X
g = 1Y ◦ g ∼ Cy0 ◦ g = Cy0 0 funzione costante a y0 di dominio X
Per la proprietà transitiva f è omotopa a g.
In altre parole la relazione di omotopia tra funzioni a codominio contraibile si
banalizza, nel senso che esiste una sola classe di omotopia.
Vediamo cosa si può dire se invece è il dominio delle funzioni ad essere contraibile. Siano f e g due funzioni continue di X in Y , con X contraibile al punto x0 .
Si ha
f = f ◦ 1X ∼ f ◦ Cx0 funzione costante da X a f (x0 )
g = g ◦ 1X ∼ g ◦ Cx0 funzione costante da X a g(x0 )
Allora f sarà omotopa a g se, e solo se, la funzione costante di Y a f (x0 ) e la
funzione costante di Y a g(x0 ) sono omotope. Poiché un’omotopia tra la funzione
costante ad un punto e la funzione costante ad un altro punto è in effetti un
cammino tra i due punti (vedere con cura), ciò accadrà se esiste un cammino di Y
da f (x0 ) a g(x0 ), e quindi sempre se Y è connesso per cammini. Più esplicitamente
vale la seguente:
Proposizione 7. Tutte le funzioni da uno spazio contraibile ad uno spazio connesso per cammini sono omotope.
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Omotopia
Definizione 5. Un sottospazio Y di uno spazio topologico X si dice un retratto
di X se l’inclusione di Y in X ammette una inversa sinistra continua, ovvero se
esiste una funzione continua r di X in Y tale che r ◦ i è uguale a 1Y . r si dice
retrazione di X in Y .
Una retrazione r di X in Y si dice retrazione di deformazione se i ◦ r è omotopa
all’identità di X 1X . In tal caso diremo che Y è un retratto di deformazione di X.
Una retrazione di deformazione r si dice forte se l’omotopia tra i◦r e 1X è relativa
al sottospazio Y .
Ovviamente un retratto di deformazione di uno spazio è omotopo allo spazio
stesso, in quanto ogni retrazione di deformazione è una equivalenza di omotopia
con inversa l’inclusione.
Alla luce delle precedenti definizioni possiamo definire uno spazio contraibile
X a un punto x0 dicendo che x0 è un retratto di deformazione di X.
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