geometria 3 - Dipartimento di Matematica e Fisica

GEOMETRIA 3
a.a. 2014-2015
Insegnamento: Geometria 3
Docente: Francesco Mazzocca
Settore Scientifico Disciplinare: MAT/03
CFU
ORE
8=8L
64
Obiettivi formativi: Acquisizione dei risultati fondamentali e dei metodi di base della topologia
generale e della topologia algebrica.
Propedeuticità: Analisi Matematica 1, Algebra 1, Geometria 2
Modalità di svolgimento: lezioni in aula.
Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova orale.
Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.
PROGRAMMA
ELEMENTI DI TOPOLOGIA GENERALE.
Definizione di spazio topologico. Esempi notevoli di spazi topologici. Insiemi chiusi. Topologia di Zariski
di Cn. Interno di un insieme. Intorni. Sistemi fondamentali di intorni. Basi. Punti di aderenza e di
accumulazione. Derivato di un insieme. Insiemi perfetti. Insiemi densi. Frontiera di un insieme.
Funzioni continue in un punto. Funzioni continue. Omeomorfismi.
Sottospazi di uno spazio topologico. Prodotto di spazi topologici. Spazi topologici quozienti.
Assiomi di separazione e di numerabilità. Spazi separabili.
Spazi metrici. Esempi di spazi metrici. Topologia indotta da una metrica. Spazi metrizzabili. Assiomi di
numerabilità e di separazione negli spazi metrici. Sottospazi di uno spazio metrico. Successioni
convergenti. Successioni di Cauchy. Spazi metrici completi.
Spazi topologici connessi. Connessione e connessione per poligonali in Rn. Spazi connessi e
applicazioni continue. Componenti connesse.
Spazi topologici compatti. Spazi compatti e applicazioni continue. Compattezza in Rn.
ELEMENTI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA
Categorie e funtori. Esempi notevoli di categorie. Oggetti equivalenti ed equivalenze in una categoria.
Sottocategorie. Il funtore “componenti connesse”.
Archi e lacci in uno spazio topologico. Lemma di incollamento. Concatenazione di archi e lacci.
Connessioni per archi. Sottospazi connessi e sottospazi stellati di Rn. Componenti connesse per archi.
Omotopia (libera) tra mappe di uno spazio topologico in un altro. Omotopia lineare e insiemi convessi.
Omotopia tra mappe costanti. L’omotopia sull’insieme delle mappe tra due spazi topologici è di
equivalenza. Equivalenze omotopiche e spazi omotopicamente equivalenti. Spazi contraibili e esempi
notevoli.
Omotopia di mappe tra coppie di spazi. Omotopia tra lacci. Gruppo fondamentale di uno spazio
topologico puntato. Indipendenza dal punto base del gruppo fondamentale per gli spazi connessi per
archi. Funtorialità del gruppo fondamentale.
Gruppo fondamentale ed equivalenze omotopiche. Spazi semplicemente connessi. Esempi notevoli di
spazi semplicemente connessi. Gruppo fondamentale della sfera n-dimensionale, n>1. Gruppo
fondamentale della circonferenza. Teorema dell’invarianza della dimensione per R2. Teorema del punto
fisso di Brouwer. Calcolo del gruppo fondamentale di sottospazi notevoli di Rn. Utilizzo del gruppo
fondamentale per provare che due spazi non sono omeomorfi. Teorema fondamentale dell’algebra.