Grafo di un circuito

Grafo di un circuito
Grafo
ciò che si ottiene dal circuito sostituendo ciascun elemento con un segmento.
Ramo (o lato)
il segmento che nel grafo corrisponde ad un elemento del circuito.
Nodo
Punto del grafo in cui sono attaccati due o più rami.
Grafo orientato
su ciascun segmento si sceglie un verso arbitrario.
Il verso scelto individua tensione e corrente sul circuito, seguendo la convensione utilizzata
(normalmente quella dell’utilizzatore).
Esempio
SM SMR#90#100#1#0
R#140#120#1#3
A
R#150#180#1#4
W#160#100#1#140#120
W#80#180#1#100#160
C
D
B
A
B
D
Circuito
W#90#180#1#80#180
C
Grafo orientato
Grafo connesso
Un grafo si dice connesso se da qualunque nodo del grafo è possibile raggiungere
qualsiasi altro nodo del grafo con un percorso di rami.
Esempio
SM SMT#60#221#0#Grafo connesso
T#44#99#0#A
T#133#93#0#B
T#137#202#0#C
T#48#205#0#D
o#60#120#1#0
B
A
D
B
C
Grafo connesso
A
D
o#140#1
C
E
G
F
Grafo non connesso
Taglio
Considerata una linea chiusa che divide in due parti il grafo, taglio è l’insieme di
rami interessati dalla linea.
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Definizione alternativa: taglio è un insieme di rami tali che la loro eliminazione rende
il grafo risultante non connesso.
N.B. il taglio corrisponde alla superficie chiusa usata nell’enunciato della KCL. Per le correnti
dei rami di un taglio deve valere la KCL.
Esempio
SMSM W#150#110#1#60#110
W#150#200#1#60#110
B
A
W#150#200#1#150#110
C
W#240#110#1#150#200
W#240#110#1#150#110
B
A
f#140#60#1#0
C
b#60#110#1#0#-10#40#-50#80#-50#
B
A
D
D
b#240#110#1#0#-10#-40#-50#-80#-50#
C
D
grafo senza i rami del taglio
taglio
altro esempio:
SMSM W#150#110#1#60#110
W#150#200#1#60#110
B
A
W#150#200#1#150#110
C
W#240#110#1#150#200
W#240#110#1#150#110
B
A
f#140#60#1#0
C
b#60#110#1#0#-10#40#-50#80#-50#
B
A
D
D
b#240#110#1#0#-10#-40#-50#-80#-50#
C
D
grafo senza i rami del taglio
taglio
è un taglio anche il seguente:
SMSM W#150#110#1#60#110
W#150#200#1#60#110
B
A
D
W#150#200#1#150#110
C
W#240#110#1#150#200
W#240#110#1#150#110
B
A
D
taglio
f#140#60#1#0
C
b#60#110#1#0#-10#40#-50#80#-50#
b#240#110#1#0#-10#-40#-50#-80#-50#
B
A
C
D
grafo senza i rami del taglio
Anello
Insieme di rami che formano un percorso chiuso, tale da attraversare ciascun nodo
interessato una sola volta.
N.B. l’anello corrisponde al percorso chiuso usato nell’enunciato della KVL. Per le tensioni
dei rami di un anello deve valere la KVL.
Esempio
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SM SMT#44#99#0#A
T#133#93#0#B
A
B
D
C
T#137#202#0#C
T#48#205#0#D
o#60#120#1#0
o#140#120#1#0
B
A
o#140#200#1#0
o#60#200#1#0
W#140#120
B
A
D
C
esempio di anello
D
esempio di anello
Albero
E’ un insieme connesso di rami che comprende tutti i nodi del grafo senza formare
percorsi chiusi.
Esempio
SM SMT#44#99#0#A
T#133#93#0#B
T#137#202#0#C
T#48#205#0#D
o#60#120#1#0
o#140#120#1#0
A
B
A
D
C
C
D
esempio di albero
B
o#140#200#1#0
A
o#60#200#1#0
W#140#120#1#60#20
B
C
D
esempio di albero
Coalbero
E’ l’insieme di rami che non appartengono all’albero.
Esempio
SM SMT#44#99#0#A
T#133#93#0#B
T#137#202#0#C
T#48#205#0#D
o#60#120#1#0
A
B
A
B
D
C
D
C
o#140#120#1#0
o#140#200#1#0
A
albero
o#60#200#1#0
W#140#120#1#60#20
B
C
coalbero
Se la rete contiene R rami e N nodi, i rami dell’albero sono N – 1.
Nel costruire l’albero, il primo ramo impegna 2 nodi, i successivi aggiungono un nodo ciascuno.
Di conseguenza i rami del coalbero sono R – N + 1.
Aggiungendo un ramo di coalbero all’albero si ottiene un percorso chiuso, un anello, che
viene detto Anello fondamentale.
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Scelto un albero, si hanno:
R – N + 1 rami di coalbero e, quindi:
R – N + 1 anelli fondamentali.
C’è una corrispondenza biunivoca tra rami di coalbero e anelli fondamentali.
Togliendo un ramo all’albero questo diviene non connesso. Esiste quindi un taglio che
comprende il ramo di albero considerato e per il resto rami di coalbero. Tale taglio viene
detto Taglio fondamentale.
Scelto un albero, si hanno:
N – 1 rami di albero e, quindi:
N – 1 tagli fondamentali.
C’è una corrispondenza biunivoca tra rami di albero e tagli fondamentali.
Sottoinsieme di tensioni indipendenti
Le tensioni dei rami dell’albero costituiscono un insieme di tensioni indipendenti
Infatti non esistono legami tra di esse, non essendo possibile scrivere KVL con soli rami di albero
(non ci sono anelli sull’albero).
Le tensioni dei rami di coalbero sono tutte esprimibili in funzione delle tensioni dei
rami di albero, tramite KVL applicate agli anelli fondamentali.
Sottoinsieme di correnti indipendenti
Le correnti dei rami del coalbero costituiscono un insieme di correnti indipendenti
Infatti non esistono legami tra di esse, perché non esistono tagli costituiti solo da rami di coalbero.
L’albero, infatti, interessa tutti i nodi del grafo e, quindi, un taglio qualsiasi deve per forza
comprendere perlomeno un ramo di albero.
Le correnti dei rami dell’albero sono tutte esprimibili in funzione delle correnti dei
rami di coalbero, tramite KCL applicate ai tagli fondamentali.
Metodi di analisi agli Anelli
Incognite: correnti dei rami di coalbero (R – N + 1)
Equazioni: KVL applicate agli anelli fondamentali (R – N + 1)
Queste equazioni sono sicuramente tra loro indipendenti perché ciascuna di esse contiene
un termine, la tensione del ramo di coalbero dell’anello fondamentale, non presente nelle
altre.
Metodi di analisi ai Tagli
Incognite: tensioni dei rami di albero (N - 1)
Equazioni: KCL applicate ai tagli fondamentali (N - 1)
Queste equazioni sono sicuramente tra loro indipendenti perché ciascuna di esse contiene
un termine, la corrente del ramo di albero del taglio fondamentale, non presente nelle
altre.
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